Calore specifico del gas perfetto di Bose

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1 Calor spcifico dl gas prftto di Bos L. P. 7 April Il calcolo dl calor spcifico di un gas prftto di Bos prsnta dgli asptti tcnici intrssanti. Dfiniamo la funion polilog g α (), pr α > < mdiant la sri g α () = = α. () Qusta funion ammtt la rapprsntaion intgral g α () = Γ(α) dx x α x, () x dov Γ(α) è la funion gamma di Eulro. Considriamo adsso un gas di Bos alla tmpratura con dnsità numrica ρ. Dfiniamo la tmpratura mdiant la rlaion ρ = λ 3 B ( ), (3) dov ( ) h / λ B () = (4) π B è la lungha d onda trmica di d Brogli. Poniamo anch ugual a la costant di Boltmann. Allora l quaion di stato dl gas a tmpratur supriori alla tmpratura di condnsaion è data da dov ζ() è la soluion dll quaion ( ) 3/ p() = g 5/(ζ()), (5) ( ) 3/ g 3/(ζ()) =. (6) D altra part l nrgia pr particlla ɛ() è data da ɛ() = 3 p() = 3 ( ) 3/ g 5/ (ζ()). (7) Qust sprssioni valgono pr > c, dov la tmpratura di condnsaion c è data da ( ) 3/ c g 3/() =. (8)

2 Si ha ( ) 3 g 3/ () = ζ R = (9) dov ζ R (α) è la funion ta di Rimann: ζ R (α) = = α. () Ottniamo così c = ( ζ R ( 3 )) /3.57. () Pr < c si ha = quindi ( ) 5/ ( ) 3/ p() = g 5/().3449, () analogamnt pr la dnsità d nrgia. Valutiamo adsso il calor spcifico pr particlla C = ɛ/. Pr > c si ha ɛ = 5 ( ) 3/ g 4 5/(ζ()) + 3 ( ) 3/ g 5/ (ζ())ζ (). (3) Si può ottnr la drivata ζ () diffrniando l quaion (6): ( ) 3 3/ ( ) 3/ g 3/(ζ()) + g 3/ (ζ())ζ () =. (4) D altra part è facil vdr ch Ottniamo così g α() = d d C() = ɛ ( = = = 5 4 = α = = α = g α (). (5) ) 3/ [ 5 ( ) 3/ g 3/(ζ()) 4 g 5/(ζ()) 9 4 [ 5 4 g 5/ (ζ()) g 3/ (ζ()) 9 4 g3/ (ζ()) ] g / (ζ()) g 3/ (ζ()) g / (ζ()) g 5/ (ζ()) g 3/ (ζ()) 9 g 3/ (ζ()) 4 g / (ζ()). (6) Nll ultimo passaggio abbiamo sfruttato la (6). Poiché g α () pr, si vd ch lim C() = 3. Pr valutar l sprssion a scondo mmbro si può usar la rapprsntaion intgral (). uttavia, pr α = / la funion g α () divrg, l intgrator può dar rror. Convin quindi strarr la divrgna nlla manira ]

3 sgunt: g α () = = = Γ(α) Γ(α) dx x α x [ x ( dx x α x + [ Γ(α) x dx x α x x x )] ]. (7) L intgrando nl scondo trmin si annulla com x α pr x (s < ) quindi l intgral è convrgnt. Possiamo quindi ottnr una rapprsntaion paramtrica dl calor spcifico dl gas di Bos pr > c. Dalla (6) ottniamo infatti in funion dlla fugacità : () = (g 3/ ()) /3, (8) mntr la (6) ci dà il calor spcifico C = ɛ/ in funion di. Possiamo quindi riportar i valori di () di C() in un grafico. Pr < c,, pr cui si ha ɛ = 3 ( ) 3/ g 3/ (), (9) quindi C() = 5 4 ( ) 3/ g 3/(). () Il grafico risultant è mostrato in figura. Qusto grafico è stato ottnuto mdiant il programma boshat.py. Il programma dà un warning in scuion (division pr ), dovuto al calcolo pr =, ma non si blocca. Si vd dalla figura ch la drivata C/ dl calor spcifico prsnta una discontinuità pr = c. Pr valutar qusta discontinuità, utiliiamo l sprssion dll g α () in funion di w = log, valida pr, cioè w : g α () = Γ( α)w α + = ( ) ζ R (α ) w. ()! Qusta sprssion vin ricavata in appndic. Si ha in particolar ( g 3/ () Γ ) ( ) 3 w / + ζ R + O (w), () g 5/ () ζ R ( 5 ) ( ) 3 ζ R w + o (w). (3) Dalla (6) ottniamo pr c, > c : ζ R ( 3 ) + Γ ( ) ( ) w 3/, (4) 3

4 . Spcific hat of th Bos gas C/B / Figura : Calor spcifico pr particlla C() dl gas prftto di Bos. L tmpratur sono misurat in unità (vdi q. (3)), il calor spcifico in unità B. La drivata di C() prsnta una discontinuità pr = c =.57. cioè, dato ch Γ( /) = π, [ ( ) ( ) ] [ 3 3/ w ζ R = ζ R(3/) π π Sostitundo nlla (3) si ottin, pr < c c, g 5/ (ζ()) ζ R ( 5 ) ( ) 3 9 ζ R 6π ( ) ] 3/ c. (5) ( ) c, (6) da cui, moltiplicando pr 3/ drivando du volt risptto a, si ottin l sprssion dlla discontinuità dlla drivata di C(): C C = 7ζ R(3/) = c. (7) + c 6π c c Notiamo ch dall sprssion () si può ottnr, sgundo [], un sprssion splicita approssimata pr C(), valida pr > c : C() [ 9ζR (5/) ζ R (3/) 3 ζ R (3/) ] [ 9ζR (5/) + 8 π 4ζ R (3/) 3 ζ R (3/) ] ( ) 3/ c 8 π [ 3 ζ + R (3/) 3ζ ] ( ) 3 R(5/) c 4 π ζ R (3/) ( ) 3/ ( ) 3 c c = , (8) ch è accurata al.3% pr tutti i valori di > c. c 4

5 A Drivaion dll sprssion () La funion polilog g α () è dfinita da g α () = = α, (9) nl raggio di convrgna dlla sri, cioè <. Vogliamo calcolar il suo comportamnto pr. Poniamo pr cui si ha w. Abbiamo allora w = log, (3) F α (w) = g α ( w ) = w = α. (3) Pr w l sponnial varia lntamnt con possiamo quindi approssimar la somma con un intgral: F α (w) Possiamo cambiar variabil, ponndo L sprssion assum la forma d α w. (3) u = w. (33) F α (w) w α du u α u. (34) Pr α < l intgral è convrgnt, val Γ( α), dov Γ è la funion gamma di Eulro. S α, ossrviamo ch w F α w = w = α = F α (w). (35) Si può quindi prndr la drivata di F α (w) un numro sufficint di volt fino ad ottnr un sponnt minor di. D altra part pr α > si ha F α () = = α = ζ R(α), (36) dov ζ R è la funion ta di Rimann. Scglindo n in modo ch < α n < ottniamo l sprssion d n F α dw n wα n du u α+n u + ζ R (α n). (37) Intgrando succssivamnt risptto a w, tnndo conto dll rlaioni (35,36), nonché dlla Γ(n + α) = Γ(α n), (38) α n 5

6 si ottin finalmnt l sprssion F α (w) w α Γ( α) + ( ) ζ R (α )w (39)! dov la somma è stsa ai valori di minori di α. In fftti, sgundo [], si può vdr ch la sri può ssr stsa a tutti i valori di, ottnndo così una rlaion satta. B Script Python boshat.py import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy import intgrat from scipy.spcial import gamma as Gamma df g(, alpha): """Bos function g(,alpha) = sum(^/^alpha,,,np.inf)""" if alpha <= : # Extract th singularity q = intgrat.quad(lambda x: x**(alpha-)*np.xp(-x)*((-np.xp(-x)) /(-*np.xp(-x))),,np.inf)[] rturn (/(-))*(-(q*)/gamma(alpha)) ls: # Us th ordinary intgral rprsntation q = intgrat.quad(lambda x: (x**(alpha-)*np.xp(-x)) /(-*np.xp(-x)),,np.inf)[] rturn *q/gamma(alpha) df tmp(): """mpratur vs. fugacity for > _c """ rturn (g(,3/)**(-/3)) df spchat(): """Spcific hat vs. fugacity for > _c """ rturn (3/4)*((5*g(,5/))/g(,3/)-(3*g(,3/))/g(,/)) df spchatcond(t): """Spcific hat vs. tmpratur for < _c """ rturn (5/4)*g(,5/)*t**(3/) # Abov _c = np.linspac(.,, 5) t = np.ros(ln()) c = np.ros(ln()) for i in rang(ln()): 6

7 t[i] = tmp([i]) c[i] = spchat([i]) # Blow _c t = np.linspac(, tmp(), 3) c = np.ros(ln(t)) for i in rang(ln(t)): c[i]=spchatcond(t[i]) # Plotting th data plt.plot(t, c, 'r-', linwidth=) plt.plot(t, c, 'r-', linwidth=) plt.xlabl(r'$/_$') plt.ylabl(r'$c/_\mathrm{b}$') plt.titl('spcific hat of th Bos gas') plt.savfig('boshat.pdf') Rifrimnti bibliografici [] Fran Y.-H. Wang, Spcific hat of an idal Bos gas abov th Bos condnsation tmpratur, Am. J. Phys (4). [] John E. Robinson, Not on th Bos-Einstin intgral function, Physical Rviw (95). 7