MATEMATICA CORSO A III APPELLO 19 Settembre 2011

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1 MATEMATICA CORSO A III APPELLO 9 Sttmbr 0 Soluzioni. Calcola (Suggrimnto: x lnx = (/x) lnx ) x lnx dx x lnx dx = /x dx = [ln lnx ] = ln ln ln ln = ln ln = ln lnx. Dtrmina l sprssion analitica di una funzion continua crscnt su tutto R, avnt com insim immagin l intrvallo ( 3,+ ) passant pr il punto P (,). Dato ch la funzion da crcar è continua crscnt su tutto R con insim immagin limitato infriormnt, considriamo una funzion sponnzial crscnt dl tipo Imponndo f(x) = A x +B lim f(x) = 3 x si ottin B = 3. Imponndo il passaggio pr il punto P si ha A 3 = A = 5 quindi la funzion crcata è f(x) = 5 x 3 3. Il pin di un bancomat è costituito da una squnza di cinqu cifr (da 0 a 9). Ho dimnticato il pin, ma ricordo ch l cifr sono tutt distint ch tra l ultim tr cifr ci sono sicuramnt i numri, 3 5 (non ncssariamnt in qust ordin). Ho solo 3 tntativi a disposizion dopo il trzo rror il bancomat si blocca. Dcido di provar a digitar il pin, qual è la probabilità ch il bancomat si blocchi? Ripntndo qust sprimnto, quanti tntativi farò in mdia? Sapndo ch tra l ultim tr cifr ci sono sicuramnt i numri, 3 5, si hanno 3! = 6 possibilità pr l ultim tr cifr dl pin. Avndo già impgnato tr cifr d ssndo qull dl pin tutt distint, posso scglir la prima cifra in 0 3 = 7 modi la sconda in 7 = 6 modi; quindi la probabilità di indovinar al primo tntativo il pin è p = =

2 mntr di sbagliarlo è q = p = 5/. La probabilità di indovinar al scondo tntativo il pin è p = 5 mntr di sbagliarlo è q = p = 50/5. La probabilità di indovinar al trzo tntativo il pin è p 3 = 50 mntr di sbagliarlo è q 3 = p 3 = 49/50. La probabilità ch il pin si blocchi (3 tntativi falliti) è quindi P = q q q 3 = = 49 Indichiamo con X la variabil alatoria ch conta il numro di tntativi: X =,,3. P(X = ) = P(X = ) = 5 5 = P(X = 3) = [P(X = )+P(X = )] = 50 Il numro mdio di tntativi è allora E[X] = P(X = )+ P(X = )+3 P(X = 3) = = Sia f(x) = { k +k/x x 0 altrimnti a) Dtrminalacostantk Rinmodotalchf(x)possassrlafunziondidnsità di una variabil alatoria continua X. b) Dtrmina la funzion di ripartizion F(x) associata ad X. c) Dtrmina il valor mdio E(X). a) Pr calcolar k basta imporr ch da cui f(x)dx = [ ( k x )] x ( k ) = k = 3 b) Data la funzion di dnsità f(x) si ha F(x) = x f(t)dt, quindi 0 x < F(x) = (/3)(x /x) x x >

3 c) Il valor mdio è dato da E(X) = + xf(x)dx = 3 ( x+ ) dx = x 3 [ x +lnx ] = + 3 ln = +ln Da studi clinici risulta ch un dato farmaco ha fficacia nl 90% di casi. Pr un ultrior indagin vngono trattati con qusto farmaco 00 pazinti. a) Calcola la probabilità ch la mdia campionaria di coloro ch hanno tratto giovamnto sia suprior a b) Dtrmina un intrvallo, cntrato intorno alla mdia torica, in cui la mdia campionaria di pazinti ch hanno tratto giovamnto andrà a trovarsi con probabilità c) Quanto grand dovrbb ssr il campion affinché la mdia campionaria si discosti dalla mdia torica, in valor assoluto, pr mno di 0.0 con probabilità 0.95? Indichiamo con X i (i =,...,00) la variabil alatoria ch val s la i-sima prsona tra bnficio dal farmaco 0 s la i-sima prsona non tra bnficio. Si ha P(X i = ) = 9 0 P(X i = 0) = 0 d inoltr µ i = E(X i ) = 9 0 La mdia campionaria è la variabil alatoria σ i = Var(X i ) = P(X i = )P(X i = 0) = 3 0 M = X +X +...+X ch ha mdia µ M = µ i = 9/0 = 0.9 dviazion standard σ M = σ i / 00 = a) Standardizzando il valor 0.87 si ha P(M > 0.87) = P(M st > ) = P(M st > ) = Φ( ) = Φ() = b) Dobbiamo trovar k > 0 in modo ch P( M µ M k) = 0.95 P( k +µ M M k +µ M ) = 0.95 Standardizzando il valor k + µ M ricordando (o guardando sull tavol) ch si ottin una probabilità 0.95 con strmi si ha k +µ M µ M 0.03 Quindi l intrvallo sarà [0.84, ]. 3 =.96 k =

4 c) Dobbiamo trovar la dimnsion dl campion n in modo ch P( M n µ M 0.0) = 0.95 dov M n è la variabil alatoria mdia campionaria ch ha mdia 0.9 dviazion standard 0.3/ n. P( 0.0+µ M M n 0.0+µ M ) = 0.95 Standardizzando il valor 0.0+µ M ricordando (o guardando sull tavol) ch si ottin una probabilità 0.95 con strmi si ha 0.0+µ M µ M 0.3/ n =.96 n Studia la funzion f(x) = ln( x) 3x 6 disgna il suo grafico, dtrminando: a) insim di dfinizion; b) limiti ai bordi dll insim di dfinizion; c) sgno dlla funzion; d) monotonia d vntuali punti di massimo o minimo rlativo d assoluto. Nota ch la funzion può ssr riscritta com f(x) = 3 ln( x) x a) L argomnto dl logaritmo dv ssr positivo d il dnominator non dv annullarsi quindi possiamo concludr ch la funzion ha com insim di dfinizion b) {x R : x < } = (,) lim f(x) = 0 lim x = + x f(x) Il grafico dlla funzion ha quindi un asintoto vrtical, x =, un asintoto orizzontal, y = 0. c) La funzion è positiva in (,), ngativa in (,) si annulla pr x =. d) La drivata prima dlla funzion val si annulla s solo s f (x) = 3 ln( x) ( x) ln( x) = 0 x = La funzion è dcrscnt in (, ), mntr è crscnt in (,); in x = si ha quindi un minimo rlativo, ch rapprsnta anch il minimo assoluto dlla funzion. 4

5 Il grafico dlla funzion è il sgunt: 5