Equazioni differenziali ordinarie

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1 4/11/015 Equazioni diffrnziali ordinari Equazioni diffrnziali ordinari Equazioni diffrnziali dl 1 ordin a variabili sparabili, Equazioni diffrnziali linari dl 1 ordin Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari: Equazion di Brnoulli Equazion di Clairaut Problma di Cauch pr l q. diff. dl 1 ordin in forma normal, Equazioni diffrnziali linari di ordin n 1

2 4/11/015 Equazioni diffrnziali ordinari di ordin n Dfinizion Sia I R si dfinisc quazion diffrnzial ordinaria di ordin n, un quazion in cui compaiono la funzion incognita, I, l su drivat fino all ordin n: g,,,,..., n 0 Con,,..., n n g funzion ral. Equazioni diffrnziali ordinari di ordin n S g è un polinomio in cui,,,..., grado, allora l quazion si dic quazion diffrnzial linar n sono di primo l ordin dll quazion è dato dall ordin massimo di drivazion ch compar

3 4/11/015 Equazioni diffrnziali ordinari di ordin n è soluzion dll quazion diffrnzial di ordin n s, insim all su drivat soddisfa l quazion, cioè g,,,..., n 0, I Un'quazion diffrnzial è in forma normal s è splicitata risptto alla drivata di ordin massimo: n f,,,,..., n1 0, altrimnti si dic in forma non-normal Equazioni diffrnziali ordinari di ordin n Intgrar un'quazion diffrnzial significa trovar tutt l soluzioni. L'insim dll soluzioni di un'quazion diffrnzial di ordin n dipnd da n paramtri rali: l costanti c 1, c,..., c n :, c, c,..., c 1 n INTEGRLE GENERLE Fissando i paramtri c 1, c,..., c n si ottin una soluzion particolar dll'quazion diffrnzial vin chiamata INTEGRLE PRTICOLRE. Nl caso di un q. diff. dl 1 ordin: g,, 0, c 3

4 4/11/015 Equazioni diffrnziali ordinari di ordin n Nl caso di un q. diff. dl 1 ordin: g,, 0 forma non normal f,, c forma normal o splicita intgral gnral Equazioni diffrnziali ordinari di ordin n NOT Non smpr ogni soluzion dll'quazion diffrnzial data è anch un intgral particolar: ci sono casi di quazioni diffrnziali ch ammttono anch INTEGRLI SINGOLRI, cioè intgrali non ottnibili pr nssun valor dlla costant c. 4

5 4/11/015 Equazioni diffrnziali a variabili sparabili f g Con f g funzioni continu s : g è soluzion Equazioni diffrnziali a variabili sparabili S g 0, si intgra: allora si divid l quazion pr g g f, ma d d, 1 d g f d G F c, c costant 5

6 4/11/015 Equazioni diffrnziali a variabili sparabili Esmpio. Intgrar la sgunt quazion diffrnzial 1 g 1 0 d 1 arctg d c tg c Intgral gnral Equazioni diffrnziali a variabili sparabili Esmpio. Risolvr 0 è soluzion s 0: 1 1 d d c c 0 Intgral gnral Intgral singolar 6

7 4/11/015 Equazioni diffrnziali linari dl 1 ordin a b con a b funzioni continu in I. S b=0 allora a 0 si dic omogna Equazioni diffrnziali linari dl 1 ordin Torma Tutt l soluzioni dll q. diff. linar dl 1 ordin non omogna a b sono dat da b d c con primitiva di a 7

8 4/11/015 8 Dimostrazion Sia una primitiva di a, cioè Moltiplicando ntrambi i mmbri dll q. diff. pr il fattor si ha Equazioni diffrnziali linari dl 1 ordin a b a cioè b d d Intgrando mmbro a mmbro si ha Equazioni diffrnziali linari dl 1 ordin c d b c d b S b=0 allora c

9 4/11/015 9 Esmpio Intgrar la sgunt quazion diffrnzial Equazioni diffrnziali linari dl 1 ordin c d, b a c Intgral gnral Esrcizi Intgrar l sgunti quazioni diffrnziali Equazioni diffrnziali linari dl 1 ordin 0 cos arctg 1

10 4/11/015 Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Equazion di Brnoulli a b, R, con 0,1 a, b funzioni continu, α 0,1 altrimnti si ricad nll q. linari. S α>0 allora =0 è una soluzion: intgral singolar S è divrso da zro, si divid tutto pr α : α + a 1 α = b Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Equazion di Brnoulli Posto: z = 1 α Si ha: z = 1 α α sostitundo nlla q. prcdnt si ottin un quazion diffrnzial linar dl primo ordin risptto a z. z + 1 αa z = 1 αb 10

11 4/11/015 Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Esrcizio. Intgrar la sgunt q diff 0 s 0: è soluzion z z 1 1 z z, z Eq diff. linar in z d c, Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Quindi z c z c 1 Ed ssndo z 1 si ha z c c Intgral singolar Intgral gnral 11

12 4/11/015 Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Esrcizio sn Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Equazion di Clairaut g con g funzion drivabil. Si tratta di un quazion diffrnzial dl primo ordin in forma non normal. 1

13 4/11/015 Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Equazion di Clairaut Drivando risptto a primo scondo mmbro dll q. diffrnzial si ha: = + + g + g = 0 Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari 1 = 0 = c sostitundo nll quazion diff. di partnza i = c + gc ottngo una famiglia di rtt al variar di c 13

14 4/11/015 Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Equazion di Clairaut + g = 0 Posto t = dalla prcdnt si ricava: ii t = g t t = tg t + gt Tal soluzion è un INTEGRLE SINGOLRE d è l inviluppo dlla famiglia di rtt i Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Esrcizio 3 1 Si ha Equazion di Clairaut

15 4/11/015 Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari si ottin c da 0 1 c c famiglia di rtt 3 0 da ponndo t si ottin 3 t t t 4t Intgral singolar o curva inviluppo dl fascio di rtt Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Equazion di Clairaut sn La soluzion è c snc cost t cos t snt fascio di rtt Intgral singolar o curva inviluppo dl fascio di rtt 15

16 4/11/015 Equazioni diffrnziali dl 1 ordin non linari Graficamnt: 16