Capitolo 1. L insieme dei numeri complessi Introduzione ai numeri complessi

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1 Capitolo 1 L insim di numri complssi 11 Introduzion ai numri complssi Dfinizion 111 Sia assgnata una coppia ordinata (a, b) di numri rali Si dfinisc numro complsso l sprssion z = a + ιb I numri a b sono dtti rispttivamnt part ral part immaginaria di z sono indicati con i simboli a = R z b = Im z I numri con part immaginaria nulla possono ssr idntificati con i numri rali prciò si scriv smplicmnt a non a+ι0 I numri con part ral nulla sono dtti immaginari puri si scrivono smplicmnt ιb invc ch 0+ιb; in particolar il numro 0+ι1 si indica smplicmnt con ι d è dtto unità immaginaria Du numri complssi a + ιb c + ιd sono uguali s solo s a = c b = d Nll insim di numri complssi si possono introdurr l oprazioni di somma di prodotto tramit la sgunt dfinizion Dfinizion 11 Dati du numri complssi a + ιb c + ιd, la loro somma è il numro complsso (a + c) + ι(b + d), 1

2 CAPITOLO 1 L INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI mntr il loro prodotto è il numro complsso (ac bd) + ι(ad + bc) La somma il prodotto così dfiniti godono dll proprità associativa commutativa Ossrviamo ch, posto z = a + ιb 0 = 0 + ι0, risulta z + 0 = (a + ιb) + (0 + ι0) = a + ιb = z pr cui 0 ha l stss proprità formali dll insim di rali, ovvro di ssr lmnto nutro pr la somma Pr ogni numro complsso z = a + ιb è possibil dfinir l opposto com z = a ιb tal ch z+( z) = 0 La diffrnza tra du numri complssi si dfinisc com la somma dll opposto, infatti (a + ιb) (c + ιd) = (a + ιb) + ( c ιd) = a c + ι(b d) È facil vdr dalla dfinizion di prodotto ch il numro complsso 1 + ι0 è lmnto nutro pr il prodotto Assgnato z = a + ιb si dfinisc coniugato di z il numro z = a ιb Inoltr s z 0 si può dfinir il rciproco 1/z com il numro x + ιy tal ch z 1 z = 1 Dv ssr (a + ιb)(x + ιy) = 1 Dunqu ax by = 1 bx + ay = 0 1 z = x = a a + b ; y = b a + b a a + b + ι b a + b In pratica 1/z può ssr ottnuto così 1 z = 1 a + ιb = a ιb (a + ιb)(a ιb) = a a + b ι b a + b

3 11 INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI 3 O a P ρ b θ Figura 11: L insim di numri complssi dotato dll oprazioni di somma prodotto ora dfinita è indicato con C Ossrvazion Dalla dfinizion di prodotto risulta ι = ι ι = (0 + ι1)(0 + ι1) = 1 Forma trigonomtrica di un numro complsso Un numro complsso z = a + ιb può ssr rapprsntato gomtricamnt nl piano cartsiano R con il vttor di componnti (a, b), ciò prmtt un scondo modo di rapprsntar un numro complsso, la forma trigonomtrica (vdr figura 11) Considriamo il numro complsso z = a + ιb il vttor OP ch lo rapprsnta Il vttor OP può ssr rapprsntato o attravrso l componnti a, b oppur assgnando la lunghzza ρ l angolo θ formato con l ass ral positivo intndndo com positivi tutti gli angoli ottnuti mdiant rotazion in snso antiorario dal smiass positivo alla smirtta ch contin OP Il numro ral non ngativo ρ vin indicato con z d è dtto modulo di z mntr l angolo θ si chiama argomnto si indica con arg(z) Valgono l sgunti rlazioni:

4 4 CAPITOLO 1 L INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI 1 a = Rz = z cos(arg(z)); b = Imz = z sin(arg(z)); 3 z = a + b ; 4 sin θ = b/ρ; 5 cos θ = a/ρ; 6 tan θ = b/a In dfinitiva z può ssr scritto in qusto modo z = z (cos(arg(z)) + ι sin(arg(z))) Ossrvazion La rapprsntazion in forma trigonomtrica di un numro complsso non fornisc una corrispondnza biunivoca tra la coppia ( z, arg(z)) i punti dl piano complsso L origin dl piano complsso corrispond infatti all (infinit) coppi dlla forma (0, θ) indipndntmnt dal valor di θ S assumiamo z 0 notiamo ch un punto dl piano complsso individua sia la coppia ( z, θ) ch la coppia dl tipo ( z, θ + kπ) Modulo, argomnto complsso coniugato Il modulo di un numro complsso soddisfa l sgunti proprità: 1 z 0 pr ogni z C z = 0 s solo s z = 0; z 1 z = z 1 z pr ogni z 1, z C; 3 z 1 + z z 1 + z pr ogni z 1, z C L argomnto di un numro complsso soddisfa l sgunti proprità: 1 arg(z 1 z ) =arg(z 1 )+arg(z ) pr ogni z 1, z C; arg(z 1 /z ) =arg(z 1 ) arg(z ) pr ogni z 1, z C Il numro complsso z = z, coniugato di z = a + ιb, è lgato alla part ral, immaginaria modulo di z dall sgunti rlazioni:

5 11 INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI 5 1 Rz = (z + z )/; Imz = (z z )/(ι); 3 z = zz Inoltr 1 (z 1 + z ) = z 1 + z ; (z 1 z ) = z 1z Formula di D Moivr Posto z = ρ(cos θ + ι sin θ) dalla formula dl prodotto è facil ddurr ch, pr n = 1,, : z n = ρ n (cos nθ + ι sin nθ) Infatti pr n = 1 la rlazion è banalmnt vrificata Assumndola vra pr un crto n proviamola pr n + 1 z n+1 = z n z = z n ρ(cos θ + ι sin θ) = = ρ n (cos nθ + ι sin nθ)ρ(cos θ + ι sin θ) = = ρ n+1 (cos nθ cos θ sin nθ sin θ + ι(sin nθ cos θ + cos nθ sin θ)) = = ρ n+1 (cos(n + 1)θ + ι sin(n + 1)θ)) Radici n-sim di un numro complsso Assgnato w C si vogliono dtrminar tutti i numri z C tali ch z n = w Tali numri sono dtti radici n-sim di w Proviamo ch ogni numro complsso ammtt sattamnt n radici distint diamo una formula pr calcolarl Posto w = r(cos φ + ι sin φ)

6 6 CAPITOLO 1 L INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI l quazion z n = w si scriv z = ρ(cos θ + ι sin θ) ρ n (cos nθ + ι sin nθ) = r(cos φ + ι sin φ) Ricordando ch du numri complssi sono uguali s hanno lo stsso modulo argomnti ch diffriscono pr un multiplo di π abbiamo ricavando allora ρ n = r nθ = φ + kπ ρ = n r θ = φ n + kπ n Qust ultima rlazion fornisc di valori distinti di θ in corrispondnza di k = 0, 1,,, n 1 La radic ch si ottin pr k = 0 è dtta radic primitiva o fondamntal Pr k = n si trova θ = φ n + nπ n = φ n + π ch coincid con la radic primitiva Situazioni analogh valgono pr k > n k < 0 L radici n-sim di un numro complsso sono dunqu n sono ottnut dall rlazioni: ρ = n r, θ = φ n + kπ k = 0, 1,, n 1 n I punti P 0,, P n 1 corrispondnti all radici n-sim di w si trovano tutti sulla mdsima circonfrnza di cntro l origin raggio n r sono i vrtici di un poligono rgolar a n lati Esmpio 111 Calcolar l radici quint di 1 Applicando la formula si ha ( ) ( ) 5 kπ kπ 1 = cos + ι sin k = 0, 1,, 3, Nlla figura 1 sono visualizzat l 5 radici quint dll unità

7 11 INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI 7 P 1 P P 0 P 3 P 4 Figura 1: Esponnzial complsso Sia z un numro complsso non nullo scritto nlla forma trigonomtrica z = z (cos θ + ι sin θ) Evidntmnt il numro complsso w = z/ z ha modulo unitario Dunqu un qualunqu numro complsso non nullo può ssr sprsso com prodotto di un numro ral positivo (il suo modulo) un numro complsso di modulo 1, z = z w, w = 1 Siano ora z 1 z du numri complssi di modulo 1: z 1 = cos θ + ι sin θ z 1 = 1 z = cos φ + ι sin φ z = 1

8 8 CAPITOLO 1 L INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI Dalla dfinizion di prodotto si ha: z 1 z = cos(θ + φ) + ι sin(θ + φ) z 1 z = 1 arg(z 1 z ) = arg(z 1 ) + arg(z ) Notiamo ch la moltiplicazion di z 1 z si traduc in una somma (qulla dgli argomnti) in particolar pr φ = θ si ha z 1 z = 1 Qusto comportamnto è analogo a qullo dlla funzion sponnzial ral Infatti a b = a+b, a a = 1 Qusta analogia formal suggrisc di introdurr una rapprsntazion dl numro complsso di modulo 1 ch faccia intrvnir l sponnzial dl suo argomnto Ovviamnt non si trattrà di sponnziali rali in quanto bisogna rapprsntar numri complssi Qust considrazioni motivano, sppur in modo intuitivo, l introduzion dlla formula di Eulro: ιθ = cos θ + ι sin θ pr la rapprsntazion di numri complssi di modulo 1 Sia ora z un gnrico numro complsso sprsso nlla forma z = x + ιy Considrando l analogia formal con gli sponnziali rali imponiamo ch l sponnzial di una somma sia il prodotto dgli sponnziali, cioè z = x+ιy = x ιy Qusta rlazion, insim alla formula di Eulro, pon la sgunt dfinizion di sponnzial di un numro complsso: z = x+ιy = x (cos y + ι sin y) (11) Da qusta si dducono l sgunti proprità: 1 R z = x cos y;

9 11 INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI 9 Im z = x sin y; 3 z = x ; 4 arg( z ) = y Utilizzando la (11) è facil provar ch pr l sponnzial complsso valgono l stss rgol dll sponnzial ral: 1 z+w = z w, pr ogni z, w C; ( z ) w = zw Non è possibil stndr al campo complsso la proprità di strtta positività di cui god l sponnzial ral, prò è possibil provar ch z 0 z C Infatti s sit un numro complsso z 0 = x 0 + ιy 0 tal ch z 0 = 0 dovrbb ssr x 0 cos y 0 = 0 x 0 sin y 0 = 0 cos y 0 = 0 sin y 0 = 0 ciò è assurdo La dfinizion di sponnzial complsso ha prò una consgunza imprvdibil s si considra l analogia con la funzion sponnzial ral Infatti pr qualunqu k Z si ha z+kπι = x+ιy+kπι = x+ι(y+kπ) = = x (cos(y + kπ) + ι sin(y + kπ)) = = x (cos y + ι sin y) = z cioè la funzion sponnzial complssa è priodica di priodo πι

10 10 CAPITOLO 1 L INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI Alcun proprità di moduli dll argomnto La forma sponnzial complssa prmtt un agvol dimostrazion di alcun proprità dl modulo dll argomnto di un numro complsso Siano infatti z 1 = ρ 1 ιθ 1 z = ρ ιθ allora z 1 z = ρ 1 ιθ 1 ρ ιθ = ρ 1 ρ ι(θ 1+θ ) dunqu Analogamnt da cui z 1 z = z 1 z arg(z 1 z ) = arg(z 1 ) + arg(z ) z 1 z = ρ 1 ιθ1 ρ ιθ = ρ 1 ρ ι(θ 1 θ ) z 1 z = z 1 z, arg(z 1/z ) = arg(z 1 ) arg(z ) In particolar z 1 ια = z 1 arg(z 1 ια ) = arg(z 1 ) + α (1) dunqu la moltiplicazion di un numro complsso pr l sponnzial di un immaginario puro provoca una rotazion Inoltr z 1 ι = z 1 ιπ/ = z 1 arg(z 1 ι) = arg(z 1 ) + π ovvro la moltiplicazion di un numro complsso pr l unità immaginaria provoca una rotazion di π/

11 11 INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI 11 Esmpio 11 Calcolar modulo argomnto dl numro complsso z = ι 3 ιπ/ Sfruttando la proprità (1) abbiamo ( ) 1 arg(z) = arg 1 + ι + π 3 ( ) ( ) 1 1 ι 3 arg 1 + ι = arg = 3 4 Dunqu ( ) 3 4 = arctan = arctan( 3) = π 4 3 arg(z) = π 3 + π = π 6 Inoltr 1 z = 1 + ι 3 = 1 4 ι 3 4 = 1 Sni cosni complssi Fissato α R dalla formula di Eulro si ha: ια = cos α + ι sin α ια = cos α ι sin α Sommando sottrando qust du rlazioni si ottngono rispttivamnt: cos α = ια + ια sin α = ια ια ι Poichè abbiamo dato significato all sponnzial anch nl caso in cui α sia complsso possiamo facilmnt stndr la dfinizion di sno cosno a tutto il campo complsso nl sgunt modo Pr ogni z C: cos z = ιz + ιz sin z = ιz ιz ι

12 1 CAPITOLO 1 L INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI Con tali dfinizioni non è difficil provar ch molt proprità dll funzioni trigonomtrich, quali ad smpio l formul di addizion sottrazion l formul di duplicazion, continuano a valr L funzioni sno cosno così dfinit sono funzioni priodich di priodo π Infatti cos(z + kπ) = ι(z+kπ) + ι(z+kπ) = ιz + ιz = cos z Analoga dimostrazion val pr la funzion sno L funzioni sno cosno complssi, a diffrnza di qull rali, possono avr modulo maggior di 1 Pr smpio cos(ι) = ι(ι) + ι(ι) = + > Sni cosni iprbolici complssi Fissato t R si dfiniscono sno cosno iprbolico l funzioni cosh t = t + t sinh t = t t È natural allora stndr al campo complsso qusta dfinizion, ponndo, pr ogni z C: cosh z = z + z sinh z = z z L funzioni appna dfinit risultano ssr priodich di priodo π Infatti cosh(z + kπ) = z+kπ + (z+kπ) = z + z = cosh z

13 11 INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI 13 Tra funzioni iprbolich funzioni circolari valgono l sgunti rlazioni 1) sin(ιz) = ι(ιz) ι(ιz) ι = ι z z = ι sinh z ) cos(ιz) = ι(ιz) + ι(ιz) ι = z + z = cosh z 3) sinh(ιz) = ιz ιz 4) cosh(ιz) = ιz + ιz = ι ιz ιz ι = cos z = ι sin z Gli zri dll funzioni iprbolich Vogliamo dtrminar ora i valori z C ch annullano l funzioni iprbolich sinh z = 0 z z = 0 z = 1 z = ιkπ z = kπι Analogamnt cosh z = 0 z + z = 0 z = 1 z = ι(π+kπ) z = ι π + kπι Ossrvazion S z è un numro complsso tal ch sinh z = 0 allora dalla proprità 1) vista prcdntmnt dv ssr ι sin(ι z) = 0 sin(ι z) = 0 ciò implica ch ι z è zro dlla funzion sno Dunqu dalla dfinizion sin(z) = 0 z = kπ infatti la funzion sno è una funzion dispari Inoltr s z è un numro complsso tal ch cosh z = 0 allora dalla proprità ) dv ssr dunqu gli zri sono infatti la funzion cosno è pari cos(ι z) = 0 cos( ι z) = 0 z = π + kπ

14 14 CAPITOLO 1 L INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI Logaritmo di un numro complsso Pr r > 0 α R sappiamo ch la funzion logaritmo (ral) ha la sgunt proprità: log r α = log r + log α = log r + α log = log r + α Dfiniamo con abuso di notazion il logaritmo complsso in modo ch qusta proprità vnga consarvata Poniamo infatti pr z 0: log z = log( z ι(θ+kπ) ) = log z + ιarg(z) + ιkπ; k Z Si noti ch la funzion logaritmo così dfinita è una funzion ad infiniti valori Esponnzial con bas complssa L sponnzial complsso si dfinisc a partir dai logaritmi complssi Pr z, w C si pon: z w = w log z = w(log z +ιarg(z)+ιkπ) k Z Pr smpio ι ι = ι log ι = ι(log ι +ιarg(ι)+ιkπ) = = ι(ιπ/+ιkπ) = π/ kπ

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