Illustrare il teorema di de L Hôpital e applicarlo per dimostrare che: 4

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1 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo 99 Qustioario Qusito Illustrar il tora di d L Hôpital applicarlo pr diostrar ch: 4 li = a +. Tora di D L Hôpital S l fuzioi f() g() soo drivabili i u itoro di u puto c, scluso al più il puto c stsso, s g' I( c) { c}, li f = li g =, c c f f ' allora li = li c g c g' Il liit proposto si prsta prò lla fora, pr cui bisoga applicar u altra forulazio dl tora di D L Hôpital. S l fuzioi f() g() soo drivabili i u itoro di u puto c, scluso al più il puto c stsso, s g' c, li f = li g =, c c f f ' allora li = li. c g c g' Pr ricodurr qusto scodo caso al prcdt, è sufficit far rifrito all fuzioi g. Il liit proposto si calcola allora l sgut odo: f li = li = li = li = li = Qusito Dtriar i valori di paratri d i odo ch risulti: + d = ch l itgral fra dlla stssa fuzio sia doppio dll itgral prcdt. Si tratta di risolvr il sista + + d= d= d= = =

2 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo d= = = Il sista divi ( ) = = l + = = ( ) = = I valori di ch vrificao l codizioi richist soo = l, R Qusito Itrprtar gotricat la qustio posta sopra. l + La fuzio itgrada è f = l = =, dov è da cosidrar co u fattor costat. Il grafico dlla fuzio è L ara sottsa alla fuzio ll itrvallo [,] è il doppio di qulla rlativa all itrvallo [,]. Qusito 4 Illustrar il probla classico dlla quadratura dl crchio, la cui ipossibilità Dat Alighiri così voca poticat : Qual è l goètra ch tutto s affig pr isurar lo crchio, o ritrova, psado, qul pricipio od lli idig, (Paradiso, c.xxxiii, vv.-5) Il probla dlla quadratura dl crchio è uo di probli classici dll atichità; riasto irrisolto pr illi, è stato idicato da spr co il probla pr atooasia. L sprssio quadrar il crchio più i gral qulla di far quadrar i coti soo riast acora oggi l liguaggio

3 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo cou. Il probla è stato ricoosciuto co irrisolvibil soltato l XIX scolo quado è stata studiata la atura dl uro π. Il probla classico cosist l dtriar co i todi dlla gotria classica, cioè utilizzado co struti solo la riga il copasso, u quadrato la cui ara sia quivalt a qulla dl crchio. I trii odri, affiché u quadrato abbia la stssa ara di u crchio di raggio r dovrbb avr il lato di isura r π. Quidi il uro π dovrbb ssr costruibil gotricat co riga copasso. E stato diostrato, ivc, ch è possibil costruir co riga copasso solo alcui uri algbrici. Nl 88 Lida ha diostrato ch π o è u uro algbrico, cioè o è ottibil co soluzio di u quazio algbrica. La lttratura su qusto probla è or. Si può far rifrito a di tsti classici di storia dlla atatica: Carl B. Boyr, Storia dlla atatica, Modadori, Milao, 98; Kli M., Storia dl psiro atatico, Eiaudi, Torio, 99. Su Itrt Qusito 5 Dar u spio di fuzio f() dfiita su tutto R d ivi cotiua, tal ch li f = li f = + L codizioi stabilit l tsto soo l sguti. la fuzio f() è dfiita su tutto R. la fuzio f() è cotiua su tutto R. li f ( ) = qusta codizio iplica l sistza di asitoto orizzotal a siistra pr il grafico dlla fuzio (la rtta y=) 4. li f ( ) = + qusta codizio iplica l sistza di asitoto orizzotal a dstra pr il grafico dlla fuzio(la rtta y=) La fora dl grafico dlla fuzio i bas all quattro codizioi è la sgut.

4 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo Tal grafico è siil al grafico dlla fuzio y =artag. Pr tal fuzio valgoo l sguti codizioi:. la fuzio f() è dfiita su tutto R. la fuzio f() è dfiita su tutto R. li π π f = y = asitoto orizzotal a siistra pr il grafico dlla fuzio 4. li π π f =+ y =+ + asitoto orizzotal a dstra pr il grafico dlla fuzio Nlla figura sgut si riportao i grafici dll du fuzioi.

5 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo Dal cofroto di du grafici si ota ch : y = arctg dividdo pr π traslado vrticalt il grafico dlla fuzio π, portado l origi dl sista di assi coordiati l puto O(,5/), si otti la fuzio: 5 y = arctg + π ch soddisfa l quattro codizioi dl tsto. Qusito 6 Dtriar al variar dl paratro k il uro dll soluzioi rali dll quazio: k + k = + Il prio passo cosist ll isolar il paratro: k = + Porr trab i bri ugual a y risolvr pr via grafica il sgut sista paratrico: + y = + y = k Gli zri dll quazio di partza soo l asciss di puti di itrszio tra l rtt dl fascio il grafico dlla fuzio rapprstato dalla pria quazio. + Studio dlla fuzio k = + La fuzio è dfiita pr ogi appartt ai rali. No prsta sitri. Itrsca l ass dll asciss l puto P( ;). Itrsca l ass dll ordiat l puto Q (;). La fuzio è positiva pr >. + li = + + li + = + + No prsta asitoti vrticali é orizzotali Ha l asitoto obliquo (y=+q) di quazio y= + = li = + + q= li = + ( + 4) la drivata pria è y ' = = + +

6 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo 4 N> N> N> D> y > <, > (la fuzio è strttat crsct pr < >) y = =, = (la fuzio prsta u assio M(,) u iio N(,/) y > << (la fuzio è strttat dcrsct pr <<) La fuzio prsta di flssi ch si possoo ottr studiado la drivata scoda. I flssi o soo cssari pr risolvr il sista. Dal grafico sgut si possoo dtriar al variar dl paratro k il uro dll soluzioi rali dll quazio k + k =. Pr k</ si ha soluzio gativa Pr k=/ si ha soluzio gativa du soluzioi positiv coicidti Pr /<k< si ha soluzio gativa du soluzioi positiv distit Pr k= si ha soluzio positiva du soluzioi ull Pr k> si ha soluzio positiva

7 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo 5 Qusito 7 Cosidrat l forul: V = 4 π S = π ch dao rispttivat il volu di ua sfra di raggio l ara di u crchio spr di raggio s illustrio i risultati dlla drivazio risptto a. 4 V = π V ' = 4π Drivado risptto al raggio il volu dlla sfra si otti la suprfici dlla sfra. S = π S' = π Drivado risptto al raggio la suprfici di u crchio si otti la lughzza dlla circofrza. Qusito 8 Diostrar, utilizzado il tora di Roll, ch s l quazio: + a a+ a = att radici rali, allora fra du di ss giac alo ua radic dll quazio: + a a = Tora di Roll Data ua fuzio ral di variabil ral y = f(), dfiita ll itrvallo chiuso liitato [a, b], s la fuzio soddisfa l ipotsi:. è cotiua i [a, b]. è drivabil i (a, b). f(a)=f(b) sgu la tsi: sist u uro ral c appartt all itrvallo(a,b) tal ch f (c)=. Posto f = + a + a + a f '( ) = ( ) a a, si ha Siao a b du radici rali dlla pria quazio assgata, allora f( a) = f( b) = La fuzio polioial f() è cotiua drivabil i R, quidi ach i [a,b]. Pr il tora di Roll sist u puto c, coprso tra a b pr il qual f ()=. Il puto c è vidtt la soluzio dlla scoda quazio.

8 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo 6 Qusito 9 Fra tutti i coi circolari rtti circoscritti ad ua data sfra ostrar ch qullo di iia ara latral ha il suo vrtic distat dalla suprfici sfrica dlla quatità r, s r è il raggio dlla sfra. C S K O A H B CS = CO = + r KO = r CK = + r r = + r I triagoli COK CAH soo siili, prtato: ( + r)( + r) CH : AC = CK : CO AC = + r ( + r) r CH : AH = CK : KO AH = + r + r + r + r + r Sl = π AH AC = πr = πr ( ) ( ) + r + r + r r S' l = πr = πr r π r r r r

9 Matatica pr la uova aturità scitifica A. Brardo M. Pdo 7 r r La suprfici latral iia si ha pr = r Qusito Chiarir il sigificato di! (fattorial di ) il suo lga co i cofficiti bioiali. df = ( ) ( + )!... df... k! k = = k! k! ( k)! Miio