Capitolo 2 - DFT (parte I)

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1 Apputi di Elaborazio umrica di sgali apitolo - DF (part I DF (Discrt im Fourir rasorm... DF (Discrt Fourir rasorm...5 Itroduzio...5 Formul di trasormazio atitrasormazio...9 Vriica dlla ormula di atitrasormazio... Simbologia adottata...3 Esmpio...3 Esmpio: mtodo dllo zro paddig...6 Ossrvazio: umro di campioi l tmpo d i rquza...9 Pricipali proprità dlla DF... Liarità... raslazio l tmpo... raslazio i rquza... Simmtria circolar di ua squza... Simmtria hilbrtiaa...4 Ossrvazio...8 DF (DISREE IME FOURIER RASFORM osidriamo u grico sgal s(t tmpo-cotiuo passa-basso (pr comodità suppoiamo di sottoporlo ad u campioamto co rquza di campioamto / ch risptti il torma di yquist. Sappiamo b ch il corrispodt sgal campioato si può sprimr i du modi dl tutto quivalti: s (t s( δ(t s(t δ(t Mtr l capitolo prcdt abbiamo usato solo la scoda di qust sprssioi, adsso ci srvirmo soprattutto dlla prima, i modo sostazialmt da sprimr s (t com ua squza di umri: s (t s( δ(t Vogliamo calcolar la trasormata di Fourir di qusto sgal. Potrmmo sguir la strada sguita l capitolo prcdt, i cui si cosidrava s (t com prodotto di s(t pr il ptti di campioamto quidi si prdva, i rquza, la covoluzio di du spttri. Al cotrario, i iò sigiica, com b sappiamo, ch la rquza di campioamto è suprior al doppio dlla bada (moolatra di s(t

2 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. qusta sd scgliamo u altra strada prcisamt qulla di applicar la proprità di liarità dlla trasormata di Fourir, i bas alla qual possiamo calcolar S ( com somma dll trasormat di sigoli trmii s( δ (t : ricordado allora ch la trasormata di u impulso è u spozial complsso, abbiamo ch S ( F s( δ(t [ δ(t ] s( F[ δ(t ] F s( s( j Ossrvazio Sull sprssio ottuta è importat ar ua ossrvazio: s cosidriamo la diizio di trasormata di Fourir di u grico sgal s(t tmpo-cotiuo, sappiamo ch S( jt s(t dt ll ipotsi ch il sgal s(t sia ua somma di impulsi gli istati, qull itgral può ssr traquillamt sostituito da ua sommatoria, il ch sigiica scrivr ch S( s( j dov il attor moltiplicativo ti coto dlla dimsioalità dll itgral (ch è u itgral apputo l tmpo. orotado allora l sprssio appa riportata co qulla prima ottuta pr S (, si ota ch proprio il attor moltiplicativo cotribuisc a distigur l du. Qusto ci srv ad vidziar ch lo spttro trovato prima pr S ( o è ua prcisa approssimazio dlla trasormata di Fourir, proprio pr la macaza dl trmi moltiplicativo. La ormula ricavata pr S ( o è chiaramt implmtabil i u calcolator, i quato la sommatoria è stsa ad iiiti trmii, mtr oi o abbiamo ua mmoria di capacità iiita é possiamo aspttar pr u tmpo iiito l sito dl campioamto. Al cotrario, oi possiamo ttuar la ostra ossrvazio dl sgal s(t solo pr u tmpo iito, il ch quival a cosidrar u umro iito di campioi. Suppoiamo allora di avr prso solo campioi dl ostro sgal s(t, umrati da ad -: abbiamo ch s (t s( δ(t S ( s( j Abbiamo sclto vidtmt i campioi partdo da t ido i t(-. E ituitivo aspttarsi ch il cotuto iormativo di qusto sgal campioato sia divrso da qullo ottuto co u campioamto di durata iiita. rchiamo allora di rdrci coto di qusto atto co ua aalisi quatitativa. L oprazio di cosidrar solo u umro iito di campioi dl ostro sgal s(t può ssr itrprtata i du modi, prttamt quivalti: dato s(t, lo istriamo, cioè cosidriamo l adamto tro u dato itrvallo di tmpo di durata iita, poi lo campioiamo; Autor: Sadro Ptrizzlli

3 rasormata di Fourir discrta (part I il scodo modo è ivc qullo di campioar prima s(t poi di slzioar u umro iito di campioi. Possiamo cioè idirtmt ritr ch il campioamto vga atto prima o dopo la istratura, visto ch il risultato ial è lo stsso. Ragioiamo allora i rquza, suppodo di istrar prima il sgal poi di campioar. L oprazio di istratura cosist lla moltiplicazio dl sgal pr u rttagolo di durata iita (d altzza uitaria. Idichiamo tal durata co, dov è il priodo di campioamto (mtr, ovviamt, rapprsta il umro di campioi ch adrmo a prdr succssivamt: il sgal istrato ha sprssio t s (t s(t g(t s(t rct dov l sprssio appartmt complicata dl rttagolo driva dal atto ch sso o è ctrato ll origi, ma ll istat /, visto ch si suppo di stdr la istratura da t a t. g(t t Pr calcolar lo spttro di s (t, dobbiamo duqu covolvr i du spttri: lo spttro dl rttagolo g(t, applicado la diizio, è G( jt jt g(t dt dt j jt si( j [ ]... (il trmi di as driva chiaramt dal atto ch il rttagolo o è ctrato i t, mtr, s lo oss, il suddtto trmi di as scomparirbb pr cui lo spttro dl sgal istrato è S ( S( *G( S( * si( j Adsso dobbiamo campioar s (t, il ch sigiica, l domiio dlla rquza, prdr lo spttro S ( appa calcolato priodicizzarlo a passo / : S ( si( j S( * La igura sgut mostra allora com è atto qusto sgal, ch è la cosiddtta trasormata di Fourir tmpo-discrta (brvmt DF: 3 Autor: Sadro Ptrizzlli

4 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. La prima oprazio idicata è la istratura dl sgal s(t, ch i rquza corrispod alla covoluzio di S( pr il si(/ (corrispodt al rttagolo di istratura l tmpo. La succssiva oprazio è il campioamto dl sgal istrato, oprazio ch, i rquza, corrispod ad ua priodicizzazio dllo spttro dl sgal istrato La covoluzio tra S( d il si(/, cioè la trasormata dl rttagolo di istratura, dà origi ad u sgal ch somiglia ad S( priodicizzato, ma co i più dll oscillazioi sia i bada sia uori bada; tal sgal è, toricamt, a bada iiita, pr cui il sgal ch si otti dal succssivo campioamto o può ar a mo di prstar ua sovrapposizio di rplich, cioè u rror di aliasig. Qusto, quidi, sigiica ch, ll itrvallo o ambiguo [- /, /], il sgal campioato prsta la rplica di ostro itrss cui soo sommat tutt l altr rplich spttrali. E ostro itrss, allora, ridurr l iluza dll rplich ch ao da disturbo d abbiamo u solo modo pr arlo: aumtar la durata dlla istra di ossrvazio. Iatti, ci basta tr coto ch il si(/ pr cui moltiplichiamo S( prsta gli zri i / multipli dcrsc ioltr i modo proporzioal a : aumtado quidi, oi ottiamo il duplic tto di avviciar gli zri dl si(/ di vlocizzar il dcadimto dll su cod, ottdo duqu u disturbo via via mior ll itrvallo o ambiguo. A livllo quatitativo, c è u critrio molto smplic pr idividuar il valor ottimal di (durata dll ossrvazio: issato u arbitrario valor di, adiamo a valutar i valori di S ( all itro dll itrvallo o ambiguo 3 ; succssivamt aumtiamo ricalcoliamo gli stssi valori; i quado ossrviamo variazioi cosistti di valori di S (, dobbiamo cotiuar ad aumtar ; quado ivc ossrviamo variazioi sulla quarta o quita cira dcimal, allora possiamo rmarci, prché sigiica ch il cotributo dll cod dll rplich adiacti è divtato trascurabil risptto alla prcisio da oi dsidrata. Riassumdo, quidi, la DF (cioè l oprazio di istratura succssivo campioamto di s(t ci può dar ua accttabil approssimazio dllo spttro 4 di s(t, a patto di tollrar sia la priodicizzazio i rquza (il ch, prò, sappiamo o ssr u problma quado il sgal è passa-basso, cioè a bada limitata, soprattutto, l aliasig ivitabil dovuto al trocamto dlla squza di umri ch cosidriamo (dobbiamo cioè accttar ch tra - / / si ottga o lo spttro di s(t, ma lo spttro dl sgal ottuto istrado s(t tra t t. D altra part, o c è da stupirsi di qusto risultato: quato maggior è la durata dlla istra di ossrvazio, tato più ci approssimiamo al campioamto idal quidi tato più il sgal campioato si approssima a qullo ottibil, idalmt, co iiiti campioi ( smpr ll ipotsi di rispttar il torma dl campioamto. 3 E chiaro ch cosidriamo solo alcu rquz 4 itso cioè com la trasormata di Fourir classica dl sgal s(t Autor: Sadro Ptrizzlli 4

5 rasormata di Fourir discrta (part I I qualch modo, quidi, la DF ci dà ua buoa approssimazio dllo spttro di s(t, ottuta da u umro iito di campioi di s(t stsso. è prò u problma: la suddtta approssimazio dllo spttro di s(t risulta ssr ua uzio cotiua dlla rquza. S ( si( j S( * Quidi, odamtalmt, co la DF passiamo da ua rapprstazio discrta l tmpo (costituita dai campioi s( dl sgal istrato ad ua rapprstazio cotiua i rquza. Qusta ha il prgio di costirci il calcolo di S ( i qualsiasi rquza, ma, vicvrsa, ha il ditto di o ssr rapprstabil lla mmoria di u calcolator. Dobbiamo allora ar u ultrior passo avati risptto a qusti discorsi: dobbiamo ottr ua rapprstazio discrta ach l domiio dlla rquza. A qusto rquisito rispod la DF, ch sarà aalizzata i prossimi paragrai. DF (Discrt Fourir rasorm IRODUZIOE Abbiamo cocluso il paragrao prcdt ossrvado ch la DF di u sgal s(t tmpocotiuo o va b ai ostri scopi (ch soo qulli di ua laborazio umrica dl sgal ach l domiio dlla rquza pr il smplic atto ch o è implmtabil i u calcolator: to s(t campioam s( DF S ( s( j Iatti, s da u lato acciamo uso di u umro iito di campioi dl sgal s(t l tmpo, dall altro ottiamo ua rapprstazio dl corrispodt spttro ch risulta ua uzio cotiua dlla rquza. Aiché ach la rapprstazio i rquza sia mmorizzabil sul calcolator, dobbiamo duqu discrtizzar la rapprstazio di rquza. Il problma è allora il solito: data ua uzio cotiua dlla rquza, corrispodt allo spttro di s(t, dobbiamo campioarla. Possiamo allora ar immdiatamt du cosidrazioi: i primo luogo, dovdo campioar divta crucial la sclta dl passo di campioamto (i rquza s si vuol cosrvar il cotuto iormativo dl sgal di partza; i scodo luogo, così com campioar l domiio dl tmpo quival ad ottr u sgal priodico i rquza, val ach il dual, ossia campioar l domiio dlla rquza quival ad ottr u sgal priodico i tmpi. Focalizziamo l attzio sulla scoda ossrvazio: quado oi campioiamo s(t l tmpo, ottiamo dal campioator u sgal s (t la cui trasormata è la riptizio priodica di S(; dualmt, s campioiamo S(, ottiamo u sgal la cui atitrasormata o può ch ssr ua riptizio priodica di 5 Autor: Sadro Ptrizzlli

6 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. s(t. Dtto i altr parol, il sgal ottuto campioado S( può ssr itrprtato com la trasormata dl sgal ottuto priodicizzado s(t a passo opportuo. L oprazio ttuata dalla DF cosist duqu i du passi ssziali: priodicizzar s(t calcolar il corrispodt spttro. Vriichiamo aaliticamt quato appa dtto. Suppoiamo di volr ottr u campioamto di S( a passo (qusta è ua rquza di campioamto pr il momto grica, divrsa da qulla usata l tmpo. Aaliticamt, ciò sigiica ch l sito dl campioamto sarà u sgal S( campioam to a passo S DF ( S( δ( S( δ( dov, pr il momto, stiamo cosidrado il caso idal di iiiti campioi. osidriamo allora il sgal s(t priodicizziamolo 5 a passo /. Ottiamo il sgal s(t priodicizzazio a passo g(t s ( t Dobbiamo calcolar lo spttro di g(t. Dal corso di oria di Sgali sappiamo già com si calcola lo spttro di u sgal priodico: aziché cosidrar il sgal lla sua iiita durata, dato ch il cotuto iormativo si ript ugual i ciascu priodo, è suicit cosidrar u qualsiasi priodo calcolar la trasormata dl sgal solo i sso 6. alcoliamo allora la trasormata di g(t l priodo odamtal, ch va da - / a /: S ( P / / g(t D altra part, ssdo g(t u sgal priodico, sso ammtt ua rapprstazio i trmii di sviluppo i sri di Fourir: g(t jt dt s( t c j t dov il grico coicit dllo sviluppo ha otoriamt sprssio c / / g(t j t dt S allora corotiamo qusta sprssio co qulla di S P (, ci accorgiamo immdiatamt ch c corrispod a S P ( calcolato i / (cioè campioato moltiplicato pr / : c S P 5 Ach s sarà chiaro i sguito, è importat scglir il passo di priodicizzazio di s(t, i quato bisoga ar comuqu i modo ch da g(t si possa comuqu isolar s(t, slzioado i campioi tro u dato itrvallo di tmpo. 6 Si calcola cioè la trasormata dlla rstrizio dl sgal g(t al priodo cosidrato Autor: Sadro Ptrizzlli 6

7 rasormata di Fourir discrta (part I Abbiamo duqu trovato è possibil passar dallo sviluppo i sri di g(t (cioè di s(t priodicizzato a S P ( smplicmt campioado qust ultima uzio a passo / scalado i campioi di. Qusto risultato ci srv pr calcolar lo spttro di g(t. Iatti, adottado la dscrizio di g(t com sviluppo i sri di Fourir cosidrado l sprssio appa trovata pr i c, abbiamo ch g(t c j t S P j t S P j t da cui, trasormado ( applicado la liarità dlla trasormata di Fourir, ricaviamo ch G( S P F j t S P δ Qusto risultato corma ch ua priodicizzazio i tmpi quival ad u campioamto i rquza: iatti, G( è ua squza di iiiti impulsi, quispaziati di /, ciascuo di ara opportua. G( -3-3/ - -/ - -/ / / 3 3/ Spttro dl sgal g(t, ossia s(t priodicizzato a passo : gli impulsi soo quispaziati di / il grico impulso, posizioato i /, ha ara proporzioal al valor di G( i /. utto qusto discorso val a prscidr da com sia atto il sgal di partza s(t. i soo iatti du casi: il primo caso è qullo i cui s(t è u sgal di durata limitata ( quidi bada toricamt iiita itramt cotuto ll itrvallo [- /, /]: i qusto caso, possiamo vidtmt scrivr ch S ( P / / g(t jt dt il scodo caso è ivc qullo i cui s(t è u sgal di durata iiita (bada iita, pr cui l itgral ch diisc S P ( coti ttivamt solo il priodo bas di g(t. / / s(t jt dt 7 Autor: Sadro Ptrizzlli

8 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. oriamo ora al ostro problma di odo, ch possiamo impostar l modo sgut: abbiamo a disposizio u sgal s(t tmpo-cotiuo; vogliamo dar ua rapprstazio umrica i tmpi, pr cui lo campioiamo a rquza ; l sito dl campioamto è u sgal s (t ch i rquza risulta cotiuo priodico (di priodo ; la porzio di tal spttro ch ci itrssa è qulla cotuta i [- /, /] vogliamo dar ua rapprstazio umrica, cioè la vogliamo campioar. i srv allora dtrmiar il umro di campioi ch ci costa di dscrivr i modo complto u priodo dllo spttro di s (t. Idichiamo allora co il passo di campioamto i rquza: pr quato dtto prima, qusto corrispod a priodicizzar s(t co passo / : g(t + S ( DF st pr - Sottoliiamo ch, i qusti discorsi, il sgal s(t o è qullo tmpocotiuo di partza, ma qullo discrto ottuto dal campioamto l tmpo di s(t. Di cosguza, sarbb più opportuo parlar di squza di campioi s( corrispodt ad s(t ch o di sgal s(t. Su qusto asptto, comuqu, torrmo dopo. osì com acvamo pr il campioamto di tmpi, dobbiamo adsso valutar com è atto g(t: s il sgal s(t è di durata limitata 7, possiamo sicuramt scglir u passo tal ch g(t o prsti sovrapposizio dll rplich di s(t; i particolar, dovrmo scglir suicitmt piccolo da garatir ch il priodo di riptizio di s(t i tmpi sia maggior o almo ugual alla durata di s(t stsso; ovviamt, o ci covrrà mmo prdr troppo piccolo, i quato ci trovrmmo co u sgal g(t i cui l rplich di s(t o solo soo sparat, ma ach molto distaziat, il ch quivarrbb ad uo sprco di campioi (smpr i rquza; s ivc s(t è di durata illimitata, allora o potrmo vitar la sovrapposizio, cioè u rror di alias l tmpo. osidriamo duqu il caso di s(t di durata limitata, com potrbb ssr qullo dlla igura sgut: s(t - t om scgliamo il passo di campioamto i rquza? Dobbiamo garatir la sparazio dll rplich di s(t, ma o dobbiamo mmo sagrar co tal sparazio. La cosa più ssata è ar i modo ch la prima rplica si prsti subito dopo la i dlla squza di partza. E acil ottr qusto: sviluppado parzialmt la sommatoria di prima, abbiamo ch 7 U sgal s(t si dic a durata limitata s sso risulta idticamt ugual a al di uori di u dato itrvallo di tmporal Autor: Sadro Ptrizzlli 8

9 rasormata di Fourir discrta (part I g(t st... + st + + s(t + s t + st +... La squza di campioi di s(t part da t iisc i t(- (cioè è luga campioi, pr cui dobbiamo ar i modo ch la prima rplica, ossia s t, parta dall istat t ; ci basta allora porr osì acdo, ottiamo iatti g(t s t s / ( t... + s( t + + s(t + s( t + s( t +... La prima rplica si std da a (- ; la scoda rplica si std da a (3- così via. La particolarità di qusta sclta dl passo di campioamto è ch ottiamo lo stsso umro di campioi sia l tmpo sia i rquza: iatti, i rquza, s campioiamo da - / a /, ossia da -/ a /, usiamo u passo /, il umro di campioi è ampizza dll' itrvallo di campioamto passo di campioamto d ach rao i campioi l tmpo. Ripiloghiamo duqu qusti discorsi co la sgut tablla: campioamto campioamto l i tmpo rquza [,( - ] itrvallo di campioamto : umro di campioi : passo di campioamto: itrvallo di campioamto : umro di campioi : passo di campioamto: / [-/,/ ] FORMULE DI RASFORMAZIOE E AIRASFORMAZIOE Adsso quatiichiamo i modo più complto la ormula di trasormazio di Fourir discrta (DF la corrispodt ormula di atitrasormazio (IDF. Abbiamo dtto ch la DF si può vdr com l sito di du succssiv oprazioi: prima priodicizziamo s(t a passo / poi trasormiamo co i mtodi classici di Fourir. Abbiamo ach dtto ch oi o coosciamo proprio s(t, ma la corrispodt squza di campioi ottuti a 9 Autor: Sadro Ptrizzlli

10 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. passo. Quidi, quado parliamo di priodicizzar s(t, parliamo i pratica di priodicizzar la squza di campioi dscrittiva di s(t. raduciamo qusti coctti i ormul. Partiamo dal sgal g(t ottuto priodicizzado s(t a passo (opportuo / : g(t st Abbiamo già samiato l sprssio di g(t com sviluppo i sri di Fourir: ssdo g / il priodo di g(t, l sprssio è g(t g j t g g S P g j t g SP jt Dato ch oi coosciamo i campioi di s(t, ach g(t o potrà ch ssr ormato dagli stssi campioi, riptuti priodicamt. Ha sso prciò porr t, pr cui g( S P j Abbiamo ioltr dtto prima ch è ssato porr /, i modo da vitar la sovrapposizio dll squz di campioi: sostitudo, abbiamo prciò ch g( S P j Podo allora gricamt c S ( g( c ( S ( P j P, possiamo scrivr ch,,...,( - A proposito di qulla sommatoria, si possoo vriicar alcu proprità: i primo luogo, i trmii dllo sviluppo ch si ottgoo pr valori di multipli itri di soo tutti costituiti dal solo coicit c K ; i scodo luogo, si ossrva ach ch j j( + Sulla bas di qust ossrvazioi, si ota ch sia pr i trmii co positivo sia pr qulli co gativo, i trmii spoziali si riptoo priodicamt ogi trmii. Qusto cost di ridurr la sommatoria ad trmii d, dov prò ogi trmi è a sua volta la somma di iiiti altri trmii. j Autor: Sadro Ptrizzlli

11 rasormata di Fourir discrta (part I g( dov d d m j c m+,,...,( - Il passaggio ultrior cosist l vriicar ch ach i coiciti d soo ottibili com sommatori di u umro iito di trmii: d m g(m m jr,,..., - Possiamo duqu scrivr l sguti du ormul, podo d G(: g( G( g( G( j j,,..., -,,..., - Qust du ormul coivolgoo prò il sgal g(t, mtr a oi itrssa s(t. uttavia, possiamo ossrvar, ll sprssio di G(, ch i campioi g( coivolti lla sommatoria soo qulli tra t t(-, pr cui coicidoo co i campioi di s(t. Possiamo prciò cocludr ch s( S( j,,..., - S( s( j,,..., - Qust soo l ormul ch diiscoo la DF la IDF. Etramb l ormul costao di u umro iito di lmti: oti gli campioi di s(t, è possibil calcolar il vttor di lmti costitut S(, vicvrsa, oto il vttor di lmti costitut S( è possibil risalir agli campioi di s(t. otiamo ua ort somigliaza di qust ormul co qull valid l caso tmpo-cotiuo: la trasormata ivrsa è com qulla ivrsa a mo dl sgo dll spot (così com l caso tmpo-cotiuo dl attor /. Qusto attor moltiplicativo è duqu l uica ovità risptto al caso cotiuo. E vidt ach u altra cosa: la ormula di trasormazio, ch cioè cost di passar dalla squza s( alla squza S(, o è altro ch la DF, lla qual prò si cosidrao iiiti campioi, campioata a passo / : Autor: Sadro Ptrizzlli

12 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. to DF co iiiti campioi s(t campioam s( S( DF (co campioi su u itrvallo limitato S( S( s( s( j j s( j Qusto atto rapprsta u modo molto più immdiato di itrprtar la DF: si tratta dl campioamto (a passo opportuo su u itrvallo iito di rquz dlla trasormata di Fourir (ad iiiti campioi di ua squza tmporal discrta s(. E ovvio ch la possibilità di campioar su u itrvallo iito di rquza sist prché lo spttro dlla squza s( è lo spttro di s(t priodicizzato a passo /, pr cui il cotuto iormativo ch ci itrssa è cotuto i qualsiasi priodo si voglia utilizzar. Vriica dlla ormula di atitrasormazio Prima di prosguir, possiamo rdrci coto acilmt dl atto ch la ormula di trasormazio da s( a S( sia ivrtibil, ossia dl atto ch la cooscza di S( costa ttivamt di risalir alla squza s( di campioi l tmpo. Pr vriicar l ivrtibilità di S(, ci basta applicar il pricipio di sovrapposizio dgli tti, il qual ci cost di ragioar, aziché co ua squza s( grica, co ua squza molto particolar, costituita da u solo campio o ullo, i u istat qualsiasi, tutti gli altri campioi ulli: possiamo ad smpio cosidrar s( alcoliamo allora la DF di qusta particolar squza di campioi l tmpo: applicado la diizio vista prima tdo coto ch l uico campio o ullo si ha pr, abbiamo ch S( s( j s( j j,,..., - Il vttor di campioi ch diiscoo la DF è duqu il sgut:, j j j,,..., dov il primo campio è uitario dato ch l spot val. S adsso applichiamo la ormula di atitrasormazio (IDF, al i di risalir a s(, ottiamo quato sgu: s( S( j j j j (,,..., - Abbiamo duqu ch il grico campio s( è dato dalla somma (scalata di u attor di trmii dl tipo ( j, co,,...,: Autor: Sadro Ptrizzlli

13 rasormata di Fourir discrta (part I Autor: Sadro Ptrizzlli 3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( j j j j j j j j j j j j... s((... s( s(... s( ra qulla pr, ch risulta uitaria, tutt l altr sommatori valgoo vidtmt i quato il vrsor ( j a smpr u umro itro di giri quidi la somma gra u poligoo chiuso, cioè a somma. ocludiamo quidi ch la ricostruzio dlla squza s( è dl. o si trattava, prò, di ua squza grica, ma di ua squza co ua particolarità importat: ua qualsiasi altra squza s( può ssr ricavata da qulla appa ricavata tramit ua opportua combiazio liar. Di cosguza, applicado la sovrapposizio dgli tti, dduciamo ch la ricostruzio di s( a partir da S( è possibil pr qualsiasi squza s( di partza. Simbologia adottata ocludiamo il paragrao itroducdo la classica otazio usata pr sprimr la DF la IDF: -,,..., s(w S( -,,..., S(W s( I pratica, si è posto j W qusto trmi rapprsta smplicmt u vrsor. Esmpio osidriamo ua squza x( di tipo spozial, ch possiamo così rapprstar: < < pr pr a x( pr t pr t a x(t passo a campioam to t

14 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. I pratica, il sgal x(t di partza val prima di t val a t pr t. Il succssivo campioamto (a passo produc ua squza ch, pr a.8, è atta l modo sgut: Il atto ch la squza dcrsca l tmpo dipd ovviamt dal atto di avr prso <a<; s oss stato a>, la squza sarbb crsciuta l tmpo. E subito vidt u atto: il sgal x(t cosidrato, quidi ach la corrispodt squza, è di durata iiita, il ch sigiica ch ua vtual priodicizzazio, com si vdrà tra u attimo, o potrà ch prstar aliasig. Allo stsso tmpo, prò, u sgal spozial dcrsc praticamt a dopo u crto tmpo, pr cui è ituitivo aspttarsi ch si ottgao risultati divrsi a scoda di com si ttua il campioamto. Vdiamo i dttagli Itato, suppoiamo, pr smplicità, di prdr. alcoliamo la trasormata di Fourir dlla squza x(: s cosidriamo u umro iiito di campioi (pr cui o è ua DF, ottiamo X( j j x( a j ( a j a Qusto spttro è di tipo complsso, pr cui prsta u modulo d ua as (acilmt ricavabili, praltro, d è priodico 8. osidriamo allora solo il modulo, il cui adamto (riportato i uzio di ω, co ririmto al primo priodo, è qullo dlla igura sgut: Si tratta, com sappiamo, di uo spttro cotiuo. 8 Ricordiamo, iatti, acora ua volta ch lo spttro dlla squza x(, ottuta campioado x(t, è ua priodicizzazio dllo spttro di x(t, a passo /, dov è il priodo di campioamto l tmpo. Autor: Sadro Ptrizzlli 4

15 rasormata di Fourir discrta (part I Adsso campioiamo X(, l primo priodo co u umro di campioi pari a qulli l tmpo, co u passo di campioamto /, il ch quival a cosidrar l rquz /, pr,...,-: X( a Qusta squza X( rapprsta la DF dlla squza x( di partza. i itrssa sapr s X( cost di ricostruir la squza di partza x(. Aaliticamt, dobbiamo applicar la IDF, il ch quival, sostazialmt, ad sguir du oprazioi: i primo luogo atitrasormar X(: qusto ci darà ua squza xˆ ( corrispodt alla priodicizzazio di x(t a passo : j xˆ( j X( i scodo luogo, azzrar tutto qullo ch c è al di uori dl priodo odamtal, i modo da isolar x(: xˆ( - x( altrimti Abbiamo duqu quato sgu: j x( X( a j j a... a Il risultato ottuto chiarisc prttamt qullo ch succd: il umrator dlla razio coicid sattamt co la squza x( ch ci itrssava ricostruir, ma è prst u trmi a domiator (ch poi è smplicmt u attor di scala ch dirzia quato ottuto da quato volvamo ottr. Qusta dirza o è altro ch l alias dovuto al atto ch la squza x( di partza o ra a durata limitata, pr cui la sua priodicizzazio i tmpi ha prodotto sovrapposizio di campioi. D altra part, si ossrva ach u altra cosa: all aumtar di, iatti, il trmi a dimiuisc quidi l rror di alias td a scomparir. Qusto è dovuto al atto, già accato, ch il sgal spozial dcrsc praticamt a dopo u crto tmpo, pr cui più stdiamo il campioamto l tmpo, più ci ricoduciamo, i pratica, ad ua squza di durata limitata. L igur sguti chiariscoo acora mglio il coctto: lla igura sgut è illustrato qullo ch accad s prdiamo appa 5 campioi dl sgal x(t di partza; lla igura di siistra è riportata la squza xˆ ( ottuta co la IDF, mtr i qulla di dstra lo spttro ricavato co la DF: 5 Autor: Sadro Ptrizzlli

16 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. b divrso è qullo ch si otti prddo ivc 5 campioi dl sgal x(t di partza La dirza, tra i du casi, è vidtmt l atto ch l stsio dl priodo di campioamto ( cioè dl umro di campioi porta a cosidrar u sgal di durata limitata, ch quidi risptta l ipotsi sotto cui la DF è ua valida approssimazio dllo spttro dl sgal stsso. Lo si ota, proprio, ossrvado com l du DF appa riportata somigliao allo spttro X( riportato prima: la DF ottuta co 5 campioi è ua lotaa part di X(, mtr la DF ottuta co 5 campio è ua dscrizio strmamt dl di X(. Esmpio: mtodo dllo zro paddig Facciamo u altro smpio sigiicativo di calcolo di DF, cosidrado, com sgal x(t di partza, u classico rttagolo di durata iita. x(t ampioado qusto rttagolo solo ll itrvallo di tmpo i cui è o ullo suppodo di cosidrar, pr tal itrvallo, L campioi, abbiamo quato sgu: x( t Autor: Sadro Ptrizzlli 6

17 rasormata di Fourir discrta (part I x(t pr t A altrimti campioam to x( pr L altrimti Avdo a ch ar co u rttagolo, sappiamo ch il suo spttro è dl tipo si(/. Dato ch, prò, oi ragioiamo sulla squza x( ottuta campioado x(t, dduciamo ch lo spttro di x( sarà la priodicizzazio dl si(/. Vdiamo i dttagli. alcoliamo la trasormata di Fourir dlla squza x(: applicado la diizio X( L L j j x( j j ( j o smplici passaggi matmatici, si otti di sprimr X( lla orma si X( si ( L ( L j Acora ua volta, abbiamo duqu uo spttro complsso (il trmi di as itrvi i quato il rttagolo di partza o ra ctrato ll origi. Si tratta ach di uo spttro priodico, pr i motivi ormai b oti. L adamto dl modulo dlla as di tal spttro l primo priodo soo riportati (i uzio di ω lla igura sgut, ll ipotsi di L: L Adsso calcoliamo la DF di x(, stddola ad u umro, pr il momto grico, di campioi: abbiamo ch si L L j ω X( si dov ovviamt,...,-. Il tipo di dscrizio orta da X( vi a dipdr strttamt dal valor di. Ua situazio assolutamt particolar, i qusto caso, si otti scglido L (cioè prddo i rquza lo stsso umro di campioi di cui dispoiamo l tmpo: si otti, iatti ch 7 Autor: Sadro Ptrizzlli

18 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. si X( si L j L L ( j L si si Pr qualsiasi valor di >, la quatità si( è ulla, pr cui risulta ach ullo X(; pr, ivc, ach il domiator di qulla razio risulta ullo, il ch idica ua orma idtrmiata: applicado il torma di L Hopital, si ricava acilmt ch X(L. Quidi, prddo L, si otti ch L X(,,...,L - Si otti cioè uo spttro idticamt ullo tra ll origi, dov val L. Il motivo di qusto risulta è vidt s si ossrva l adamto dl modulo dlla as di X(: trambi soo iatti ulli proprio ll pulsazioi ω / i cui abbiamo ttuato il campioamto, tra la pulsazio ω, lla qual X(ω. I raltà, prò, il atto ch X( sia vuta pr tutti i puti tra ch i o costituisc u problma dal puto di vista aalitico: iatti, è acil vriicar ch, calcolado la IDF (co L campioi di X(, si otti proprio x(. D altra part, s è vro ch la DF ad L campioi risulta suicit pr rapprstar la squza x( l domiio dll rquz, è ach vro ch ssa o orisc u suicit dttaglio pr ua buoa rapprstazio graica dll carattristich spttrali di x(: iatti, oi visualizziamo smplicmt u impulso, di ara L, ctrato i, mtr ivc abbiamo visto ch l adamto di X(, i modulo è as, è b più complicato. Ha sso allora chidrsi com si possa rimdiar a qusto icovit. L uico modo a ostra disposizio è chiaramt qullo di aumtar il umro di campioi, rddolo maggior di L (tato quato basta ad ottr ua buoa rapprstazio graica dllo spttro. Qusta oprazio di aumtar il umro di campioi i rquza è assolutamt quivalt ad u altra oprazio: suppoiamo di volr comuqu ottr u umro di campioi i rquza pari al umro L di campioi l tmpo; s dispoiamo, iizialmt, di u umro isso L di campioi l tmpo, l uico modo di aumtarli, sza modiicar il cotuto iormativo, è qullo di aggiugr altri campioi ittizi, ch dovrao ssr tutti ulli. I altr parol, data la squza x( di partza, composta da L campioi, la allughiamo isrdo u crto umro di : x( 443 zro paddig Qusto mtodo prd il om di zro paddig. A qusto puto, possiamo usar u umro L di campioi i rquza maggior di prima, il ch ci cost di dscrivr co maggior dttaglio lo spttro. Ad smpio, lla igura sgut vi riportata la X(, i trmii di modulo as, l caso di L5 campioi: Autor: Sadro Ptrizzlli 8

19 rasormata di Fourir discrta (part I Aumtado acora il umro di campioi, prddo, si otti quato sgu: OSSERVAZIOE: UMERO DI AMPIOI EL EMPO ED I FREQUEZA Sulla scorta di quato visto ll ultimo smpio, è opportuo approodir ultriormt il lgam sistt tra il umro di campioi di cui è composta la squza x( di partza d il umro di campioi di cui è composta la corrispodt DF. A tal proposito, cosidriamo la ormula dlla IDF, ll ipotsi ch la DF sia stata costruita usado campioi: j x( X(,,..., - om abbiamo avuto modo di vdr i prcdza, qusta ormula coti i sé ua ipotsi implicita: iatti, a rigor, ssa cost di risalir, da X(, o alla squza x( di partza, quato a qusta squza priodicizzata: g( g( m - X( x( - m j,,..., - Allora, il atto di porr a primo mmbro dirttamt x( prsuppo ch la priodicizzazio di x( o prsti aliasig, ossia ch x( sia di durata limitata ch il passo di campioamto i rquza sia stato sclto opportuamt. I diitiva, la IDF, a rigor, cost di ricostruir solo g( partdo dai campioi dllo spttro X( dlla squza x(; s 9 Autor: Sadro Ptrizzlli

20 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. g( è ua riptizio priodica o aliasata di x(, allora la IDF cost, di atto, di ricostruir x( a partir da X(. osidriamo duqu la squza x(, suppodo ch sia di durata limitata. Qusto sigiica ch tal squza è costituita da u umro iito di campioi 9 : lo idichiamo co L. om si è visto i prcdza, o siamo obbligati a prdr, ach i rquza, lo stsso umro L di campioi; al cotrario, possiamo prdr u umro grico di campioi i rquza, a patto prò di rispttar u vicolo odamtal: iatti, s l itrvallo di campioamto è issato, il umro di campioi dtrmia il passo di campioamto qusto, com dtto, dtrmia il passo co cui vi ttuata la priodicizzazio di x(: g( + m - x( - m Pr vitar l aliasig, è cssario scglir L. possiamo rdr coto co u smplic smpio, rapprstato lla igura sgut: La squza x( di partza è di durata limitata L (l ultimo campio è qullo umrato co L-, cui sgu il primo campio ullo dlla squza d è idicata lla igura i lato; scglido u umro di campioi, i rquza, maggior di L, ottiamo la squza priodica idicata lla igura ctral: è vidt ch tal squza o prsta aliasig tra l vari riptizioi di x(, pr cui la rplica ctral può ssr traquillamt isolata. Lo stsso, ivc, o accad quado prdiamo <L (igura i basso: i qusto caso, la priodicizzazio di x( cra sovrapposizio parzial tra l vari rplich (aliasig, il ch impdisc la ricostruzio. Quidi, mtr l primo caso (>L, la IDF cost di ricostruir x(, l scodo caso (<L, la IDF cost di ricostruir solo g(, ch è ua riptizio priodica aliasata di x(. Il caso limit è ovviamt qullo i cui L, l qual caso l rplich di x( soo prttamt aiacat, ma comuqu sparabili ua dall altra. La coclusio dl discorso è duqu la sgut: lo spttro di u sgal apriodico tmpo-discrto di durata iita L può ssr sattamt ricostruito dai campioi dl suo spttro, prsi ll rquz quispaziat /, solo s L. 9 al umro è duqu la lughzza dlla squza Autor: Sadro Ptrizzlli

21 rasormata di Fourir discrta (part I è ach u altro puto di vista dal qual ossrvar qusta qustio. Suppoiamo di avr a disposizio ua squza x( luga L campioi (da ad L-. vogliamo calcolar la DF basata su campioi, co >L. Applicado allora la classica diizio, ottiamo X( L x( j,,..., - La sommatoria è ovviamt stsa al umro L di campioi tmporali di cui dispoiamo. i chidiamo ch cosa succd s, al posto di calcolar la DF dirttamt di x(, calcoliamo la DF dlla squza ottuta da x( aggiugdo tati campioi ulli (zro paddig, i coda, quati srvoo pr avr u umro total di campioi: x( L campioi 443 zro paddig aggiuta di -L campioi ulli Dscrizio dl mtodo dllo zro paddig l caso i cui x( sia rutto dl campioamto di u rttagolo: agli L campioi ottuti dal campioamto vgoo aggiuti, i coda, -L campioi ulli, i modo da ottr u umro di campioi pari a qulli ch si itd usar i rquza Dal puto di vista dll iormazio possduta dal sgal, o è cambiato assolutamt ulla risptto alla squza origial, il ch sigiica, i parol povr, ch è rimasto idtico lo spttro X( dlla squza. Al cotrario, l avr aggiuto di campioi (sia pur ulli cost u calcolo più prciso dlla DF basata su campioi, ch si traduc, all atto pratico, i ua miglior visualizzazio dllo spttro. L smpio cosidrato prima ra rapprstativo proprio di qusti coctti. Sulla bas di qust cosidrazioi, divta acil risolvr il problma ivrso: suppoiamo di partir, qusta volta, dalla DF di ua squza x( la idichiamo co X(; suppoiamo ioltr ch tal DF sia luga campioi; vogliamo calcolar la IDF di X(, sapdo ch la squza risultat x( è luga L campioi. Scrivrmo ovviamt ch x( X( j,,...,l - il ch implica ch x( risultrà idticamt ulla pr L,L+,...,-. PRIIPALI PROPRIEÀ DELLA DF L proprità di cui god la DF soo assolutamt aalogh a qull dlla trasormata di Fourir pr sgali discrti pr sgali cotiui. Esistoo d altra part ach dll alt proprità, com qulla dlla covoluzio circolar, ch dirziao proodamt la DF dall altr trasormat. Autor: Sadro Ptrizzlli

22 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. Liarità osidriamo du sgali discrti priodici x( y( idichiamo co X(F Y(F l rispttiv DF. Si può dimostrar acilmt ch la DF dl sgal z( ax( + by( è smplicmt data da Z( F ax( F + by( F Quidi, la DF di ua squza z( ottuta com combiazio liar di altr du squz è pari alla combiazio liar, co gli stssi coiciti, dll sigol DF. raslazio l tmpo osidriamo il grico sgal s( discrto la sua trasormata di Fourir S(F; cosidriamo ioltr il uovo sgal z( s( ottuto traslado s( i tmpi di ua quatità multipla dl priodo di campioamto. Si può dimostrar ch la DF dl uovo sgal z( è Z F S F j ( ( raslazio i rquza Sia smpr s( u grico sgal discrto co DF S(F. osidriamo ioltr la uzio Z( F S( F F. si può dimostrar ch ssa rapprsta la DF dl sgal z s j ( ( Simmtria circolar di ua squza osidriamo ua squza x( di durata iita idichiamo co L la sua lughzza (pr cui è composta da L campioi, umrati da ad L-. possiamo calcolar la DF basata su u umro L di campioi, ottdo prciò u vttor X( ad lmti. Abbiamo visto ch qusto vttor X( è quivalt alla DF di ua squza priodica x p (t, di priodo, ottuta priodicizzado i tmpi la squza x(. Possiamo sprimr tal squza priodica lla smplic orma x p ( x( i i Adsso suppoiamo di shitar la squza priodica x p ( di uità vrso dstra. Ottiamo ua squza x p ( acora priodica, ch possiamo sprimr acilmt l modo sgut: Autor: Sadro Ptrizzlli x' p ( x p ( x( i i

23 rasormata di Fourir discrta (part I I qusta uova squza possiamo isolar i campioi cotuti l primo priodo, ch va smpr dal campio di posizio a qullo di posizio -: x' x'( p ( altrimti La carattristica di qusta uova squza x ( è vidt: ssa è ottuta dalla squza x( di partza tramit uo shit circolar. La igura sgut mostra l dttaglio i passaggi ch abbiamo appa ttuato, l caso smplic di ua squza luga 4 campioi di uo shit : x( 3 x p ( x p ( x'( 3 Partdo da x(, il primo passo è la priodicizzazio, i modo da ottr x p (; il scodo passo cosist llo shitar i campioi di x p ( vrso siistra di posizio di shitar la umrazio dgli stssi campioi vrso dstra di posizio; ii, l ultimo passo cosist ll isolar i campioi umrati da a 3. Esist ua simbologia covzioal pr rapprstar uo shit circolar di ua squza: x( shit circolar di campioi vrso dstra x'( x(( La quatità idica il umro di campioi pr lo shit, mtr la quatità idica la lughzza dlla squza x( di partza. Si assum, ovviamt, ch la dirzio prdiita di shit sia vrso dstra, il ch sigiica ch uo shit vrso siistra sarà idicato co x((+. l caso dlla igura prcdt, i cui 4, si ha quato sgu: x( ( x( x( x( x(3 x'( x(( 4 x'( x(( 4 x( x'( x(( 4 x(3 x'( x(( 4 x( x'(3 x(( 4 x( 3 Autor: Sadro Ptrizzlli

24 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. i soo di casi i cui lo shit circolar appa dscritto porta a di risultati particolari. A qusto proposito, sussistoo du diizioi, rlativ a squz di lughzza iita : ua squza x( è dtta circolarmt pari s è simmtrica risptto al puto dl circolo, il ch sigiica smplicmt ch x( x( - ua squza x( è dtta circolarmt dispari s è atisimmtrica risptto al puto dl circolo, il ch sigiica smplicmt ch x( x( - Simmtria hilbrtiaa octriamoci adsso su ua dll proprità più importati dlla DF. Quado abbiamo itrodotto la trasormata classica di Fourir di u sgal tmpo-cotiuo, abbiamo dtto ch, s il sgal è ral, la sua trasormata god dlla simmtria hilbrtiaa: s(t ral Fourir S( S * ( I bas a qusta rlazio, la grica compot spttral a rquza X è pari al complsso coiugato dlla compot a rquza X. Qualcosa di simil accad ach pr la DF. omiciamo co u discorso puramt aalitico, partdo dalla diizio di DF: S( s( j,,..., - Qusta diizio ci dic, i pratica, com calcolar, dato il vttor di campioi dl sgal s(t, il vttor di campioi ch costituisc il campioamto di S(: s( s( s( s(( DF S( S S S Suppoiamo adsso di volr calcolar il vttor S( a partir dall ultimo campio adado via via vrso siistra: ciò sigiica, smplicmt, calcolar S(- co,,...?. o ha ovviamt sso cosidrar, i quato i campioi di cui dispoiamo l vttor soo io a qullo di ordi -. o solo, ma o siamo i grado di dir, pr il momto, qual è l ultimo valor di da cosidrar. Lo vdrmo più avati. Pr calcolar il grico campio S(-, ci basta applicar la diizio di DF: S( s( j s( j j s( j j Autor: Sadro Ptrizzlli 4

25 rasormata di Fourir discrta (part I j Il grico trmi val vidtmt pr qualsiasi valor di : basta sprimr il trmi i otazio trigoomtrica cos(-jsi( pr vriicar ch la part ral val mtr qulla immagiaria è ulla. Abbiamo duqu ch S( s( j I qusta rlazio, possiamo ach scrivr ch j ( j, da cui risulta quidi ch S( s( ( j S( La rlazio S(-S(- rapprsta ua importatissima proprità dlla DF, ch commtrmo mglio più avati. Prosguiamo ivc il ragioamto. Il grico trmi s( j all itro dlla sommatoria ha u altra particolarità: s i campioi s( soo rali (cioè s s(t è ral, sso è il complsso coiugato di s( altr parol, s s( è ua squza ral, possiamo scrivr ch S( s( * * j j j s( s( Abbiamo cioè cocluso ch, pr ua squza ral, la DF god dlla proprità pr cui S( S( S osidriamo adsso i particolar la proprità pr cui, a prscidr dal atto ch s(t sia ral o mo, risulta S( S(, pr,,...?. Ricordiamoci di com si prvi alla DF: dato il sgal s(t tmpo-cotiuo di partza, lo si campioa, ottdo uo spttro priodico S (, si campioa tal spttro priodico i u assgato priodo, ottdo apputo la squza S(. I tti, ssdo S ( priodico (di priodo /, dov è il passo di campioamto i tmpi, abbiamo la più total librtà di sclta dl priodo i cui campioar, dato ch il cotuto iormativo si ript ogi priodo. om abbiamo visto, si scgli il cosiddtto priodo bas, ch va da -/ a / (. Il problma è, prò, ch la diizio di DF o iclud tutti i campioi rlativi a tal priodo, ma qulli rlativi al priodo ch va da a / : * ( S * ( j. I S( s( j,,..., - Ricordiamo ch il passo di campioamto i rquza è / d i campioi prsi soo i umro, pr cui l itrvallo di campioamto è di ampizza /. 5 Autor: Sadro Ptrizzlli

26 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. Allora, è vidt ch i primi campioi, qulli cioè rlativi all itrvallo [,/ ] vao b, mtr o sappiamo a cosa corrispodoo i succssivi campioi: pr pari S( S S... / S??????????????? pr dispari S( S S... ( / S??????????????? lo dic la proprità pr cui S( S( : l ultimo campio S(- corrispod a S(-, ossia al valor di S( lla rquza -/ ; il pultimo campio S(- corrispod ad S(- così via pr rquz di modulo via via maggior. Dov ci dobbiamo rmar? Evidtmt, dato ch abbiamo campioato solo ll itrvallo o ambiguo, dovrmo cosidrar solo i campioi rlativi a qusto itrvallo. -/ -/ / / vttor S( ostruzio dl vttor dlla DF l caso si sia sclto u umro pari di campioi ll itrvallo di campioamto. La igura cosidra il caso di 4 campioi: allora, l vttor S(, il primo campio è rlativo alla rquza ; i succssivi 6 campioi soo pr l rquz comprs tra la rquza di yquist; l 8 campio corrispod alla rquza di yquist d i campioi succssivi corrispodoo all rquz gativ, partdo da qulla di modulo maggior adado via via vrso qull di modulo mior. Esplicitiamo acora mglio il coctto. Prddo i vari valori di ll sprssio di S(, abbiamo il sgut vttor rapprstativo dlla DF: pr pari pr dispari S(,S S(,S,S,S,...,S / /,S / +,S,...,S ( / ( + /,...,S,S,...,S osidriamo il caso di pari (cioè il caso rapprstato ll ultima igura: Autor: Sadro Ptrizzlli 6

27 rasormata di Fourir discrta (part I pr pari S( ( S(... S S S +... S( S / /? /? Il primo lmto dl vttor è qullo rlativo alla cotiua (. Sguoo gli lmti rlativi all rquz positiv. L lmto ch si otti pr / è / j / S s( S si tratta quidi dl valor di S( lla rquza di yquist /. Gli lmti ch si ottgoo pr suprior ad / corrispodoo, i bas alla rlazio S( S(, all rquz gativ, prima qull di modulo maggior poi via via qull di modulo mior: s( j pr pari S( ( S(... S S S + S + S( S / / / / / / è qualch problma pr quato riguarda l lmto corrispodt alla rquza di yquist (/, dl qual o possiamo calcolar il valor corrtto pr vidti problmi di simmtria. D altra part, tal campio o srv poi a molto: s, quado abbiamo campioato l tmpo, abbiamo rispttato il torma dl campioamto d abbiamo sclto suicitmt più grad dlla bada B dl sgal, i / o c è sgal, pr cui possiamo sicuramt porr il campio a ; s ivc o abbiamo rispttato il campioamto, allora i corrispodza di / abbiamo sicuramt u problma di aliasig, pr cui il campio divta o sigiicativo possiamo uovamt porlo a. l caso di dispari, è ovvio ch qusti problmi scompaioo, i quato o dispoiamo dl trmi rlativo alla rquza di yquist: pr dispari S( ( S(... S S S S( S / / ( / + ( / + 3 (3 / / Graicamt, abbiamo quato sgu: 7 Autor: Sadro Ptrizzlli

28 Apputi di Elaborazio umrica di sgali - apitolo. -/ -/ / / vttor S( ostruzio dl vttor dlla DF l caso si sia sclto u umro dispari di campioi ll itrvallo di campioamto. La igura cosidra il caso di 3 campioi: il primo campio è rlativo alla rquza ; i succssivi 6 campioi soo pr l rquz comprs tra la rquza di yquist (sclusa; i succssivi 6 campioi soo pr l rquz gativ, partdo da qulla di modulo maggior adado via via vrso qull di modulo mior. OSSERVAZIOE osidriamo u grico sistma tmpo-cotiuo carattrizzato da ua uzio di risposta all impulso h(t dalla corrispodt trasormata H(. Voldo codurr uo studio di qusto sistma mdiat u calcolator, dobbiamo passar dal modo tmpo-cotiuo al modo tmpodiscrto. Possiamo discrtizzar sia i tmpi, campioado h(t pr passar ad h(, sia l rquz, campioado H( passado ad H( oppur dirttamt applicado la DF ad h(. è allora da porr attzio ad alcu cos. Suppoiamo di volr discrtizzar l rquz partdo da H( campioadola. Scgliamo il solito passo di campioamto //, dov è il passo di campioamto ch itdiamo usar poi i tmpi. ampioar H( sigiica priodicizzar h(t: campioamto atitrasormata i rquza Fourir H( H( di h (t ht h ( t h( t δ( t Ad smpio, s H( è il iltro passa-basso idal, pr cui h(t è dl tipo si(t/t, la uzio h (t è u si(t/t priodicizzato a passo. i tmpi, siamo acora l domiio dl cotiuo. Al cotrario, a oi itrssa ua rapprstazio campioata ach i tmpi, pr cui dobbiamo adsso compir du oprazioi: ssdo h (t priodico, dobbiamo scglir u qualsiasi priodo, trocar il sgal su tal campioar (a passo : h istratu ra (t h F campioam to l tmpo (t h E ovvio ch, s scgliamo il priodo bas (corrispodt cioè ad lla sommatoria di prima, la istratura ci dà proprio h(t. L oprazio di istratura quival, i rquza, a covolvr lo spttro di h (t co la trasormata dl rttagolo di istratura, cioè co si(/. Ma lo spttro di h (t sappiamo ssr F ( Autor: Sadro Ptrizzlli 8

29 rasormata di Fourir discrta (part I H(, cioè ua squza iita di impulsi. La covoluzio va allora a posizioar i si(/ a cavallo di tali impulsi poi a sommar. Schmaticamt, abbiamo iatti ch h istratu ra (t h F (t h (t rct t i rquza H F si( ( H(* si( ( Lo spttro ch ottiamo dalla istratura è chiaramt cotiuo, tra l altro, di bada iiita, dato ch il si(/ è a bada iiita. Il succssivo campioamto itrvi a priodicizzar tal spttro, dtrmiado u ivitabil rror di aliasig. Lo scopo di qusto discorso è acora ua volta qullo di vidziar ch, lavorado co u umro iito di campioi, sia l tmpo sia i rquza, o possiamo simrci dall rror di alias. L uica cosa ch possiamo ar è scglir il passo di campioamto (l tmpo d i rquza, dato ch i du passi soo lgati uivocamt i modo opportuo: tal modo opportuo cosist chiaramt l ar i modo ch la sovrapposizio di Si ardiali coivolga l cod di più basso valor, i modo da avr cotributi trascurabili. Autor: SADRO PERIZZELLI -mail: sadry@iol.it sito prsoal: succursal: 9 Autor: Sadro Ptrizzlli