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1 Stima dllo spttro I molt applicazioi si è itrssati al calcolo dllo spttro di u sgal campioato: spttro di dsità di rgia o; spttro di dsità di potza. La FFT può ssr utilizzata a qusto scopo. Occorr cosidrar sparatamt i du casi. I caso: squza di durata fiita x() di lughzza. La FFT forisc campioi quispaziati sul crchio uitario dlla corrispodt DTFT. Pr avr u campioamto più fitto dlla DTFT basta utilizzar lo zro paddig. II caso: squza di durata ifiita x() molto luga o di cui si coosc solo ua part, com accad lla raltà. La DTFT o si può applicar dirttamt, si può applicar la DFT. M. Usai Circuiti digitali 7_3

2 La misura dl lakag è fatta attravro il paramtro A s dfiito com: Ampizza lobo pricipal A s Ampizza lobo latral co picco più alto La misura dlla risoluzio è data dalla: Larghzza dl lobo pricipal M. Usai Circuiti digitali 7_3

3 Pr risolvr qusto problma si troca la squza di lughzza ifiita x() alla lughzza, mdiat ua fistra (). Com stima dlla DTFT di x(), si assum la DFT dlla squza ~ x ( ), ottuta moltiplicado la squza x() pr (): ~ x( ) x( ) ( ), co: w R ( ) 0 0 pr pr < 0,,..., 0 > M. Usai Circuiti digitali 7_3 3

4 La stima dllo spttro X( ) di u sgal x() (stazioario, dtrmiistico, di lughzza o ota) mdiat la DFT, a partir dalla cooscza di campioi dl sgal, po problmi lgati a:. risoluzio : la distaza i frquza miima affiché siusoidi possao ssr apprzzat com distit. Essa dipd da (ivrsamt proporzioal) dal tipo di fistra;. lakag : la prsza di lobi latrali ad ogi riga spttral ch itragiscoo distorcoo lo spttro. Dipd solo dal tipo di fistra o da ; 3. graulosità : l'fftto dl campioamto i frquza dovuto alla DFT. Si può ridurr co lo zro paddig aumtado prò il costo computazioal. Dipd dalla lughzza dlla DFT può dar problmi pr la localizzazio di picchi particolari; 4. prcisio fiita : provoca la prsza di "rumor" llo spttro. Dipd dall oprazioi matmatich dalla prcisio di valori umrici adottata. M. Usai Circuiti digitali 7_3 4

5 7.3 Fistr usat pr l aalisi spttrali Si è già samiata la fistra di tipo rttagolar ora sarao samiat mss a cofroto altr fistr utilizzabili ll aalisi spttrali. La DFT dlla fistra rttagolar ha com svataggio maggior ch il picco dl lobo latral di W R () i (7..5) é al di sotto di soli 3 db dal livllo dl lobo pricipal com mostrato i figura 7.6, mtr i lobi latrali succssivi dcrscoo di 6 db/ottava. Figura 7.6 Modulo dlla trasformata dlla trasformata fistra rttagolar W R (), ch mostra il picco dl lobo latral pricipal di 3 db ua pdza di 6 db /ottava Ciò limita svramt la capacità dlla DFT di risolvr u sgal dbol i prsza di uo più fort a causa dl lakag. M. Usai Circuiti digitali 7_3 5

6 M. Usai Circuiti digitali 7_3 6 La trasformata dll oda rttagolar > < 0 pr 0 0,,..., pr R () ( ) si si si ) ( 0 c W

7 La pdza di -6 db/ottava è vrificabil facilmt lla trasformata di R () ch è: R () 0 pr pr < 0,,..., 0 > W ( ) ssdo z W(z) 0 -z - -z ( + ) - ( + ) ( ) Qusta trasformata ha + zri uiformmt spaziati itoro al crchio uitario u polo pr z (ch aulla l fftto dllo zro a z ). Essa prsta u lobo pricipal i corrispodza di 0 da luogo a ua caduta di 6 db/ottava. La figura 7.5 forisc u smpio dll fftto di qusta fistra su uo spttro a bada strtta (arrowbad). M. Usai Circuiti digitali 7_3 7

8 L du fuzioi più comui di widow dlla aalisi spttral migliorao qusti svataggi dlla fistra rttagolar i modi diffrti com sgu:. Il coso traslato vrso l alto (raisd) o fistra di Haig, () ha ua dimiuzio dlla vlocità di 8 db/ottava u livllo dl picco dl lobo latral di 3dB.. La fistra di Hammig M () riduc il livllo dl picco dl lobo latral a 4dB, ma la vlocità di caduta è di soli 6 db pr ottava, com pr la fistra rttagolar. (La similitudi di omi è ua coicidza o fortuata, ma usar l lttr M com pdici, aiutrà a distigurl). M. Usai Circuiti digitali 7_3 8

9 L fuzioi fistrat (widowd) soo ottut moltiplicado x() pr la fistra prcdt, prima dl calcolo dlla DFT pr ottr: ~ ( ) w k 0 X ( ) x( ) W k, k 0,,...,, (7.3.) dov W π / pr costir lo zro-paddig (s > ). Quidi la DFT forisc campioi dllo spttro covoluto: X () W ()/π. M. Usai Circuiti digitali 7_3 9

10 Haig widow L Haig widow cosist i ua fuzio coso traslato vrso l alto (raisd) o la fuzio so al quadrato: π π w ( ) cos si, 0,,...,, (7.3.3) mostrata com ua fuzio cotiua i figura 7.7 risptto alla qual dvoo ssr cosidrat l altr fuzioi widow. Figura 7.7 Fuzioi widow Hammig (M), Haig(), Blackma(B), la fuzio fistrata co 30 db/ottava Si oti ch ssa td dolcmt (ltamt) a zro i ciascu strmo prsta u valor di picco pari all uità l puto mdio. M. Usai Circuiti digitali 7_3 0

11 Poiché i campioi fiali (0) () soo uguali a zro, qusta fistra i raltà prsta ua lughzza di soli -, quidi l su trasformat z hao zri, o com pr W R (z). Qusti du zri macati soo stati aullati dai du poli addizioali, ai quali è dovuta la vlocità di caduta di 8dB/ottava. I particolar il umrator di W (z) è dlla forma: (-z -(-) ) (+z - ), i tr zri più vicii a z soo aullati dai poli. M. Usai Circuiti digitali 7_3

12 La trasformata di ampizza risultat pr la fistra di Haig è tracciata i figura 7.8. Figur 7.8 Modulo dlla trasformata dlla fistra di Haig, ch mostra il picco latral pricipal a 3 db ua pdza di 8 db/ottava. Si oti ch la vlocità di caduta di 8 db/ottava, il picco dl lobo latral a -3dB, si oti ach l fftto dllo zro i più alla frquza di yquist (z -). Ioltr la larghzza dl lobo pricipal è approssimativamt ugual a du volt qulla dlla trasformata dlla fistra rttagolar i figura 7.6. Prciò, il miglioramto dlla caduta è limitato dalla risoluzio spttral. La fistra di Haig è probabilmt la fuzio di widow più utilizzata lla aalisi spttral pr la sua lvata vlocità di caduta 8dB/ottava. M. Usai Circuiti digitali 7_3

13 U altro vataggio dlla fistra di Haig è ch s si applica dopo avr fatto la DFT, o prima, ssa limia l moltiplicazioi pr (). Cioè, la DFT widowd può ssr valutata attravrso ua uwidowd: ~ X w ( k) ~ ~ ~ X ( k ) + X ( k) X ( k ), qusti cofficiti comportao soltato traslazioi biari (biary shifts), o moltiplicazioi itr. Qusta implmtazio dlla widowig di Haig l domiio dlla frquza attualmt corrispod alla dfiizio lggrmt diffrt dlla fuzio di widow: π ) cos, w ( 0,,..., -, M. Usai Circuiti digitali 7_3 3

14 La fistra di Hammig La fistra di Hammig è stata progttata pr miimizzar il livllo dl lobo latral, mtr mati approssimativamt la stssa larghzza dl lobo pricipal com la fistra di Haig. Qusta fistra è dfiita da: wm π ( ) cos, 0,,...,. (7.3.4) Il valor ctral è acora pari all uità, ma i valori fiali tdoo ad 0.08, divrso da zro. Quidi qusta fistra è full lgth ( lughzza pia ), la sua trasformata ha - zri. Figura 7.9 Modulo dlla trasformata dlla fistra di Haig WM (), ch mostra u picco dl lobo pricipal latral di 4dB ua pdza di 6 db /ottava M. Usai Circuiti digitali 7_3 4

15 Malgrado ciò cacllado gli zri da trambi lati pr z sul crchio uitario com co la fistra di Haig, la fistra di Hammig è stata progttata pr spostar qusti zri i prossimità dl primo lobo latral pr miimizzar il suo livllo com mostrato i figura 7.9. Com risultato, il lobo latral di picco è il trzo lobo latral, o il primo il livllo è ridotto di 0 db pr il caso Haig a 4 db. Comuqu poiché si soo smplicmt spostati qusti zri, o cacllati co i poli, la vlocità di caduta è prodotta solamt da u polo pr z d è così di soli 6 db/ottava. La larghzza di bada è circa la stssa pr tramb l fistr. Poiché tramb hao circa la stssa larghzza di lobo pricipal ( volt qulla dlla fistra rttagolar), la diffrza tra la fistra di Haig di Hammig è ch: la Hammig ha u lakag più piccolo i primi du lobi adiacti al lobo pricipal mtr Haig ha u lakag più piccolo ovuqu a causa dlla caduta di 8 db/ottava. M. Usai Circuiti digitali 7_3 5

16 Quidi ll aalisi spttral è da prfrir la fistra di Haig. Ma com vrrà mostrato l capitolo 9, quado si vuol far l aalisi spttral l progtto di filtri FIR, acquista maggior importaza il livllo di picco basso dl lobo latral dlla fistra di Hammig. Blackma widow L proprità rlativ all fistr Haig Hammig soo combiat lla Blackma widow, data da: π 4π w B ( ) cos cos, 0,,...,. (7.3.5) Si oti ch il valor ctral è uitario i fiali tdoo a zro com la fistra di Haig. Quidi du dgli zri di trambi i lati pr z soo stati cacllati dai poli pr ottr ua caduta più ripida di 8dB/ottava. Più di du zri soo stati spostati i prossimità dl primo lobo latral, com l caso dlla Hammig, pr ridurr il suo livllo. Il risultato è tracciato i fig.7.0. M. Usai Circuiti digitali 7_3 6

17 Figura 7.0 Modulo dlla trasformata dlla fistra di Blackma, ch mostra u picco pricipal latral a 57dB ua pdza di 8 db /ottava. Si oti la vlocità di caduta, il picco dl lobo latral di 57dB, l fftto dllo zro xtra i z -. Si oti ach ch la larghzza dl lobo pricipal è ora 3 volt qulla dlla fistra rttagolar, o 50% più grad dlla fistra di Haig Hammig. Duqu, l uso di qusta fistra sacrifica la risoluzio di spttro pr guadagar ua attuazio addizioal. M. Usai Circuiti digitali 7_3 7