Soluzioni delle Esercitazioni XI 10-14/12/2018. A. Funzioni di 2 variabili Insiemi di esistenza

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1 Soluzioni dll Esrcitazioni XI 0-4//08 A. Funzioni di variabili Insimi di sistnza Si tratta di porr la (o l) condizioni pr cui risulta dfinita la funzion f.. La funzion è f(, ) = ln( +). L unica condizion di sistnza dlla funzion f è ch si abbia + > 0 cioè < +. Si tratta dl smipiano ch sta al di sotto dlla rtta di quazion = + (rtta sclusa).. La funzion è f(,) =. L unica condizion di sistnza dlla funzion f è ch si abbia 0 cioè. Ricordando ch l quazion corrispondnt dfinisc un iprbol con rami nl primo trzo quadrant, si ha ch l soluzioni sono i punti dlla rgion ch sta tra i rami dll iprbol, cioè qulla ch contin l origin. I punti sull iprbol fanno part dl dominio di f. 3. La funzion è f(,) = ln(+ ). La condizion di sistnza di f è ch sia + > 0 cioè >. Ricordando ch l quazion corrispondnt dfinisc una parabola con ass coincidnt con l ass, vrtic in (,0) concavità rivolta vrso sinistra, si ha ch l soluzioni sono i punti dlla rgion ch sta alla dstra dlla parabola, parabola sclusa. 4. La funzion è f(,) = +( +) 4. La condizion di sistnza di f è ch sia +( +) 4 0 cioè +( +) 4. Ricordando ch l quazion corrispondnt dfinisc una circonfrnza di cntro (0,) raggio, si ha ch l soluzioni sono i punti dlla rgion ch sta al di fuori dl crchio di cntro (0, ) raggio, circonfrnza comprsa. 5. La funzion è f(,) = ln( ). La condizion di sistnza di f è ch sia 3 > 0 cioè >. Ricordando ch l quazion corrispondnt dfinisc un iprbol di cntro l origin con rami ch stanno a sinistra a dstra dll origin, si ha ch l soluzioni sono i punti dlla rgion ch non contin l origin stssa (i punti sull iprbol non fanno part dll insim). 6. La funzion è f(,) = ln( )+. L condizioni di sistnza di f sono dat dal sistma { { > 0 > cioè 0. Ricordo ch pr dcidr qual rgion soddisfa la disquazion un mtodo molto comodo è qullo di considrar un punto particolar, ad smpio l origin, vdr s soddisfa la disquazion (nl nostro caso 0 ). S la disquazion risulta vrificata la rgion è qulla in cui si trova l origin, altrimnti è l altra. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

2 Ricordo ch l quazion = dfinisc un iprbol di cntro l origin con rami ch stanno al di sopra al di sotto dll origin, mntr l quazion = dfinisc la rtta ch passa pr l origin di pndnza. Il sistma dll du disquazioni è vrificato ni punti ch soddisfano ntramb, cioè ni punti ch si trovano contmporanamnt al di sopra dlla rtta al di sopra o al di sotto di rami dll iprbol: si tratta quindi di punti ch stanno al di sopra dl ramo suprior dll iprbol (i punti ch stanno su tal ramo di iprbol non sono comprsi) La funzion è f(,) =. La condizion di sistnza di f è + 0 oltr al dnominator 0. Qui possiamo sguir du strad pr risolvr la disquazion l riporto ntramb. Possiamo dir ch la disquazion quival all union di du sistmi 3 { + 0 > 0 { + 0 < 0 cioè { > { <. Dtto a parol l insim di sistnza di f è formato dai punti ch stanno alla dstra dlla rtta (vrtical) di quazion = contmporanamnt all strno dll du rtt (orizzontali) di quazion = =, dai punti ch stanno alla sinistra dlla rtta (vrtical) di quazion = contmporanamnt tra l du rtt (orizzontali) di quazion = =. I punti dlla rtta vrtical sono comprsi nll insim, qulli dll rtt orizzontali no. Si potva anch usar una tcnica divrsa, ch consist nllo studiar il sgno di du fattori(numrator dnominator dlla frazion), riportando poi nl piano tali sgni nll vari rgioni. Così facndo si ottin la figura sotto a sinistra. Si faccia attnzion ch non è bn distribuir sgni inutilmnt (soprattutto sgni ): anzi è bn ch in ogni rgion ch vin dfinita dall quazioni rilvanti vi siano sattamnt tanti sgni quanti sono i fattori in gioco. Nl caso ch stiamo saminando i fattori sono alla fin di qusta fas ci dvono ssr sattamnt sgni in ogni rgion. Infin ribadisco ch l rgioni sono qull individuat dall quazioni lgat ai fattori: nl nostro caso quindi gli assi non dvono contribuir a crar nuov rgioni, in quanto gli assi non sono rilvanti (pr qusto motivo li ho trattggiati). A qusto punto si ossrva ch il sgno dl quozint in ogni rgion è dato dal prodotto di sgni. L rgioni ch formano il dominio di f sono qull in cui risulta un sgno + (figura sotto a dstra) La funzion è f(,) = ln ( + ). La condizion di sistnza di f è > 0 cioè ( +) > 0. Possiamo anch qui procdr in du modi divrsi: o studiar i sgni di du fattori utilizzar du sistmi. Facciamo in qusto scondo modo. 3 Faccio notar, ma non dovrbb ssr ncssario poiché la stssa cosa avvin anch con una sola variabil, la diffrnza ch c è tra la soluzioni di qusto srcizio qullo ch prcd: nl prcdnt ci sono du condizioni di sistnza, ch dvono valr contmporanamnt quindi vi è un solo sistma con qust du condizioni. In qusto caso invc la condizion di sistnza è la positività dl quozint qusta non quival alla positività di ntrambi i fattori, ma dv prvdr anch la ngatività di ntrambi. Ecco prché qui i sistmi sono du. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

3 La disquazion quival all union di du sistmi { > 0 + > 0 cioè { > 0 > { < 0 + < 0 { < 0 <. Si tratta quindi di punti ch stanno a dstra dll ass contmporanamnt al di sopra dl ramo dstro dll iprbol a sinistra dll ass contmporanamnt al di sopra dl ramo sinistro dll iprbol. I punti sull ass o sull iprbol non sono comprsi. ( ) + 9. La funzion è f(,) = ln. La condizion di sistnza di f è + > 0, con dnominator divrso da zro. Qui abbiamo smpr l du strad possibili (du sistmi o studio a part dl sgno di du fattori). Sguo la prima strada. Possiamo dir ch la disquazion quival all union di du sistmi { { + > 0 + < 0 > 0 < 0 cioè { > + < { < + >. L quazioni corrispondnti individuano una rtta (di quazion = ) la circonfrnza di cntro l origin raggio. Il dominio di f è formato dai punti ch stanno al di sopra dlla rtta contmporanamnt all intrno dlla circonfrnza qulli ch stanno al di sotto dlla rtta contmporanamnt all strno dlla circonfrnza. I punti dl bordo non sono comprsi. ( )( ) 0. La funzion è f(,) = La condizion di sistnza di f è ( )( ) Pr crti vrsi molto simil al prcdnt, possiamo dir ch la disquazion quival all union di du sistmi { cioè { { { L quazioni corrispondnti individuano una rtta (di quazion = ) l lliss di cntro l origin smiassi (rispttivamnt sull sull ). Si noti ch la rtta passa pr i punti (,0) (0,), ch sono punti dov l lliss intrsca gli assi. Il dominio di f è formato dai punti ch stanno al di sopra dlla rtta contmporanamnt all strno dll lliss qulli ch stanno al di sotto dlla rtta contmporanamnt all intrno dll lliss. I punti dl bordo sono comprsi. B. Curv di livllo Ricordo ch l curv di livllo sono l curv dl piano in cui la funzion ha un crto valor (livllo) prfissato. A. Prtti Corso di Matmatica 3 UNIVR Sd di Vicnza

4 . La curva di livllo dlla funzion f(,) = ln(+ +) si ottin ponndo Si ricava allora f(,) = cioè ln(+ +) =. + + = cioè =. Si tratta di una rtta di pndnza di altzza all origin. Il grafico è a fianco (in grigio è indicato il dominio di f).. La curva di livllo 0 di f(,) = è la curva di quazion + = 0 cioè =. + Si tratta dlla rtta bisttric dl primo trzo quadrant. Si faccia attnzion ch in raltà non si tratta di tutta la rtta, dato ch la funzion non è dfinita sulla rtta di quazion =. Quindi l origin è da scludr dalla curva di livllo 0. La curva di livllo di f è la curva di quazion = cioè = + cioè = 0. + Si tratta quindi dlla rtta di quazion = 0, cioè l ass, smpr con l sclusion dll origin. La curva di livllo di f è la curva di quazion + = cioè = + cioè = 3. Si tratta quindi dlla rtta di quazion = 3, con l sclusion dll origin. 3. La curva di livllo 0 dlla funzion f(,) = si ottin ponndo f = 0 f = f = f(,) = 0 cioè = 0 cioè =. Si tratta di un iprbol quilatra. La curva di livllo dlla funzion f si trova ponndo f(,) = cioè = cioè = cioè = 0. Si tratta di du assi cartsiani, di quazion = 0 = 0. Infin la curva di livllo dlla funzion f si trova ponndo f = f = 0 f = ց f(,) = cioè = cioè = 3. Si tratta ancora di un iprbol quilatra. La figura a fianco illustra l tr curv di livllo (in grigio è indicato il dominio dlla funzion, già trovato in prcdnza) Si ossrvi ch la curva di livllo 0 è il bordo dl dominio La curva di livllo 0 di f(,) = è la curva di quazion 3 f = 0 f = տ f = + = 0 cioè =. Si tratta di una rtta vrtical. A. Prtti Corso di Matmatica 4 UNIVR Sd di Vicnza

5 La curva di livllo di f è la curva di quazion + =. Si ricava in squnza + =, + =, =. Si tratta di una parabola con ass orizzontal. Volndo ssr rigorosi sarbb bn ossrvar ch non tutti i punti dll du curv di livllo (la rtta la parabola) sono accttabili. Infatti, ricordando qual è il dominio dlla funzion (già trovato in prcdnza), possiamo notar ch l curv trovat non sono tutt contnut nl dominio. La figura a fianco illustra la situazion, rapprsntando in grigio il dominio. Si può vdr ch dall curv di livllo sono da scludr i punti (,) (,), ch non fanno part dl dominio di f. C. Rstrizioni di una funzion ad una curva Ricordo ch far la rstrizion di una funzion ad una curva indicata significa dtrminar l sprssion dlla funzion sui punti di qulla curva.. La funzion è una forma quadratica. La curva di quazion + = 0 è una rtta si può splicitar la scrivndo =. Prtanto la rstrizion di f alla rtta si può sprimr com una funzion dlla sola ch è f(,) = g() = ( ) ( ) = +. = Si può ora far qusta smplic vrifica. Dato ch la forma quadratica si può scomporr in f(,) = ( )(+) il sgno di qusta è positivo s { > 0 + > 0 { < 0 + < 0 cioè nlla rgion in grigio La rtta su cui abbiamo considrato la rstrizion è qulla più marcata: dal grafico si vd ch la rtta attravrsa rgioni in cui f è positiva rgioni in cui f è ngativa. A confrma di qusto possiamo ossrvar ch il polinomio g() = + ha du radici distint quindi cambia sgno.. Il dominio dlla funzion f(,) = ln( + ) è un smipiano (il smipiano ch sta al di sotto dlla rtta di quazion = + ). Si può ossrvar ch la curva di quazion = 0, cioè =, è intramnt contnuta nl dominio (lo studnt lo vrifichi). La rstrizion dlla funzion f a tal rtta si può ottnr sostitundo = nll sprssion di f. Si ottin la funzion f(,) = g() = ln( +) = 0. = Si tratta quindi dlla funzion idnticamnt nulla (la funzion f quindi val 0 lungo la rtta). 3. Il dominio dlla funzion f(,) = è già stato trovato in un srcizio prcdnt. Lo studnt vrifichi ch la curva di quazion + = 0, cioè =, è intramnt contnuta nl dominio. Possiamo ottnr la rstrizion di f alla curva sostitundo = nll sprssion di f. Si ottin la funzion f(,) = g() = +. = 4. Il dominio dlla funzion f(,) = ln( + ) è la part di piano ch sta alla sinistra dlla parabola di quazion =. La curva di quazion ( ) = 0, cioè la parabola di quazion = ( ), è intramnt A. Prtti Corso di Matmatica 5 UNIVR Sd di Vicnza

6 contnuta nl dominio (lo studnt lo vrifichi). La rstrizion di f alla curva si può ottnr sostitundo = ( ) nll sprssion di f. Si ottin la funzion f(,) = g() = ln ( +( ) 4 ). =( ) 5. Lascio pr srcizio disgnar il dominio di f(,) = + vrificar ch la curva di quazion + = 0, ch si può scrivr com =, non è intramnt contnuta nl dominio. La rstrizion di f alla curva si può ottnr (dov sist) sostitundo = nll sprssion di f. Si ottin la funzion (qusta volta funzion di ) f(,) = g() = ( ) + = 3 +. = Si noti ch ci si accorg ch la curva non sta tutta nl dominio di f in quanto il polinomio 3 + può divntar ngativo pr alcuni valori di. 4 Si noti ch sarbb stato possibil anch sprimr in funzion di, ma la cosa ra più complicata, dato ch sarbb stato ncssario distingur du casi. 6. Dopo avr ossrvato ch la funzion è dfinita in tutti i punti ad cczion dll origin, la rstrizion dlla funzion f(,) = + all ass si ottin ponndo = 0. Si ha f(,) = g() = 0. =0 La rstrizion di f all ass si ottin ponndo = 0 si ha f(,) = h() = 0. =0 Infin la rstrizion di f all rtt di quazion = m si ottngono ponndo appunto = m. Si ha f(,) = k() = m =m +(m) = m (+m ) = m +m. 5 Da notar ch lungo tutt qust rtt la funzion è costant ch qusta costant dipnd dalla pndnza dlla rtta. 7. Pr ciascuna dll curv scriviamo la rstrizion di f. (a) La rstrizion alla rtta di quazion = è data da f = f(,) = = + = =. Il limit nll origin all infinito dlla rstrizion è ovviamnt, dato ch la funzion è costant lungo la bisttric. (b) La rstrizion in gnral all rtt pr l origin va fatta considrando ch l rtt di quazion = m sono tutt qust rtt ad cczion dlla rtta vrtical, ch ha quazion = 0. Quindi sull rtt di quazion = m abbiamo f = f(,) = =m +m = +m mntr sull ass abbiamo f = f(0,) = 0. =0 La funzion è dunqu costant lungo l rtt pr l origin il valor dlla costant dipnd dalla pndnza dlla rtta. Anch qui il limit nll origin all infinito dlla rstrizion è ovviamnt il valor dlla costant +m 0 lungo l ass. 4 Basta ossrvar ch il limit pr + di 3 + è. 5 Si noti ch la smplificazion final (dividr sopra sotto pr ) si può far s 0, ma qusto è crtamnt vro prché nssuna dll rtt di quazion = m coincid con l ass. A. Prtti Corso di Matmatica 6 UNIVR Sd di Vicnza

7 (c) La rstrizion sulla parabola di quazion = è data da f = = f(, ) = + 4 = +. Il limit nll origin di tal rstrizion è mntr all infinito, cioè pr ±, è lim 0 lim ± + =, + = 0. (d) La rstrizion sulla parabola di quazion = è data da f = = f(,) = = +. Il limit nll origin di tal rstrizion è mntr all infinito è lim 0 lim ± + = 0, + =. 8. La condizion di sistnza dlla funzion f è ch sia cioè (+), si tratta quindi dlla rgion dl piano ch sta al di sopra dlla parabola di quazion = (+), inclusi i punti ch stanno sulla parabola. Il dominio è raffigurato qui a fianco in grigio. Nlla figura è indicata con un tratto grosso la rtta r di quazion + = 0, cioè =, la bisttric dl scondo quarto quadrant. Pr dimostrar ch la rtta è compltamnt contnuta nl dominio possiamo provar ch la rtta è tangnt alla parabola. Dato ch la pndnza dlla rtta è, è sufficint vrificar ch la drivata dlla funzion () = (+) nll origin valga. Si ha () = quindi in fftti (0) =. L ultima domanda chid di scrivr la rstrizion di f all rtta r. Si ha f = f = f(, ) = + =. r = Ch la rtta sia intramnt contnuta nl dominio di f è confrmato dal fatto ch l sprssion ottnuta dlla rstrizion è dfinita pr ogni valor di. 9. Entrambi gli argomnti di logaritmi dvono ssr positivi quindi l condizioni di sistnza sono dat dal sistma { > 0 > 0 quivalnt a { < <. La prima disquazion dfinisc la rgion aprta di piano comprsa tra l du rtt di quazion = =. La sconda dfinisc la rgion aprta di piano a sinistra dlla parabola di quazion < ( ). L intrszion dll du rgioni porta alla rgion aprta indicata in grigio nlla figura qui a fianco. La curva di livllo 0 di f si trova ponndo la funzion ugual a 0. La funzion si annulla s solo s almno uno di du fattori si annulla cioè s solo s ln ( ) = 0 ln ( ) = 0. A. Prtti Corso di Matmatica 7 UNIVR Sd di Vicnza

8 Qust quivalgono a = = ossia = 0 =. La prima dfinisc la part dll ass contnuta nl dominio di f la sconda la part dlla parabola di quazion = ugualmnt contnuta nl dominio. Qusta parabola si ottin traslando a sinistra di la parabola ch dfinisc la frontira dl dominio. L insim di qusti punti è indicato con tratto grosso nlla figura. D. Drivat parziali In qusti srcizi si tratta di calcolar l drivat parziali in un punto, usando la dfinizion, cioè il limit dl rapporto incrmntal (parzial). Si può utilizzar indiffrntmnt una dll du form possibili (qulla con variabil (o ) o qulla con variabil h).. Il valor dlla funzion f(,) = nl punto (,) è f(,) =. Quindi Nlla forma con variabil h si ha f(,) f(,) (,) = lim = lim = f(,) f(,) (,) = lim = lim + + = lim ( ) =. f(+h,) f(,) +h (,) = lim = lim = h 0 h h 0 h f(,+h) f(,) (+h) h+h (,) = lim = lim = lim = lim( +h) =. h 0 h h 0 h h 0 h h 0. Il valor dlla funzion f(,) = + nl punto (0,) è f(0,) =. Quindi f(,) f(0,) + (0,) = lim = lim = lim = (limit notvol) Nlla forma con variabil h si ha f(0,) f(0,) + (0,) = lim = lim =. f(h,) f(0,) + h h (0,) = lim = lim = lim = h 0 h h 0 h h 0 h f(0,+h) f(0,) +h+ (0,) = lim = lim =. h 0 h h 0 h In qusti srcizi si tratta di calcolar l drivat parziali in un punto, usando la dfinizion, cioè il limit dl rapporto incrmntal (parzial). Si può utilizzar indiffrntmnt una dll du form possibili (qulla con variabil (o ) o qulla con variabil h). 3. Il valor dlla funzion f(,) = ln nl punto (,) è f(,) = 0. Quindi f(,) f(,) 0 (,) = lim = lim = 0 f(,) f(,) 4ln (,) = lim = lim = Ci si può ricondurr ad un limit notvol, ponndo = t (da cui = +t): ln lim = lim ln( +t) =. t 0 t A. Prtti Corso di Matmatica 8 UNIVR Sd di Vicnza

9 Nlla forma con variabil h si ha f(+h,) f(,) (+h) 0 0 (,) = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h f(,+h) f(,) 4ln(+h) 0 (,) = lim = lim = 4. 7 h 0 h h 0 h 4. Il valor dlla funzion f(,) = nl punto (,) è f(,) =. Quindi Nlla forma con variabil h si ha f(,) f(,) (,) = lim = lim = lim ( ) () = lim = f(,) f(,) (,) = lim = lim =. f(+h,) f(,) +h (,) = lim = lim h = lim = h 0 h h 0 h h 0 h(+h) f(,+h) f(,) +h (,) = lim = lim =. h 0 h h 0 h In qusti srcizi si tratta di calcolar l drivat parziali usando l rgol di drivazion. 5. Con la funzion f(,) = + si ha 6. Con la funzion f(,) = ( +)ln si ha 7. Con la funzion f(,) = ln(+ln) si ha ( ) (+) (,) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) (+) () ++ (,) = ( ) = ( ) = ( ). (,) = ln+( +) (,) = ln. 8. Con la funzion f(,) = + si ha (,) = +ln (,) = +ln. (,) = + (,) = +. 7 Com si vd, nlla forma con variabil h in qusto caso si ha dirttamnt il limit notvol, mntr nlla forma con variabil pr arrivar al limit notvol occorrva un cambio di variabil. A. Prtti Corso di Matmatica 9 UNIVR Sd di Vicnza

10 9. Con la funzion f(,) = / si ha (,) = / + / (,) = / ( ). 0. Con la funzion f(,) = / si ha. Con la funzion f(,) = +ln +ln (,) = / + /( ) = / / (,) = / + / = / + /. si ha. Con la funzion f(,) = (+ln) si ha (,) = ( +ln) (+ln) ( +ln) (,) = ( +ln) (+ln) ( +ln). (,) = (+ln) (,) = (+ln) + (+ln). 3. Con la funzion f(,) = si ha + (,) = (+ ) (,) = + (+ ). 4. Con la funzion f(,) = + si ha (,) = (+ ) 5. Con la funzion f(,) = + + (,) = + (+ ). si ha (,) = ( ) (+ + ) + + (,) = (+ + ) +. A. Prtti Corso di Matmatica 0 UNIVR Sd di Vicnza

11 6. Con la funzion f(,) = ln +ln si ha 7. Con la funzion f(,) = α β si ha 8. Con la funzion f(,) = α + β si ha (,) = ln +ln ( ln + ) ( ) (,) = ln +ln +ln. (,) = αα β (,) = βα β. (,) = α + β αα (,) = α + β ββ. E. Gradint gradint scondo. Il gradint dlla funzion f(,) = ln è Il gradint scondo (o matric Hssiana) è. Il gradint dlla funzion f(,,z) = z è Il gradint scondo (o matric Hssiana) è 3. Il gradint dlla funzion f(,,z) = z è Il gradint scondo è f(,) = f(,) = f(,,z) = ( ln, ). ( 0 ). ( ) z,z,. f(,,z) = 0 z z 0. 0 f(,,z) = ( z, z, z). f(,,z) = 0 z z z 0 z. z z z 4. Il gradint dlla funzion f(,) = è ( ) f(,) = +, = Il gradint scondo è ( ) f(,) = (+)+ (+)+ + = ( (+), ). ( ) (+) (+) (+) 3. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

12 F. Sgno di una funzion. Studiamo il sgno dlla funzion f(,) = ponndo > 0 cioè ( ) > 0. Qusta quival ai du sistmi { > 0 > 0 { < 0 < 0 cioè { > 0 < { < 0 >. Il primo sistma ha soluzioni, dat dai punti ch stanno al di sopra dll ass nllo stsso tmpo al di sotto dlla parabola di quazion =. Il scondo sistma non ha soluzioni. La rgion è rapprsntata qui sotto. Gli assi sono rapprsntati, com solitamnt si fa, con tratto continuo. Faccio ossrvar prò ch i punti sull ass non fanno part dll insim.. Studiamo il sgno dlla funzion f(,) = ( )( ) ponndo ( )( ) > 0. Qusta quival ai du sistmi { > 0 > 0 { < 0 < 0 cioè { < < { > >. Entrambi i sistmi hanno soluzioni. La rgion è rapprsntata qui sotto. 3. Studiamo il sgno dlla funzion f(,) = 3 ponndo 3 > 0 cioè ( )(+) > 0. Trattandosi di tr fattori possiamo studiar sparatamnt il sgno di ciascuno, riportar i sgni in un grafico poi oprar il prodotto di sgni. Si tnga conto ch il primo fattor è positivo nl primo quarto quadrant, il scondo è positivo al di sotto dlla rtta di quazion = d il trzo è positivo al di sopra dlla rtta di quazion =. Si ottin qualcosa di simil alla figura qui sotto a sinistra, dov l trn di sgni forniscono nll ordin il sgno di primo, scondo trzo fattor Nlla figura a dstra sono invc vidnziat in grigio l rgioni in cui la funzion risulta positiva. Notar ch i punti sull ass non fanno part dll insim. 4. Studiamo il sgno dlla funzion f(,) = + 3 ponndo + 3 > 0 cioè (+ ) > 0. A. Prtti Corso di Matmatica UNIVR Sd di Vicnza

13 Studiamo anch in qusto caso sparatamnt il sgno di tr fattori. Il primo fattor è positivo nl primo quarto quadrant, il scondo è positivo nl primo scondo quadrant d il trzo è positivo alla dstra dlla parabola di quazion =. Si ottin qualcosa di simil alla figura qui sotto a sinistra Nlla figura a dstra sono marcat in grigio l rgioni in cui la funzion risulta positiva. Notar ch i punti sugli assi non fanno part dll insim. A. Prtti Corso di Matmatica 3 UNIVR Sd di Vicnza