Formulario di Statistica (Cucina-Lagona)

Transcript

1 Formulario di Statistica (Cucia-Lagoa) Corso di Statistica - a.a. 018/19 (Cucia-Lagoa) May 9, Statistica descrittiva Media per distribuzioi uitarie o serie dati: x = 1 x i per distribuzioi di frequeze assolute x = 1 x i i, dove i soo le frequeze assolute per distribuzioi di frequeze relative x = x if i dove f i soo le frequeze relative Variaza (la deviazioe stadard s è la radice della variaza) per distribuzioi uitarie: s = 1 (x i x ) per distribuzioi di frequeza: s = 1 (x i x ) i per distribuzioi di frequeza (relative): s = Variaza (formula alterativa) per distribuzioi uitarie o serie dati: = per distribuzioi di frequeza: = per distribuzioi di frequeza (relative): = Mediaa (x i x ) f i [ 1 x i (x ) ] [ ] 1 k x i i (x ) [ x i f i (x ) ] per distribuzioi di frequeza: x 0.50 = mi(x i ) tale che F i 0.5 dove F i è la frequeza Primo Quartile per distribuzioi di frequeza: x 0.5 = mi(x i ) tale che F i 0.5 dove F i è la frequeza Terzo Quartile per distribuzioi di frequeza: x 0.75 = mi(x i ) tale che F i 0.75 dove F i è la frequeza p esimo Percetile per distribuzioi di frequeza: x p = mi(x i ) tale che F i 0.p dove F i è la frequeza 1

2 Dipedeza per due variabili qualitative (χ ) Cosideriamo ua distribuzioe di frequeze y 1 y y 3 x x 1 3 x Y e X soo idipedeti se: hk = h k la statistica Chi Quadrato è data da f hk = f h f k h, k χ = ( K hk h k h k ua formula più coveiete è data da ( H ) K χ hk = 1 h k 3 Dipedeza per ua variabile qualitativa (X) e ua quatitativa Y (η ) Ipotizziamo che la variabile qualitativa X abbia K modalità (il campioe è suddiviso i K gruppi) Determiare la media di u gruppo sigica calcolare ua media codizioata di Y Determiare la deviaza di u gruppo sigica calcolare ua deviaza codizioata di Y la deviaza totale(la deviaza totale si calcola cosiderado la distribuzioe margiale della variabile quatitativa Y) la deviaza withi (o residua) = (y i ȳ) 1 D W = (y 1i ȳ 1 ) + (y i ȳ ) +... ) K (y Ki ȳ K ) dove y 1i soo le osservazioi del primo grupppo, y i le osservazioi del secodo gruppo e y Ki le osservazioi del K gruppo. la deviaza betwee (o spiegata) D B = 1 (ȳ 1 ȳ) + (ȳ ȳ) +... K (ȳ K ȳ) dove ȳ 1 è la media del primo gruppo, ȳ è la media del secodo gruppo e ȳ K è la media del K esimo gruppo. vale la seguete decomposizioe = D B + D W ua misura della capacità esplicativa della variabile qualitativa ei cofroti della variabile quatitativa è data dal rapporto di correlazioe η = D B = D B D B + D W

3 l'idice varia tra 0 (idipedeza i media) e 1 (massima dipedeza i media) Covariaza e Correlazioe per distribuzioi doppie uitarie: s xy = 1 1 (x i x )(y i y ) per distribuzioi doppie uitarie (formula alterativa): [ ] s xy = 1 x i y i x y 1 per distribuzioi doppie di frequeze: s xy = 1 1 j=1 K (x i x )(y j y ) ij per distribuzioi doppie di frequeze (formula alterativa): s xy = 1 K x i y j ij x y 1 j=1 r xy = sxy s xs y dove s x e s y rappresetao rispettivamete le deviazioi stadard della variabile X e Y. 4 Itervalli di codeza Itervalli di codeza per la Media di ua popolazioe ormale co variaza ota σ x ± z α Itervalli di codeza per Media di ua popolazioe ormale co variaza o ota: x ± t, α s x Itervalli di codeza per la Proporzioe (frequeza relativa) di ua popolazioe (gradi campioi co p(1 p) > 15): ˆp ± z α ˆp(1 ˆp) 5 Ifereza: Test di ipotesi Test per la media co variaza ota: 1. Statistica test: z oss = X µ 0 σ/ N(0, 1). Se H 1 : µ < µ 0 p-value = P (Z < z oss ) 3. Se H 1 : µ > µ 0 p-value = P (Z > z oss ) 4. Se H 1 : µ µ 0 p-value = P (Z > z oss ) Test per la media co variaza o ota: 1. Statistica test: t oss = X µ 0 s x/ t. Se H 1 : µ < µ 0 p-value = P (t < t oss ) 3. Se H 1 : µ > µ 0 p-value = P (t > t oss ) 3

4 4. Se H 1 : µ µ 0 p-value = P (t > t oss ) Test per la Proporzioe (gradi campioi co (1 p) > 15): 1. Statistica test: z oss = ˆp p0 N(0, 1) p 0 (1 p 0 ). Se H 1 : µ < µ 0 p-value = P (Z < z oss ) 3. Se H 1 : µ > µ 0 p-value = P (Z > z oss ) 4. Se H 1 : µ µ 0 p-value = P (Z > z oss ) 6 Regressioe Stimatori: ˆb = sxy s, â = ȳ ˆb x x Retta di regressioe stimata: ŷ i = â + ˆbx i Residuo stimato o errore: e i = y i ŷ i Decomposizioe della variaza: = Deviaza Totale = D Reg = Deviaza Spiegata = D Res = Deviaza Residua = (y i ȳ) (ŷ i ȳ) (y i ŷ i ) = Itervalli di codeza sui parametri della retta di regressioe (ˆb t, α b; ˆb + t, α s b) (â t, α a; â + t, α s a) Test delle ipotesi su coef. agolare co H 0 : b = b 0 : 1. Statistica test: t b = ˆb b 0 s b t. Se H 1 : b < b 0 p-value = P (t < t b ) 3. Se H 1 : b > b 0 p-value = P (t > t b ) 4. Se H 1 : b b 0 p-value = P (t > t b ) Test delle ipotesi su itercetta co H 0 : a = a 0 : 1. Statistica test: t a = â a0 s a t. Se H 1 : b < a 0 p-value = P (t < t a ) 3. Se H 1 : a > a 0 p-value = P (t > t a ) 4. Se H 1 : a a 0 p-value = P (t > t a ) Coeciete di determiazioe (formule alterative): R = rxy R = 1 D res R = D reg Deviaza residua e Deviaza spiegata (o di regressioe) (formule alterative): D reg = r xy D res = (1 r xy) e i 4

5 7 Test Aova per la regressioe ipotesi ulla del test statistica test: H 0 : b = 0 F oss = D reg/g reg D res /g res F greg,g res D res = Deviaza residua D reg = Deviaza spiegata o di regressioe idichiamo co g reg e g res rispettivamete i gdl (gradi di libertà) della deviaza spiegata e della deviaza residua g reg = 1 g res = Dreg g reg Dres g res è la variaza spiegata è la variaza residua 8 Test Aova ipotesi ulla H 0 : le medie dei gruppi soo uguali Statistica Test: F oss = D B/g B D W /g W F gb,g W g b soo i gradi di libertà della deviaza betwee ed è pari a K 1, dove K idica il umero di modalità della variabili qualitativa g W soo i gradi di libertà della deviaza withi ed è pari K, dove idica l'ampiezza del campioe co F gb,g W ichiamo la distribuzioe della variabile aleatoria F di Fisher co g B e g W gradi di libertà D B g B rappreseta la variaza betwee (umeratore di F oss ) D W gw rappreseta la variaza withi (deomiatore di F oss ) p-value = P (F gb,g W > F oss ) 9 Test di idipedeza del χ ipotesi ulla H 0 : X e Y soo idipedeti la statistica test χ oss = ( K hk h k h k ) χ (H 1) (K 1) gradi di libertà: gl = (H 1) (K 1) dove H soo il umero di modalità del carattere X e K il umero di modalità del carattere Y p-value =P (χ (H 1) (K 1) > χ oss) 5