CONOSCENZE. 1. La derivata di una funzione y = f (x)

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1 ESAME D STATO ESEMP D QUEST D MATEMATCA PER LA TERZA PROVA CONOSCENZE. La drivata di una funzion y f (), in un punto intrno al suo dominio, : il it, s sist d è finito, dl rapporto incrmntal pr h, f ( h) f ( ) si scriv f ' ( ) h h. l torma di D L Hopital dic ch: Sia (a,b) siano f () g () du funzioni : - continu in [a,b] drivabili in (a,b) - { } - g () (a,b) - { } - f ( ) g ( ) f () - sist (finito o infinito) il g () f () g () f () g (). l A: B: non sist C: D:. La rtta y k è un asintoto orizzontal pr la funzion y f () s : A : f () B : f () k k c C : f () k D : f () f () k. La drivata dlla funzion A: n n f () è ugual a : B: n C: n n D: n n

2 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. n n 6. La drivata dl prodotto di du funzioni D[ () g() ] f è ugual a : A: f () g() f () g () B: f () g() f () g () f C: () g() f () g () g() f () g() f () g () D: f () g () 7. Sia y f () una funzion dfinita in un intrvallo [a, b] sia un punto di tal intrvallo. Si dic ch è un punto di massimo rlativo (proprio) pr f () s: A: sist un intorno di contnuto in [a, b] tal ch si ha ch () f ( ) f B: sist un intorno di contnuto in [a, b] tal ch si ha ch () < f ( ) f C: sist un intorno di contnuto in [a, b] tal ch si ha ch () f ( ) f D: sist un intorno di contnuto in [a, b] tal ch si ha ch f () > f ( ) B 8. Una funzion f (), dfinita in un intrvallo (a, b) si dic continua nl punto c (a,b) quando: f () f (c) risulta ch c 9. Una funzion f () ha nl punto c una discontinuità di prima spci quando: in tal punto sistono finiti il it dstro il it sinistro sono fra loro divrsi.. Una funzion f () ha nl punto c una discontinuità di sconda spci quando: in tal punto uno almno di du iti dstro sinistro è infinito oppur non sist.. Una funzion f () ha nl punto c una discontinuità di trza spci quando: in tal punto sist finito il it, ma il valor di f (c) o non sist, oppur sist ma risulta divrso dal it.. l Torma dl Confronto (o di du Carabiniri) dic ch : S f (), scluso al risulta f () f() c h() g () sonotr funzioni dfinitnllo stsso intrvallo(a,b), più un puntoc di sso s (a,b) ch: h() g () g () l c g () h() l l c h () f () c

3 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag.. Qual fra l sgunti scrittur non rapprsnta una forma di indtrminazion : A: B: C : D : A. Qual fra l sgunti scrittur rapprsnta una forma di indtrminazion : A: B: C : D : C sn. l it A: B: C: D: Non sist C 6. l it A: B: C: D: Non sist A 7. l it log8 A: B: C: D: Non sist B (Vdi grafico dl logaritmo con a > a pag. 6 dlla dispnsa) 8. l it log, 7 A: B: C: D: Non sist C (Vdi grafico dl logaritmo con a < a pag. 6 dlla dispnsa) 9. l it - A: B: C: D: Non sist A (Vdi grafico dll sponnzial con a > a pag. 6 dlla dispnsa). l it,6 A: B: C: D: Non sist A (Vdi grafico dll sponnzial con a < a pag. 6 dlla dispnsa). l it sn A: B: C: D: Non sist D (La funzion continua ad oscillar fra i valori - vdi grafico a pag. 7 dlla dispnsa). l it cos A: B: C: D: Non sist D (La funzion continua ad oscillar fra i valori - vdi grafico a pag. 7 dlla dispnsa)

4 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag.. l it a - A : s è dispari B : s a > C : s < a < D : s a > D (Vdi grafico dll sponnzial con a > a pag. 6 dlla dispnsa). Dai la dfinizion di intorno complto di un punto Si chiama intorno complto di un punto (o numro ) un qualsiasi intrvallo aprto ( ) contnnt. δ δ. Dai la dfinizion di punto di accumulazion. Sia E un sottoinsim di R c R; l punto c si dic ch è un punto di accumulazion di E quando in ogni intorno di c ci sono infiniti punti di E. 6. Dai la dfinizion di f () Si dic ch la funzion f() ha pr it l infinito, al tndr di all infinito, si scriv: f () quando, in corrispondnza ad un qualsiasi intorno complto di infinito (, Μ) U (M, ), con M> sclto grand a piacr, è smpr possibil dtrminar un intorno complto di infinito H(, Ν) U (N,), tal ch pr tutti i punti dl dominio D dlla funzion d appartnnti all intorno di infinito H, i corrispondnti valori f() dlla funzion cadono nll intorno di infinito. n simboli: M > N > t.c. D > N si ha ch f() > M 7. Dai la dfinizion di f () l Si dic ch la funzion f() ha pr it il numro ral l, al tndr di all infinito, si scriv : f () l quando, in corrispondnza ad un qualsiasi intorno complto di l, sclto piccolo a piacr, è smpr possibil dtrminar un intorno complto di infinito H (, Ν) U (N, ), tal ch pr tutti i punti dl dominio D dlla funzion d appartnnti all intorno di infinito H, i corrispondnti valori f() dlla funzion cadono nll intorno di l. n simboli: ε > N > t.c. D > N si ha ch f() - l < ε 8. Dai la dfinizion di f () L c Si dic ch la funzion f() ha pr it il numro ral l, al tndr di al numro ral c, si scriv : f () l quando, in corrispondnza ad un qualsiasi intorno complto di c l, sclto piccolo a piacr, è smpr possibil dtrminar un intorno complto H dl punto c, tal ch pr tutti i punti dl dominio D dlla funzion d appartnnti a tal intorno H, scluso al più il punto c (dov la funzion può non ssr dfinita), i corrispondnti valori f() dlla funzion cadono nll intorno di l. n simboli : ε > δ > t. c. D ( c - δ,c δ) c si ha ch f() - l < ε

5 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 8. Dai la dfinizion di f () c Si dic ch la funzion f() ha pr it l infinito, al tndr di al numro ral c, si scriv : f () quando, in corrispondnza ad un qualsiasi intorno complto di infinito (, c M) U (M, ), con M> sclto grand a piacr, è smpr possibil dtrminar un intorno complto H dl punto c, tal ch pr tutti i punti dl dominio D dlla funzion d appartnnti a tal intorno H, scluso al più il punto c (dov la funzion può non ssr dfinita), i corrispondnti valori f() dlla funzion cadono nll intorno di infinito. n simboli : M > δ > t. c. D c - δ,c δ c si ha ch f() > ( ) M 9. Qual, fra l sgunti, è la dfinizion satta di f () k? [D dominio di f()] c A : ε > N > t. c. D > N si ha ch f() - k < ε B : ε > δ > t. c. D ( c - δ, c δ) c si ha ch f() - k < ε C : M > δ > t. c. D ( c - δ,c δ) c si ha ch f() > M D : M > N > t. c. D > N si ha ch f() > M B. Qual, fra l sgunti, è la dfinizion satta di f ()? [D dominio di f()] c A : ε > N > t. c. D > N si ha ch f() - k < ε B : ε > δ > t. c. D ( c - δ, c δ) c si ha ch f() - k < ε C : M > δ > t. c. D ( c - δ,c δ) c si ha ch f() > M D : M > N > t. c. D > N si ha ch f() > M C. l Dominio (o campo di Esistnza) di una funzion y f () è: L insim di valori dlla variabil indipndnt pr i quali sist il corrispondnt valor dlla variabil dipndnt y.. Una funzion y f () si dic inittiva quando: quando lmnti diffrnti dl dominio A hanno diffrnti lmnti corrispondnti y nl codominio B. n simboli :, A con si ha ch f() f(). La funzion invrsa f - dlla funzion f sist quando: la funzion f è biunivoca.. Una funzion y f () si dic biunivoca quando: la funzion y f () è sia inittiva sia surittiva. Una funzion y f () si dic surittiva quando: ogni lmnto y dll insim di arrivo B ha almno un corrispondnt nl Dominio A, cioè quando B f (A). n simboli : y B A tal ch y f()

6 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag Una funzion y f () si dic monotona in un intrvallo (a, b) quando: in tal intrvallo è crscnt, oppur dcrscnt, oppur non crscnt, oppur non dcrscnt. 7. Una funzion è: una qualsiasi lgg fra i du insimi A B, ch associa ad ogni lmnto A (variabil indipndnt o argomnto dlla funzion) uno un solo lmnto y B (variabil dipndnt), si scriv y f(). 8. Una funzion si dic priodica quando: f ( T ) f () con, T Dominio di f()

7 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 7 COMPETENZE 9. La funzion y loga ( con la bas a > ) è : A: nittiva ma non surittiva B: N inittiva n surittiva C: Surittiva ma non inittiva D: Biunivoca D. La funzion y a ( con la bas a > ) è : A: nittiva ma non surittiva B: Surittiva ma non inittiva C: N inittiva n surittiva D: Biunivoca D. La funzion y è : A: nittiva ma non surittiva B: N inittiva n surittiva C: Surittiva ma non inittiva D: Biunivoca D (è una rtta, ch è una funzion biunivoca).. La disquazion < ha pr soluzion: - A: > B: < - C: Ø D: - < < > D < ; < ; < ; ; > > > La disquazion - < ha pr soluzion: A: > B: < < C: Ø D: - < < B < < < > > > < < La funzion f () ha nl punto : - A : ha una discontinuità di a spci C : ha una discontinuità di a spci B (infatti f () ). B : ha una discontinuità di a spci D : è continua. La funzion f () ha nl punto : A : ha una discontinuità di a spci B : ha una discontinuità di a spci C : ha una discontinuità di a spci D : è continua C (infatti la funzion f () non sist pr mntr il it f () ).

8 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag Dall analisi dl grafico dlla funzion y f () sotto rapprsntata: A: f () y B: f () C: f () D: f () - - O A 7. Dall analisi dl grafico dlla funzion y f () sopra rapprsntata: A: f () B: f () f () - B C: f () D: 8. Dall analisi dl grafico dlla funzion y f () sotto rapprsntata: A: f () y B: f () f () f () C: D: B - O 9. Dall analisi dl grafico dlla funzion y f () sopra rapprsntata: A: f () B: f () f () - C f () C: C:. l dominio dlla funzion A : (, ) y è : B : { R / - 6, } C : Ø D : { R / - 6, } D (nfatti risolvndo l quazion b ± b a c, a

9 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 9 ± ( ) ± 6 8 ± si trovano gli unici punti ch non fanno part dl dominio). 8 y. l Dominio dlla funzion a fianco rapprsntata è : A: (, ) B: (, ) C: (, ) D: (, ) B - O -. La corrispondnza rapprsntata nl grafico sottostant è : A A: una funzion biunivoca. B: una funzion inittiva ma non surittiva. C: una funzion surittiva ma non inittiva D: non è una funzion. B B La corrispondnza rapprsntata nl grafico sottostant è : A B A: una funzion biunivoca.. a B: una funzion inittiva ma non surittiva C: una funzion surittiva ma non inittiva.. b D: una funzion D.. c. La corrispondnza rapprsntata nl grafico sottostant è : A B A: una funzion biunivoca. B: una funzion inittiva ma non surittiva. a C: una funzion surittiva ma non inittiva D: non è una funzion D.. b. c. La corrispondnza rapprsntata nl grafico sottostant è : A: una funzion biunivoca B: una funzion inittiva ma non surittiva C: una funzion surittiva ma non inittiva D: non è una funzion C A.... B..

10 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 6. Dall analisi dl grafico dlla funzion y f () sotto rapprsntata, la funzion ha: A: du asintoti orizzontali d un asintoto vrtical B: du asintoti vrticali d un asintoto orizzontal C: un punto di Massimo assoluto in D: pr Dominio l ntrvallo (-, ) y B - O 7. Snza ffttuar calcoli, il valor dl sgunt it - 7 A: B: C: D: B (Essndo, si saminano i gradi dl numrator dl dnominator. Avndo il dnominator un grado maggior, il it val zro). 8. Snza ffttuar calcoli, il valor dl sgunt it è : - A: B: C: D: D (Essndo, si saminano i gradi dl numrator dl dnominator. Avndo il il numrator il dnominator lo stsso grado, il it è dato dal rapporto di cofficinti dll di grado massimo, cioè ). 9. Snza ffttuar calcoli, il valor dl sgunt it è : - 7 A: B: C: D: A (Essndo, si saminano i gradi dl numrator dl dnominator. Avndo il numrator un grado maggior, il it val ). è : 6. Gli asintoti dlla funzion f () sono: 8 A : Non ha asintoti B : C : y D : C (Essndo il Dominio di f () ) - y 8 (, ) U (,, d ssndo il f() f(), la funzion ha l asintoto orizzontal y l asintoto vrtical ).

11 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 6. Data la funzion f( ), stabilisci qual fra l sgunti proposizioni è qulla corrtta: A: f () ha du asintoti vrticali uno orizzontal B: f () ha du asintoti vrticali C: f () ha du asintoti vrticali uno obliquo D: f () ha un asintoto obliquo - poiché non ha soluzioni rali, non ci sono asintoti vrticali. Essndo poi il grado dl numrator maggior di una unità risptto a a qullo dl dnominator, c è un asintoto obliquo non c è qullo orizzontal). D (Essndo il Dominio di f () ugual a (, ) 6. La funzion y ha : A: du asintoti vrticali d uno orizzontal B: un asintoto vrtical d uno orizzontal C: du asintoti vrticali uno obliquo D: du asintoti vrticali C (Essndo il Dominio di f () ugual a (-,-) (-,) U (,) U f () f () ci sono du asintoti vrticali. Essndo poi il grado dl numrator maggior di una unità risptto a qullo dl dnominator, c è un asintoto obliquo non c è qullo orizzontal). 6. Gli asintoti dlla funzion f () sono: A : Non ha asintoti B : y C : y D : y C (Essndo ; ; il Dominio di f () è (, ) U (,). Essndo poi il f () è un asintoto vrtical. Mntr ssndo il f () y è un asintoto orizzontal. 6. Qual dll sgunti drivat è qulla rrata A : D( ) B : D( sin ) sin cos C : D ( sin ) cos D : D ( ) ( ) D (nfatti D ( ) ( ) ( )

12 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 6. Qual dll sgunti drivat è qulla rrata A : D ( sn ) cos B : D( ) ( ) C : D( ) D : D ( ) B (nfatti D( ) ( ) ( ) 66. La drivata dlla funzion f () è : A: C: A (nfatti B: D: D ( ) ( ) ( ) 67. l Dominio dlla funzion a fianco rapprsntata è : A: (, 6) B: (, ) C: (, ) D: (, ) 6 B - O l Codominio dlla funzion sopra rapprsntata è : A: (, 6) B: (, ) C: (, ) D: (, ) A 69. La funzion sopra rapprsntata ha un punto di min rlativo in: A: B: C: D: B 7. La funzion sopra rapprsntata ha un punto di min assoluto in: A: B: C: D: B 7. La funzion sopra rapprsntata ha un punto di ma rlativo in: A: B: C: D: C 7. La funzion sopra rapprsntata ha un punto di ma assoluto in: A: B: C: D: A 7. Qual fra l sgunti non è una funzion continua in (, ) A: y sn B: y cos C: y D : y D (la funzion y non è continua in, mntr l funzioni sno cosno la rtta y sono continu in tutto l insim (, ) (pag. - 7 Dispnsa) ).

13 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 7. Calcola il Dominio dlla funzion y Si risolv l quazion ; ± 6 ± , U, U dnominator Dom (f) (, ) CAPACTA b ± b a c, a ( ) ± ( ) Qusti punti non fanno part dl dominio, prché annullano il 7. Calcola il Dominio dlla funzion y 8 sn La funzion sno è dfinita R. La funzion irrazional di indic pari sist quando il radicando positivo o nullo, cioè quando. Prtanto l unica disquazion da risolvr rsta la prima, cioè. Pr risolvr tal disquazion occorr, pr prima cosa risolvr l quazion ; b ± b a c ( ) ± ( ) ± ± ;, a 6 6 poi guardar i sgni dl cofficint il sgno dlla disquazion. n qusto caso il coff. è ngativo, il sgno dlla disquazion è positivo (sgni 6 6 discordi valori intrni). Prtanto è vrificata pr valori intrni all soluzioni /. Dom (f), y Calcola il Dominio dlla funzion 6 log ( ) La funzion logaritmo sist quando il suo argomnto è positivo. La funzion irrazional di indic pari sist quando il radicando positivo o nullo. Prtanto in qusto caso occorr ch sia ntramb soddisfatt l du disquazioni 6 >. Cioè occorr - 6 risolvr il sistma > Dom (f) (, ] 6 > 6 > >.

14 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 77. Calcola il Dominio dlla funzion y La funzion irrazional di indic pari sist quando il radicando positivo o nullo, cioè quando scomponndo in fattori si ha ( ) studiando il - -/ -. prodotto di sgni si ha (*) ; (*) Pr risolvr la disquazion o Occorr prima risolvr l quazion: b ± b a c, a ( ) ± ( ) ( ) poi guardar i sgni dl cofficint il sgno dlla disquazion. n qusto caso sono ntrambi positivi. Prtanto o è vrificata pr valori strni all soluzioni -/. ± 8 ± Discutndo il prodotto di sgni di du fattori o si ottin ch il loro prodotto ( ) è positivo in, U [, ]. n dfinitiva il dominio dlla funzion è l insim, U [, ]. 78. Calcola il Dominio dlla funzion ( ) log y Nlla funzion compar : a numrator, il logaritmo, prtanto il suo argomnto dv ssr positivo, cioè > ; a dnominator, la funzion irrazional di indic pari, prtanto il suo argomnto dv ssr positivo, cioè >. Ma ssndo la funzion sponnzial > R l unica disquazion da risolvr rsta la prima, cioè > ; ch da pr risultato >. n dfinitiva il dominio dlla funzion è l insim (, ). 79. Calcola il Dominio dlla funzion y 6 9 La funzion irrazional di indic pari sist quando il radicando positivo o nullo, cioè quando. Discutndo il prodotto di sgni di du trmini dlla ; frazion (dnominator ) si ha 9 > < < - - n dfinitiva il dominio dlla funzion è l insim (, ] U [, )

15 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag Calcola il Dominio dlla funzion y 6 La funzion irrazional di indic pari sist quando il radicando positivo o nullo, la funzion irrazional di indic dispari sist R, la funzion sponnzial sist R. Prtanto 6 l unica disquazion da risolvr è 6 ; 6 ; ;. Prtanto il dominio dlla funzion è l intrvallo [, ) 8. Calcola il valor dl sgunt it Quando la frazion. Prtanto il it 8. Calcola il valor dl sgunt it Quando la frazion. Prtanto il it 8. Calcola il valor dl sgunt it l it si prsnta sotto la forma indtrminata. Pr inarla saminiamo du mtodi: Mtodo Dividiamo tutti i trmini pr la di grado massimo, cioè dividiamo pr. Ma quando,,,. Prtanto il it è ugual a (il it è ugual al rapporto di cofficinti dll di grado massimo). Mtodo Applichiamo il Torma di D L Hopital, cioè driviamo sia il numrator sia il 6 dnominator, ma il it si prsnta ancora sotto la forma indtrminata. Prtanto riapplichiamo il Torma di D L Hopital 6 6. Tal it, vidntmnt, val.

16 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag Calcola il valor dl sgunt it l it si prsnta sotto la forma indtrminata. Pr inarla saminiamo du mtodi: Mtodo Dividiamo tutti i trmini pr la di grado massimo, cioè dividiamo pr 7 7. Ma quando,,,. Prtanto il it è ugual a zro. (il grado numrator è minor dl grado dl dnominator). Mtodo Applichiamo il Torma di D L Hopital, cioè driviamo sia il numrator sia il 6 dnominator, ma il it si prsnta ancora sotto la forma indtrminata. 6 6 Prtanto riapplichiamo il Torma di D L Hopital Tal it, vidntmnt, val zro Calcola il valor dl sgunt it l it si prsnta sotto la forma indtrminata. Pr inarla saminiamo du mtodi: Mtodo Dividiamo tutti i trmini pr la di grado massimo, cioè dividiamo pr 7 7. Ma quando,,,. Prtanto il it è ugual a. (il grado numrator è maggior dl grado dl dnominator). Mtodo Applichiamo il Torma di D L Hopital, cioè driviamo sia il numrator sia il dnominator 6 Prtanto riapplichiamo il Torma di D L Hopital val zro., ma il it si prsnta ancora sotto la forma indtrminata. Tal it, vidntmnt, 6

17 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag Calcola il valor dl sgunt it Quando il dnominator tnd a zro. Prtanto il it 87. Calcola il valor dl sgunt it Quando il numrator tnd a zro. Prtanto il it 88. Calcola il valor dl sgunt it l it si prsnta sotto la forma indtrminata. Mtodo Scomponiamo in fattori i trmini dlla frazion 8 ( ) ( ) ( ) (*) si può scomporr con Ruffini in ( ) ( ) Mtodo Applichiamo il Torma di D L Hopital, cioè driviamo sia il numrator sia il dnominator Calcola il valor dl sgunt it 7sn l it si prsnta sotto la forma indtrminata. sn Pr inarla sfruttiamo il it notvol 7sn 7sn 7 sn 7 9. Calcola il valor dl sgunt it log( ) l it si prsnta sotto la forma indtrminata. log( ) Pr inarla sfruttiamo il it notvol log( ) log( )

18 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag Calcola il valor dl sgunt it 8 9 l it si prsnta sotto la forma indtrminata. Pr inarla moltiplichiamo dividiamo pr il coniugato di (8 ) ( ( 9 ) (8 ) ( ) 9 ) ricordando ch 8 8 (8 ) ( ( ) ( ) si ha ( 9 ) 9 ) (8 ) ( 9 ) (8 ) (8 ) ( ) - 9. Calcola il valor dl sgunt it - - applicando D L Hopital si ha : -. sn 9. Calcola il valor dl sgunt it sn sn applicando D L Hopital si ha : cos. 9. Calcola il valor dl sgunt it sn applicando D L Hopital si ha : sn sn cos Calcola il valor dl sgunt it applicando D L Hopital si ha applicando nuovamnt D L Hopital si ha : Calcola il valor dl sgunt it log log ha ma il it può ssr scritto: - -. log con D L Hopital si

19 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag Calcola la drivata dlla funzion f () D( ). 98. Calcola la drivata dlla funzion f () sn cos log D( sn cos log ) cos ( sn ) log cos sn log 99. Calcola la drivata dlla funzion D log log (log ) f () log log log 7. Calcola la drivata dlla funzion y 7 D ( ) 6 ( ) (7 ) ( 8) ( ) 6 ( ) 8 (7 ) ( ). Calcola la drivata dlla funzion f () 7 Applicando la rgola di drivazion D n p n n p n p 7 si ha D 7 7. Calcola la drivata dlla funzion f () sn D 6 7 sn 7 sn cos 7 7. Calcola la drivata dlla funzion D 7 f () ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 6 7. Calcola la drivata dlla funzion f () tg D tg D sn cos cos cos cos ( sn ) sn cos sn cos cos. Calcola la drivata quarta dlla funzion f () sn f () cos ; f () sn ; f () cos ; f V () ( cos ) cos

20 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 6. Dtrmina gli asintoti dlla funzion y y è una funzion razional fratta. l suo Dominio è (, ) U (, ) U (, ). Essndo Essndo Essndo è un asintoto vrtical. è un asintoto vrtical.? dividndo tutti i trmini pr si ha è un asintoto orizzontal. Esistndo l asintoto orizzontal la funzion razional fratta non può avr asintoti obliqui. y 7. Dtrmina i punti di ma di min rlativi dlla funzion y La funzion è una funzion razional intra, il cui Dominio è tutto l insim R. f () ; f () pr : ; ; ± ± f () > pr > Essndo il cofficint positivo il sgno dlla disquazion positivo la disquazion è soddisfatta pr valori strni ai punti... f () > f () < f () > Prtanto - è un punto di ma rlativo, mntr è un punto di min rlativo. 8. Utilizzando il it dl rapporto incrmntal, dimostra ch D( 7) 7 f ' ( ) h f ( h) f () h h ( h) 7 ( h) ( h 7) ( h h h h h) 7 7h h 7 h h h 7h h h 7h ch una forma indtrminata dl tipo. Dividiamo tutti i trmini pr h h h 7 h 7 7.

21 Appunti di Analisi Matmatica - Mimmo Corrado oomr.virgilio.it/mimmocorrado pag. 9. Stabilisci s la funzion f () nll intrvallo [, ] vrifica l ipotsi dl torma di Roll, in caso affrmativo, calcola l ascissa di punti ov si annulla la drivata prima. f () è una funzion razional intra, continua drivabil R, quindi è continua drivabil in [, ]. f ( ) ( ) ( ) f ( ) L ipotsi dl Torma di Roll sono soddisfatt, prtanto sistrà almno un punto c (,) tal ch f (c). Calcolo f (). Calcolo f () ; ; si ottin.