ANALISI 2 ESERCITAZIONE DEL 06/12/2010 PUNTI CRITICI

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1 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 PUNTI CRITICI Un punto critico è un punto in cui la funzion è diffrnziabil il piano tangnt al grafico è orizzontal Riconosciamo qusti punti prché il gradint è il vttor nullo: f x0, y0 0,0 Pr classificar i punti critici si studiano il dtrminant dalla matric Hssiana, dt, f x trmin, (prima riga prima colonna), cioè x y S 0, 0 f x 0, 0 0 dfinita positiva il punto è un massimo local s x y f x x0, y 0 0 S invc 0 0 concludr nulla, invc, s 0 0 Hf x y, il 0 0 dt Hf x, y 0 la matric è o un minimo local s dt Hf x, y 0 il punto in qustion è un punto slla Non si può dt Hf x, y Individuar classificar i punti critici dll sgunti funzioni f x, y x y x 4y 3 dom f, la funzion è continua nl suo dominio prché è un polinomio Riscriviamo la funzion nlla forma f x y x y paraboloid di rotazion,, ch ci prmtt di riconoscr un Gradint dlla funzion: f x, y x, 4 y x 0 4 y 0 Punti critici:, 0 Matric Hssiana Hf x, y con dtrminant positivo in qualunqu punto 0 trmin, smpr ngativo Allora il punto, è un punto di massimo local Nl caso spcifico, inoltr, è un massimo assoluto: f x, y x y f, f x, y x y x dom f, la funzion è continua nl suo dominio prché è un polinomio Riscriviamo la funzion nlla forma f x y x y iprbolico Gradint dlla funzion: f x, y x, y,, ch ci prmtt di riconoscr un paraboloid

2 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 x 0 y 0 Punti critici:,0 0 Matric Hssiana Hf x, y 0 punto,0 è un punto di slla con dtrminant ngativo in qualunqu punto Allora il f x, y y x y 5y x dom f, la funzion è continua nl suo dominio prché è un polinomio 3,,4 0 f x y xy x y x y y Punti critici: x y 0 x 0 y y x y 5 0 y x y 0 5 da cui: x 0 x 0 x 3 5 y 0 y y La matric Hssiana è Hf x, y y 4 xy 4xy x 6y 5 Data la complssità dll sprssion dl dtrminant convin calcolar l singol matrici Hf 0, , dt Hf 0,0 0 x f 0,0 quindi massimo local Hf ,, dt Hf 0, 60 f 5 0, 3 x quindi minimi locali Hf , Hf 3, di slla Hf 3, Hf 3, punti di slla, Hf Hf dt 3, dt 3, 48 quindi punti, Hf Hf dt 3, dt 3, 48 quindi

3 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 4 Sia data la funzion f : dfinita da 4 4 f x, y 4x y 5x y 8x 5y 4 Si dtrminino il massimo d il minimo di f su, l strmo suprior d infrior di f su figura La funzion è dfinita su tutto il piano d è continua Scrivndo il polinomio in forma fattorizzata, f x, y x y 4x y 4, vdiamo ch la funzion si annulla lungo la circonfrnza di cntro l origin raggio lungo l lliss di cntro l origin di smiassi Inoltr vdiamo ch qualunqu rstrizion ammtt limit infinito all infinito prciò sup f la funzion non ha massimo (nlla figura si ha lo studio dl sgno dlla funzion: rosa positivo azzurro ngativo) Notiamo invc ch la funzion dv ammttr un valor minimo, ch sarà quindi anch l strmant Dovrmo crcar qusto valor studiando i punti stazionari Il gradint dlla funzion è f x, y x8x 5y 8,y5x y 5 si annulla ni punti 0,0, 5,0, 0, Sopra l origin la funzion ha sicuramnt un punto di massimo local, mntr ngli altri punti ci aiutiamo con il dtrminant hssiano Hf ,, f 5 dt Hf 0, 80 0, 0 x quindi sono di punti di minimo local con f 0,

4 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06// Hf,0, dt Hf,0 0 Da qusto risultato non possiamo concludr nulla 0 0 Ossrviamo prò ch si tratta di du punti in cui si intrscano la circonfrnza l lliss sull quali la funzion si annulla, quindi si tratta di punti di slla Possiamo concludr ch i du punti di minimo local trovati sono in raltà du minimi assoluti 5 9 inf f min f f 0, 4 5 Sia f : la funzion dfinita da 4 4 f x, y x y 3x y 3x 4y Calcolar l strmo suprior d infrior di f su Dtto x, y x, y a) Disgnar dir s è compatto b) Dir s f ammtt punti di massimo minimo su, motivandon l affrmazion c) Calcolar tali punti La funzion, dfinita su tutto il piano, è continua Notiamo ch qualunqu rstrizion dlla funzion ha limit all infinito, prciò sup f figura 4

5 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 La fattorizzazion dl polinomio ci prmtt di dtrminar gli zri dlla funzion:, f x y x y x y La funzion si annulla lungo la circonfrnza unitaria cntrata nll origin lungo l lliss di cntro l origin smiassi (figura ) La funzion assum quindi anch valori ngativi, l strmo infrior si ricava dallo studio di punti stazionari si annulla in 0,0, 0, Il gradint f x, y 4x 3 6xy 6 x,8y 3 6x y 8y 3,0 La matric hssiana è Hf x, y calcolato ni punti stazionari val 6 6 x y xy xy 4y 6x 8 il suo dtrminant Hf con dt 0,0 48 f 0,0 0 x massimo local f 0,0 dt Hf 0, 0 quindi non si può concludr nulla Sappiamo prò ch ni punti in qustion abbiamo l intrszion di du curv lungo l quali la funzion è nulla, quindi si tratta du du punti di slla 3 dt Hf,0 f 0,0 0 x con minimo local Possiamo concludr ch 3 inf f min f x, y f,0 4 L insim, il quadrato cntrato nll origin di lato, è un compatto: è chiuso prché contin tutti i suoi punti di frontira d è limitato prché contnuto, ad smpio, nlla palla di raggio cntrata nll origin B 0,0; Pr il torma di Wirstrass su qusto insim la funzion, ch è continua, ammtt un valor massimo d un valor minimo Ossrviamo ch il quadrato ha i vrtici sulla circonfrnza di cntro l origin raggio, noi sappiamo ch la funzion su qusta circonfrnza è nulla, mntr assum valori positivi all intrno dl crchio L origin, ch è un punto di massimo local, appartin a, quindi si tratta anch dl massimo assoluto su, mntr i vrtici dl quadrato sono i punti di minimo assoluto Con ciò possiamo concludr ch f x y f min f x, y f, 0 max, 0,0 5

6 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 6 Siano dati la funzion f x, y l insim x y x x D x, y y x, x 0, y 0 a) Dir pr qual motivo f ha punti di minimo massimo assoluti su D b) Dtrminar tali punti La funzion, dfinita pr A x, y x y è continua sul suo dominio, prché ottnuta com prodotto quozint di funzioni lmntari continu Inoltr l insim D è chiuso limitato, quindi pr il torma di Wirstrass la funzion ammtt un massimo d un minimo assoluti L insim D è mostrato in figura 3 figura 3 Il gradint dlla funzion, f x, y, ovunqu è dfinito, quindi la funzion non ammtt punti stazionari 3 x x x y y x x y x y x è divrso da zro Sull insim D abbiamo f x, y 0, quindi max f x, y 0 f 0, y 6 D Dobbiamo solo crcar il minimo Sui vrtici dl trapzio la funzion assum i valori f,0 f,0, mntr ovviamnt f 4 0, 0 Lungo il sgmnto da 0, da 0, a 0, f 0, 0, la funzion è idnticamnt nulla Lungo il sgmnto x a,0 abbiamo f x, x g x x, x 0,, ch si annulla pr g x x x, con drivata x : f, Lungo il sgmnto

7 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 da x,0 a,0 abbiamo f x,0 g x, x, 0, a dcrscnt Lungo il sgmnto da x x f x x g x x ch è una funzion monotona,0 abbiamo,, 0,, con drivata g x x : f, 8 Confrontando i valori individuati possiamo concludr ch min f x, y f, D x x, ch si annulla pr 7 Sia f : la funzion dfinita da 7 f x, y y x 4x 4 Dir s la funzion è infriormnt o supriormnt limitata Sia l insim x, y x y 4x 3 0 Si dtrminino i punti di minimo massimo assoluti di f su La funzion, dfinita su tutto il piano, è continua Trattandosi di un sponnzial la cui funzion all sponnt è illimitata infriormnt (ad smpio lungo y 0) supriormnt (ad smpio lungo x 0 ), abbiamo inf f 0 sup f L insim è il crchio di raggio cntrato in,0, prciò è chiuso limitato pr il torma di Wirstrass sistono massimo minimo assoluti su qusto insim (funzion continua, insim compatto) Gradint dlla funzion: y x 4x4 y x 4x4 f x, y x,y L unico punto critico è,0 d è un punto intrno a Pr idntificarn la natura dl punto critico studiamo la matric hssiana: y x 4x4 y x 4x4 x 8x 7 4y x Hf x, y dt Hf, 0 4 quindi si y x 4x4 y x 4x4 4y x y tratta di un punto di slla Il massimo il minimo dlla funzion sull insim dvono ssr ncssariamnt lungo Pr idntificar qusti punti scriviamo scriviamo la funzion in coordinat polari cntrat in sn cos cos f cos, sn La rstrizion dlla funzion,0 : cos all insim, risulta così g cos g sn con drivata prima I punti stazionari di qusta funzion sono in corrispondnza di 0 3 ; ovviamnt i du valori saranno rplicati in

8 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 06//00 In corrispondnza ai valori di trovati abbiamo g 0 g f 3,0 f,0 max f x, y 3 g g f f f x y,, min, In altrnativa a qusto mtodo avrmmo potuto studiar la funzion con gli insimi di livllo Da y x 4x 4,0 k 0 ottniamo x y log k ch ci dà iprboli cntrat in con y 0 com ass trasvrso pr 0k, l rtt y x yx pr k iprboli cntrat in,0 con x com ass trasvrso pr k L iprboli ch risultano tangnti alla circonfrnza (figura 4: in rosso x y in blu x y ) ci prmttono di individuar i valori massimi minimi Abbiamo così min f x, y f,0 f 3,0 max f x, y f, f, figura 4 8