Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario

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1 N. D Rosa SUP 6 p. Esam di stato di istruzio sodaria suprior Idirizzi: Sitifio Sitifio opzio siz appliat Tma di matmatia Il adidato risolva uo di du problmi rispoda a qusiti dl qustioario PROBLEMA Si l ammiistrator di u odomiio h ha dlibrato di dotarsi di ua sala pr l riuioi odomiiali sfruttado uo spazio omu già dispoibil da oprir attrzzar. La suprfii idividuata è rapprstata i figura : La suprfii vi hiusa o parti latrali alt 6 mtri o u ttto piao orizzotal. Uo di odomii ti fa prst la ssità di prvdr u impiato di arazio lla sala i quato la maaza di u adguato riambio d aria i loali hiusi può provoar ua sri di disturbi fisii a ausa dll aumulo di CO (aidrid arboia o diossido di arboio). Di orma si osidra om valor limit dlla otrazio di CO lo %: su milio di partill d'aria il massimo umro di molol di CO dv ssr duqu. Nlla slta dll impiato di arazio u paramtro fodamtal è la potza i ilowatt h dipd dal volum dll ambit i ui sso vi utilizzato. Nlla slta dll impiato di arazio u paramtro fodamtal è la potza i ilowatt h dipd dal volum dll ambit i ui sso vi utilizzato. La sgut shda tia forita dal produttor fa rifrimto all omui sigz di utilizzo: POTENZA METRI CUBI DA RICHIESTA AERARE (Kilowatt) I bas ai dati dispoibili alla shda tia stima la potza i ilowatt ssaria giustifiado la tua slta. I oasio di ua riuio di odomiio u rilvator di CO istallato lla sala idia ua otrazio dllo %; i odomii hidoo quidi di adr l impiato di arazio i modo h

2 N. D Rosa SUP 6 p. all ora di iizio dlla riuio la otrazio sia stata ridotta allo %. Il sistma di arazio immtt m lla sala di aria frsa ott lo % di CO. miuto. Approssimado il volum dlla sala a m riava l quazio diffrzial h dsriv l adamto dlla otrazio (t) i fuzio dl tmpo t (sprsso i miuti). Vrifia ioltr h la fuzio t h è ua soluzio di tal quazio diffrzial.. Dtrmia i valori da assgar all ostati h i modo h la fuzio (t) rapprsti l adamto dlla otrazio di CO a partir dall istat t di asio dll arator. Stabilisi quidi quato tmpo prima dll iizio dlla riuio sso dv ssr aso pr soddisfar la rihista di odomii.. L impiato è i fuzio da miuti quado i partipati alla riuio adoo alla sala. Cosidrado h l impiato rima aso ah durat la riuio h u ssr umao mdiamt spira 8 litri/miuto di aria ott il % di CO (fot: OSHA Oupatioal Safty ad Halth Admiistratio) dsrivi i trmii qualitativi om ambirà l adamto di (t) dopo l igrsso di odomii lla sala giustifiado la tua risposta.

3 N. D Rosa SUP 6 p. RISOLUZIONE Puto L ara di bas dl solido è omprsa tra l ara dl paralllogramma di bas 7 mtri d altzza mtri l ara dl trapzio rttagolo di basi 9 mtri 7 mtri d altzza mtri. L ara dl paralllogramma è m mtr l ara dl trapzio rttagolo è m. Il volum dl solido aalogamt è omprso tra il volum dl solido h ha om bas il paralllogramma d il volum dl solido h ha pr bas il trapzio rttagolo. Il volum dl solido o bas il paralllogramma è.6 6 m mtr il volum dl solido o bas il trapzio rttagolo è V T.6 m V P. Quidi osidrado ad smpio il valor mdio tra i VP VT du volumi possiamo assumr h il volum dl solido o bas idiata i figura è m di osguza la potza rihista è. ilowatt. I modo altrativo più aalitio otiamo h l aro di urva i [] o è atro h u ramo di parabola o vrti i () tagt all ass dll asiss l vrti stsso. Tal aro di parabola dovdo ssr tagt l puto di vrti ha quazio il passaggio pr () si otti L ara sottsa da tal aro è pari a: L ara dl solido di bas è quidi V V.6.6 m T. y a y. a prtato l aro di parabola ha quazio V A. P. d V A. P. T VA. P. m d il volum di osguza pari a Prtato ritroviamo uovamt h la potza rihista è. ilowatt. ; impodo

4 N. D Rosa SUP 6 p. Puto Si ha: dov ' V V CO d dt V t CO SALA Quidi ' dv CO dt La quatità dv CO è data dalla diffrza tra la quatità di aidrid arboia immssa qulla attualmt prst ll ambit all istat dt. La quatità immssa è pari a:. dt. dt t dt t La quatità prst è pari a: dt Di osguza: dv CO. dt dt. dt Ovvro Vdiamo iazitutto s sostitudo si otti: Quidi h h.. t ' t t t.. h è soluzio di tal quazio diffrzial si ha: t '. h. t h t h. ' s solo s è soluzio dll quazio diffrzial. Risolviamo ora l quazio diffrzial '. si ha:

5 N. D Rosa SUP 6 p. ' ' dt dt. t. t Posto h. dsriv il problma. Puto. l.. tc tc t C. t C ritroviamo h h Impodo. h. Di sguito il grafio rapprstativo. C t è soluzio dll quazio diffrzial h si otti... ovvro t.. Pr soddisfar la rihista di odomii si dv risolvr la sgut quazio: ovvro.. t t.. t t l t l.. l 9 miuti

6 N. D Rosa SUP 6 p.6 Puto Dopo miuti il volum di aidrid arboia lla sala è data dalla somma di qulla immssa dall arator di qulla prodotta dai odomii:. m. m CO arator:. 8 dm.. m.6 m CO odomii: Qudi il volum total di aidrid arboia immssa ogi miuto lla staza è..6.6m..6 La otrazio di aidrid arboia immssa lla staza è pari a h.76.. Quidi pr t la fuzio h dsriv la otrazio aalogamt a quato riavato i prdza è La odizio iizial da imporr è Sostitudo si ha: Prtato pr. t.76 t t la fuzio otrazio è...9 t.9.76 t Di sguito il grafio dll du otrazioi su u uio rifrimto artsiao: t.. t C. t.9.76 t Ah i qusto aso aloliamo dopo quati miuti la otrazio di aidrid arboia arriva allo.%:.9. t. t.76. t l. miuti..6

7 N. D Rosa SUP 6 p.7 PROBLEMA Fissato la fuzio : g. Si idia o g è osì dfiita: il suo grafio i u rifrimto artsiao Oy.. Dsrivi a soda dll possibili slt di l adamto dlla fuzio g.. Dtrmia pr quali il grafio possid puti di flsso dimostra h i tali asi l ordiat di puti di flsso o dipdoo dal valor di h l rtt tagti i puti di flsso qualuqu sia passao tutt pr il puto T Assumi l sguito. Sia S la rgio di piao omprsa tra l ass. Prova h sist u uio rttagolo R di ara massima tra qulli isritti i sull ass h tal rttagolo ha tra i suoi vrtii i puti di flsso di modo h tal rttagolo R sia u quadrato?. Posto dtrmia il valor di G t itrprta il risultato i trmii gomtrii. t d lim G t t. S avti u lato. È possibil sglir i

8 N. D Rosa SUP 6 p.8 RISOLUZIONE Puto Studiamo la fuzio g. I possibili valori di soo. Pr la fuzio divta g vdiamo pr gli altri valori di. Domiio: R; Itrszio ass asiss: o sistoo; Itrszio ass ordiat: g ; Simmtri: la fuzio è pari i quato g g ; Positività: la fuzio è positiva pr ogi ; Asitoti vrtiali: o v soo i quato il domiio è R; Asitoti orizzotali: s si ha lim g lim prtato y è asitoto orizzotal dstro siistro; s orizzotali; Asitoti obliqui: o v soo; si ha lim g lim prtato o vi soo asitoti ; s si ha h la fuzio è strttamt drst pr strttamt rst pr prtato è u puto di miimo assoluto; s si ha h la fuzio è strttamt rst pr strttamt drst pr prtato è u puto di massimo assoluto; ' Crsza drsza: la drivata prima è g ; s si ha h la fuzio volg smpr oavità vrso l alto o vi soo flssi; s si ha h la fuzio volg oavità vrso l alto gli itrvalli vrso il basso i prtato i puti A B soo du flssi a tagt obliqua. Di sguito il grafio pr. '' Coavità ovssità: la drivata soda è g

9 N. D Rosa SUP 6 p.9 Puto Com da Puto i puti di flsso soo B A l ordiata è idipdt da. L tagt iflssioali hao l sguti quazioi: g y g y ' ' dov g m g m ' ' prtato l tagt iflssioali soo: y y Quidi l tagt iflssioali idipdtmt da passao pr il puto T.

10 N. D Rosa SUP 6 p. Puto Cosidriamo la sgut figura i ui è raffigurato il rttagolo di vrtii: D C D E o. Il rttagolo ha lati FE CD CF DE. L ara di suddtto rttagolo è S la ui drivata prima è ' S prtato la fuzio ara è strttamt rst i strttamt drst i da ui dduiamo h la fuzio ara è massima pr. I vrtii di tal rttagolo di ara massima soo: F C D E ovvro du vrtii soo i du puti di flsso. L ara massima è pari a S. Tal rttagolo divta u quadrato s CD DE ovvro.

11 N. D Rosa SUP 6 p. Puto Si ha prtato t t d G t lim G t lim t Tal valor rapprsta il volum dl solido ottuto dalla rotazio attoro all ass dll ordiat dlla part di piao dlimitata da g dall ass dll asiss ll itrvallo t.

12 N. D Rosa SUP 6 p. QUESTIONARIO. Si osidri qusta quazio diffrzial: y' ' y' y. Qual dll sguti fuzioi è ua soluzio? Si giustifihi la risposta a) y si os b) y ) y. Data la fuzio osi dfiita i : si os d)y f dtrmiar miimi massimi d vtuali asitoti.. Dtrmiar la vloità di variazio dllo spigolo di u ubo sapdo h il volum dl ubo è m pari a.m sta dimiudo alla vloità di. s. Posto pr A d stabilir il valor di A dimostrar h pr ogi si ha A A.. I lati di u triagolo ABC misurao: = = 6 =. Prso a aso u puto P all'itro dl triagolo qual è la probabilità h P sia più viio al vrti B h al vrti A? 6. I puti (; ; ) (6; ; ) (; ; ) (; ; ) soo vrtii di u quadrilatro. Si dimostri h tal quadrilatro è u paralllogramma si otrolli s sso è u rttagolo. 7. Dtrmiar la distaza tra il puto P() la rtta: y z z y 8. Suppoiamo h l'itrvallo di tmpo t (i ai) tra du adut di fulmii i u'ara di m sia dato da ua variabil asual otiua o fuzio di ripartizio: z z P t. a) Si aloli la probabilità h i tal ara i prossimi du fulmii adao tro o più di ai l uo dall altro. b) Si dtrmii qual è il miimo umro di ai z tal h sia almo dl 9% la probabilità h i prossimi du fulmii adao i tal ara tro o più di z ai l uo dall altro. 9. Ua urva a spiral iizia l puto A om idiato i figura d è formata ogiugdo u umro ifiito di smiirofrz di diamtri smpr più pioli. Il diamtro d dlla prima smiirofrza è di 8. Il diamtro d dlla soda è pari ai di d. Il diamtro d dlla soda è pari ai di d osì via: d d pr ogi. Co lo sviluppo dlla urva gli strmi dll vari smiirofrz tdoo al osiddtto ohio E dlla spiral (ossia l uio puto otuto i tutti i vari diamtri). Qual è la distaza (i lia rtta) tra il puto A il puto E? E qual è la lughzza dl ammio h va da A a E prorrdo l itra urva?. Si stabilisa il valor dl limit: 7 os lim si 7 motivado adguatamt la risposta.. s ds

13 N. D Rosa SUP 6 p. RISOLUZIONE. La soluzio dll quazio diffrzial liar dl sodo ordi è data dalla soluzio dll quazio dll omoga assoiata dlla soluzio partiolar: y y y L omoga assoiata ha quazio y '' y' y d ha quazio arattristia l ui soluzioi soo i. Di osguza la soluzio dll omoga assoiata è La soluzio partiolar è dl tipo A B quazio iizial si riava: prtato y p y o o si os A A B A A B y p. p '' ' sapdo h y y A sostitudo lla p A A A B B I olusio la soluzio dll quazio è y si os la risposta orrtta è C.. La fuzio può ssr sritta l sgut modo: f Tal fuzio è dfiita i R quidi o prsta asitoti vrtiali. Vdiamo s sistoo asitoti orizzotali: p lim lim f f lim lim D L'Hopital lim lim D L'Hopital lim lim prtato y è asitoto orizzotal dstro siistro. Poihé f lim dduiamo h o vi soo asitoti obliqui. I olusio la fuzio prsta solo l asitoto orizzotal dstro siistro y. La drivata prima dlla fuzio è

14 N. D Rosa SUP 6 p. f ' Di osguza la fuzio è strttamt drst i prtato m è u puto di miimo rlativo. strttamt rst i Notiamo h i la fuzio prsta u puto agoloso d è quidi o drivabil ifatti: lim f ' lim f ' lim lim Tuttavia tal puto agoloso è di massimo assoluto. Di sguito il grafio dlla fuzio.. Sia L il lato dl ubo di volum V dm V v t.t Sapdo h V. s L si riava la vloità di variazio dllo spigolo: L' V ' V V L ; la vloità di variazio dl volum è...t.t.. Si ha A d dm s

15 N. D Rosa SUP 6 p. Caloliamo smpr utilizzado l itgrazio pr parti A d A d. Si ha: d A. Cosidriamo la figura sgut. A Sia DE l ass dl sgmto AB. U grio puto P è più viio a B s riad l triagolo BDE. Il triagolo BDE è rttagolo i D d è simil al triagolo AHB; impodo la proporzio tra lati omologhi si otti: Di osguza l ara di BDE è BDE AH BD DE : AH BD: BH DE BH S. 6 La probabilità rihista è pari al rapporto tra l ara dl triagolo BDE l ara dl triagolo ABC: p S S 6 BDE ABC 7 6. Caloliamo i paramtri dirttori dll rtt: 6 AB: AD: BC: 6 CD: Poihé l rtt AB CD AD BC hao a oppi gli stssi paramtri dirttori allora soo paralll d il quadrilatro è u paralllogramma.

16 N. D Rosa SUP 6 p.6 Dimostriamo ah h il quadrilatro o è u rttagolo: basta provar h il prodotto salar tra i paramtri dirttori di du rtt osutiv o è ullo osidrado AB d AD si ha: 9 Prtato l du rtt osutiv AB d AD o soo prpdiolari d il quadrilatro o è u rttagolo. 7. Caloliamo il puto H di itrszio tra la rtta data d il piao passat pr P prpdiolar alla rtta stssa. Iiziamo a srivr la rtta data i forma paramtria si ha: t y t z t I paramtri dirttori di tal rtta soo (--). U piao prpdiolar a tal rtta passat pr P(;;) è: y z y z Impodo l itrszio tra la rtta d il piao si ha: t t Prtato il puto H di itrszio ha oordiat PH t 6 H ; ; la distaza rihista è: Si ha:..s a) La probabilità rihista è 6 s ds ; P t..s.s z.z b) Bisoga imporr z. ds. 9. z.. z l il 9% s z. z P ovvro. l z l quidi la probabilità è almo 9. La distaza AE è pari a d d d d d d d d d dov d d d prtato d d d d 6 d d d d d

17 N. D Rosa SUP 6 p.7 Notiamo quidi h la distaza è la somma di ua sri gomtria o trmi iizial ragio prtato sapdo h la somma di ua sri gomtria di trmi iizial ragio q è q si ha: m 8 d d d Aalogamt pr la lughzza dl ammio si ha: d d d L ovvro ah la lughzza è la somma di ua sri gomtria o trmi iizial ragio prtato si ha: m d d L. Il umrator è u valor ral limitato i quato la fuzio oso è osillat i [-]; il domiator pr rd a pr via dlla prsza dll adddo di osguza 7 si os 7 lim