a ), la (34) diventa: Senza perdita di generalità si può omettere il valore assoluto e quindi la soluzione generale dell equazione omogenea è:
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- Elisa Farina
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1 Appunti dlla lzin dl Prf. Stfan D Marchi dl 9/0/6 a cura dl Prf. Frnand D Angl. Equazini diffrnziali linari dl prim rdin. Un quazin diffrnzial linar dl prim rdin si scriv:, () a + b, I I R cn b a, funzini cntinu in I. La sluzin dlla () sarà una funzin C ( I ) Il prblma di Cauch si scrivrà nl md sgunt: a + b ( ) 0 cas: quazin mgna. La () è un quazin nn mgna. S b 0,,. () a I I R Rislviam analiticamnt la (). () a Intgrand mmbr a mmbr: (4) d a ln d a d + C Pst A ad ( A è una primitiva di, ciè cntinua cn drivata cntinua in I., si ttin l quazin mgna: a ), la (4) divnta: a d+ C (5) ln a d + C C in cui si è pst C C. Snza prdita di gnralità si può mttr il valr asslut quindi la sluzin gnral dll quazin mgna è: (6) C La cstant arbitraria può ssr prcisata assgnand una cndizin inizial (prblma di Cauch). Esmpi. 7 (7) a (8) A a d ( ) d Dalla (6) la sluzin gnral è data da: 7 (9) C Esmpi. (40) ( 0) 7 La sluzin gnral è data da (vdi smpi prcdnt): 7 (4) C 6
2 Prtant: 0 ( 0) C C La sluzin dl prblma di Cauch è prtant: 7 (4) ( ) Esmpi. (4) ( 0) + a A a d d d + C + C + Dalla (6) la sluzin gnral dlla (4) è data da: (44) ( ) ( ) ( ) (45) C A qust punt pr trvar la sluzin dl prblma di Cauch impniam la cndizin inizial: (46) ( 0 ) C. La sluzin dlla (4) è allra: (47) Esrcizi assgnati pr la prssima lzin. Rislvr l sgunti quazini mgn: (a) (b) (c) 4 5 sin + cas: quazin nn mgna. Trma. Data l quazin diffrnzial dl prim rdin nn mgna:, (48) a + b, I I R In cui a, b sn funzini cntinu in I. Sia A una primitiva di dll quazin mgna assciata sia data da C. Sia a in md ch la sluzin una sluzin particlar dll quazin nn mgna. La sluzin gnral dlla (48) si scriv allra nl md sgunt: + + C, A (49) ( ) ( ) ( ) ( ) Dimstrazin. C R Infatti, s sn sluzini dlla (48), pst z si ha: z. a + b a b a ( ) a z 7
3 Si vd quindi ch z è sluzin dll quazin mgna assciata dunqu ttnibil dalla frmula C. Da z si ttin: A (50) z + C + ch è ciò ch si vlva dimstrar. Pr rislvr un quazin nn mgna si dv prtant trvar la sluzin gnral dll mgna assciata (si può utilizzar la frmula C ) una sluzin particlar dlla nn mgna. Pr trvar una sluzin particlar dll quazin nn mgna si può usar il mtd dlla variazin dlla cstant ( di Lagrang) i mtdi ad hc ( dlla smiglianza). Vdrm ngli smpi ch sgun cm si applican tali mtdi. Mtd dlla variazin dlla cstant. Pst, A (5) K cn K funzin incgnita, andiam a sstituir la (5) nlla (48) pr dtrminar Calcliam allra la drivata di : sstituiam: A A A (5) K + K A K + K a A A A (5) a + b K + K a a K + b K. da cui quindi in dfinitiva: A (54) K b A (55) K b Dalla (55) si dduc ch K è una primitiva di b un intgral indfinit: A( (56) K b ) d dunqu si può frmalmnt scrivr, utilizzand Sstitund la (56) nlla (5) si ricava l sprssin dlla sluzin particlar dlla nn mgna: A A A( (57) K b ) d Esmpi 4. (58) + Si tratta di un quazin diffrnzial a cfficinti cstanti. In qust cas cn l ntazini prcdnti: a A C Pst: sluzin dlla mgna assciata. (59) K, sstitund nlla (58): K + K ( ) K + K K K + C. S C 0 si ha la sluzin particlar: da cui: 8
4 . (60) K Sstitund la (60) nlla (59) si ttin la sluzin particlar dlla nn mgna: (6) K In qust cas la sluzin particlar è smplicmnt una cstant! Si ssrvi ch anch il trmin ch rnd nn mgna l quazin è cstant. La sluzin gnral dlla (58) è allra data da: (6) + + C, C R Esmpi 5. (6) + Si tratta di un quazin diffrnzial a cfficinti variabili. In qust cas cn l ntazini prcdnti: A d + C a Pst: C sluzin dlla mgna assciata. (64) K, sstitund nlla (6): K + K ( ) K + K K da cui: (65) K d. Qust intgral nn può ssr rislt in frma chiusa pr cui l lascrm indicat. Sstitund la (65) nlla (64) si ttin la sluzin particlar dlla nn mgna: (66) K d La sluzin gnral dlla (6) è data da: (67) + d + C ( d + C), C R Mtdi ad hc. Riprndiam l Esmpi 4. Esmpi4. (68) + Ossrvat ch il trmin ch rnd nn mgna l quazin è una cstant, pssiam crcar una sluzin particlar dlla nn mgna ch sia cstant, ciè. C (69) ( ) Dtrminiam il valr dlla cstant C sstitund la (69) nlla (68): (70) 0 0 C + C. 9
5 Si cnfrnti cn la (6). Esmpi 6. (7) Ossrvat ch il trmin ch rnd nn mgna l quazin è una funzin plinmial di trz grad, pssiam crcar una sluzin particlar dlla nn mgna ch sia dll stss tip, ciè: (7) a + b + c + d Essnd a + b + c, sstitund nlla (7): (7) + b + c ( a + b + c + d ) a a da cui: + b + c a + b + c + d ( + 4) + ( b + a) + ( c b) + d + c 0 a. Dvnd ssr il plinmi idnticamnt null, dbbiam imprr ch tutti i cfficinti sian nulli: (74) a a + b + 0 b + c 0 c + d + 0 Rislvnd il sistma si ricava la sluzin: (75) 4 a b c d Prtant la sluzin particlar dlla nn mgna è: (76) 4. La sluzin gnral dll mgna assciata: (77) è data da: (78) ( ) C Pssiam allra scrivr la sluzin gnral dlla (7): 4 (79) + + C, C R Ossrvazin. S avssim vlut dtrminar la sluzin particlar dlla nn mgna cn il mtd dlla variazin dll cstanti avrmm dvut calclar il sgunt intgral indfinit: (80) K ( + + ) d 4. Tal intgral si può calclar pr parti. Il calcl vin lasciat cm srcizi. 0
6 Esrcizi assgnati pr la prssima lzin. Rislvr l sgunti quazini nn mgn: (d) () + sin (f) (g) (h) sin ( 0) 0 λ +, λ R ; discutr i casi λ λ
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