La formula di Taylor

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1 La rmula di Taylr R.Argilas!! K

2 I qusta dispsa prstiam il calcl di iti utilizzad gli sviluppi di Taylr Mac Lauri. N riprcrrrm la tria rlativa all apprssimazi di ua uzi i quat qusta è artata i maira sddisact i qualsiasi tst di aalisi matmatica. Ci itiam sl a ricrdar l svilupp dll pricipali uzii lmtari a prstar qualch cmmt rlativ all srcizi stss. E b prcisar i da ra ch pssdr svlgr gli srcizi di qusta dispsa è cdizi é cssaria é suicit pr il supramt dll sam stss. Qusta dispsa sstituisc il libr di tst adttat, sstituisc l srcitazii svlt dal dct. Qusta dispsa è sl di supprt a tutti clr ch vglia apprdir la lr prparazi all sam c ultriri srcizi ltr qulli dl libr di tst suggrit dal dct. Rigrazi aticipatamt tutti clr ch vrra sgalarmi vtuali rrri quati vrra cmuicarmi suggrimti pr miglirar il lavr. R.A. 5

3 LA FORMULA DI TAYLOR Richiami Prprità dll piccl ) ( ) ( ) ( ) ) a ( ) ( a ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) m m ( ) ( ) 5) m m ( ) ( ) ( ) ) ( ( )) ( ) 7) ( ( )) ( ) Ordi di iiitsim Ordii di iiit di iiitsim Data ua uzi : I { } R c I si dic ch ssa ha rdi di iiitsim pari ad, pr (rispttivamt pr iiitsima s ± ) s ssa è l (, ) rispttivamt ± l (, ) Ricrdiam ch si dic iiitsima pr, s 5

4 Ossrviam ch, i alcui casi, può accadr ch l rdi di iiitsim sia divrs calclad il it da dstra da siistra, ppur ch i u trambi i casi sista. Iltr l stss discrs può ssr att pr ua uzi : a, iiitsima pr. I tal cas si parla di rdi di R iiitsim risptt, ad, ma a. Ordi di iiit Data ua uzi : ( a, ) R (rispttivamt : (, b) R ), si dic ch ha rdi di iiit pari ad, pr (rispttivamt pr ) s divrg (ciè s è iiita) s rispttivamt l R {} l R {}. N.B. Diizii aalgh si da s ±. Ricrdiam ch si dic iiita pr, s Rlazi tra piccl d asittic Dir ch è quivalt a dir ch g g ( g ).

5 Svilupp di Mac Lauri dll pricipali uzii: arcta arccs arcsi!!! 5 ta! cs lg! 5! si K K K K K K K K π Ossrvazi La diicltà maggir ch si risctra lla risluzi di u it utilizzad gli sviluppi di Taylr è stabilir l rdi di arrst dll svilupp. N vi è ua rgla gral pr stabilir quad blccar l svilupp, ma cm l cas dl calcl di iti utilizzad gli sviluppi asittici (vdi dispsa succssii ), si pss sstituir sviluppi di Taylr i ua smma i cui l parti pricipali si lid!

6 Esmpi Calclar il sgut it: svlgimt Sviluppiam, utilizzad gli sviluppi di Mac Lauri, la uzi spzial itrrmpd l svilupp al prim rdi. Si ha: Quidi: Il risultat trvat è crrtt prché utilizzad gli sviluppi di Taylr ( di Mac Lauri) dbbiam vitar ch i ua smma rsti zr, qust si può vitar aumtad di u trmi l svilupp dlla uzi. Nl str cas cvi sviluppar la uzi spzial i all rdi du (qust è ach suggrit dal att ch a dmiatr abbiam ). Quidi: Si ha: ( ) ( ) Esmpi Calclar il sgut it:

7 5 si svlgimt Sviluppiam, utilizzad gli sviluppi di Mac Lauri, la uzi spzial itrrmpd l svilupp al prim rdi. Si ha: Quidi, sstitud si al pst di, si tti si Sstitud, l it assgat, si trva: ( ) ( ) 5 si 5 ( ) Il risultat trvat è crrtt prché utilizzad gli sviluppi di Taylr ( di Mac Lauri) dbbiam vitar ch i ua smma rsti zr, qust si può vitar aumtad di u trmi l svilupp dlla uzi. Nl str cas cvi sviluppar la uzi s i all rdi tr. Quidi: Da cui sgu ch: si 5! 5 5 ( ) si ! 5 ( ) 5!.

8 ESERCIZI. Calclar si Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Il grad dl plimi a dmiatr suggrisc u svilupp i al quart rdi. Utilizzad la rmula di Mac Lauri si ha: Sstitud si al pst di, si trva: si si si si si si Sviluppad ra la uzi s, si tti si Sstitud l svilupp dl s ll spzial si tti: si Prciò si

9 si. Calclar Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Il plimi a dmiatr suggrisc u svilupp i al trz rdi. Utilizzad la rmula di Mac Lauri si ha: quidi: si ( ) si ( ) si ha: si Ossrvazi L stss srcizi ptva ssr svlt utilizzad il trma di D L Hspital. I tal cas si tti: H si cs H cs si H si cs Pr l uciat dl trma di D L Hspital rimadiam il lttr a u qualsiasi tst di aalisi matmatica. 5

10 Calclar ( cs ) lg si Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata Utilizzad la rmula di Mac Lauri si ha:. si ( ) cs! ( ) lg! ( ) ( ) quidi: lg ( cs ) lg ( ) ( ) ( ) ( ) Si ha ch: lg ( cs ) ( ) si ( ) arcsi. Calclar arcta Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata Utilizzad la rmula di Mac Lauri si ha:.

11 arcsi arcsi arcta arcta ( ) ( ) ( ) ( ) Si ha ch: arcsi arcta ( ) ( ). Calclar ( cs ) ta lg Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata Utilizzad la rmula di Mac Lauri si ha:. cs! ta ( ) ( ) 7

12 ! lg l str cas si ha:!! cs lg Da cui sgu ch:! lg ta cs 5. Calclar arcsi cs si lg Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Ricrdiam i sguti sviluppi:

13 arcsi cs lg si si ha: 7 arcsi 7 cs lg si lg si Quidi: 7 7 arcsi cs si lg

14 si arcta 7. Calclar lg( ) Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata Ricrdiam i sguti sviluppi:. si ( ) lg ( ) ( ) Si ha: arcta ( ) si ( ) lg ( ) arcta ( ) Quidi: si lg arcta ( ) ( ) ( ). Calclar cs lg arcsi ( ta) 7

15 Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata Ricrdiam i sguti sviluppi:. ta ( ) lg ( ) ( ) cs ( ) arcsi ( ) si ha: ta lg ( ) ( ta) lg( ( ( ))) ( ( )) (( ( ))) cs ( ) arcsi 5 ( ) Quidi: 7

16 cs lg arcsi ( ta ) ( ) ( ) 5 7. Calclar lg ( si ) cs arcsi Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata Ricrdiam i sguti sviluppi:. si ( ) lg ( ) ( ) cs ( ) arcsi ( ) si ha: 7

17 7 arcsi cs lg si lg si Quidi: arcsi cs si lg. Calclar si Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Utilizzad la rmula di Mac Lauri si ha:

18 7 si Prciò si Ossrvazi L stss it ptva ssr calclat utilizzad il trma di D L Hspital. Si ricava: cs cs si cs si si H H. Calclar si lg Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Ricrdiam i sguti sviluppi: lg si si ha:

19 si ( ) Quidi: ( ) ( ) lg si ( ) ( ) ( ) Ossrvazi ( ) ( ) Ach qust it può ssr calclat utilizzad il trma di D L Hspital. Iatti: cs cs si " H H ( ) ( ) ( ) lg si H cs si ( ) si 7 cs. Calclar lg ( ) ( ) Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata Ricrdiam i sguti sviluppi:. lg ( ) ( ) 75

20 Si ha: lg ( ) ( ) quidi: ( ) lg( ) ( ) 5. Rislvr l srcizi prcdt utilizzad il trma di D L Hspital.. Calclar lg ( ) ta Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata Ricrdiam i sguti sviluppi:. lg ( ) ( ) ta ( ) Si ha: 7

21 77 lg ta quidi: ta lg 5. Rislvr l srcizi prcdt utilizzad il trma di D L Hspital.. Calclar lg si lg Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Ricrdiam i sguti sviluppi: lg si Si ha:

22 7 lg si quidi: lg si lg 7. Rislvr l srcizi prcdt utilizzad il trma di D L Hspital.. Calclar si lg Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Ricrdiam i sguti sviluppi: lg si Si ha: lg

23 7 si quidi: si lg. Rislvr l srcizi prcdt utilizzad il trma di D L Hspital.. Calclar lg si Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Prcdd cm gli srcizi prcdti utilizzad gli sviluppi di Taylr si ha: si Si ssrvi iltr ch lg Attzi!!! L ultima armazi dipd dal att ch l it ch stiam calclad la td a!!! Iatti prad la sstituzi

24 y si trva: lg lg( y) y y ( y ) ( ) ( ). Qust prcdimt sarbb stat lcit s la avss ts a zr!!! Quidi ( ) [( ) ( ) ( ) ] si ( ) [( )] lg [ ] [ ( ) ( ) )]. Calclar si( ) lg( ) ( ) ( cs( ) ) Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. Prcdd cm gli srcizi prcdti utilizzad gli sviluppi di Taylr si ha: si ( ) ( ) ( ) cs ( ) ( ) ( ) Si ssrvi iltr ch, prad la sstituzi y si trva: lg ( ) lg( y) y y ( y ) ( ) ( )

25 Quidi si( ) lg( ) ( ) ( cs( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) [( ) ]( [ ) ] ( ) ( ) 5. Calclar lg( ) ( ) lg( ) lg( 5) Svlgimt Il it si prsta lla rma idtrmiata. A dirza di quat att i du smpi prcdti pssiam i dall iizi prar la sstituzi. Pst y, si tti: Quidi lg ( ) lg( ( y ) ) lg( y) ( ) lg( ( y ) ) lg( y) lg ( 5) lg( ( y ) 5) lg( y) lg. lg( ) ( ) lg( ) lg( 5) y lg( y) ( y ) ) lg( y) lg( y) y utilizzad gli sviluppi di MacLauri Si trva:

26 y lg( y) y y ( y ) ) lg( y) lg( y) y ( y ) y y y.. Dtrmiar l rdi di iiitsim, risptt ad, pr dlla sgut uzi: si ( ) Svlgimt Dbbiam dtrmiar qul valr di (, ) pr cui il it sist iit divrs da zr. Ossrviam ch è iiitsima l put iizial assgat. Nl str cas si ha: si Utilizzad gli sviluppi di Mac Lauri si ha: ( ) si ( ) L rdi di iiitsim è quidi. < >. Dtrmiar l rdi di iiitsim, risptt ad, pr, dlla sgut uzi:

27 arcta. Svlgimt Si vriica acilmt ch () è iiitsima, iatti può ssr scritta cm da cui sgu: arcta arcta < 7 > 7 L rdi di iiitsim è quidi.. Dtrmiar l rdi di iiitsim, risptt ad, pr dlla uzi Svlgimt Si vriica acilmt ch () è iiitsima, iltr R quidi ha rdi di iiitsim.

28 . Dtrmiar l rdi di iiitsim, risptt ad /, pr dlla uzi lg lg svlgimt vriichiam s è iiitsima [ ] lg lg lg lg lg lg lg lg Calcliam ra l rdi di iiitsim. > < lg lg lg lg L rdi di iiitsim è quidi. Si ptva giugr all stss risultat utilizzad il trma di d L Hspital. Si ha:

29 5 > < lg lg lg lg lg H H L rdi di iiitsim è.