Le soluzioni della prova scritta di Matematica del 27 Febbraio 2014

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1 L soluzioni dlla prova scritta di Matmatica dl 7 Fbbraio 4. Sia data la unzion a. Trova il dominio di b. Scrivi, splicitamnt pr stso non sono suicinti disnini, quali sono li intrvalli in cui è positiva qulli in cui è nativa c. Dtrmina l vntuali intrszioni con li assi d. Studia il comportamnto di ali strmi dl suo dominio, scrivndo l quazion di vntuali asintoti; iustiicar i risultati di iti. Calcola la drivata prima scrivi, splicitamnt pr stso non sono suicinti disnini, quali sono li intrvalli in cui è crscnt qulli in cui è dcrscnt, trovando l coordinat di vntuali massimi o minimi rlativi o lssi a tannt orizzontal. Calcola la drivata sconda scrivi, splicitamnt pr stso non sono suicinti disnini quali sono li intrvalli in cui è convssa qulli in cui è concava, trovando l coordinat di vntuali lssi. Disna un raico approssimativo in un sistma di ririmnto sclto opportunamnt. a Dovndo imporr ch nll sponnt dll sponnzial il dnominator sia non nullo, il dominio è dato da tutti i numri rali divrsi da. b La unzion risulta ssr prodotto di una unzion smpr positiva pr di una unzion smpr strttamnt positiva. Prtanto, considrato ch il dominio è D R {}, risulta ssr smpr positiva. c Essndo smpr strttamnt positiva, non vi possono ssr intrszioni con l ass. Inoltr poiché non appartin al dominio, non vi sono nmmno intrszioni con l ass y. d Dobbiamo risolvr i sunti iti:,,, Partiamo dal primo. Vi è una orma indtrminata / nll sponnt dll sponnzial, ch risolviamo nl modo sunt: in quanto. Analoamnt si ha: in quanto.

2 Quando al trzo it, abbiamo ch prché dato ch / tnd a -. L unico it complicato è il quarto, poiché vi è una orma indtrminata, dato ch prché. Risolviamo tal orma indtrminata, trasormandola in una orma indtrminata / applicando il torma di d l Hospital: Il risultato dl it è ancora una orma indtrminata /. Applichiamo dunqu nuovamnt il torma di d l Hospital:... dato ch / tnd a pr ch tnd a -. La rtta è dunqu un asintoto vrtical a sinistra di. Prtanto > s solo s >, cioè > -. La unzion è dunqu crscnt nll intrvallo -,, dcrscnt in -,-. Pr - vi è un minimo, la cui ordinata è. Prtanto > pr tutti li D è somma di unzioni tutt positiv, quindi la unzion è smpr convssa il raico dlla unzion rivol la concavità smpr vrso l alto

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4 . Trovar l ara comprsa tra l rtt vrticali -, d i raici dll unzioni, rapprsntati nlla iura a dstra. Nll intrvallo considrato, i raici dll du unzioni si intrscano nll oriin dli assi inatti - oppur. Nll intrvallo [-,] si ha ch, mntr nll intrvallo [,] si ha. Prtanto l ara richista è data da d d A Al in di trovar una primitiva dlla unzion, risolviamo sparatamnt utilizzando la ormula di intrazion pr parti i du intrali indiniti d d d d d d d d d Prtanto una primitiva di è: d d d Di consunza,

5 [ ] [ ] 9 4 d d A

6 . In un laboratorio vin ossrvata la crscita di una colonia di battri sottoposta ad un crto mdicinal. Si nota ch ad una prima rilvazion il numro di battri è crsciuto dl %, ad una succssiva rilvazion di un ultrior 4% risptto alla prcdnt, d inin di un ultrior 8% risptto alla sconda rilvazion. Calcola la prcntual di crscita mdia di battri cioè la prcntual di crscita ch, s applicata a ciascuna rilvazion, rstituirbb lo stsso numro inal di battri. La prcntual mdia di crscita si calcola trovando la mdia omtrica dli incrmnti nll tr rilvazioni: incrmnto mdio,,4,8,4, 44 ch corrispond ad un aumnto prcntual mdio dl 44%. Vdiamo la raion di qusta ormula com praltro ià atto a lzion. Dtto N il numro inizial di battri, dopo la prima rilvazion il numro di battri è pari a N N N. Alla sconda rilvazion sso aumnta a 4 4 N N N Inin, alla trza rilvazion si ottin il numro inal di battri rilvato N N N Ebbn, stiamo crcando qul numro p tal pr cui con un aumnto prcntual dl p% ad oni rilvazion si ottna lo stsso numro inal di battri. Raionando com in prcdnza, s i battri aumntano dl p% ad oni rilvazion, il loro numro inal sarà pari a p p p N. Poiché stiamo chidndo ch il numro inal di battri sia lo stsso, possiamo uualiar i du numri ottnuti p p p N 4 8 N ottnndo p,,4,8 da cui,,4,8 p 44.

7 4. Vnono annotat l iornat di dnza di malati in un rparto ospdaliro durant l ultima sttimana. Vi sono tr pazinti ch hanno avuto una dnza di 4 iorni, otto malati con una dnza di iorni, un malato con dnza di iorno altri si con una dnza di 6 iorni. Calcola la mdia, la mdiana la dviazion standard di iorni di dnza. Possiamo schmatizzar il tutto con una tablla dll rqunz: # malati iorni di dnza Prtanto possiamo calcolar la mdia di iorni di dnza utilizzando la ormula abbrviata dlla mdia pondrata: µ,6. 8 Approittiamo di qusta tablla dll rqunz pr calcolar la varianza, utilizzando quindi la ormula dlla varianza pondrata: σ 8 4,6 8,6,6 6 6,6, 46. La dviazion standard è dunqu data da σ,46,86. Inin la mdiana. Poiché il numro di dati 8 è un numro pari, la mdiana è data dalla mdia aritmtica di dati di posto 9, dopo avrli posti in ordin crscnt. Il dato di posto 9 è data dal numro d il dato di posto è il numro 4. Quindi la mdiana è 4 mdiana.