Intervalli di confidenza

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1 Itervalli di cofideza

2 Itroduzioe Note geerali La stima putuale permette di otteere valori per i parametri di ua fuzioe ma i alcui casi può risultare isoddisfacete. Per esempio, a volte è auspicabile avere la stima putuale associata ad u itervallo cetrato sulla stima di che misuri il possibile errore di stima co i più ua misura della fiducia che il valore stimato cada etro tale itervallo. Gli itervalli di cofideza per la media foriscoo u campo di variazioe (cetrato sulla media campioaria) all itero del quale ci si aspetta di trovare il parametro icogito. Ad ogi itervallo di cofideza viee associato u livello di cofideza (1 -) che rappreseta il grado di attedibilità del ostro itervallo.

3 Itroduzioe Obbiettivo Sia X 1, X,, X u campioe i.i.d. di variabili casuali gaussiae di media e variaza (icogite),. Se cosideriamo la media campioaria, questa ha media e variaza /. Il ostro obbiettivo è quello di determiare u itervallo di valori (a, b) che cotega il valore icogito, ovvero: X Pa X µ < < b = 1 α σ

4 Itroduzioe α 1 α α z α z 1 α ± µ X z α 1 σ

5 Itroduzioe Nota 1 Il livello di cofideza è la frequeza degli itervalli aleatori defiiti dalla formula precedete che cotegoo il valore icogito. Quidi è scorretto cofodere il livello di cofideza co la probabilità che sia coteuto ell itervallo. Nota Spesso o siamo a coosceza della variaza. I questo caso dobbiamo ricorrere ad uo stimatore e l itervallo di cofideza diveta: µ X ± t ( 1) 1 α s

6 ##ESEMPIO Esempio Si voglia determiare il valor medio del peso (i mg) di alcui graelli di polvere asportati da ua piastra di silicio, co u livello di cofideza del 95%. x <- c(0.39, 0.68, 0.8, 1.35, 1.38, 1.6, 1.70, 1.71, 1.85,.14,.89, 3.69) s <- var(x) mx <- mea(x) <- legth(x) a <- qt(0.975, df = - 1) * sqrt(s / ) l.if <- mx a l.sup <- mx + a cat("(",l.if,":",l.sup,")\")

7 ##ESERCIZIO Esercizio A partire dall esempio precedete, calcolare il livello di cofideza del 95% basato sulla distribuzioe ormale. I dati soo: 0.39, 0.68, 0.8, 1.35, 1.38, 1.6, 1.70, 1.71, 1.85,.14,.89, 3.69

8 ##ESEMPIO Esempio Ritorado all esempio precedete, R mette a disposizioe ua fuzioe, chiamata t.test che permette il calcolo diretto degli itervalli di cofideza. t.test(x, co.lev = 0.95) data: x t = , df = 11, p-value = 5.595e-05 alterative hypothesis: true mea is ot equal to 0 95 percet cofidece iterval: sample estimates: mea of x 1.685

9 Ampiezza del campioe Nota I geerale, all aumetare di l itervallo di cofideza si restrige. Nella pratica spesso si vuole restrigere l itervallo ad ua larghezza C, fermo restado u dato livello di cofideza 1-. Se idichiamo co L(, ) la lughezza di u itervallo di cofideza, allora: ovvero C z L < = σ α α 1 ), ( 1 > C z σ α

10 ##ESEMPIO Esempio I u esame di psicologia vegoo misurati i tempi di reazioe di 100 idividui, riscotrado u tempo medio di 1 secodo. Da studi pregressi, lo scarto quadratico è oto essere pari a 0.05 secodi. Quale deve essere il umero miimo di osservazioi campioarie per avere u ampiezza dell itervallo pari al più a 0.0 secodi ed u itervallo di cofideza pari al 99%. Per la relazioe appea vista: z α 1 σ < 0.0

11 ##ESEMPIO dato che: z α 1 = z =.63 ottego che: 0.05, = 17,45 Co R: <- 100 a <- qt(0.995, df = - 1) 1 <- ( * a * (0.05/0.0))^ cat("(",ceilig(1),")\")

12 ##ESERCIZIO Esercizio A partire dall esempio precedete, Quale deve essere il umero miimo di osservazioi campioarie per avere u ampiezza dell itervallo pari al più a 0.0 milligrammi ed u itervallo di cofideza pari al 99%, basadoci sulla distribuzioe ormale.

13 Variaza Stima dell itervallo di cofideza per la variaza Gli itervalli di cofideza per la variaza foriscoo u campo di variazioe all itero del quale ci si aspetta di trovare il parametro icogito. Ache i questo caso ad ogi itervallo di cofideza viee associato u livello di cofideza (1 - ) che rappreseta il grado di attedibilità del ostro itervallo. Per la variaza abbiamo che: ( 1) S Χ 1 σ

14 Variaza Nota Dato che la variaza o può essere egativa, cioè: σ ( 0,c) allora: P ( 1) S ( 1) σ > c S = 1 α cioè: σ ( ) 1 S > Χ 1

15 ##ESEMPIO Esempio Costruiamo ua fuzioe, chiamata ic.var, i grado di calcolare, dato u campioe i igresso, l itervallo di cofideza per la variaza. ic.var <- fuctio(x, cof.level){ alfa <- 1 - cof.level <- legth(x) l.if <- 0 l.sup <- ( - 1) * var(x)/qchisq(alfa, df = - 1) c(l.if, l.sup) }

16 ##ESERCIZIO Esercizio Costruire ua fuzioe, i grado di calcolare, dato u campioe i igresso, l itervallo di cofideza per la media e la variaza.