Alberi di copertura minimi

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1 Albri di coprtura minimi Albro di coprtura (spanning tr) Dato un grafo G=(V, E, w) non orintato, connsso psato, un albro di coprtura di G è un sottografo X=(V, T) tal ch X è un albro (quindi connsso) T E T contin tutti i vrtici di G Albro di coprtura minimo (minimum spanning tr) Albro di coprtura T il cui pso total w X = w u,v ( u, v ) T è minimo Nota: L albro di coprtura di pso minimo non è unico

2 MST: smpio

3 MST: smpio

4 Albri di coprtura minimi Vdrmo Du algoritmi grdy Kruskal Prim pr costruir un MST L'ida è di accrscr un sottoinsim T di archi in modo tal ch vnga rispttata la sgunt condizion: T è un sottoinsim di qualch albro di connssion minimo Un arco {u, v} è dtto sicuro pr T s T {{u,v}} è ancora un sottoinsim di qualch albro di coprtura minimo.

5 Albri di coprtura minimi Pr carattrizzar gli archi sicuri dobbiamo introdurr alcun dfinizioni: 1. Un taglio (S, V-S) di un grafo non orintato G=(V, E) è una partizion di V in du sottoinsimi disgiunti. Un arco {u, v} attravrsa il taglio s u S v V S 3. Un taglio risptta un insim di archi T s nssun arco di T attravrsa il taglio. Un arco ch attravrsa un taglio è lggro s il suo pso è minimo fra i psi dgli archi ch attravrsano un taglio

6 Albri di coprtura minimi a Arco lggro ch attravrsa il taglio b c d i h g f 1 Insim T: archi in grigio Il taglio risptta T 1 S Taglio V- S

7 Albri di coprtura minimi La rgola pr riconoscr gli archi sicuri è data dal sgunt Torma 1: Sia G = (V, E) un grafo non orintato connsso sia w una funzion pso a valori rali dfinita su E. Sia T E contnuto in un qualch albro di coprtura minimo pr G sia (S, V - S) un qualunqu taglio ch risptta T Sia infin {u, v} un arco lggro ch attravrsa il taglio. Allora l arco {u, v} è sicuro pr T

8 Algoritmo di Kruskal 1. Part con tutti i vrtici nssun arco (sottografo aciclico, o forsta, ricoprnt). Ordina gli archi pr costo non dcrscnt 3. Ad ogni passo aggiung alla forsta l'arco di pso minor, purché non cri cicli - Un arco cra un ciclo quando i suoi strmi sono nlla stssa componnt connssa Kruskal(G,w) T = For v = 1 to n do MakSt(v) SortEdgs(E,w) For ach = {u,v} T do r = FindSt(u) s = FindSt(v) If r s thn Mak-St(v): cra un insim con unico T = T {} mmbro v Union (r,s) Find-St(v): rstituisc il rapprsntant dll insim contnnt v Union(u,v): unisc i du insimi ch contngono u v

9 Algoritmo di Kruskal: scuzion Kruskal(G,w) Ordina gli archi di T (usando w) For ach = {u, v} T do r = FindSt(u) s = FindSt(v) If r s thn T = T {} Union(r, s) E = { [v 1,v ], [v ], [v 3 ], [v,v 3,v 3 ], [v ], [v 3,v,v ] } r = FindSt(v 1 ) = v 1 s = FindSt(v ) = v v v 1 v v p = [ ] rank = [ ] 3 v 3

10 Algoritmo di Kruskal: scuzion Kruskal(G,w) Ordina gli archi di T (usando w) For ach = {u, v} T do r = FindSt(u) s = FindSt(v) If r s thn T = T {} Union(r, s) E = { [v 1,v ], [v ], [v 3 ], [v,v 3,v 3 ], [v ], [v 3,v,v ] } r = FindSt(v 1 ) = v 1 s = FindSt(v 5 ) = v 5 v v 1 v v p = [ ] rank = [ ] 3 v 3

11 Algoritmo di Kruskal: scuzion Kruskal(G,w) Ordina gli archi di T (usando w) For ach = {u, v} T do r = FindSt(u) s = FindSt(v) If r s thn T = T {} Union(r, s) E = { [v 1,v ], [v ], [v 3 ], [v,v 3,v 3 ], [v ], [v 3,v,v ] } r = FindSt(v ) = v 1 s = FindSt(v 5 ) = v 1 v v 1 v v p = [ ] rank = [ ] 3 v 3

12 Algoritmo di Kruskal: scuzion Kruskal(G,w) Ordina gli archi di T (usando w) For ach = {u, v} T do r = FindSt(u) s = FindSt(v) If r s thn T = T {} Union(r, s) E = { [v 1,v ], [v ], [v 3 ], [v,v 3,v 3 ], [v ], [v 3,v,v ] } r = FindSt(v 3 ) = v 3 s = FindSt(v 5 ) = v 1 v v 1 v v p = [ ] rank = [ ] 3 v 3

13 Algoritmo di Kruskal: scuzion Kruskal(G,w) Ordina gli archi di T (usando w) For ach = {u, v} T do r = FindSt(u) s = FindSt(v) If r s thn T = T {} Union(r, s) E = { [v 1,v ], [v ], [v 3 ], [v,v 3,v 3 ], [v ], [v 3,v,v ] } r = FindSt(v ) = v 1 s = FindSt(v 3 ) = v 1 v v 1 v v p = [ ] rank = [ ] 3 v 3

14 Algoritmo di Kruskal: scuzion Kruskal(G,w) Ordina gli archi di T (usando w) For ach = {u, v} T do r = FindSt(u) s = FindSt(v) If r s thn T = T {} Union(r, s) E = { [v 1,v ], [v ], [v 3 ], [v,v 3,v 3 ], [v ], [v 3,v,v ] } r = FindSt(v 1 ) = v 1 s = FindSt(v 3 ) = v 1 v v 1 v v p = [ ] rank = [ ] 3 v 3

15 Algoritmo di Kruskal: scuzion Kruskal(G,w) Ordina gli archi di T (usando w) For ach = {u, v} T do r = FindSt(u) s = FindSt(v) If r s thn T = T {} Union(r, s) E = { [v 1,v ], [v ], [v 3 ], [v,v 3,v 3 ], [v ], [v 3,v,v ] } v X = n-1 r = FindSt(v ) = v s = FindSt(v 5 ) = v 1 v 1 v v p = [ ] rank = [ ] 3 v 3

16 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

17 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

18 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

19 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

20 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

21 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

22 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

23 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

24 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

25 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

26 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

27 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

28 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

29 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

30 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

31 Kruskal: smpio scuzion b c d a h i 1 g f 1

32 Kruskal: corrttzza Basata sul torma 1

33 Kruskal: corrttzza G 1 G Sia T un albro di coprtura contnnt, con w( ) w(). S si sostituisc con si ottin un altro albro di coprtura T con w (T ) w(t). Quindi T è un albro di coprtura di costo infrior a T.

34 Kruskal: complssità Inizializzazion O(V) ordinamnto dgli m lati: O(E log E) O(E log V ) == O(E log V) Vrifica di aciclicità: O(log V) pr ogni arco (s ogni componnt implmntata con struttura ad albro) complssità total: O(E log V) La vrifica di aciclicità si può migliorar usando la comprssion di cammini, cioè sfruttando l chiamat a FindSt pr far sì ch tutti gli lmnti dlla catna puntino dirttamnt qullo rapprsntativo (radic). FindSt, MakSt Union dvono ssr implmtat com struttur dati pr insimi disgiunti (vdi Cormn). La singola FindSt rallnta, la lunghzza d dll catn divnta quasi smpr 1: O(log V) divnta O( (V)) O( ) T Kruskal = O(V) + O(E log V) + O(E log V) = O(E log V)

35 Algoritmo di Prim L algoritmo di Prim procd mantnndo in T un singolo albro L albro part da un vrtic arbitrario r (la radic) crsc fino a quando non ricopr tutti i vrtici Ad ogni passo vin aggiunto un arco lggro ch collga un vrtic in V T con un vrtic in V - V T Corrttzza dov V T è l'insim di nodi raggiunti da archi in T (V T, V - V T ) è un taglio ch risptta T (pr dfinizion) Pr il torma, gli archi lggri ch attravrsano il taglio sono sicuri

36 Algoritmo di Prim Una struttura dati pr i nodi non ancora nll'albro durant l'scuzion, i vrtici non ancora in T si trovano in una coda con priorità Q, la cui priorità è: Priorità dl nodo v: pso minimo di un arco ch collga v ad un vrtic già in V T, o + s tal arco non sist Com mantnr l'albro T Mdiant il vttor di padri p T è mantnuto implicitamnt: T = { {v, p[v]} v V - Q - {r}} Trminazion: quando la coda Q è vuota Tutti i nodi trann la radic conoscono il proprio padr

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38 Algoritmo di Prim:smpio b c d a i 1 h g f 1 a b c d i 1 h g f 1 b c d a i 1 h g f 1 b c d a i 1 h g f 1

39 Algoritmo di Prim:smpio b c d a i 1 h g f 1 b c d a i 1 h g f 1 1 b c d a i 1 h g f 1 b c d a i 1 h g f 1

40 Algoritmo di Prim:smpio b c d a i 1 h g f 1

41 Algoritmo di Prim L fficinza dll algoritmo di Prim dipnd dalla coda Q S Q vin ralizzata tramit uno hap binario: Inizializzazion: O(n) Il ciclo principal vin sguito n volt d ogni oprazion xtractmin() è O(log n), quindi O(n log n) Il ciclo intrno vin sguito O(m) volt L'oprazion dcrasky() sullo hap ch costa O(log n) Tmpo total: O(n + n log n + m log n)=o(m log n) (possibil O(m + n log n)) asintoticamnt ugual a qullo di Kruskal