Università di Camerino Corso di Laurea Fisica Indirizzo Tecnologie per l Innovazione Appunti di Calcolo Prof. Angelo Angeletti
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- Bianca Romeo
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1 Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti Formula di Taylor Si ricordrà ch l quazio dlla tagt ad ua curva di quazio y f() i u puto è data dalla rlazio y f + f '. Si oti ch la tagt è ua fuzio ch i ha lo stsso valor dlla fuzio lo stsso valor dlla drivata. Si cosidri la fuzio y ; ssdo, l quazio dlla tagt ll origi è y +. Si suppoga ora di dovr calcolar, ; co ua calcolatric si otti,,5798. S ci si accotta di u approssimazio u po mo buoa, si può calcolar il valor ch la tagt alla fuzio y i assum i,, cioè y(,), +,. È vidt ch si commtt u rror pari allo,7%., y,, L rror è acora più piccolo s si calcola,, ; ifatti si ha y,, Si provi ora a cosidrar ua parabola di quazio y a + b + c ch, i, abbia lo stsso valor di ua fuzio y f(), lo stsso valor dlla drivata prima lo stsso valor dlla drivata scoda. Sia cioè: f " ( ) f ( ) y ( ) a + b + c a f ' ( ) y' ( ) a + b si ricava b f ' ( ) f " ( ) f " ( ) y" ( ) a f " ( ) c f ( ) f ' ( ) + quidi l quazio dlla parabola crcata è f " f " y + ( ) ( ) ( ) ( ) f ' f " + f f ' + f " ( ) f " ( ) + f ' ( ) f " ( ) + f ( ) f ' ( ) + f " ( ) f ( ) + f ' ( )( ) + ( ) Si cosidri di uovo la fuzio y si scriva l quazio dlla parabola ch ll origi ( ) abbia l carattristich sopra idicat; si ha y + +. S si vuol calcolar acora,, si può utilizzar l quazio dlla parabola si otti y (, ) +, + (, ), 5 co u rror, y,, ,
2 Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti pari allo,5%; u rror sulla quarta cifra dcimal ch pr molti calcoli è più ch accttabil. S si calcola,, si ha y,, Co u rror acora più piccolo. A qusto puto dovrbb ssr vidt ch s ua fuzio y f() è drivabil volt i u puto, l si può associar u poliomio P () ch, i qusto puto, abbia lo stsso valor dlla fuzio dll su drivat fio all ordi. Si dimostra ch il poliomio i qustio è dato da: ( ) f " f P f ( ) + f ' ( )( ) !! NOTA Il simbolo! (lggi fattorial) idica il prodotto di primi umri aturali, cioè! ( ) Pr dfiizio!. Ua dfiizio ricorsiva dl fattorial è: s! ( )! s Si ha pr smpio ch 5! 5. L rror f P ch si commtt approssimado la fuzio co il poliomio vi chiamato ach rsto (i gr il rsto si idica co R ()); si può scrivr f P + R. Com si è potuto ituir dall smpio, il rsto divta smpr più piccolo ma mao ch aumta il grado dl poliomio approssimat ach ma mao ch si avvicia a. Val il sgut torma di Taylor. TEOREMA Sia f : (a,b) R drivabil volt ll'itrvallo (a,b). Siao du puti appartt a qusto itrvallo. Si ha: + f P R Dov P () è dtto "poliomio di Taylor" di puto iizial : i forma compatta ( ) f " f P f ( ) + f ' ( )( ) [ i ],!! [ i ] Il simbolo f idica la drivata sima dlla fuzio y f()
3 Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti ( ) f k [ ii ] k k! P Il rsto, R ( ), è u ifiitsimo di ordi suprior risptto a ( ) R. ( ), cioè: U modo molto util pr sprimr il rsto R () è lla cosiddtta formula di Lagrag. È cssario ch la fuzio f() sia drivabil + volt, allora sist u puto c, tal ch < c <, pr cui si ha ( + ) f ( c) ( ) ( + )! R S lla formula di Taylor si parla di formula di Mac Lauri: ESEMPIO Scomporr il poliomio + ( ) f ( ) f " f f ( ) + f ' ( ) R!!. y scodo l potz di. Il problma è quivalt a scrivr il poliomio di Taylor di f l puto. Si ha: f da cui f ' f ' 7 + da cui f '' da cui f '' f ''' IV f f ''' 8 Il poliomio è quidi: y 7( ) ( ) ( ) ( ) 8 + +, ovvro!!! y ESEMPIO Si calcoli il poliomio di Taylor pr la fuzio Ricordado ch la drivata di ordi qualuqu di. k k! k quidi si può scrivr: ( ) + R S allora si ha: è smpr f di puto iizial. k, si ha: P ( ) k k! [ ii ] Si usa la covzio f ( ) f( )
4 Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti R!!! Figura L approssimazioi dlla fuzio f ll origi co poliomi fio al quarto grado. ESERCIZI - Si dimostri ch valgoo l sguti formul di Mac Luari. + A) l( + ) ( ) + R 5 +! 5! +! B) s ( ) + R!!! + C) cos ( ) + R k k ( k ) k ( k )( k ) k + + k R [ iii ]!! D) arctg ( ) + R E) - Scrivr il poliomio di Mac Lauri dl quito ordi pr la fuzio y + [ iii k k! k k k... k + ] Si ricorda il sigificato dl simbolo! ( k )!! L sprssio val ach pr k frazioario. co k d umri aturali.
5 Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti y + +. Si ha [R. Si ossrvi ch y ] Scrivr il poliomio - Scrivr il poliomio y scodo l potz di. 5 [R. y 7 ( ) ( ) ( ) y scodo l potz di ] 5 [R. y ( ) ( ) ( ) ( ) ] Facdo uso dgli sviluppi di fuzioi lmtari (qulli dati ll ESERCIZIO ) si possoo ricavar gli sviluppi di fuzioi più complss. ESEMPIO Si dtrmii il poliomio di Taylor dl quito ordi dlla fuzio l puto. Si poga z ll ESERCIZIO A. Ricordado lo sviluppo di z f l( + s ) s, si ha l( s) l( z) + + il cui sviluppo è dato s, dato ll ESERCIZIO B, si ha: l( + s) ! 5!! 5!! 5!! 5! Sviluppado l potz: 5 f l( + s) ESERCIZI 5 - Si dimostri ch valgoo l sguti formul di Mac Luari. A) R!!! 6!!! ( ) B) R 6 +! 5! +! C) s( ) ( ) + R Si cosiglia di utilizzar l l( + ) l( ) D) l R Scrivr il poliomio di Mac Lauri di quito grado pr la fuzio arctg f. 5 7 R. arctg
6 Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti Co dgli smpi si vdrà com la formula di Taylor può ssr utilizzata pr il calcolo di f iti di alcu form idtrmiat. Pr smpio, s prsta la forma idtrmiata g /, si può sostituir al umrator al domiator i loro poliomi di Taylor di grado opportuo riducdo il rapporto tra l du fuzioi al rapporto di du potz. s ESEMPIO Si calcoli Sostitudo s co il poliomio di Mac Lauri di trzo grado si ha: Si ricordi ch! + R!! R +! 6 + R ESEMPIO 5 Si calcoli cos R ( ) + + R (l poliomio pr basta mttr al posto di /) 8 cos + + R No ci si è arrstati al poliomio di scodo grado prché i primi du trmii dllo sviluppo dll du fuzioi soo uguali dovdo far la diffrza si sarbb ottuto zro. No è cssario adar oltr al quarto grado prché la diffrza dll du fuzioi è apputo u ifiitsimo di quarto grado. ( ) + ( ) + ( ) + R + R! 8 Ach pr il domiator è sufficit il poliomio di quarto grado. Sostitudo si otti: + + R + + R cos 8 R + 8 6
7 Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti R ( R ) + R R ( R ) + + R Attzio: al umrator si avva + + R + + R u calcolo pu- 8 R sigifica ch la diffrza tra la fuzio il poliomio ramt algbrico avrbb dato i quato R ( ) compar sia co il sgo + ch co il sgo. Qusto prò è u rror i quato ch è stato utilizzato è u ifiitsimo suprior al quarto ordi, quidi i du casi R ha lo stsso sigificato, ma o è lo stsso valor. Il umrator può ssr scritto com u trmi di quarto grado più trmii di grado suprior. ESERCIZI 7 - Facdo uso dl poliomio di Taylor si calcoli i sguti iti: cos A) [R. ] s B) l ( + ) R. s C) [ R. ] l ( + ) s D) [ R. ] ( tg s) E) R. 5 U campo di applicazio dl poliomio di Taylor è ll approssimazioi. Si chiarirà il coctto co dgli smpi. ESEMPIO 6 Si voglia calcolar il valor dl umro di Npro fio alla ssta cifra dcimal, ovvro co u rror mior di -6. Utilizzado lo sviluppo trovato ll ESEMPIO, podo, si ha: R.!!! Scrivdo il rsto lla forma di Lagrag si ha: R c! ( + ) 7
8 Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti co < c <. Da ciò sgu ch < c < < quidi +! 6 il qual <, ovvro +! >, soddisfa alla codizio posta. Si vrifica facilmt ch 6 6!,688 > quidi 9. Si ha: 6 R <. A qusto puto il valor di pr! ( + ) !!! 5! 6! 7! 8! 9! , L prim 6 cifr dcimali soo satt[ iv ]. ESEMPIO 7 Si vuol calcolar l co 5 cifr dcimali satt ovvro co u rror mior di -5. Utilizzado lo sviluppo dll ESERCIZIO A si ha: + l l R + + c Il rsto lla forma di Lagrag è R co < c <. Poiché il umrator è massimo + pr c si ha R < +. Il valor di pr il qual 5 5 <, ovvro + >, è Pr risolvr il problma posto sarbb cssario calcolar: l Calcolo dl tutto impropoibil da farsi a mao. Co calcoli aaloghi a qulli svolti sopra, si dimostra ch s si vuol u rror mior di -, è cssario prdr il poliomio fio al grado. Il calcolo si acclra s si utilizza lo sviluppo dll ESERCIO D. Tdo prst ch + pr si ha: l R Pr stimar il rsto si ossrvi ch: R < [ v ] quidi 9 R + < + + ( ) ( ) 8 + +, da ciò sgu ch dv ssr [ iv ] Il valor di co cifr dcimali satt è, [ v ] è ua sri gomtrica di ragio /9 la sua somma è di ifiiti trmii dl tipo + a + a + a + a +... a, s a <, allora a. a 9. I gral la somma 8 9 8
9 ( ) + Uivrsità di Camrio Corso di Laura Fisica Idirizzo Tcologi pr l Iovazio Apputi di Calcolo Prof. Aglo Agltti < + 5, ovvro ( ) >, quidi. Pr cui l ,... [ vi ] ESEMPIO 8 Si vuol calcolar cos(,)[ vii ] co 5 cifr dcimali satt ovvro co u rror mior di -5. Utilizzado lo sviluppo dll ESERCIZIO C si ha: Il rsto lla forma di Lagrag è,,, cos,... R,! ( ) + + ( ) + ( ) + [ cos ] D R, c!, ( + ) + co < c <,. Bisoga quidi da valutar il valor assoluto dlla drivata (+) sima di cos i u puto comprso tra +,. Tal drivata è s si avrà [ ] ( ) R, < ( ) + + ( + )! ( + ). Dv ssr! + 5 +! >, da cui. Si ha quidi ESERCIZI D cos sc <. Da cui c ( ) < + +!,, cos (, ) + +, [ viii ] 8 - Calcolar i sguti valori co l rror a fiaco idicato: A) co l rror di -5 B) s (, ) co l rror di -5 5, ovvro C) l co l rror di -5. π 9 - Facdo uso dllo sviluppo di arctg dato ll ESERCIZIO D dl fatto ch arctg, si calcoli π co u rror di Si calcoli co u rror di -5. [Si faccia uso dllo sviluppo di ( ) ll ESERCIZIO E, podo k ½] k + dato [ vi ] l co cifr dcimali satt è,69785 [ vii ] si itd, radiati (circa 5,7 ) [ viii ] cos(,) co cifr dcimali satt è, Si può ossrvar ch l risultato ch si è ottuto, l cifr dcimali satt soo 8; ciò è dovuto alla maggiorazio dlla drivata (+) sima. I qusto caso co si sarbb ottuto cos(,),995 ch adava b lo stsso. Ma i gr ciò o accad. 9
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