1) Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune

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1 PROBLEMA Si può pdalar agvolmnt su una bicicltta a ruot quadrat? A Nw York, al MoMath-Musum of Mathmatics si può far, in uno di padiglioni ddicati al divrtimnto matmatico (figura ). È prò ncssario ch il profilo dlla pdana su cui il lato dlla ruota può scorrr soddisfi alcuni rquisiti. In figura è riportata una rapprsntazion dlla situazion nl piano cartsiano Oy: il quadrato di lato DE = (in opportun unità di misura) di cntro C rapprsnta la ruota dlla bicicltta, il grafico dlla funzion f() rapprsnta il profilo dlla pdana. ) Sulla bas dll informazioni ricavabili dal grafico in figura, mostra, con l opportun + argomntazioni, ch la funzion: f ( ) =, R rapprsnta adguatamnt il profilo dlla pdana pr [ a ; a]; dtrmina inoltr il valor dgli strmi a a dll intrvallo. Dobbiamo stabilir ch la funzion data, nota com catnaria, ha il comportamnto dlla curva tracciata in figura. Abbiamo ch è dfinita continua in tutti i rali, la sua drivata è ' f =, ch è positiva s <, cioè s < ossia s <, quindi pr = vi è un + punto di massimo ch val f ( ) = = <,5, com ffttivamnt accad alla curva tracciata. Inoltr " + f = <, R, cioè volg la concavità vrso il basso. Dtrminiamo il valor di a. Si ha + = + = + = = ± = ln ± Quindi dovrbb ssr a ln( ), a ln( ) = + =. Proviamo ch in fftti i du numri sono opposti. ln + = ln = ln ln( ) = ln( ).

2 Pr visualizzar il profilo complto dlla pdana sulla qual la bicicltta potrà muovrsi, si affiancano vari copi dl grafico dlla funzion f() rlativo all intrvallo [ a ; a], com mostrato in figura. ) Prché la bicicltta possa procdr agvolmnt sulla pdana è ncssario ch: a sinistra a dstra di punti di non drivabilità i tratti dl grafico siano ortogonali; la lunghzza dl lato dlla ruota quadrata risulti pari alla lunghzza di una gobba, cioè dll arco di curva di quazion y = f() pr [ a; a]. Stabilisci s tali condizioni sono vrificat. I punti di non drivabilità sono ovviamnt i punti di coordinat ((k + ) a; ), con k Z. Pr calcolar l drivat sinistra dstra in ciascuno di qusti punti basta calcolar, pr smpio pr + = a, f '( a) f '( a), dato ch ovviamnt f '( a) f '( a) =. Avrmo quindi i sgunti valori: a a a a a a + f '( a) = f '( a) = = ; f ' a ( a) = =. Adsso, tnuto conto dl valor a di a avrmo: quindi f ( a) f ( a) f ' a = = = = ; f '( a) = =, ' ' =, cioè ffttivamnt l tangnti sono fra loro prpndicolari. Pr rispondr alla sconda domanda dobbiamo calcolar a a a a ( f '( ) ) d = + d = d = d = 4 a a a a a a a a a a a a a a + + = = = = = = + ) Considrando la similitudin di triangoli rttangoli ACL ALM in figura 4, ricordando il significato gomtrico dlla drivata, vrifica ch il valor dll ordinata d dl cntro dlla ruota si mantin costant durant il moto. Prtanto, al ciclista smbra di muovrsi su una suprfici piana.

3 AC CL Pr la similitudin abbiamo: = AC = AL, chiamiamo α = ALM ˆ, da cui AL AM AM AC = sc( α ) = + tan ( α ) = + ( f '( ) ) = +, D altro canto si ha + AC = d, mntr il prcdnt radical lo abbiamo già smplificato quindi ottniamo: + + d + = d =, ffttivamnt d è costant misura quanto mzza diagonal. ( ) ( ) + ln ln Anch il grafico dlla funzion: f ( ) =, ;, s rplicato vari volt, può rapprsntar il profilo di una pdana adatta a ssr prcorsa da una bicicltta con ruot molto particolari, avnti la forma di un poligono rgolar. 4) Individua tal poligono rgolar, motivando la risposta. Ragionando com in prcdnza stavolta avrmo ln( ) f '( ) = = f ' f ' ln = = = = ( ) ln mntr f ' = f ' ln = =. Quindi stavolta l du rtt tangnti formano con l ass angolo rispttivi di 5, prtanto fra di loro formranno un angolo di 8 ( + ) =, prtanto il poligono rgolar ch ha angoli intrni di tal misura è l sagono rgolar.

4 PROBLEMA Considriamo la funzion f: R R, priodica di priodo T = 4 il cui grafico, nll'intrvallo [; 4], è il sgunt: Com si vinc dalla figura, i tratti OB, BD, DE dl grafico sono sgmnti i cui strmi hanno coordinat: O (; ), B (; ), D (; ), E (4; ). ) Stabilisci in quali punti dl suo insim di dfinizion la funzion f è continua in quali è f ( ) drivabil vrifica l sistnza di limiti: lim f ( ) lim ; qualora sistano, dtrminan + + il valor. Rapprsnta inoltr, pr [; 4], i grafici dll funzioni: g() = f (), h = f t dt. Ovviamnt la funzion è continua in tutto l I.d.E. La drivabilità non c è ni punti B D, ch sono angolosi, con tangnti a sinistra dstra gli stssi rami dlla funzion. In O d E invc la funzion è drivabil. Vista la priodicità ovviamnt la non drivabilità si ha ni punti di asciss + k T + 4k, con k Z. Ovviamnt non sist lim f ( ) ( ) +, com accad pr tutt l funzioni priodich. f Mntr lim =, poiché prodotto fra una funzion limitata, dato ch f(), una + infinitsima. Considriamo la rapprsntazion analitica dlla funzion, tnndo conto ch abbiamo succssiv traslazioni dlla prima sconda bisttric: [ ] 4k 4k ;4 k + f =, k Z. Allora + 4k + 4k + ; 4k + 4k ; 4k + avrmo: g ( ) = f '( ) =, k Z, quindi il suo grafico è smplicmnt un 4k + ; 4k + altrnarsi di sgmnti lunghi di ordinata. Rapprsntiamo la funzion non solo in [; 4]:. Pr qul ch riguarda la funzion intgral h() abbiamo invc:

5 t t dt = = t ( t + ) ( + ) + 4 h( ) = f ( t) dt = ; t dt+ t+ dt = = + = ( t 4) ( 4) t dt + ( t 4) dt ;4 = + = + = [ ;] [ ] Il cui grafico è union di archi di parabol: ) Considra la funzion: s() = sin(b), con b costant ral positiva; dtrmina b in modo ch s() abbia lo stsso priodo di f(). Dimostra ch la porzion quadrata di piano OABC in figura vin suddivisa dai grafici di f() s() in parti distint dtrmina l probabilità ch un punto prso a caso all intrno dl quadrato OABC ricada in ciascuna dll parti individuat. Sappiamo ch il priodo di sin(b) è π π π, prtanto dv ssr = 4 b =. Quindi il b b rifrimnto grafico è il sgunt: La probabilità non è altri ch il rapporto dll tr ar risptto all ara dl quadrata, ch siccom è unitaria, è smplicmnt il valor dll ar. Cominciamo dal triangolo BCO ch ha vidntmnt ara / quindi probabilità rlativa,5. Calcoliamo adsso l ara dlla zona racchiusa tra la sinusoid la diagonal OB: π π 4 π sin d cos, 7% = π = =. Infin la trza ara val π π π = 6, %. π π ) Considrando ora l funzioni: f() s() discuti, anch con argomntazioni qualitativ, l variazioni (in aumnto o in diminuzion) di valori di probabilità dtrminati al punto prcdnt.

6 π f = s = sin, il rifrimnto grafico adsso è: l rlativ probabilità sono: Abbiamo: ; ( π ) π sin 4 π π d = = < ; sin d = = = > ; = > π 6 π π 4) Dtrmina infin il volum dl solido gnrato dalla rotazion attorno all ass y dlla porzion di piano comprsa tra il grafico dlla funzion h pr [; ] l'ass dll. Ruotando attorno all ass y ottniamo di cilindri cavi di raggi + d altzza h(), quindi il volum è dv = π ( + d) h( ) = π d + ( d) h( ), possiamo trascurar (d) prché infinitsimo di ordin suprior a d quindi = π = π 8 prtanto si ha: V = π d + + d = π, dv h d V h d QUESTIONARIO. Dfinito il numro E com: E = d dimostrar ch risulta: sprimr d, in trmini di d E. d = E, d Applicando il mtodo di intgrazion pr parti abbiamo: Analogamnt si ha: d = d E =. d = d E 6E = =.. Una torta di forma cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di forma smisfrica. Dimostrar ch la torta occupa mno di /5 dl volum dlla smisfra. La situazion gnral è qulla mostrata in figura:, in cui non è dtto ch il cilindro tocchi la sfra. Considriamo la szion piana prpndicolar al piano di appoggio,

7 ottnndo la figura sgunt. Ovviamnt la torta occupa il massimo spazio quando tocca la smisfra, dobbiamo quindi dtrminar il rapporto di du volumi in qusto caso Vc π rc h rc h strmo mostrar ch è minor di /5. Dobbiamo prciò trovar = =. V s π r rs s Dobbiamo quindi sprimr l tr incognit com una sola di ss. Rifriamoci alla sgunt figura: r h r h rs rs rs. Abbiamo: c c = = cos ( α ) sin( α ), dtrminiamo il massimo nl dominio (; π/). Si ha: f '( α ) = cos ( α ) sin ( α ) cos ( α ) cos ( α ) sin ( α ) =, ch si annulla, com di qusta funzion f ( α ) = sin( α ) sin ( α ) valor accttabil, solo pr sin α = pr tal valor si ha: f "( α ) = sin α sin α cos α + sin α = sin α sin α + sin α + sin α = = 7sin ( α ) 9 sin ( α ) f " sin = + < quindi è un massimo. Prtanto il massimo rapporto fra i volumi è ch f sin = = =,58 < 5. Sapndo ch: Abbiamo: lim caso avrmo: a + b 6 lim = dtrminar i valori di a b. [ ] a + b 6 / b = 8 =, quindi vuol dir ch siamo nl caso b = 8. In tal b 8 a a a a a lim = lim = lim = lim = a + + a + + a Prtanto dv ssr a =. ( 6 6) ( 6 6) 4. Pr sortggiar numri rali nll intrvallo [; ] vin ralizzato un gnrator di numri casuali ch fornisc numri distribuiti, in tal intrvallo, con dnsità di probabilità data dalla funzion:

8 f ( ) =. Qual sarà il valor mdio di numri gnrati? Qual è la probabilità ch il 4 primo numro stratto sia 4/? Qual è la probabilità ch il scondo numro stratto sia minor di? Il valor mdio è dato da f ( ) d = d = d = = La probabilità ch vnga stratto 4/ è stratto sia minor di è 4/ 4/ = 6 = 5 5 d =. la probabilità ch il scondo numro d 4 = = = = Dati i punti A ( ; ; ), B (; ; ), C (; ; ), dtrminar l quazion dlla rtta r passant pr A pr B l'quazion dl piano π prpndicolar ad r passant pr C. L quazion richista è + y z + y z = = = =, i cui numri dirttori sono (5; + 5 ; ), ch sono gli stssi dl piano prpndicolar, la cui quazion è prciò: 5 ( ) (y ) (z + ) = 5 y z =. 6. Dtrminar il numro ral α in modo ch il valor di nullo. Possiamo applicar il Torma di D L Hopital: sin lim α sia un numro ral non α > sin( ) cos ( ) sin( ) cos ( ) lim = lim = lim = lim = α α α α α = α α α α ( α ) ( α ) 6 α < 7. Dtrminar l coordinat di cntri dll sfr di raggio 6 tangnti al piano π di quazion: + y z + = nl suo punto P di coordinat (; ; ). L sfr crcat sono du hanno i cntri appartnnti alla prpndicolar al piano pr il punto P, a = t + distanza da tal punto ugual al raggio. La prpndicolar ha quazion y = t, quindi i cntri z = t + crcati hanno coordinat (t + ; t; t). Imponiamo ch la loro distanza da P sia il raggio:

9 t + + t + t + = 6 6t = 6 t = t = ±, quindi i cntri sono: (; ; ) (; ; ). 8. Un dado ha la forma di un dodcadro rgolar con l facc numrat da a. Il dado è truccato in modo ch la faccia contrassgnata dal numro si prsnti con una probabilità p doppia risptto a ciascun altra faccia. Dtrminar il valor di p in prcntual calcolar la probabilità ch in 5 lanci dl dado la faccia numro sca almno volt. Diciamo p la probabilità ch sca ciascuna dll facc divrsa da. Dato ch la faccia dv avr probabilità doppia risptto all altr dato ch alla fin la somma dll probabilità ch sca una p = p = p ' p = p ' qualunqu dll facc dv valr, abbiamo ch:. p ' + p = p ' + p ' = p ' = In prcntual è circa 5,4%. Lanciar 5 volt uno stsso dado è un vnto brnouilliano con vnti di probabilità rispttiv / /, noi vogliamo ch su 5 lanci ci siano almno succssi, dov ciò significa uscita dl. Quindi avrmo: ,% = Dimostrar ch l'quazion: tan () + + =, ha una una sola soluzion ral. Abbiamo tan () + + = > tan ( ) + ( ) + <, quindi pr il torma di sistnza dgli zri l quazion ha almno una soluzion in ( ; ). D altro canto si ha D(tan () + + ) = + + +, ch è un sprssion positiva pr ogni. Quindi la funzion f() = tan () + +, è smpr crscnt, quindi anch inittiva, prciò ssa può incontrar al massimo una volta l ass.. Data la funzion: f() = 4, vrificar ch ssa non soddisfa tutt l ipotsi dl torma di Roll nll'intrvallo [ ; ] ch comunqu sist almno un punto dll'intrvallo [ ;] in cui la drivata prima di f() si annulla. Qusto smpio contraddic il torma di Roll? Motivar la risposta in manira saurint. Pur ssndo la funzion continua in [ ; ] con f( ) =f() =, ssa non è drivabil in ( ; ); in fftti non è drivabil pr = ±, dato ch f ( ) f ' ( ) ; = ; ; [ ] [ ) ( ] 4 ; = 4 ; ;, da cui + + quindi ( f ') ( f ') ( );( f ') ( f ') = = = =. Ciononostant si ha f () = ; ma ciò non contraddic il torma di Roll prché sso è una condizion ncssaria non sufficint.

10 Commnto. Il primo problma, al di là dlla sua stranzza è obittivamnt complicato da comprndr, più ch da sguir. Gli studnti non sono abituati al linguaggio usato. Il scondo problma è più simil a compiti prcdnti, ma anch qusto è di livllo mdio-alto. I qusiti com al solito sono di varia difficoltà, ch è ingiusto poiché ai fini valutativi un qusito val quanto un altro. In ogni caso sono quasi tutti standard pura applicazion di rgol. Fa cczion solo il numro 8, soprattutto prché si potva falsamnt pnsar ch p foss /. Pr il rsto il qusito 4 riguarda argomnti ch difficilmnt vngono svolti pr mancanza di tmpo. I qusiti di gomtria dllo spazio sono di puro calcolo, l unica difficoltà consist nl fatto ch riguardano argomnti ch di solito si svolgono in quarta difficilmnt vngono riprsi s non pr srcitarsi pr l sam. I qusiti 9 sono intrssanti ma già trattati in prcdnti tornat.