Stimatori, stima puntuale e intervalli di confidenza Statistica L-33 prof. Pellegrini

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1 Lezioe 3 Stimatori, stima putuale e itervalli di cofideza Statistica L-33 prof. Pellegrii

2 Oggi studiamo le proprietà della stima che ricaviamo da u campioe. Si chiama teoria della stima. La stima statistica cosiste el trarre delle coclusioi su alcue proprietà statistiche della popolazioe mediate iformazioi su campioi. La stima può essere: putuale à si risolve i u valore assuto a rappresetare ua proprietà statistica (u parametro della popolazioe itervallare à si risolve el fissare due valori tra cui si presume sia compreso u parametro della popolazioe

3 Aspetti itroduttivi Variabile casuale campioaria detta ache Statistica campioaria è ua fuzioe che assume valore ell uiverso dei campioi, defiita quidi rispetto alla -pla di variabili casuali (,,, Basadoci sull uiverso dei campioi possiamo valutare le caratteristiche di ua particolare statistica campioaria (es. la media, aalizzadoe il comportameto su tutti i poteziali campioi estraibili dalla popolazioe Ua statistica campioaria ci permette di «stimare» il valore della caratteristica icogita della popolazioe. Questa statistica si chiama «Stimatore» Lo stimatore potrà avere vari valori al variare del campioe. Il valore realizzato sul campioe effettivamete osservato si chiama «stima».

4 Stimatore e stima P: popolazioe : variabile oggetto di studio co ua sua distribuzioe θ: Parametro icogito (media, variaza, da stimare à determiare u valore C: (x, x,, x à campioe casuale beroulliao di elemeti da P, (,,, à variabili casuali idipedeti e ideticamete distribuite Stimatore: Tf (,,, per u caratteristica/parametro di Stima putuale: tf (x, x,, x

5 Differeza tra stimatore e stima Lo stimatore è ua variabile aleatoria ell uiverso dei campioi: T f(,,, stimatore putuale è ua variabile aleatoria fuzioe di variabili aleatorie. La stima o è ua variabile ma u valore: t f(x, x,, x stima putuale è ua costate del campioe, ua determiazioe empirica di T, ossia di uo stato di gradezza di tale variabile

6 Esempio

7 Proprietà di uo stimatore Lo stimatore è uo strumeto teorico che permette di dare dei giudizi sulla botà della stima. È ecessario idividuare lo stimatore più adeguato per stimare i parametri della popolazioe. Proprietà fiite: valgoo per qualsiasi umerosità del campioe Proprietà asitotiche: valgoo solo per campioi di grade umerosità Vedremo ad esempio che per stimare la media della popolazioe si può utilizzare la media campioaria, metre la variaza campioaria o è lo stimatore migliore della variaza della popolazioe

8 Ripetedo: La teoria dell uiverso dei campioi ci permette di giudicare il comportameto di ua particolare statistica campioaria (es. la media, aalizzadoe il comportameto su tutti i poteziali campioi estraibili dalla popolazioe Ua qualsiasi statistica campioaria, fuzioe della dimesioe del campioe, è uo stimatore, quatità campioaria destiata a forire ua valutazioe adeguata di u dato parametro della popolazioe Lo stimatore potrà avere vari valori al variare del campioe. Il valore realizzato sul campioe effettivamete osservato si chiama stima.

9 Proprietà fiite di uo stimatore Correttezza: riferita al valore atteso Efficieza: riferita alla variabilità Defiizioe di Correttezza: uo stimatore T è corretto se il suo valore atteso coicide col parametro θ che si vuole stimare E(T θ Fra tutti i campioi ce e soo alcui che foriscoo sotto-stime e altri sovra-stime del parametro, altri acora che dao valori molto lotai, altri molto vicii o ache uguali, Stimatore è corretto se sovra-stime e sottostime si compesao, e i media lo stimatore coicide co il valore vero icogito del parametro. Uo stimatore o corretto si dice distorto e idichiamo co B la distorsioe B( T E( T θ

10 Esempio Si cosiderio i due stimatori T e T T è corretto metre T o è quidi distorto

11 Media Aritmetica campioaria Esempio: La media aritmetica campioaria è uo stimatore corretto per la media della ella popolazioe. E( µ? Lo abbiamo visto empiricamete maturità, vediamolo ora teoricamete E La dimostrazioe si basa: i ell esempio sul voto di sulla proprietà per cui il valore atteso di ua somma è uguale alla somma dei valori attesi Tutte le hao la stessa media µ i virtù del piao di campioameto beroulliao i E( i i E( i µ µ

12 Facciamo la prova: [ ] µ µ µ µ µ M M M M M... ( (... ( (,...,, ( ( µ E(x E(x vuol dire valore atteso di x

13 Correttezza

14 Variaza campioaria Esempio: La variaza campioaria è uo stimatore corretto per la variaza della ella popolazioe? E( S σ? Lo stimatore S è defiito come: S ( i i Si dimostra che E( S σ Pertato lo stimatore è distorto Uo stimatore corretto si può otteere questo modo ˆ i S ( i

15 ( ] [( ] [( ( ( ( ( σ σ σ σ µ µ µ µ V M M M M S M j j j j j j j Quidi M(S < σ.

16 Efficieza di uo stimatore U'altra proprietà desiderabile per uo stimatore è quella di essere poco variabile, quidi di determiare i media stime del parametro più vicie al valore vero icogito La variabilità solitamete è misurata dalla deviazioe stadard che el caso di uo stimatore è ache detta errore stadard. Efficieza è ua proprietà relativa e riguarda la variabilità di uo stimatore. Uo stimatore è detto più efficiete di u altro se determia stime del parametro più vicie al vero valore, i media, rispetto ad altri stimatori. Si parla di efficieza di uo stimatore i termii di cofroto co quella di u altro stimatore

17 Efficieza Per valutare la variabilità di T itoro a θ possiamo usare la variaza (o ache l errore stadard ma se lo stimatore è distorto è più opportuo usare l errore quadratico medio dato dal valore atteso della differeza al quadrato tra lo stimatore e il valore icogito che si vuole stimare: MSE( T E[( T θ] Si dimostra che: MSE ( T E[( T θ] Var( T + B( T dove Var( T E[ T E( T ] Diciamo che lo stimatore T è più efficiete di T se Per tutti i possibili valori di θ MSE ( T < MSE( T

18 Efficieza Se lo stimatore è corretto e quidi è ulla la distorsioe si ha: MSE ( T Var( T Dati due stimatori corretti T e T. Si dirà che T è più efficiete di T se Var T < Var( ( T T T

19 Proprietà degli stimatori Esempio (tratto dal volume Borra-Di Ciaccio Si cosideri il campioe,, 4 estratto da ua µ popolazioe co media e variaza σ, e i due stimatori: T T E( T E( µ Var( T Var( σ 4 E( T ( 7 4µ ( 7 4 µ µ ( 3 4µ B( T ( 5 Var( T 6 σ MSE( T σ 4 < ( 5 6 σ + ( 9 MSE( T 6 µ

20 Proprietà asitotiche Cosisteza Lo stimatore T di u parametro θ, dove l idice idica la dipedeza dello stimatore dalla umerosità campioaria, è uo stimatore cosistete i media quadratica se Quidi lim MSE( T lim MSE( T 0 se e solo se lim ( T 0 Correttezza asitotica Uo stimatore T di u parametro θ è uo asitoticamete corretto se: per ogi possibile valore di lim E( T lim E( T θ -θ 0 Var lim B( T 0 0

21 Distribuzioe di probabilità di alcui stimatori Se la variabile ella popolazioe si distribuisce ormalmete ache la media aritmetica campioaria si distribuisce ormalmete Se la o ha distribuzioe ormale (ad esmpio beroulliaa possiamo fare ricorso al Teorema del Limite Cetrale: la somma (o la media di u umero elevato di variabili casuali idipedeti co la stessa distribuzioe è approssimativamete ua ormale. I altre parole per campioi casuali di elevata ampiezza, la distribuzioe di ua qualsiasi variabile casule campioaria che preseta queste caratteristiche ha approssimativamete ua distribuzioe ormale. Quidi el caso di variabile beroulliaa ella popolazioe, lo stimatore Media aritmetica campioaria ha per gradi campioi distribuzioe approssimativamete ormale Queste cosiderazioi servoo per costruire itervalli di cofideza e vericare ipotesi

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23 Stima itervallare: l itervallo di cofideza Per avere u iformazioe più completa sul parametro icogito che vogliamo stimare, è utile dare idicazioi su quato precisa sia la stima rispetto al vero valore del parametro. Le idicazioi sulla precisioe della stima putuale soo basate sull'ampiezza della stima itervallare di u parametro. Poiché le stime itervallari cotegoo il parametro co u certo livello di fiducia, essi vegoo idicati come itervalli di cofideza. U itervallo di cofideza per u parametro è u itervallo di valori etro cui si ritiee ricada il valore di u parametro. La probabilità associata al fatto che l'itervallo cotega il parametro è deomiata livello di cofideza. Questo è u umero prossimo a, tipicamete 0,95 o 0,99 idicato come α

24 Itervallo di cofideza La costruzioe di u itervallo di cofideza è legata alla distribuzioe campioaria dello stimatore putuale. I termii o rigorosi per costruire u itervallo di cofideza, si aggiuge e si sottrae dalla stima putuale u multiplo del suo errore stadard. Questo multiplo dell'errore stadard è il margie di errore. U itervallo di cofideza è quidi dato da: Stima putuale ± Margie di errore

25 Itervallo di cofideza per la media Cosideriamo ua variabile distribuita ormalmete Ν ( µ, σ co media icogita e variaza che ipotizziamo ota. Si sa che lo stimatore media aritmetica campioaria Allora σ Ν µ, Stadardizziamo la variabile µ Z σ

26 Itervallo di cofideza per la media Si può determiare la probabilità di u valore compreso tra due valori + z e z Scegliamo come valore di cofideza α 0,95 allora dalle tavole appositamete calcolate per la ormale stadardizzata sappiamo che + z α /,96 e z α /,96

27 Itervallo di cofideza per la media Si ha quidi La quatità ±, 96 È aleatoria fio a quado o estraiamo u campioe. Possiamo solo dire che il 95% degli itervalli così costruiti cotiee il valore icogito µ Estraiamo quidi il campioe e allo stimatore sostituiamo la stima el campioe x allora determiiamo uo dei possibili campioi σ x ±, 96 Che cotiee il valore co u livello di cofideza del 0,95 µ σ

28 Esempio La temperatura massima a Palermo el mese di aprile si distribuisce come ua ormale di media icogita µ e di variaza pari a 50. La media delle temperature massima registrate egli ultimi 5 giori dello scorso aprile è risultata 7. Si costruisca l itervallo di cofideza al livello 0,95. La variaza della temperatura è 50, e quidi la variaza della media campioaria è σ 50 5 x ±,96 x ±,96,4 x ±,8 Estremo iferiore 7-,84, Estremo superiore 7+,89,8 [4,; 9,8]

29 Esempio Immagiiamo che la media vera sia 6 possiamo vedere esemplificato il cocetto di itervallo di cofideza attraverso questo grafico

30 Itervallo di cofideza per la media Gradi campioi σ Qualora la variaza o sia ota allora si deve stimarla. Si usa i questo caso la variaza campioaria corretta ( i Che el campioe estratto diveta S ( x x Questa quatità si sostituisce ella formula Otteedo s x ±, 96 s i x ±, 96 σ Questo risultato vale se la umerosità del campioe è elevata. Se il campioe è piccolo allora bisoga procedere i modo diverso

31 La variabile Itervallo di cofideza per la media Piccoli campioi µ s No ha più distribuzioe ormale stadardizzata ma distribuzioe di probabilità detta t di Studet. La distribuzioe t è campaulare e simmetrica itoro alla media 0. La sua deviazioe stadard è leggermete più grade di e il valore esatto dipede da quelli che vegoo chiamati gradi di libertà idicati co gdl che soo pari a - La distribuzioe t preseta u'ampiezza leggermete diversa per ciascu differete valore dei gdl. Quato più elevato è il valore dei gdl tato più la distribuzioe tederà a rassomigliare a ua ormale stadardizzata.

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33 Distribuzioe t di Studet

34 Itervallo di cofideza per la media Piccoli campioi-esempio Toriamo all esempio sulla temperatura a Palermo. Immagiiamo quidi di o cooscere la variaza. Sappiamo però che el campioe la variaza campioaria corretta è risultata pari a 75 La variaza della media campioaria è Dalle tavole della t per x α ± tα / ; 0,95 4 σ 3 α / t 0,05;4 75 0,05, x ± tα / ; 3 7 ±,0639,73 7 ± 3,57 Estremo iferiore 7-3,573,43 Estremo superiore 7+3,5730,57 L itervallo è più ampio di quello del caso di variaza ota