ANALISI MATEMATICA PROVA SCRITTA. Libri, appunti e calcolatrici non ammessi

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1 Nom, Cognom... Matricola... ANALISI MATMATICA PROA SCRITTA CORSO DI LAURA IN INGGNRIA MCCANICA A.A. 7/8 Libri, appunti calcolatrici non ammssi Prima part - Lo studnt scriva solo la risposta, dirttamnt su qusto foglio. - La sconda part vrrà corrtta sclusivamnt nl caso ch lo studnt risponda corrttamnt ad almno 5 domand su dlla prima part. - Ogni srcizio val punti, in caso di risposta corrtta. srcizio. Trovar il potnzial U dl campo vttorial consrvativo Fx, y = x sin y cos y, x cos y + sin y Ux, y = x sin y cos y srcizio. Sia fx, y = x + y + x y. Si dica quali tra i sgunti sono punti di massimo local pr f,,,,,,, srcizio. Si calcoli il limit sgunt n= [ ] lim x sin x = x + x 6 srcizio 4. Tra l sri numrich sgunti, vidnziar qull convrgnti n + n n n n n log n n= n= n= n+ n sin t t srcizio 5. Si calcoli la curvatura κ γ dlla curva γt = cos t, sin t con t [, π] κ γt = sin +4 cos t / srcizio 6. Si considri la suprfici rgolar φt, s = cos t, sin t, s. Si dia il vrsor normal ntrant al sostgno di φ nl punto di coordinat,, N φ =,, srcizio 7. Si calcoli il lavoro dl campo vttorial Fx, y, z =, cosh y sin z, sinh y cos z lungo l lica cilindrica γt = cos t, sin t, t con t [, π/] F, T γ dl = sinh Imγ srcizio 8. Sia = {x, y R π/, : y + y cos x = }, si scriva l quazion dlla rtta tangnt a nl punto y = + x π srcizio 9. Dar lo sviluppo di Taylor fino all ordin cntrato in con rsto di Pano, dlla funzion fx = log x = x + x x + ox srcizio. Si dica pr quali valori dl paramtro α R la sri sgunt è convrgnt n α sinh α > α < n α + n=

2 Sconda part Lo studnt scriva lo svolgimnto di ogni srcizio su un foglio a part. In qusta part non vrranno ritnut valid rispost corrtt, ma priv di giustificazion. srcizio 7 punti. Sia fx, y = y x + x y sia = {x, y, z : x + y 9}.. Trovar gli vntuali punti critici di f intrni ad, studiandon la natura i.. punti di minimo local, punti di massimo local, punti slla.. Dtrminar vntuali punti di massimo punti di minimo assoluti di f su, calcolando anch sup f inf f. Soluzion. Ossrviamo innanzitutto ch la funzion f è di class C su tutto R, quindi possiamo classificar gli vntuali punti critici intrni ad usando il critrio dlla matric Hssiana. Troviamo i punti critici: si tratta di trovar l coppi di punti x, y tali ch { x + y = x + y = Si ossrvi ch si tratta di un sistma linar di quazioni incognit, con matric di cofficinti [ ], invrtibil infatti il suo dtrminant è divrso da. L unica soluzion dl sistma è quindi,, ch è punto critico di f intrno ad. Ossrvando ch [ ] D f, =, ch qusta matric simmtrica è indfinita, dal momnto ch si ha ch, è punto slla. D f, = = 6 <, Pr il punto., ossrviamo ch f è continua l insim è chiuso limitato si tratta dl crchio chiuso di cntro, raggio. Possiamo quindi applicar il Torma di Wirstrass dir ch f ammtt sicuramnt massimo minimo su. Ossrviamo anch ch dal punto., i punti di massimo minimo di f non possono star all intrno di, abbiamo quindi sup f = max f = max f inf f = min f = min f. Al fin di calcolarli, utilizziamo il mtodo di moltiplicatori di Lagrang: introducndo la variabil aggiuntiva λ i.. il moltiplicator, dobbiamo quindi risolvr il sistma { fx, y = λ x + y 9 ovvro x + y = 9 x + y = λ x x + y = λ y x + y = 9. Si ossrvi ch l prim du quazioni dl sistma, formano ancora un sistma linar nll variabili x y solamnt!, possiamo riscrivrlo com + λ x + y = x + λ y = x + y = 9. Distinguiamo adsso tr casi: s λ =, la prima quazion dl sistma implica ch y =. Usando la trza quazion, si ottin x = ±, quindi troviamo du punti P =, P =,, com candidati; in modo simmtrico, s λ =, la sconda quazion dl sistma implica ch x =. Quindi usando la trza quazion, troviamo y = ±, ovvro l du coppi di punti P =, P 4 =, ;

3 Figur. I punti di massimo minimo dll srcizio. La lina trattggiata corrispond alla lina di livllo fx, y =. s λ, allora possiamo tntar di ricavar x y procdndo pr sostituzion nll prim du quazioni. Si ha quindi y = + λ x/ x λ y = x + y = 9 = y = + λ x/ x + λ x/ = x + y = 9 Analizziamo adsso la sconda quazion: ssa è vrificata pr x =, da cui sostitundo nlla prima si trovrbb anch y =. Tuttavia la coppia, non è ammissibl, prché non si trova sul vincolo ovvro + 9. Non abbiamo prò trovato tutt l soluzioni: infatti, la sconda quazion si riscriv com ch è soddisfatta anch nl caso in cui 4 λ x =, 4 = λ ovvro pr λ = ±. Sostitundo nlla prima quazion, si trova quindi y = x oppur y = x. Ci siamo quindi ridotti a risolvr i du sistmi y = x x + y = 9 Dal primo, ottniamo l soluzioni mntr dal scondo si ha P 5 = P 7 =,, P 6 = y = x x + y = 9,,,, P 8 =,. Calcoliamo adsso f in corrispondnza dgli 8 punti trovati. Si ha f, = f, = 9, f, = f, = 9 f, = f, = 8, f, = f, = 8. Abbiamo quindi ottnuto ch sup f = 8 inf f = 8, d i punti di minimo assoluto sono P 7 P 8, mntr P 5 P 6 sono i punti di minimo assoluto. Qusto conclud l srcizio.

4 4 CORSO DI LAURA IN INGGNRIA MCCANICA A.A. 7/8 srcizio 9 punti. Sia F : R R il campo vttorial dato da Fx, y, z = y, x, z. Considriamo i du sottoinsimi di R Si calcoli: il flusso di F attravrso ; il flusso di rot F attravrso S. S = {x, y, z R : z = 4 x + 4 y, z }, = {x, y, z R : x + y z 4 x + y, z }. Proof. Si ossrvi ch è suprfici chiusa, possiamo quindi usar il Torma dlla Divrgnza pr calcolar il flusso uscnt da. Si ha F, N dσx, y, z = divfx, y, z dx dy dz = dx dy dz, ovvro il flusso uscnt da è ugual al volum dll insim. Usiamo l coordinat cilindrich pr calcolar l ultimo intgral: si ha π z [ ] ϱ z dx dy dz = ϱ dϱ dϑ dz = π dz = 4 π z dz = 9 8 π. z Pr calcolar il flusso dl rotor di F attravrso S, ossrviamo ch qust ultima suprfici ha bordo. Possiamo usar allora il Torma di Stoks rot F, N dσx, y, z = F, T dl, S dov + S rapprsnta il bordo di S, orintato positivamnt risptto alla normal N. Scgliamo pr smpio la normal uscnt, allora + S è composto da du circonfrnz, una prcorsa in snso orario l altra prcorsa in snso antiorario. Possiamo paramtrizzarl tramit γ t = cos t, sin t,, t [, π] Abbiamo quindi + S + S γ t = cos π t, sin π t,, t [, π]. F, T dl = = + = π π π π Fγ t, γ t + sin t/4 cos t/4, π sin π t/ cos π t/ sin t + cos t 8 = π 4 π = π 4. z Fγ t, γ t sin t/ cos t/ π, sin π t/ cos π t/ sin π t + cos π t 4 In altrnativa, si sarbb anch potuto calcolar dirttamnt il flusso dl rotor usando la dfinizion. Infatti, si ossrvi ch rot Fx, y, z =,,. La suprfici S è data com grafico dlla funzion di du variabili fx, y = 4 x + 4 y, con x, y B = { x, y R : 4 x + y },

5 ovvro S è una suprfici cartsiana. Di consgunza, si ha S rot F, N dσx, y, z = B rot Fx, y, fx, y, ovvro il flusso coincid con l ara dll anllo B. Tal ara è data da π π 4 = π 4. f x f y dx dy = Si ossrvi ch abbiamo ottnuto lo stsso risultato di prima, ma col sgno sbagliato: qusto è dovuto al fatto ch nl scondo mtodo abbiamo orintato la normal N in modo opposto. Quindi i du mtodi conducono ffttivamnt allo stsso risultato. B dx dy, 5