CALCOLO DELLE PROBABILITÀ PROVA SCRITTA DEL 1/2/2011

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1 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ PROVA SCRITTA DEL //0 PRIMA PARTE Esercizio U sitomo S è ricoducibile a tre malattie M, M e M 3 a due a due icompatibili. Sapedo che la probabilità che u idividuo abbia la patologia M h è pari a / 0 h (h,, 3), (.) si calcoli la probabilità che abbia almeo ua delle malattie, motivado la risposta; (.) dopo aver forito la defiizioe di idipedeza di tre eveti, si stabilisca se gli eveti M, M e M 3 soo idipedeti. Sapedo, ioltre, che la probabilità che il sitomo S si maifesti i u soggetto affetto dalla patologia M h è pari a h / 4, (.3) si calcoli la probabilità di maifestazioe del sitomo S, motivado la risposta; (.4) si determii la probabilità che u idividuo abbia la malattia M dato che preseta il sitomo S, motivado la risposta; (.5) data la preseza del sitomo S, qual è la patologia più probabile? (Si motivi la risposta). Esercizio U sitomo S è ricoducibile a 3 patologie M, M e M 3 a a icompatibili. Sapedo che P(M h ) 0 -h (h,, 3), (.) P(M M M 3 ) P(M ) + P(M ) + P(M 3 ) ( ) / per il terzo assioma di Kolmogorov. (.) I tre eveti M, M e M 3 o soo idipedeti [ ]. Sapedo, ioltre, che P(S M h ) h / 4, (.3) P(S) P(S M h ) P(M h ) ( h 0 -h ) / 4 (/0 + /00 + 3/000) / per la legge delle alterative. (.4) P(M S) P(S M ) P(M ) / P(S) (/40) / per la formula di Bayes. (.5) M, dato che P(M h S) P(S M h ) P(M h ) / P(S) è massima per h.

2 SECONDA PARTE Esercizio Si cosideri u ura coteete 0 pallie, delle quali soo verdi e 8 soo rosse. Sia X la v.c. che rappreseta il umero di pallie verdi preseti i u campioe di umerosità 0 estratto co reiserimeto. (.) Si specifichi la distribuzioe della v.c. X (co particolare riferimeto al valore dei parametri che la caratterizzao) e si determii il umero atteso di pallie verdi estratte. (.) Si calcolio P(0.9 < X.9) e Var(X), motivado le risposte. (.3) Si ricalcoli la probabilità del puto precedete mediate u opportua approssimazioe di Poisso per X e si euci la proprietà che giustifica tale approssimazioe. Sia Y la v.c. che rappreseta il umero di pallie rosse estratte co reiserimeto prima di estrarre ua pallia verde per la prima volta. (.4) Si specifichi la distribuzioe della v.c. Y e si calcoli P(Y > 9). Sia Z la v.c. che rappreseta il umero di pallie verdi preseti i u campioe di umerosità 0 estratto seza reiserimeto. (.5) Si specifichi la distribuzioe della v.c. Z (co particolare riferimeto al valore dei parametri che la caratterizzao) e si calcoli P(Z ). Esercizio Si cosideri u ura coteete 0 pallie, delle quali verdi e 8 rosse. Sia X la v.c. che rappreseta il umero di pallie verdi preseti i u campioe di umerosità 0 estratto co reiserimeto. (.) X ha distribuzioe Biomiale(,θ) co 0 e θ 0.; E(X) θ. (.) P(0.9 < X.9) P(X ) 0 (0. ) (0.9 9 ) ; Var(X) θ( θ) 0.9 [ ]. (.3) P(0.9 < X.9) P(X ) e -λ λ e , essedo X Poisso(λ) co λ θ [ ]. Sia Y la v.c. che rappreseta il umero di pallie rosse estratte co reiserimeto prima di estrarre per la prima volta ua pallia verde. (.4) Y ha distribuzioe Geometrica (θ) co θ 0.; P(Y > 9) Sia Z la v.c. che rappreseta il umero di pallie verdi preseti i u campioe di umerosità 0 estratto seza reiserimeto. (.5) Z ha distribuzioe Ipergeometrica(,K,N) co 0, K e N 0; P ( Z )

3 Quesito Si cosideri ua successioe di prove idipedeti, ciascua caratterizzata dalla medesima probabilità di successo 0< p <. Si dimostri che il rapporto 3 / p rappreseta u approssimazioe del umero di prove ecessarie affiché la probabilità di otteere almeo u successo sia pari al 95%. Sia X la v.c. che rappreseta il umero di successi i prove idipedeti, ogua co la medesima probabilità di successo 0 < p <. Avedo X distribuzioe Biomiale co parametri e p, si ha che la probabilità di otteere almeo u successo è data da P( X ) P( X < ) P( X 0) ( p). Risolvedo rispetto a l equazioe P ( X ) si ottiee log( 0.05) essedo p log( p) per p i u itoro di 0. log p log p ( ) ( ) p

4 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ PROVA SCRITTA DEL 9/4/0 PRIMA PARTE Esercizio Sia X la v.c. che rappreseta il puteggio risultate dal lacio di u dado regolare. (.) Si specifichi la distribuzioe di X (co particolare riferimeto al supporto) e si calcoli Var(X). Si cosiderio gli eveti A {X 5}, B {X 6} e C {X 5, 6}. (.) Dopo aver forito la defiizioe di idipedeza di tre eveti, si stabilisca se gli eveti A, B e C soo idipedeti. Sia Y la v.c. che rappreseta il umero di laci di u dado regolare effettuati prima di otteere il puteggio 6 per la prima volta. (.3) Si specifichi la distribuzioe di Y (co particolare riferimeto al supporto) e si calcoli P(Y > ). Sia Z la v.c. che rappreseta il umero di 6 usciti i 30 laci di u dado regolare. (.4) Si specifichi la distribuzioe di Z (co particolare riferimeto al valore dei parametri che la caratterizzao) e si calcoli il umero atteso di 6. (.5) Si euci e si dimostri il teorema di Bayes el caso i cui si abbiao possibili cause C,,C di u effetto E. Sia X la v.c. che rappreseta il puteggio risultate dal lacio di u dado regolare. (.) X ha distribuzioe Uiforme discreta co parametro N 6 e supporto {,,3,4,5,6}; Var(X) (N ) / 35 /.967. Si cosiderio gli eveti A {X 5}, B {X 6} e C {X 5, 6}. (.) I tre eveti A, B e C o soo idipedeti [...]. Sia Y la v.c. che rappreseta il umero di laci effettuati prima di otteere u 6 per la prima volta. (.3) Y ha distribuzioe Geometrica (θ) co θ /6 e supporto {0,,, }; P(Y ) (5 / 6) 0.. Sia Z la v.c. che rappreseta il umero di 6 usciti i 30 laci del dado regolare. (.4) Z ha distribuzioe Biomiale(,θ) co 30 e θ / ; E(Z) θ 5. (.5) Euciato. I u qualsiasi spazio probabilistico, se E è u eveto co probabilità o ulla e { C } è ua famiglia fiita e disgiuta di eveti co probabilità o ulla tali che E C, allora ( ) ( ) ( ) ( ) P E Cm P Cm m P( Cm E). P E C P C Dimostrazioe. Dalla defiizioe di probabilità codizioata, dalla formula della probabilità composta e dalla legge delle alterative [ ] deriva che P( Cm E) P( E Cm ) P( Cm ) P( E Cm ) P( Cm ) m P( Cm E). P E P E P E C P C ( ) ( ) ( ) ( )

5 SECONDA PARTE Esercizio Il 54% dei cittadii è favorevole ad ua proposta di legge, il 43% è cotrario e il restate 3% è idifferete. Si cosideri u campioe di umerosità 40 estratto co reiserimeto e sia X il umero dei cittadii favorevoli alla proposta di legge el campioe. (.) Si stabilisca se soo soddisfatte le ipotesi del Teorema cetrale del limite e si forisca u opportua approssimazioe Normale per X. (.) Sulla base dell approssimazioe Normale forita, si calcoli P(0 X < 30) e si determii il quatile di ordie 0.8. Sia Y il umero dei cittadii cotrari alla proposta di legge preseti el campioe cosiderato. (.3) Si specifichi la distribuzioe della v.c. bidimesioale (X,Y) co particolare riferimeto al valore dei parametri che la caratterizzao e si calcoli P(X 35, Y 3). Si cosideri u campioe di umerosità estratto co reiserimeto e sia Z i la v.c. che assume i valori, 0 o - a secoda che l i-esimo cittadio estratto sia, rispettivamete, favorevole, idifferete o cotrario alla proposta di legge (i,,). (.4) Si stabilisca se le v.c. Z i soo idipedeti e/o ideticamete distribuite, motivado le risposte. (.5) Si determii il limite a cui Z i coverge i probabilità, motivado la risposta. i (.) Essedo X ~ Biomiale(,p) co 40 e p 0.54, le ipotesi del TCL soo soddisfatte [ ]; X N(µ,σ ) co µ p.6 e σ p( p) (.) P(0 X < 30) P( Z <.66485) ; da 0.8 P(X x) P[Z (x.6) / 3.5] si ottiee z 0.8 (x.6) / 3.5 ovvero x (.3) (X,Y) ~ Triomiale(,p,q) co 40, p 0.54 e q 0.43; 40! 35 3 P( X 35, Y 3) !3!! (.4) Le v.c. Z i soo idipedeti e ideticamete distribuite [...]. (.5) Per la LGN Z i coverge i probabilità a E(Z i ) Esercizio 3 i x + x+ y+ (3.) e Si verifichi che la fuzioe ϕ( x, y) π (x reale e y > 0) rappreseta la fuzioe di desità di ua v.c. bidimesioale (X,Y). (3.) Si determiio le fuzioi di desità delle v.c. margiali. (3.3) Si stabilisca se X e Y soo idipedeti e si calcoli P(X < 0, Y < ). Siao Q, Q, Q 3 e Q 4 v.c. idipedeti e distribuite come Q (X + ) e sia S Q + Q + Q 3 + Q 4. (3.4) Si determii la distribuzioe della v.c. S, motivado la risposta. Siao Y e Y v.c. idipedeti e distribuite come Y e sia T (Y + Y ). (3.5) Si stabilisca se le v.c. S e T soo ideticamete distribuite, motivado la risposta. (3.) ϕ(x,y) >0 e ϕ(x,y) dxdy [ ]. (3.) X N(-,) e Y EN() [ ]. (3.3) X e Y soo idipedeti [ ]; P(X < 0, Y < ) P(X < 0) P(Y < ) e (3.4) Essedo Q ~ χ, S Q + + Q 4 ~ χ 4 per la proprietà riproduttiva della v.c. χ. (3.5) Essedo Y ~ χ, T Y + Y ~ χ 4 per la proprietà riproduttiva della v.c. χ.

6 Quesito Si cosideri ua successioe X di v.c. Beroulliae co parametro θ idipedeti. Si dimostri che > 0 il rapporto / approssima il umero m tale che > m P ( θ < ) > Per sufficietemete grade vale, approssimativamete, P ( ) / ( ) / θ θ θ θ 4θ ( θ ) se >.96, ovvero se > θ ( θ ) / X X N(θ, θ( θ)/) e, duque, X θ ( ) < X θ < P P Z < > basta porre m. θ ( θ ) / θ θ θ, ; i particolare, essedo ] 0,[ ( ) 4