7. Test d ipotesi. 2. L ipotesi è vera ma in base ai dati la rifiuto in questo caso si dice che si commette errore di prima specie

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1 7. Test d ipotesi U tipico problema che ci si può trovare ad affrotare è il seguete: Faccio ua certa ipotesi che idico co H 0 e che chiamo ipotesi ulla. I base ai dati che ho a disposizioe devo decidere se accettare o rifiutare la verità di questa ipotesi. i potrao verificare quattro situazioi alterative: 1. L ipotesi è vera e l accetto bee. L ipotesi è vera ma i base ai dati la rifiuto i questo caso si dice che si commette errore di prima specie 3. L ipotesi è falsa ma i base ai dati la accetto i questo caso si dice che si commette errore di secoda specie 4. L ipotesi è falsa e la rifiuto bee Per chiarirsi le idee vediamo prima u esempio. Esempio Ho { ua moeta. Voglio verificare se è bilaciata o meo. La lacio 1 se all i-esimo lacio esce testa, volte. Pogo X i =, i = 1,...,. Ho u campioe 0 se all i-esimo lacio esce croce. statistico beroulliao di umerosità e parametro p [0, 1] icogito, dove p è la probabilità che esca testa i u sigolo lacio. L ipotesi ulla che dobbiamo testare è H 0 p = 0.5. Facciamo duque laci. Otteiamo teste ed croci: { 1 se all i-esimo lacio esce testa, x 1, x,..., x dove x i = 0 se all i-esimo lacio esce croce. e duque x = 1 x i =. tabilisco ua distaza massima ε tra x e 0.5 etro la quale accettare l ipotesi p = 0.5 e oltre la quale rifiutarla. Ovvero: accetto H 0 se x 0.5 < ε e la rifiuto se x 0.5 ε. cioè se x i ε. Quato vale la probabilità di commettere errore di prima specie, ovvero di rifiutarla quado esse ivece è vera? 61

2 Commetto errore di prima specie co probabilità α := P X i ε. Poiché le v.a. X i soo idipedeti e seguoo tutte la distribuzioe di Beroulli di parametro p, la v.a. Y := X i è ua v.a. biomiale di parametri e p. e l ipotesi H 0 è vera, allora p = 0.5 duque : Y B, 0.5 e Y α := P ε = P Y + ε + P Y ε Vediamo alcui casi = 50, ε = 0.1 α = P Y P Y 5 5 = 1 F Y 9 + F Y 0. > 1 - pbiomc9, size=50, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc0, size=50, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 100, ε = 0.1 α = P Y P Y = 1 F Y 59 + F Y 40. > 1 - pbiomc59, size=100, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc40, size=100, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 00, ε = 0.1 α = P Y P Y = 1 F Y F Y 80. > 1 - pbiomc119, size=00, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc80, size=00, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 300, ε = 0.1 α = P Y P Y = 1 F Y F Y 10. > 1 - pbiomc179, size=300, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc10, size=300, prob=0.5, lower.tail=true [1]

3 = 50, ε = 0.05 α = P Y P Y 5.5 = 1 F Y 7 + F Y. > 1 - pbiomc7, size=50, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc, size=50, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 100, ε = 0.05 α = P Y P Y 50 5 = 1 F Y 54 + F Y 45. > 1 - pbiomc54, size=100, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc45, size=100, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 00, ε = 0.05 α = P Y P Y = 1 F Y F Y 90. > 1 - pbiomc109, size=00, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc90, size=00, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 300, ε = 0.05 α = P Y P Y = 1 F Y F Y 135. > 1 - pbiomc164, size=300, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc135, size=300, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 400, ε = 0.05 α = P Y P Y 00 0 = 1 F Y 19 + F Y 180. > 1 - pbiomc19, size=400, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc180, size=400, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 500, ε = 0.05 α = P Y P Y 50 5 = 1 F Y 64 + F Y 5. > 1 - pbiomc74, size=500, prob=0.5, lower.tail=true + pbiomc5, size=500, prob=0.5, lower.tail=true [1]

4 Figura 7.1: βp olitamete si vuole cotrollare el seso di teere bassa, iferiore a 0.1 o a 0.05 la probabilità α di commettere errore di prima specie. Tale probabilità viee detta livello di sigificatività del test. Fissato il livello di sigificatività α, la umerosità e la soglia di tolleraza ε adrao scelti di cosegueza come visto egli esempi precedeti. Ioltre, fissato α, ci chiediamo quato valga la probabilità di commettere errore di secoda specie, ovvero di accettare H 0 quad essa ivece è falsa. e H 0 è falsa, allora la probabilità di otteere testa o è 0.5 ma assume u valore p 0.5 igoto e duque Y B, p e io accetto H 0 co probabilità Y βp := P p < ε = P p Y < + ε P p Y ε i calcola βp per vari valori di p. La fuzioe βp è detta curva operativa caratteristica OC metre 1 βp cioè la probabilità di rifiutare H 0 quad essa i effetti è falsa e il parametro icogito vale p, è detta poteza del test. Esempio Cosideriamo la solita moeta e stavolta vogliamo vedere se è più probabile otteere testa che otteere croce. Vogliamo cioè testare l ipotesi ulla H 0 p 0.5 U test di questo tipo è detto test uilaterale. 64

5 tabilisco ua tolleraza massima ε etro la quale accettare l ipotesi p 0.5 e oltre la quale rifiutarla. Ovvero: accetto H 0 se x < ε e la rifiuto se x ε cioè se x i +ε. Quato vale la probabilità di commettere errore di prima specie, ovvero di rifiutarla quado essa ivece è vera? Commetto errore di prima specie co probabilità α := P Y + ε. e H 0 è vera, allora Y B, p per qualche p 0.5. Idico F p Y ripartizioe Vediamo alcui casi la sua fuzioe di = 50, ε = 0.1 α = 1 P Y < = 1 F p Y 9 sup { 1 F p Y 9} = 1 FY p [0,0.5 > 1 - pbiomc9, size=50, prob=0.5, lower.tail=true = 100, ε = 0.1 α = 1 P Y < = 1 F p Y 59 sup { 1 F p Y 59} = 1 FY p [0,0.5 > 1 - pbiomc59, size=100, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 00, ε = 0.1 α = 1 P Y < = 1 F p Y 119 sup { 1 F p Y 119} = 1 FY p [0,0.5 > 1 - pbiomc119, size=00, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 50, ε = 0.05 α = 1 P Y < = 1 F p Y 7 sup { 1 F p Y 7} = 1 FY p [0,0.5 > 1 - pbiomc7, size=50, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 100, ε = 0.05 α = 1 P Y < = 1 F p Y 54 sup { 1 F p Y 54} = 1 FY p [0,0.5 65

6 > 1 - pbiomc55, size=100, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 00, ε = 0.05 α = 1 P Y < = 1 F p Y 109 sup { 1 F p Y 109} = 1 FY p [0,0.5 > 1 - pbiomc109, size=00, prob=0.5, lower.tail=true [1] = 300, ε = 0.05 α = 1 P Y < = 1 F p Y 164 sup { 1 F p Y 164} = 1 FY p [0,0.5 > 1 - pbiomc164, size=300, prob=0.5, lower.tail=true [1] I geerale duque u test d ipotesi ha la seguete struttura: 1. i ha u campioe statistico X 1, X,..., X, X i Dθ, dove θ è u parametro reale.. i formula u ipotesi che si chiama ipotesi ulla e si idica co H 0, solitamete ella forma dove Θ 0 è u sottoisieme di R. H 0 θ Θ 0 3. i formula ua regola di decisioe per l accettazioe o il rifiuto di H 0. La regola di decisioe è di questo tipo: si sceglie ua statistica che forisce ua stima del parametro θ e u sottoisieme A R, detto regioe di accettazioe. Dopodiché se Y A, allora si accetta H 0 ; se Y / A, allora si rifiuta H 0. L isieme A c := R \ A è detto regioe di rifiuto. Come già detto, è solitamete richiesto di limitare la probabilità di commettere errore di prima specie, cioè di limitare la probabilità di rifiutare l ipotesi ulla quado essa è vera. Vediamo come questo sia possibile el caso di campioi gaussiai. 66

7 7.1. Test d ipotesi per la media di campioi gaussiai Campioe gaussiao di cui è ota la variaza Test bilaterale ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ icogita e variaza ota. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 µ = µ 0. H 0 è vera se e solo se E [ X ] = 0 duque accetto l ipotesi ulla H 0 se la media campioaria si discosta da µ 0 per meo di u valore soglia ε ovvero se x µ 0 < ε e la rifiuto altrimeti. Il livello di di sigificatività cioè la probabilità di commettere u errore di prima specie è allora α = P µ0 X µ 0 ε dove il pedice µ 0 idica che H 0 è vera, cioè che µ = µ 0. e H 0 è vera, X N µ 0, e Z := X µ 0 N 0, 1. Duque α = P µ0 X µ 0 ε X µ0 = P µ0 ε = P Z ε = P Z ε + P Z ε ε ε = 1 Φ + Φ ε = 1 Φ ε e voglio fissare a priori α, deve essere allora Φ = 1 α ε = z 1 α e duque devo scegliere cioè deve essere ε = z 1 α. Presi i dati x 1, x,..., x, sia duque x = 1 x i la loro media. Accetto H 0 se x µ 0 < z 1 α e la rifiuto altrimeti. 67

8 Test uilaterale ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ icogita e variaza ota. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 µ µ 0. Accetto l ipotesi ulla H 0 se la media campioaria è iferiore a µ 0 + ε cioè se x < µ 0 + ε. La probabilità di commettere u errore di prima specie è allora P µ µ0 X µ0 + ε. dove il pedice idica che la media del campioe è µ µ 0. Poiché X N µ, e Z := X µ N 0, 1, si ha P µ µo X µ0 + ε X µ = P µ µ0 = 1 P Z µ 0 µ + ε = 1 Φ µ 0 µ + ε = P Z µ 0 µ + ε µ0 µ + ε ε e voglio limitare superiormete P µ µ0 X > µ0 + ε, cioè se voglio 1 Φ P µ µ0 X > µ0 + ε α µ µ 0 ε scelgo ε i modo da avere 1 Φ = α cioè ε = z 1 α e duque scelgo ε = z 1 α.. Presi i dati x 1, x,..., x, sia duque x = 1 x i la loro media. Accetto H 0 se x < µ 0 + z 1 α e la rifiuto altrimeti. Test uilaterale ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ icogita e variaza ota. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 µ µ 0. Accetto l ipotesi ulla H 0 se la media campioaria è superiore a µ 0 ε cioè se x > µ 0 ε. La probabilità di commettere u errore di prima specie è allora P µ µ0 X µ0 ε. 68

9 Poiché X N µ,, e Z := X µ P µ µ0 X µ0 ε X µ = P µ µ0 µ0 µ ε ε = Φ Φ N 0, 1, si ha µ 0 µ ε = P Z µ 0 µ ε ε = 1 Φ e voglio limitare superiormete P µ µ0 X µ0 ε cioè se voglio. ε scelgo ε i modo da avere Φ P µ µ0 X µ0 ε α µ µ 0 = 1 α cioè ε ε = z 1 α. = z 1 α e duque scelgo Presi i dati x 1, x,..., x, sia duque x = 1 x i la loro media. Accetto H 0 se x > µ 0 z 1 α e la rifiuto altrimeti Campioe gaussiao di cui o è ota la variaza Test bilaterale ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ e variaza etrambe igote. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 µ = µ 0. appiamo che, se µ = µ 0, allora T := X µ 0 t 1. Ioltre H 0 è vera se e solo se E [ X ] = µ 0 ovvero, per l idipedeza di X e, se e solo se E [T ] = 0. Duque accetto l ipotesi ulla H 0 se T ε. Il livello di di sigificatività cioè la probabilità di commettere u errore di prima specie è allora α = P T ε. i ha quidi α = P T ε = P T ε + P T ε = 1 F T ε + F T ε = 1 F T ε 69

10 e voglio fissare a priori α, deve essere allora F T ε = 1 α duque devo scegliere ε = t 1,1 α. Presi i dati x 1, x,..., x, sia duque t = x µ 0 dove x e s idicao la media s e la deviazioe campioaria del campioe, rispettivamete. Accetto H 0 se e la rifiuto altrimeti, ovvero accetto H 0 se t t 1,1 α µ 0 t 1,1 α s x µ 0 + t 1,1 α s e la rifiuto altrimeti. Test uilaterale ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ e variaza etrambe icogite. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 µ µ 0. Diamo la seguete regola di accettazioe: accettiamo H 0 se X µ 0 La probabilità di commettere u errore di prima specie è allora P µ µ0 X µ0 > ε. ε. e H 0 è vera, allora µ µ 0 e duque Di cosegueza X µ 0 { X µ0 Duque, per ogi µ µ 0 si ha P µ µ0 X µ0 X µ =: T t 1. } { } X µ > ε > ε X µ > ε P µ µ0 > ε = P T > ε = 1 F T ε e vogliamo stabilire il livello di sigificatività α dovremmo scegliere ε i modo che 1 F T ε = α 70

11 cioè ε = t 1,1 α. Presi i dati x 1, x,..., x, sia duque t 0 = x µ 0. Accetto H 0 se s t 0 t 1,1 α ovvero se x µ 0 + t 1,1 α s e la rifiuto altrimeti. Test uilaterale ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ e variaza etrambe icogite. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 µ µ 0. Diamo la seguete regola di accettazioe: accettiamo H 0 se X µ 0 ε. La probabilità di commettere u errore di prima specie è allora e H 0 è vera, allora µ µ 0 e duque P µ µ0 X µ0 < ε. Di cosegueza Duque X µ 0 { X µ0 P µ µ0 X µ0 X µ =: T t 1. } { } X µ < ε < ε X µ < ε P µ µ0 < ε µ µ 0 e quidi, per ogi µ µ 0 si ha P µ µ0 X µ0 X µ < ε = P µ µ0 < ε = P T < ε = F T ε = 1 F T ε. e vogliamo stabilire il livello di sigificatività α dovremmo scegliere ε i modo che cioè ε = t 1,1 α. 1 F T ε = α 71

12 Presi i dati x 1, x,..., x, sia duque t 0 = x µ 0. Accetto H 0 se s e la rifiuto altrimeti, ovvero accetto H 0 se t 0 t 1,1 α x µ 0 t 1,1 α s e la rifiuto altrimeti. 7.. Test d ipotesi per l uguagliaza di medie di campioi gaussiai uppoiamo di avere due campioi, etrambi gaussiai X : X 1, X,..., X X i N µ X, X, Y : Y 1, Y,..., Y Y j N µ Y, Y. Vogliamo testare l ipotesi H 0 µ X = µ Y Osserviamo che µ x = µ Y se e solo se E [ X Y ] = 0. Per limitare la probabilità di commettere errore di prima specie, distiguiamo tre diversi casi Primo caso: le variaze X e Y soo ote Cosidero la v.a. W := X Y. Per le proprietà dei campioi gaussiai W N Duque H 0 è vera se e solo se W N criterio di accettazioe: µ X µ Y, X + Y. 0, X + Y. Duque stabilisco il seguete Accetto H 0 se e solo se w = x y < ε. La probabilità di commettere errore di prima specie vale allora α = P µx =µ Y W ε = P µx W =µ Y X + Y ε X + Y 7

13 D altra parte, se H 0 è vera, allora Z := scegliere ε X + Y = z 1 α ovvero W X + Y N 0, 1, e duque dovremo Duque accettiamo l ipotesi H 0 se ε = z 1 α X + Y. x y < z 1 α X + Y e la rifiutiamo altrimeti. Osservazioe e X = Y = 0 e =, allora ε = z 1 α ecodo caso: le variaze X e Y soo igote ma uguali Cosideriamo le due variaze campioarie X = 1 1 X i X, Y = 1 1 ia il comue valore di X e Y. appiamo che Y j Y. j=1 V X := 1 X χ 1, V Y := 1 Y χ 1 duque, per la Proprietà 5.3., V X + V Y χ 1+ 1 = χ + D altra parte V X + V Y = 1 X + 1 Y = + Cosideriamo la statistica: := 1 X + 1 Y + 1 X + 1 Y +.. i ha V X + V Y =

14 Ioltre X Y N 1 µ X µ Y, + 1, quidi ia Z := X Y N 0, 1 se e solo se µ X = µ Y. T := Z + VX + V Y. Poiché i due campioi soo gaussiai e idipedeti le v.a. X, X, Y e Y soo idipedeti, quidi Z e soo idipedeti, quidi E [ X Y ] = 0 se e solo se E [T ] = 0. Come criterio di accettazioeper l ipotesi ulla H 0 scelgo duque t < ε. Ioltre, se E [ X Y ] = 0, allora per il Teorema T t +. ostituedo l espressioe per Z e quella per V X + V Y data ell equazioe 7.1 si ha X T = t + Osserviamo ache che [ E ] = 1E [ X ] [ ] + 1E Y + = = e duque possiamo usare per stimare la variaza. La probabilità di commettere errore di prima specie è allora α = P T ε Fissato il livello di sigificatività α, devo duque scegliere ε = t +,1 α. iao x: x 1, x,..., x e y : y 1, y,..., y i dati, x e y le rispettive medie, s x e s y le rispettive variaze e sia s := 1s x + 1s y : accetto l ipotesi ulla se + cioè se e la rifiuto altrimeti. x y 1 s + 1 < t +,1 α, 1 x y < t +,1 α s

15 7..3. Terzo caso: le variaze X e Y soo igote e diverse i può dimostrare che se e soo sufficietemete gradi e se H 0 è vera, allora la distribuzioe della statistica X Y X + Y è approssimativamete gaussiaa stadard. Duque, per otteere approssimativamete u livello di sigificatività α si accetta l ipotesi ulla H 0 µ X = µ Y quado x y s X + s Y < z 1 α e la si rifiuta altrimeti. Il problema di idividuare u test che dia u livello di sigificatività α prescritto è acora u problema aperto ed è oto come problema di Behres-Fisher Test d ipotesi per la variaza di campioi gaussiai Test bilaterale ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ ota o icogita e variaza icogita. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 = 0. H 0 è vera se e solo se E [ [ ] ] = 0 se e solo se E = 1. 1 appiamo che la v.a. V := χ 1. Duque accetto H 0 se 1 ε 1 < s 0 < 1 + ε, ε 1, ε positivi, cioè se e solo se 0 11 ε 1 < 1s < 11 + ε. Devo scegliere ε 1 e e i modo da otteere il livello di sigificatività α desiderato: α = P 0 > 1 + ε + P 0 0 < 1 ε 1 1 = P > 11 + ε 1 + P 0 < 11 ε 1. 75

16 Ua possibile scelta è allora 1 P 0 > 11 + ε = α 1 P < 11 ε 1 = α 0 Duque accetto H 0 se cioè se e la rifiuto altrimeti. Test uilaterale χ 1, α < 0 1 χ 1, α 1s 0 cioè 11 + ε = χ 1,1 α cioè 11 ε 1 = χ 1, α. < χ 1,1 α < s < 0 1 χ 1,1 α ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ ota o icogita e variaza icogita. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 0. Accetto l ipotesi ulla se s ε. e la variaza è 0 1, allora V := χ 1 e la probabilità di commettere errore di prima specie è 1 P 0 0 > 1 + ε = P 0 > ε = P V > ε 1 F V 11 + ε. = 1 F 0 V 11 + ε Posso allora limitare superiormete co α la probabilità di commettere errore di prima specie impoedo 1 F V 11 + ε = α cioè scegliedo ε i modo che Duque accetto l ipotesi ulla H 0 se cioè se e la rifiuto altrimeti ε = χ 1,1 α. 1s 0 < χ 1,1 α s < 0 1 χ 1,1 α 76

17 Test uilaterale ia X 1, X,..., X u campioe gaussiao di media µ ota o icogita e variaza icogita. Vogliamo testare l ipotesi ulla H 0 0. Accetto l ipotesi ulla se s 0 1 ε. e la variaza è 0 1, allora V := χ 1 la probabilità di commettere errore di prima specie è allora 1 P 0 < 1 ε = P < 0 11 ε = F 0 V 11 ε F V 11 ε. Posso allora limitare superiormete co α la probabilità di commettere errore di prima specie impoedo F V 11 ε = α cioè scegliedo ε i modo che Duque accetto l ipotesi ulla H 0 se 11 ε = χ 1,α. 1s 0 > χ 1,α cioè se e la rifiuto altrimeti. s > 0 1 χ 1,α 7.4. Test d ipotesi per la media di campioi beroulliai Abbiamo già trattato questo argometo ell esempio itroduttivo. Test bilaterale ia X 1, X,..., X è u campioe di Beroulli di parametro p icogito. appiamo che E [X i ] = p e che, vedi 5.1 duque usiamo x come stima di p. P X p > t 1 4 t t > 0. 77

18 Testiamo l ipotesi ulla H 0 p = p 0. tabiliamo il criterio di accettazioe: accetto H 0 se x p 0 < ε e la rifiuto altrimeti. e H 0 è vera, allora la v.a. Y := X i segue la distribuzioe B, p 0 di cui coosciamo la distribuzioe. La probabilità di commettere errore di prima specie è quidi α = P p=p0 X p0 < ε = Pp=p0 Y p 0 < ε = P Y < p 0 + ε P Y p 0 ε. Test uilaterale Testiamo l ipotesi ulla H 0 p p 0. tabiliamo il criterio di accettazioe: accetto H 0 se x < p 0 + ε e la rifiuto altrimeti. e H 0 è vera, allora la v.a. Y := X i segue la distribuzioe B, p per qualche p p 0. La probabilità di commettere errore di prima specie è quidi P p p0 X p0 + ε = P p p0 Y p 0 + ε P p0 Y p 0 + ε. Per limitare superiormete il livello di sgificatività α scelgo duque ε i modo che P p0 Y p 0 + ε α. Test uilaterale Testiamo l ipotesi ulla H 0 p p 0. tabiliamo il criterio di accettazioe: accetto H 0 se x > p 0 ε e la rifiuto altrimeti. e H 0 è vera, allora la v.a. Y := X i segue la distribuzioe B, p per qualche p p 0. La probabilità di commettere errore di prima specie è quidi P p p0 X p0 ε = P p p0 Y p 0 ε P p0 Y p 0 ε. Per limitare superiormete il livello di sigificatività α scelgo duque ε i modo che P p0 Y p 0 ε α. 78

19 7.5. Test del χ ia X 1, X,..., X u campioe statistico. uppoiamo che le v.a. del campioe siao discrete a valori y 1, y,..., y. Cosideriamo le desità di probabilità Vogliamo testare l ipotesi ulla p j := P X i = y j, j = 1,...,. H 0 p j = p 0 j j = 1,...,. Per ogi j = 1,..., cosidero le frequeze campioarie N j ω = # {i {1,..., }: X i ω = y } j = 1,..., e le frequeze campioarie relative F j := N j, j = 1,...,. icuramete N j B, p j, quidi E [N j ] = p j e E [F j ] = p j. I particolare H 0 è vera se e solo se E [N j ] = p 0 j j = 1,...,, duque u criterio di accettazioe potrebbe essere quello di accettare H 0 se e solo se j p 0 j < ε j = 1,...,. Questo criterio però o ci permette di calcolare la probabilità di errore di prima specie. Vale però il seguete risultato: Teorema di Pearso. e N j B, p j, allora la fuzioe di ripartizioe della v.a. N j p j T := p j j=1 coverge, per, alla fuzioe di ripartizioe associata alla distribuzioe χ 1. Osservazioe Nelle applicazioi l approssimazioe è cosiderata accettabile se p j 5 j = 1,...,. Formuliamo allora il seguete criterio di accettazioe: accetto l ipotesi ulla H 0 se e solo se t := j p 0 j j=1 p 0 j La probabilità di commettere errore di prima specie è allora α := P T ε 1 F χ 1 ε. celgo duque ε tale che F χ 1 ε = 1 α, cioè ε = χ 1,1 α. Osservazioe Il test si può applicare ache el caso i cui y 1, y,..., y siao sostituiti da classi di modalità I 1, I,..., I. < ε. 79

20 Test di ormalità uppoiamo di aver u campioe X 1, X,..., X. Vogliamo testare l ipotesi H 0 Il campioe è ormale i può procedere el seguete modo: 1. stimiamo µ e rispettivamete co x e s ;. stadardizziamo i dati poedo z i := x i µ. e il campioe segue la distribuzioe N µ,, allora Z i N 0, 1; 3. suddividiamo la retta reale i itervalli I 1, I,..., I simmetrici rispetto all origie, ivi comprese due semirette simmetriche [a, + e, a]; 4. cotiamo j := # {i {1,..., }: z i I j }; 5. calcoliamo p 0 j := P Z i I j ; 6. cosideriamo la v.a. T := N j p 0 j. i può dimostrare che per la j=1 p 0 j fuzioe di ripartizioe di T coverge alla fuzioe di ripartizioe associata alla distribuzioe χ 1, dove il è dovuto al fatto che abbiamo sostituito i due parametri µ e co le loro stime proveieti dai dati x e s ; 7. accettiamo l ipotesi ulla se t < ε. e impoiamo u livello di sigificatività α, sceglierermo allora ε = χ 3,1 α. 80

21 Bibliografia [1] Luigi Barletti. Apputi del corso applicazioi di matematiche e statistica, a.a [] Fabio Frascati. Formulario di tatistica co R [3] Atoia Morpoulou ad Kyriai Polireti. Pricipal compoet aalysis i moumet coservatio: Three applicatio examples. Joural of Cultural Heritage, 10:73 81, 009. [4] Joh Verzai. simpler