Unità Didattica N 27. Teoremi sulle funzioni derivabili

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1 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili ) Trma di Rll 3) Trma di Lagrang 4) I trmi di D L'Hpital l rm indtrminat 5) Ininiti d ininitsimi 6) Dirnzial di una unzin sua intrprtazin gmtrica

2 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili S la unzin () é : Trma di Rll ) cntinua in un intrvall limitat chius [a,b] ) drivabil in un intrvall limitat aprt ]a,b[ 3) assum valri uguali agli strmi dll'intrvall, allra sist almn un punt ] ab ; [ pr il qual risulta : ( ) In simbli abbiam : ( + h) [ a, b] ( ) sist inita ], [ Th { ] a b [ h Hp a b (a) (b) ESEMPI, : ' Stabilir ni sgunti casi, s la unzin ( ), nll'intrvall accant indicat, vriica l iptsi dl trma di Rll, d in cas armativ calclar i crrispndnti punti di Rll. [, ] ) ( ) ) ], [ è cntinua [, ] 3) in quant risulta : ( ), + La unzin prpsta, piché vriica sl du dll tr iptsi dl trma di Rll, nn ammtt nll'intrvall [, ] alcun punt in cui si annulla la drivata prima. Qust signiica ch la unzin prpsta nn ammtt alcun punt di Rll. ( ) 3 [, ] ) ( ) ) è cntinua [, ] 3) nn è drivabil nl punt y - è drivabil ], [ ( ) nn è drivabil ngli strmi dll'intrvall [, ] in quant risulta : ( ) 4 33 ( ) ( punt di Rll ) Inatti il trma di Rll richid la drivabilità sltant all'intrn dll'intrvall [ ab, ], ma nn agli strmi, dv la unzin può nn ssr drivabil. Trma di Rll Pagina di 4

3 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili 3 π 5 Prvar la validità dl trma di Rll pr la unzin ln sin nll'intrvall, π 6 6 π π 5 5 ( a) ln sin ln ln, ( b) π ln sin π ln ln π 5 ( a) ( b), ( ) è cntinua in, π 6 6, ( ) è cntinua in π 5, π 6 6 quindi ( ) è ivi drivabil. E' csi prvata la validità dl trma di Rll. Il trma di Rll ha la sgunt intrprtazin gmtrica : << S risultan uguali l rdinat di punti A[a,(a)] B[b,(b)] dl graic dlla unzin () cntinua in [a,b], s tal graic è dtat di tangnt in gni punt ]a,b[, allra sist almn un punt P ; dll'arc di curva AB distint da A da B, in cui la tangnt è parallla all ' ass dll asciss ( tangnt rizzntal ). >> Pr smplicità di spsizin pssiam chiamar punti di Rll i punti ] a, b[ ch vriican l iptsi dl trma di Rll. Qust ci cnsnt di armar ch la rtta tangnt al graic dlla unzin ƒ in un punt di Rll è parallla all'ass dll asciss. y M A ( b) a B m a b Intrprtazin gmtrica dl trma di Rll Trma di Rll Pagina 3 di 4

4 4 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili Trma di Lagrang S la unzin () è : ) cntinua in tutti i punti di un intrvall limitat chius [a,b] ) drivabil in tutti i punti intrni dll ' intrvall ]a,b[ allra sist almn un punt ]a,b[ tal ch sia : (b) - (a) b - a ciè ( b) ( a) ( b a) In simbli abbiam : ( + ) [, ] h a b h Hp sist inita a b ], [ Th ] a,b[ : ( a) b b a ( ) DIMOSTRAZIONE Cnsidr la unzin ausiliaria g csi dinita : ( a ) a g ( ) ( a ) b a La unzin g vriica l iptsi dl trma di Rll in quant : ) è cntinua [ a, b] ) è drivabil ] a, b[ 3) assum valri uguali agli strmi dll'intrvall [, ] ab in quant risulta ga gb. Quindi pr il trma di Rll ] a, b[: g ( ), g ( b) ( a), g ( ) ( ) g ( a) b b a b cn a b a ( a) b ], [ ( ) a b a a ( a) b a Trma di Lagrang Pagina 4 di 4

5 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili 5 Il trma di Lagrang ha la sgunt intrprtazin gmtrica : << S il diagramma dlla unzin (), cntinua [ a, b], ammtt tangnt in gni punt di ascissa ]a,b[, allra sist almn un punt P [,( )] dll'arc di curva AB distint dai punti A[a,(a)] B[b,(b)] nl qual la tangnt risulta parallla alla crda AB >> S chiamiam punti di Lagrang i punti ] a, b[ ch vriican l iptsi dl trma di Lagrang, allra la sua intrprtazin gmtrica può ssr sintticamnt rmulata armand ch la rtta tangnt al graic dlla unzin ƒ in un punt di Lagrang è parallla alla rtta AB. Inatti : ( a) m tg b α AB b a, m ( ) t ( a) b b a, m m t // AB AB t y t B P γ t y α A α a α α b Intrprtazin gmtrica dl trma di Lagrang OSSERVAZIONE Il trma di Lagrang può ssr scritt nlla sgunt rma : ( b) ( a) ( b a) ( ) cn a < < b ciè l'incrmnt di una unzin drivabil in un intrvall limitat chius è ugual al prdtt dll'incrmnt dlla variabil indipndnt pr la drivata dlla unzin in un pprtun punt intrn all'intrvall. Trma di Lagrang Pagina 5 di 4

6 6 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili << Prvar la validità dl trma di Lagrang pr la unzin ( ) è cntinua nll'intrvall limitat chius [,], ln nll'intrvall [,] >>. è cntinua nll'intrvall limitat chius [,] quindi ( ) è ivi drivabil. Abbiam csì dimstrat la validità dl trma di Lagrang. S vgliam trvar i punti di Lagrang dbbiam applicar la sgunt rmula : ( ) ( a) b, a ln ln,,. Stabilir ni sgunti casi s la unzin ( ), nll'intrvall a ianc indicat, vriica l iptsi di Lagrang, d in cas armativ calclar i crrispndnti punti di Lagrang. ) [, ] ( ) è cntinua [,] 36 ( ) è drivabil ] 36, ] La unzin prpsta vriica l iptsi dl trma di Lagrang. ( 6) 9, ( 3), 6, ( ) ( a) b a, , 9 ) + 4, [, ], prtant vriica l iptsi dl trma di Lagrang. Risulta : ( ), () 3,, ( ) è cntinua drivabil in [ ], 3 3,, Trma di Lagrang Pagina 6 di 4

7 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili 7 Crllari dl trma di Lagrang COROLLARIO N S la unzin () è cntinua in un intrvall limitat chius [a,b] d ha drivata prima nulla in tutti i punti intrni ad [a,b], allra ssa è cstant in tutt l'intrvall [a,b]. Hp + h [ a, b] h + h ] a, b[ h h { cstan t [ a, b] Th DIMOSTRAZIONE a b Pr il trma di Lagrang, applicat alla unzin ( ) nll'intrvall [, ] pss scrivr : a a [ a, b]. Piché ( ) ttniam : ( a) [ a, b] a cn [ a, b], cstan t [ a, b] COROLLARIO N Du unzini () g() drivabili d avnti la stssa drivata prima in tutti i punti intrni all'intrvall limitat chius [a,b] diriscn ra lr pr una cstant additiva. Hp { g a b { g cstan t [ a, b] ], [ Th DIMOSTRAZIONE d g ] a, b[ Cnsidr la unzin ausiliaria d g, Pr il crllari N avrm : d cstan t [ a, b] Crllari dl Trma di Lagrang Pagina 7 di 4

8 8 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili COROLLARIO N 3 S () è cntinua nll'intrvall limitat chius [ ab, ], drivabil nll ' intrvall limitat d aprt ]a,b[, s è > [ ( dcrscnt ) in [a,b]. ( + ) [, ] h a b h Hp sist inita a b > < a b Sian d ], [ [ ] ], [ < ] a b Th DIMOSTRAZIONE > du punti qualsiasi dll'intrvall [ ab, ]. ], [, allra è strttamnt crscnt > >, [, ] < >, [, ] pr a b [ pr a b ] a b Pr il trma di Lagrang, applicat alla unzin ( ) nll'intrvall [ ] > ( ) > ( ) ( ) cn ], [,,pssiam scrivr : > ( ) > ( ) pr > La unzin ( ) è strttamnt crscnt in [ ] < ( ) < < ( ) ( ), quindi anch in [ ab, ]. < pr > La unzin ( ) è strttamnt dcrscnt in [, ] quindi anch in [ ab, ]. Il crllari nn è invrtibil, in quant ( ) può ssr strttamnt crscnt ( dcrscnt ) in [ ab, ] d avr drivata prima nulla in qualch punt intrn ad [ ab, ]. La unzin 3 è strttamnt crscnt nl punt dv risulta. Crllari dl Trma di Lagrang Pagina 8 di 4

9 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili 9 Trma di Cauchy dgli incrmnti initi S () g() sn du unzini ) cntinu nll ' intrvall limitat chius [a,b] ) drivabili nll ' intrvall limitat aprt ]a,b[ 3) s risulta g ] a, b[ allra sist almn un punt ] a, b[ in crrispndnza dl qual risulta : ( a) ga gb Il trma di Cauchy prnd anch il nm di trma dgli accrscimnti initi in quant, s l du unzini vriican l iptsi dl trma di Cauchy, allra il rapprt di lr incrmnti è ugual al crrispndnt rapprt dll drivat dll du unzini in un, più punti particlari di ] ab, [. In rma ancra più cmpatta pssiam armar ch tal trma, dtt dgli incrmnti initi, può sprimrsi dicnd ch, s l du unzini vriican l iptsi dl trma di Cauchy, il rapprt tra gli incrmnti dll unzini è ugual al rapprt tra l rispttiv drivat calclat in un pprtun punt intrn all'intrvall. ' g' DIMOSTRAZIONE Cnsidriam la unzin ausiliaria Φ ( a) ( a) [ g ga ] ga gb La unzin Φ( ) vriica tutt l iptsi dl trma di Rll, in quant ssa : ) è cntinua in [ ab, ] ) è drivabil in ] ab, [ 3) risulta : Φ( a) Φ( b) Esist, allra, pr il trma di Rll, almn un punt Φ Pr g ( a) ga gb Φ ( ) g ( ), Φ ( ) ( ) ( a) ga gb si ttin il trma di Lagrang. ' g' ] a, b[ pr il qual risulta : ( a) ga g gb La unzin g è strttamnt mntna ( ciè strttamnt crscnt strttamnt dcrscnt) in [ ab, ] quindi risultrà ga gb Trma di Cauchy Pagina 9 di 4

10 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili Trmi di D L'Hspital Sian ( ) g du unzini cntinu nl punt. S risulta g ( ) abbiam : g S risulta ( ) g ( ) abbiam : g g S invc abbiam g ( ) g assum la rma indtrminata allra il. g Tal indtrminazin può ssr liminata mdiant particlari artiici, s si vriican crt cndizini, applicand un di du trmi di D L'Hspital. Prim trma di D L'Hspital S () g() sn du unzini cntinu null in un punt, s tali unzini sn drivabili in un intrn dl punt, sclus al più il punt anch il g risulta : g ' g', cn g, s sist il La rgla ra cnsidrata si stnd anch al cas in cui la variabil tnd all'ininit. Scnd trma di D L ' Hspital S () g() sn du unzini ininit in un punt ', sist g', ciè s g, s tali unzini sn drivabili in un intrn dl punt, sclus al più il punt cn g ( ), s sist il ', sist anch il g' g ' g' g risulta :, I trmi di D L'Hspital Pagina di 4

11 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili I du trmi di D L ' Hspital sprimn dll cndizini suicinti ma nn ncssari. Qust signiica ch s sist il ' g' sist anch il limit g ma nn vicvrsa. S l unzini () g() sn drivabili più vlt, s l iptsi di du trmi di D L ' Hspital sn sddisatt, il prcdimnt pr la dtrminazin di limiti ch si prsntan stt una dll du sgunti rm indtrminat divrs vlt,prcisamnt in al calcl dl limit. I du trmi di D L'Hspital sn validi tant pr init, quant pr può ssr riptut ininit. I du trmi di D L'Hspital pssn ssr sinttizzati nlla sgunt rgla di D L'Hspital: S ( ) g sn du unzini drivabili tndnti simultanamnt a zr ad ininit pr ( cn init ininit ), s il rapprt dll lr drivat ha un limit ( init ininit), allra anch il rapprt dll unzini ha un limit qust limit è ugual al limit dl rapprt dll drivat : g ( ) g I du trmi di D L'Hspital,applicati in manira pprtuna,pssn ssr utili anch pr calclar limiti ch si prsntan in una dll sgunti rm indtrminat +,,,, Basta avr l ' accrtzza di sguir prima dl calcl dl limit una pprtuna trasrmazin capac di ricndurr il limit prpst alla rma indtrminata Pr calclar un limit ch si prsnta nlla rma indtrminata basta applicar la sgunt trasrmazin : g g g Cn tal trasrmazin il limit prpst assum una dll du rm indtrminat :,. I trmi di D L'Hspital Pagina di 4

12 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili Pr calclar un limit ch si prsnta nlla rma indtrminata + basta applicar la sgunt trasrmazin : g g g g g g g ln ln g g L ' artiici capac di liminar la rma indtrminata va sclt cas pr cas. L rm indtrminat,, si incntran quand dbbiam calclar g [ ] ( ) limiti dl tip : in una dll tr sgunti iptsi : ) g ) g 3) g ln Tali limiti si calclan ricrdand ch : Quindi, il limit prcdnt assum la sgunt rma : [ ] g ln g Il limit prsnt nll'spnnt vin calclat applicand pprtunamnt un di du trmi di D L'Hspital. Inatti, tnnd prsnt ch è pssibil scambiar l'prazin di limit cn qulla di lgaritm, pssiam ricndurr l tr rm indtrminat,, prima alla rma indtrminata succssivamnt alla rma alla rma. E S E M P I ( ) tg + + tg sin cs tg cs ( + tg ) cs + ( + ) tg tg sin I trmi di D L'Hspital Pagina di 4

13 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili 3 ESEMPI ( ) , In qust cas,applicand riptutamnt la rgla di d L'Hspital,nn riusciam ad liminar la rma indtrminata. Il limit va calclat nlla sgunt manira : ESEMPI ( + ) ct g tg tg cs tg + cs cs sin cs + sin cs cs + ESEMPI ( ) 3 ln + + ln ESEMPI ( ) k ln k ln, k tg π k π I trmi di D L'Hspital Pagina 3 di 4

14 4 Unità Didattica N 7 Trmi sull unzini drivabili ESEMPI ( ) + sin k ln k sin ln + ln + sin + cs sin sin tg + k ESEMPI [( + ) ] + tg k ln k tg ln tg ln ln ct g ctg + + sin + sin sin +, k I trmi di D L'Hspital Pagina 4 di 4