Funzioni Continue. se (e solo se) 0
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- Taddeo Manca
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1 : A R R A ' Funzioni Continu La unzion si dic continua in ( ( s ( solo s A N sguono tr proprità ainché ( sia continua in :. Dvono sistr initi il it dstro sinistro di ( in. Tali iti dvono ssr uguali tra loro. Essi dvono ssr anch uguali a ( Es. Pr quali valori dl paramtro a la sgunt unzion è continua su tutto R? ( a a ( ( pr pr ( ( è continua su tutto R pr a=- Oss. Pr l unzioni continu il calcolo dl it si traduc in una smplic sostituzion
2 Funzioni Continu sin( ( a pr pr ( ( Es. Pr quali valori dl paramtro a la sgunt unzion è continua su tutto R? ( è continua su tutto R pr a= Es. Pr quali valori dl paramtro a la sgunt unzion è continua su tutto R? sin( ( a b pr pr ( è continua su tutto R pr b= pr ogni valor di a ral
3 Discontinuità / Si hanno tr possibili casi in cui una unzion non sia continua:. Esistono it dstro sinistro in sono uguali tra loro ma NON sono uguali a ( (oppur ( non sist. In qusto caso si dic ch la discontinuità in è una DISCONTINUITA ELIMINABILE ( o di III SPECIE. pr pr ( Es.. è punto di DISCONTINUITA di I SPECIE (o discontinuità a salto s il it dstro sinistro di ( sistono initi ma sono divrsi tra loro ( ( ( ( ( pr pr ( Es.
4 Discontinuità /. è punto di DISCONTINUITA di SPECIE s il it dstro o sinistro di ( sist ininito oppur non sist ( non sist Es. ( Es. ( sin Es. ( tan(
5 Continuità Funzioni Elmntari D. Una unzion ( è continua in un sottoinsim I di R s è continua in ogni punto dll insim I. (I dv ssr contnuto nll insim di dinizion dlla unzion Funzioni Linari, Funzion quadrato : Continu su R n Polinomi: Continui su R n an Modulo di : continua su R y a y Funzion omograica (iprbol: discontinuità di spci pr =-d/c y m q y a n... a a y a c b d b c Funzioni Potnza: continua sull insim di sistnza Funzion Esponnzial: continua su R a y y a Funzion Logaritmica: continua pr > y log a ( Funzioni trigonomtrich y y y sin( cos( tan( Continua su R Continua su R Discontinuità di spci in π/+k π 5
6 Torma di Wirstrass Torma (di Wirstrass. S una unzion (:AR è continua su un sottoinsim I di A chiuso itato allora possid (almno un punto di massimo (almno un punto di minimo in I. La condizion di continuità su un insim chiuso itato è suicint ma non ncssaria. Esistono unzioni ch NON soddisano all ipotsi dl torma ma soddisano gualmnt alla tsi, oppur ch NON la soddisano. M M m m a, b a,b Discontinua (in un punto su un insim chiuso. : ppur ammtt massimo minimo Discontinua (in un punto su un insim aprto : ppur ammtt massimo minimo 6
7 Torma di Darbou Continua su un insim aprto : non ammtt massimo minimo a,b Torma (di Darbou. S una unzion (:AR è continua su un intrvallo I di A chiuso itato allora in tal intrvallo assum tutti i valori (almno una volta comprsi tra il massimo d il minimo. La condizion di continuità su un intrvallo chiuso itato è suicint ma non ncssaria. Esistono unzioni ch NON soddisano all ipotsi dl torma ma soddisano gualmnt alla tsi oppur ch NON la soddisano. N.B. Si parla di Intrvallo chiuso itato non di insim. N.B. Il massimo d il minimo sono qulli assicurati dal torma di Wirstrass. 7
8 M Torma di Darbou Discontinua (in un punto su un intrvallo chiuso itato : ppur assum tutti i valori tra massimo minimo m M a,b Discontinua (in un punto su un intrvallo chiuso itato : NON assum tutti i valori tra massimo minimo (ascia m a,b 8
9 Torma di Darbou M Continua sull union di du intrvalli chiusi itati : NON assum tutti i valori tra massimo minimo (ascia m a,b c,d 9
10 Torma dgli Zri Mtodo di Biszion Torma (dgli Zri. S una unzion (:AR è continua su un intrvallo [a,b] di A chiuso itato soddisa alla condizion (a*(b< allora sist (almno un punto c appartnnt all intrvallo (a,b tal ch (c=. Mtodo di Biszion. Il mtodo di biszion costituisc un mtodo di approssimazion numrica dlla soluzion di una quazion dl tipo (=. Nota. In gnral è mglio stabilir s nll intrvallo dato la soluzion è unica [ciò può ssr atto considrando, ad smpio, la monotonia dlla unzion]. E un mtodo itrativo. Ecco com unziona :. Si dtrmina l intrvallo ch contin la soluzion dll quazion (= attravrso il torma dgli zri. Sia sso [, ].. Dato l intrvallo [, ], si calcola la mdia di : =( + /. Si valuta qual sottointrvallo [, ] o [, ] contin la soluzion vriicando la condizion ( *( < oppur ( *( <. Poi si ritra il calcolo. L ampizza dll intrvallo sclto costituisc l rror dll approssimazion.
11 Mtodo di Biszion (=ln(+ è continua in [/,] (=> ; (,5~-.9 <. Pr il torma dgli zri sist allora un punto c:.5<c< pr cui (c=. Tal valor è anch l unica soluzion dll quazion ln(=- (vdi conronto graico. (=ln(+ (=ln( g(=-
12 Risoluzion approssimata: Mtodo di Biszion (=ln(+..5; (.5.95 (.75 ( ;.75 ( ( ( ; ( ;.65
13 Risoluzion approssimata: Mtodo di Biszion (=ln(+. Error ( ( (,5,5 -,95,75,68,5,5 -,95,75,68,65,5996,5,5 -,95,65,5996,565 -,86,65,565 -,86,65,5996,5975,75,5,565 -,86,5975,75,5785,6,565,565 -,86,5785,6,57,87,78,565 -,86,57,87,5666 -,,96,5666 -,,57,87,56859,58,95,5666 -,,56859,58,5678,66,977,5666 -,,5678,66, ,69
14 Es. ln(+= oppur ln(+> Conronto Graico ln( y ln( y y y ln(=- ammtt un unica soluzion : < < ~ L insim di soluzion dlla disquazion è allora: S R :
15 Limiti : Somma L unzioni lmntari sono continu (dov sono dinit S compongo l unzioni lmntari con oprazioni lmntari ottngo unzioni continu. Il calcolo dl it allora non prsnta diicoltà. basta sostituir. ( ln ( ln 6ln( ln arcsin( / arcsin(/ Da qui in poi g saranno du unzioni dinit in A, con punto di accumulazion di A ( i iti si assumono tutti sistnti. 6 SOMMA ( g( ( g( (si ricordi l aritmtizzazion parzial dl simbolo R Ecczion: Forma di indcision 5
16 Limiti : Somma Ecczion: Forma di indcision Forma indcision(indtrminata: signiica ch il risultato non è prvdibil a priori. ( k k 6
17 Limiti : Prodotto PRODOTTO ( g( ( g( (si ricordi l aritmtizzazion parzial dl simbolo ln( ln( log ( Poiché: ln( Poiché: ln( log ( ln( Poiché: ln( 7
18 Limiti : Prodotto Ecczion: Forma di indcision k k k 8
19 9 Limiti : Rapporto RAPPORTO ( s ( Ecczion: Form di indcision k k ( s ( ( ( ( ( g g Salvo cczion
20 Limiti : Funzioni Razionali Funzioni Razionali Fratt ( ± : orma /
21 Limiti : Funzioni Razionali Funzioni Razionali Fratt ( : orma / ( ( ( ( ( ( ( ( Non è una orma di indcision
22 Limiti : Potnza POTENZA g ( ( ( Attnzion: orma ( non è di indcision g( S / i du iti prcdnti sono uguali. Nota Non sono diniti!! ln( ln(
23 Limiti : Potnza Attnzion: orma ( non è di indcision ( ln Nota Non sono diniti
24 Limiti : Potnza Form indtrminat Ecczion: Form di indcision Anch ( / : / a ( / a a a a a a / a a
25 5 Limiti : Potnza Form indtrminat Ecczion: Form di indcision / a a a a /
26 Limiti : Potnza Form indtrminat Ecczion: Form di indcision p p / 6
27 Limiti : Potnza Form indtrminat Ecczion: Form di indcision ln p ln pln.. pln p(ln( ln p ln p ln p ln 7
28 Form di indcision: riassunto Addizion Moltiplicazion Rapporto Potnza 8
29 Idntità Esponnzial ( ln( ( p(ln(( : ( ( ln( ( ln(p(( Dominio ( 9
30 Ininitsimi d Ininiti D. Una unzion si dic Ininita pr s ( solo s: ( D. Una unzion si dic Ininitsima pr s ( solo s: ( D. Dat, g ininit pr ; si dic Ininita pr di ordin n risptto a g( s ( solo s: ( g( n k inito D. Dat, g ininitsim pr ; si dic Ininitsima pr di ordin n risptto a g( s ( solo s: ( g( n k inito
31 Ininitsimi d Ininiti Es. Pr + si prnd com ririmnto g(= Il polinomio a numrator (^+^+è ininito di grado risptto a Es. Pr si prnd com ririmnto g(= Il polinomio a numrator (^+^è ininitsimo di grado risptto a
32 Ininiti di ordin Suprior (Inrior Dat du unzion ( g( ininit pr D. ( si dic Ininita di ordin suprior risptto a g( pr s ( solo s: ( g( D. ( si dic Ininita di ordin inrior risptto a g( pr s ( solo s: ( g( D. ( si dic Ininita dllo stsso ordin risptto a g( pr s ( solo s: ( g( k inito S k=, ( si dic ASINTOTICA risptto a g( pr ~ g( ( ( D. ( si dic Ininita non conrontabil risptto a g( pr s ( solo s: ( non sist g(
33 Grarchia Ordin Ininiti Pr + l sgunti unzioni sono ognuna ininita di ordin suprior risptto a qull ch stanno a dstra (o di ordin inrior risptto a qull ch stanno a sinistra Es. a b a, d c log ( b c c, d, ln( Torma S F( è ininita di ordin suprior a ( pr allora (+F( è asintotica a F(X. In più s G( è ininita di ordin suprior a g( pr, g(+g( è asintotica a G( : ( F( g( G( F( G( Nota: Il passaggio alla unzion asintotica non cambia il valor dl it.
34 Grarchia Ordin Ininiti Es. ln( ln( ln( / ln ln( Comportamnto dl logaritmo a + com unzion ininita : ln( y ln y y y ln( y y ln( y
35 Grarchia Ininiti : graici Intrszioni (pr ln( ln( (?,* ln( ln( (pr ln( (* ln( ln( Poiché il logaritmo è una unzion continua: 5
36 Grarchia Ininiti : graici (pr R Pr > ln( Cr graico S Pr < Biszion con intrvallo inizial [-;-/]: Cr graico S={= } 6
37 Ininitsimi di ordin Suprior (Inrior Dat du unzion ( g( ininitsim pr D. ( si dic Ininitsima di ordin suprior risptto a g( pr s ( solo s: ( g( D. ( si dic Ininitsima di ordin inrior risptto a g( pr s ( solo s: ( g( D. ( si dic Ininitsima dllo stsso ordin risptto a g( pr s ( solo s: ( g( k inito S k=, ( si dic ASINTOTICA risptto a g( pr ~ g( ( D. ( si dic Ininitsima non conrontabil risptto a g( pr s ( solo s: ( g( non sist ( 7
38 Grarchia Ordin Ininitsimi Pr + l sgunti unzioni sono ognuna ininitsima di ordin suprior risptto a qull ch stanno a dstra (o di ordin inrior risptto a qull ch stanno a sinistra a b log ( d c Torma S ( è ininitsima di ordin inrior a F( pr allora (+F( è asintotica a (. In più s g( è ininitsima di ordin inrior a G( pr g(+g( è asintotica a g( : ( F( g( G( ( g( Nota: Il passaggio alla unzion asintotica non cambia il valor dl it. 8
39 Grarchia Ordin Ininitsimi Es. / ln( ln( ln( Nota ln( pr È ininitsimo di ordin inrior a 9
40 Calcolo Limiti Funzioni Razionali Pr a + (- un polinomio è asintotico al suo trmin di grado massimo Pr un polinomio è asintotico al suo trmin di grado minimo ( ~ ~
41 Calcolo Limiti Funzioni Razionali Più in gnral, Zri contmporani di numrator dnominator ch originano la orma indtrminata / vanno risolti applicando il torma di Ruini, cioè attorizzando i polinomi smpliicando i trmini comuni o mdiant rgol di attorizzazion di polinomi. ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
42 Calcolo Limiti Funzioni Irrazionali Si utilizza un procdimnto simil alla razionalizzazion, ch utilizza l rgol sui prodotti notvoli ( ( ( b a b a b a Rgola algbrica:
43 Calcolo Limiti Funzioni Irrazionali ( ( b a b ab a b a Rgola algbrica: ( ( (
44 Asintoti Obliqui Data dinita in un intorno di + (- tal ch: ( D. Pr + (- la rtta y=m+q è ASINTOTO OBLIQUO pr la unzion ( s ( solo s : ( ( ( m q Torma. Pr + (- la rtta y=m+q è ASINTOTO OBLIQUO pr la unzion ( s ( solo s : m ( ( sist inito q ( [ (-m] sist inito
45 5 Asintoti Obliqui Es.: ( ( m ( ( q y=+ è asintoto a +. Si dimostra analogamnt ch lo è anch a - ( Nota: ttuando la division di polinomi ottniamo pr ( (
46 6 Asintoti Obliqui Es.: ( Es.: ( a y a y - a y
47 Es.: ( ln Ricrca Asintoti / Dominio: Simmtria: unzion pari ( ( ( ( Sgno: ln ( ( 7
48 Ricrca Asintoti / ( ( Es.: Limiti alla rontira dl dominio: ( ln ( ( Non sistono asintoti orizzontali ( ( ( ( = asintoto vrtical =- asintoto vrtical m ( ln( Non sistono asintoti obliqui ( 8
49 Ricrca Asintoti / ( ( 9
50 Es.: ( p Ricrca Asintoti / 5
51 Limiti Notvoli sin( cos( sin( ~ cos( ~ Es. sin(5 sin( 5 5 cos( sin ( tan( sin( cos( tan( ~ tan( sin( tan ( 5
52 5 Dduzion Limiti Notvoli Da sin( cos( cos( ( cos cos( cos( cos( cos( sin( ( sin ~ cos( ~ cos(
53 5 Dduzion Limiti Notvoli bis 9 ( ( ( sin cos( sin( sin( cos( sin( tan( sin( cos( cos( cos( cos( sin(
54 Da Dduzion Limiti Notvoli log a( log log a ( ln( a a ( log a( ~ ln( ~ ln( a a y ( y a ln( a y log a y log ( a a ~ ln( a a ~ ln( a ~ ~ 5
55 log ( log Limiti Notvoli ln( a a a Es. log a( ~ ln( ~ ln( a ln ( ln( ln( a ln( a a ~ ln( a ln ( ~ Es. sin( ln( 55
56 56 Limiti Notvoli Es. ~ ~ Posso considrar anch:
57 57 Dduzion Limiti Notvoli ~ y ( ( ln( ( ln(( ln( y y y ( ( (
58 Dduzion Limiti Notvoli bis y ln( y ln( y ln( y ln( y ln( ( y / ln( y y / y y y ~ 58
59 Limiti Notvoli: riassunto / sin( sin( ~ cos( tan( cos( ~ tan( ~ log ( log ln( a a a log a( ~ ln( ~ ln( a 59
60 Limiti Notvoli: riassunto / a ln( a a ~ ln( a a ~ ln( a ~ ~ ~ 6
61 Limiti Dducibili da Limiti Notvoli Valgono ancora i iti notvoli d i passaggi all asintotico s al posto di ( mttiamo una qualsiasi unzion ininitsima ε(, purché la sostituzion avvnga in modo cornt. sin( ( ~ ( cos( ( ~ ( log a ( ( ( ~ ln( a ( a ~ ( ln( a ( ( ( ~ ( 6
62 6 Limiti Dducibili da Limiti Notvoli : smpi / Es. ln ln cos( ln Es. sin(/ cos( sin Es. cos( ln( cos( Es. ln sin sin Oppur cos( cos( sin Oppur / / ln( cos( Oppur ln ln( sin( sin sin
63 6 Limiti Dducibili da Limiti Notvoli : smpi / Es. 9 ( ln( sin sin Es. ln ln sin ln( Oppur ln ln sin( ln( ln( sin ln( Oppur 9 ( sin( ln( / ( ln( sin
64 Sostituzion di variabil ni iti y y y y ln( y y ln( y y cos( y y cos( y y y sin( y y 6
65 Sostituzion di variabil ni iti arcsn( y arcsn( sn(y y y sn( y arctan( y arctan( y tan( y y tan( y 65
66 NOTA Limiti Particolari Forma di indcision ln( ln( p( ln( NOTA p(ln p( ln( ln( Non è una orma di indcision 66
67 Limiti Particolari Forma di indcision p p ln ln NOTA ln Forma di indcision p ln y p y y ln y 67
68 Limiti Particolari ln( ln( p ln( ln( Ininitsimi di ordin suprior corrtto utilizzo dll unzioni asintotich tg( sn( sn( cos( cos( cos( cos( 68
69 Limiti Particolari Utilizzo dlla continuità dll unzioni invrtibili: S è continua : ( g( S è continua d invrtibil: l ( ln g( ln( l ln ln( ln( ln( l l 69
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