c) Calcolare la probabilità P{N 120 = 36, N 180 = 48} = b) Calcolare la probabilità condizionata P{M 120 = 6 N 120 = 36} =

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1 Laura Trial i Matmatica, Uivrsità La Sapiza Corso di Probabilità 2, A.A. 26/27 Prova scritta dl 26 Giugo 27 Soluzioi dgli srcizi proposti Esrcizio. Gli arrivi di mssaggi -mail ad u dato idirizzo di posta lttroica soo scaditi da u procsso di Poisso co itsità µ.2, fissado l uità di tmpo ugual ad u miuto. Pr ciascu arrivo, c è la possibilità ch si tratti di u mssaggio idsidrato. Valutiamo ch ciò si vrifica co probabilità θ 8 ch vi sia idipdza stocastica fra ciò ch accad pr mssaggi divrsi. Pr t >, idichiamo rispttivamt co N t co M t il umro total di mssaggi d il umro di mssaggi idsidrati arrivati tro il tmpo t, cotati a partir dal tmpo. a Calcolar la probabilità P{N 2 36, N 8 8} b Calcolar la probabilità codizioata c Calcolar la probabilità P{M 2 6 N 2 36} P{M 2 6}. a I virtù dlla proprità di icrmti idipdti di procssi di Poisso, possiamo scrivr P{N 2 36, N 8 8} b P{N 2 36}P{N 8 8 N 2 36} P{N 2 36}P{N 6 2} ! 2! 36! 2! P{M 2 6 N 2 36} θ 6 θ 3 6

2 c Dcompodo l vto M 2 6 lla forma M 2 6 M 2 6 N 2 d ossrvado ch, pr 5, sia ha ovviamt possiamo scrivr PM 2 6 PM 2 6 M 2 6 N 2, 6 P M 2 6 N 2 P N 2 P M 2 6 N 2. 6 Quidi PM ! ! ! ! k 2 k k! !. Di fatto risulta ch la variabil alatoria M 2 sgu ua distribuzio di Poisso di paramtro λ 3, più i gral, si può dimostrar ch il procsso di cotggio {M t } t risulta ssr u procsso di Poisso di itsità.2 8. Esrcizio 2. Sia X, X 2,... ua succssio di variabili alatori idipdti d idticamt distribuit, co distribuzio uiform sull itrvallo,. Utilizzado l approssimazio gaussiaa forita dal Torma di Lidbrg- Lévy, calcolar lim P j X j Il valor attso dll variabili X, X 2,... è ovviamt ugual ad 2. Il momto scodo è dato da x 2 dx 3 2

3 quidi la variaza è ugual a 2. Duqu, pr N fissato, risulta j E X j 2, V ar j X j 2. Possiamo scrivr j X j Z, dov Z risulta ssr ua variabil alatoria di valor attso, di variaza uitaria la cui distribuzio di probabilità covrg alla gaussiaa stadard i virtù dl torma di Lidbrg-Lévy. Si ha quidi P j X j P Z P.282 Z.282 lim P j X j 2Φ idicado al solito co il simbolo Φ la fuzio di ripartizio dlla gaussiaa stadard. Dall rlativ tavol ottiamo quidi Φ lim P j X j Esrcizio 3.{X },,... è ua cata di Markov sullo spazio dgli stati E {, 2, 3, } co matric dll probabilità di trasizio dtrmiata dall sguti codizioi p i,i, pr i E; p,2 p,3 p 2 2, p 23 ; p 3 2, p 32 ; p 2 3, p 2 p 3 6 a Dtrmiar la distribuzio ivariat pr la cata, motivado sistza d uicità. b Calcolar lim P X, X + 2, X +2 3, X +3 3

4 lim P X, X + 3, X +2 2, X +3 Motivar commtar il risultato ottuto c Pr θ, 3, si cosidrio l matrici di trasizio dlla forma P θ θ θ 2θ 2θ 3θ 2θ 3θ 2θ 2 5θ 3θ 2 2 5θ 3θ 2 2 5θ Pr θ, 3 dtrmiar la distribuzio ivariat di P θ, pr la cata di Markov co tal matric di trasizio, dimostrar ch val l uguagliaza. lim P X, X + 2, X +2 3, X +3 lim P X, X + 3, X +2 2, X +3. a I bas ai dati foriti, si ha ch la matric dll probabilità di trasizio è data da La cata di Markov cosidrata, co spazio dgli stati fiito E {, 2, 3, }, è tal ch P 2 ha tutti gli lmti positivi. Duqu sist ua distribuzio ivariat, d è uica i quato la cata è rgolar. Tal distribuzio ivariat, ch idichrmo co π π, π 2, π 3, π si ricava com soluzio dl sistma quazioi dl bilacio global Si otti π 2 π π π π 2 π + π π π 3 π + π π π 2 π + π 2 + π 3 π + π 2 + π 3 + π π, π 2 2, π 3 2, π 3. b Utilizzado la formula dll probabilità compost tdo prst sia la proprità di Markov ch la proprità di rgolarità dlla cat, risulta lim P X, X + 2, X +2 3, X +3.

5 lim PX p 2 p 23 p 3 π p 2 p 23 p 3 76 lim P X, X + 3, X +2 2, X +3 lim PX p 3 p 32 p 2 π p 3 p 32 p Ci possiamo accorgr facilmt ch la distribuzio ivariat π è rvrsibil, risultao cioè soddisfatt l quazioi dl bilacio dttagliato π i p ij π j p ji l uguagliaza fra i du prcdti limiti risulta ua cosguza immdiata dlla rvrsibilità. c Pr qualuqu θ, 3, P θ risulta rgolar si può ioltr ricooscr facilmt ch la distribuzio ivariat π θ risulta rvrsibil. S può ddurr l uguagliaza lim P X, X + 2, X +2 3, X +3 lim P X, X + 3, X +2 2, X +3. Possiamo ifatti scrivr lim P X, X + 2, X +2 3, X +3 lim PX p θ 2 pθ 23 pθ 3 π p θ 2 pθ 23 pθ 3 p θ 2 π 2p θ 23 pθ 3 pθ 2 pθ 32 π 3p θ 3 p θ 2 pθ 32 pθ 3 π lim PX p θ 3 pθ 32 pθ 2 lim P X, X + 3, X +2 2, X +3. 5