Poiché n<30 e la deviazione standard non era nota a priori ma è stata stimata (s=14.4), la statistica test da utilizzare è t:

Transcript

1 Esercizio 1 H 0 : µ µ H 1 : µ µ 0 oiché <30 e la deviazioe stadard o era ota a priori ma è stata stimata (s14.4), la statistica test da utilizzare è t: x µ t oss 3.77 s 14.4 Sotto H 0, t si distribuisce come ua t di studet co -117 g.d.l. t crit t 17, t crit t 17, t oss > t 17,0.05 Rifiuto H 0 Esistoo evideze che mostrao che il peso dei soggetti diabetici è mediamete diverso dal peso ideale. Alterativamete era possibile determiare: α oss p-value robabilità di otteere, sotto H 0, u valore uguale o maggiore rispetto a quello realmete osservato ((t>3.77) (t<-3.77))0.00 oiché α oss <α0.05, RFUTO H 0

2 Esercizio a) Sulla base della tabella precedete costruite la seguete uova tabella: Asma Asma termittete ersistete Totale Brocostruzioe Sì No Totale b) Valutate co opportuo test statistico se la proporzioe di brocostruiti el gruppo dei soggetti co asma itermittete è sigificativamete diversa da quella che si osserva ei soggetti co asma persistete (stabilite l ipotesi da testare il tipo di test e la soglia critica, eseguite il test e se rifiutate l ipotesi ulla stabilite l errore di tipo alfa che commettete) H 0 : π π H 1 : π π Test Z Z critico, α0.05 ±1.96 p 64/ p 151/ p p p ˆ ES ( p p ) pˆ(1 pˆ) ( ) pˆ(1 pˆ) 0.(1 0.) * Z oss p p ES( p p ) Z oss cade ella Regioe di Rifiuto, quidi Rifiuto H 0 : la proporzioe di brocostruiti el gruppo dei soggetti co asma itermittete è sigificativamete diversa da quella che si osserva ei soggetti co asma persistete p-value (Z<-7.96) (Z>7.96) <0.001

3 Esercizio 3 Nell'ambito dell'idagie iterazioale sui disturbi respiratori Europea Commuity Respiratory Health Survey (ECRHS), è stato sommiistrato u questioario a 57 soggetti italiai resideti a Veroa, avia e Torio. er gli stessi soggetti, persoale opportuamete addestrato ha applicato all estero della fiestra della cucia u campioatore passivo per rilevare il livello di cocetrazioe outdoor di NO dell abitazioe. Cocetrazioe di NO outdoor (µg/m 3 ) Totale Frequeze attese * [0-30) [30-50) 155 [50-60) 118 [60-140) Totale 57 a) Assumedo che la distribuzioe della cocetrazioe di NO outdoor (µg/m 3 ) sia ormale co la stessa media e la stessa d.s. del campioe studiato (57 e 31 µg/m 3 rispettivamete), è stato calcolato il umero di soggetti attesi (*) per alcue delle classi riportate ella tabella; calcolate il umero di soggetti attesi elle classi di cocetrazioe dell NO outdoor [30-50) e [50-60). Assumedo i parametri della popolazioe µ57 µg/m 3 e σ 31 µg/m 3 possiamo adare a calcolare i 3 valori di Z associati ai valori : ) [NO ] 30 µg/m 3 ) [NO ] 50 µg/m 3 ) [NO ] 60 µg/m 3 Adremo a sostituire questi tre valori ella formula: z x µ σ µ g x 57 3 m µ g 31 3 m erciò V) Z_30 µg/m V) Z_50 µg/m V) Z_60 µg/m Ci servirao questi 3 valori di Z poiché adremo a calcolare la probabilità compresa ell itervallo [30-50) e ell itervallo [50-60). Ua volta che avremo calcolato queste due probabilità le moltiplicheremo per 57 ed avremo il umero di attesi per ogi categoria. Avremo perciò

4 V) ((Z>-0,87) ad (Z<-0,3))((z-0.3)-(z-0.87) V) ((Z>-0,3) ad (Z<0,10)) ((z0.10)-(z-0.3) ,1308 Ora moltiplicheremo le probabilità calcolate per 57 e avremo il umero di attesi per classe: X) E[30-50)0,168* X) E[50-60)0,1308*5768,9 b) Valutate mediate u opportuo test statistico se esiste discrepaza tra i valori di cocetrazioe dell NO outdoor osservati e quelli attesi ell ipotesi decritta al puto a). Stabilite il tipo di test, i gradi di libertà, la soglia critica e se rifiutate l ipotesi ulla stabilite l errore di tipo alfa che commettete. terpretate a parole la decisioe presa sulla base del test. Utilizzeremo u test del chi quadro che va a valutare quato u valore osservato (per ogi cella) si discosta da u valore atteso calcolato sotto l ipotesi che la distribuzioe di NO segua ua ormale (l ipotesi ulla). La statistica del test viee calcolata come χ ( O E) Ua volta calcolato il valore verrà cofrotato co il valore di soglia e verrà rifiutata/o rifiutata l ipotesi ulla. Formalizzado: ) formulazioe ipotesi H0: il campioe estratto proviee da ua popolazioe che ha distribuzioe ormale. H1: il campioe estratto proviee da ua popolazioe che o ha distribuzioe ormale. ) Scelta regioe critica e gradi di libertà Alfa viee settato pari a g.d.l. vegoo calcolati come umero celle umero parametri stimati per il calcolo degli attesi -1 e cioè χ α 0,05; g. d. l Rifiuterò l ipotesi ulla se il valore calcolato sarà maggiore di 3.84 ) Calcolo del chi quadro E Chiquadro ( ) ( ) ( ) ( ) , Chiquadro78.91

5 V) oiché Chiquadro calcolato è maggiore della soglia critica (78.91>3.84) o accetto l ipotesi ulla: il campioe estratto proviee da ua popolazioe che o ha distribuzioe ormale. V) Calcolo del p value: Co 1 grado di libertà, il valore è maggiore del valore del Chiquadro che lascia a destra ua probabilità pari a p0.0001, cioè 15. erciò avrò ua sigificatività p<

6 Esercizio 4 a) Determiate l errore stadard della differeza delle medie ella distaza percorsa i 6 miuti per i gruppi. Errore std (s 1 / 1 s / ) Errore std b) Secodo voi, la distaza percorsa i 6 miuti da u soggetto el gruppo di coloro che riportao sitomi croici di tosse/catarro è sigificativamete diversa da quella che percorre u soggetto el gruppo di cotrollo? b1. Stabilite l ipotesi ulla H0: µ casi µ cotrolli b. Stabilite l ipotesi alterativa H1: µ casi µ cotrolli b3. Stabilite il tipo di test test z b4. Determiate la soglia critica ad u livello alpha0.01 z (0,01).58 b5. Eseguite il test z ( )/ b6. base ai risultati del test, rifiutate l ipotesi ulla? erché? No rifiuto l ipotesi ulla perché il valore otteuto dal test (z.6) è iferiore al valore critico di t calcolato i precedeza (z.58). b7. caso di rifiuto dell ipotesi ulla, determiate la probabilità dell errore di tipo el rifiutare H 0 (p-value). p0.0119*0.038

7 Esercizio 5 Uo studio è stato codotto per valutare la relazioe esistete tra la latitudie (x) e i tassi di mortalità per melaoma maligo (y) egli uomii el periodo egli Stati Uiti d America. Nello studio soo stati cosiderati i tassi riferiti a 49 stati. La latitudie per gli stati iclusi ello studio va da 8 a 47.5 e la sua media è 39.5 ; la media del tasso di mortalità è risultata morti per 10 milioi. a) Sapedo che ( x x) ( y y) i i , ( y) y i , e che ( x i x) 100.5, si calcolio i coefficieti di regressioe della retta Y abx. b / a (-5.978*39.5) b) Sapedo che l errore stadard associato al parametro stimato b è pari a 0.598, si verifichi l'ipotesi che la stima del parametro della variabile idipedete sia diverso da zero co u opportuo test d ipotesi (specificado l ipotesi ulla, alterativa e la soglia critica). Si commetio i risultati. H0: β0 (asseza di associazioe tra latitudie e mortalità per melaoma maligo) H1: β 0 Soglia critica: t - t 47 ±.01 (circa) t / Si rifiuta l ipotesi ulla di asseza di associazioe tra latitudie e mortalità per melaoma maligo: a latitudii iferiori, egli USA, corrispodoo tassi di mortalità sigificativamete superiori. c) Sulla base dei coefficieti di regressioe stimati al puto a), qual è il valore atteso del tasso di mortalità per tumori maligi egli uomii che vivoo ad ua latitudie di 31? Y (31) *