Principio alla base della misura del legame tra X ed Y

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1 Pricipio alla base della misura del legame tra X ed Y Y o varia Asseza di legame Al variare di X Varia ache Y X ed Y soo coessi Come si misura la risposta di Y al variare di X? Dipede dalla atura di X ed Y: Etrambi qualitativi Etrambi quatitativi Misti

2 Relazioi statistiche Idipedeza: asseza di qualsiasi relazioe tra i due caratteri I caso di preseza di u legame, questo può essere di: Coessioe (bidirezioale): relazioe reciproca tra due caratteri qualitativi Dipedeza (uidirezioale): relazioe di causa-effetto Dipedeza i media due caratteri misti Dipedeza lieare tra due caratteri quatitativi Iterdipedeza (bidirezioale): relazioe di dipedeza reciproca tra due caratteri quatitativi - Correlazioe lieare

3 Dipedeza i media Almeo 1 carattere quatitativo, tabelle miste X qualitativo Y quatitativo Modalità di X Medie di Ymm Idipedeza i media di Y da X: al variare delle modalità di X le medie delle distribuzioi codizioate di Y rimagoo costati. X Y AREA Geografica Classi di REDDITO Totale NORD 6 8 CENTRO 4 6 SUD Totale

4 La spezzata delle medie X Y AREA Geografica Classi di REDDITO Totale Medie NORD CENTRO SUD Totale

5 Decomposizioe della variaza La variaza di X è data dalla somma di due compoeti: variaza estera = variaza delle medie di gruppo variaza itera = media delle variaze di gruppo Se: G = umero di gruppi; j = media dell j-esimo gruppo; j = umerosità dell j-esimo gruppo (j = 1,.,G); Quato differiscoo le medie tra loro e rispetto alla media geerale? allora: 1 1 G G jj j j j1 j1 VARIANZA INTERNA VARIANZA ESTERNA ossia: TOT INT EX T

6 1 j G suddivisioe delle itesità i G gruppi di umerosità j 1,,G j Media aritmetica del j-mo gruppo: j 1 j j i1 x G i 1 1 xi x j1 i1 i1 j1 i1 G i 1 x j j Variaza della partizioe i gruppi G i G i G i x j j x j j j1 i1 j1 i1 j1 i1 6

7 1 1 1 x j j x j j G G G i i i j1 i1 j1 i1 j1 i1 1 Addedo Addedo 3 Addedo G G G x j x j j jj j1 i1 j1 j i1 j1 i j 1 Addedo Variaza del j-esimo gruppo 1 1 G i G Addedo j j j j1 i1 j1 EXT Media delle variaze dei G gruppi INT 3 Addedo Variaza delle medie di gruppo rispetto alla media geerale G i G i 1 x j j j x j 0 j1 i1 j1 i1 è uguale a zero per la I proprietà di 1 1 G i G i j j INT EXT j1 i1 j1 i1 Quidi: x 7

8 Esempio tot, 43 3,97 G = (1 = CH; = MM) scelta bottiglie CH MM Totale Totale x CH i i i1 1 CH 1 1 4,8 6 x MM i i i1 MM 9 9 3, 8

9 xch i CH i 6 i1 1 CH 1 4, ,8 4 40,9 1, xmm i MM i 6 i1 MM 1 3, 6 3, 0 5,56, G 1,9 1,83 9 INT jj,19 j1 30 G 1 4,8 3,97 1 3, 3,97 9 EST j X j 0,4 j1 30 TOT INT EX T,19 0,4, 43 9

10 A cosa serve scomporre la variaza?. Bot Y Media e variaza costati Variaza delle medie ext = 0 Media delle variaze it = Stesso comportameto tra le due distribuzioi: CH MM Scelta X il umero di bottiglie acquistate è lo stesso per chi sceglie le due marche. Bot Y Medie diverse, variaza costate Variaza delle medie ext > 0 Media delle variaze it < Diverso comportameto tra le due distribuzioi: CH MM Scelta X il umero di bottiglie acquistate è diverso a secoda della marca scelta

11 Rapporto di correlazioe di Pearso Y X x 0 x 1 x 1 x Classe j ma x h-1 - x h tot y h 1. y 1 h.... y. i i.... y k k1 k kh k. tot.1..j.h Quado X è quatitativo: i x i EXTX i1 X Y c X ˆxj X j j1 r Quado Y è quatitativo: j Y j EXTY j1 Y X r Y yi Y i i1 c N.B.: Su ua tabella mista è possibile misurare ache l idipedeza assoluta co l idice del

12 Proprietà e iterpretazioe 0 1 X Y parte della variaza variaza Idice ormalizzato Quato differiscoo tra loro le medie RISPETTO alla variabilità totale della distribuzioe X Y 0 Perfetta idipedeza i media: le medie delle distribuzioi codizioate di X soo tutte uguali tra loro ed uguali alla media geerale (μ X ) X Y 1 Perfetta dipedeza i media: le variaze delle distribuzioi codizioate di X soo ulle. Ad ogi modalità di Y corrispode ua sola itesità di X che preseta frequeza o ulla Nota: Se X ed Y soo etrambi quatitativi (suddivisi i classi) Y X X Y L idice o è simmetrico (salvo casi eccezioali)

13 Esempio Fatturato (Y) Settore Merceologico (X) >500 Totale Alimetari Bevade Healt Care Ice Packagig Totale X 4 modalità Y 5 classi ( aperte) i Y i EXTY i1 Y X c Y ŷj Y j j1 r 1. Media geerale di Y: h Y ŷ j j j ,96 Nota: Il valore cetrale della prima classe (aperta) è stato otteuto cosiderado che, ella successioe di valori del carattere fatturato, i valori più bassi soo di poco superiori a 100 (che si assume, quidi, come estremo iferiore della classe); quello dell ultima classe è otteuto cosiderado come estremo superiore della classe il valore massimo effettivamete osservato: ( )/ = 156

14 . Medie di Y codizioate alle modalità di X c 1 ŷ j 1j 1 j1 348, 48 c y j j j ˆ 66,67 3 c 3 ŷ j 3j 3 j ,33 c 4 ŷ j 4j 4 j

15 3. Cofroto tra le medie codizioate 1 348, 48 66, , Commeto: si può vedere che le medie delle distribuzioi codizioate differiscoo dalla media geerale di Y, quidi i due caratteri o soo idipedeti i media. Ma quato è forte il legame di dipedeza i media? Ossia: Che peso ha la differeza tra le medie rispetto alla variabilità totale?

16 r i Y i i1 c j1 4. Calcolo del umeratore dell idice 348, , ,67 394, ,33 394, , ,14 deviaza estera 5. Calcolo del deomiatore dell idice j Y j ŷ , , , , , deviaza totale 6. Calcolo dell idice r i Y i EXTY i , Y X c Y ŷj Y j j1 0,013 La dipedeza i media del carattere FATTURATO dal carattere SETTORE MERCEOLOGICO è praticamete ulla ossia: il fatturato i media o dipede dal settore merceologico

17 1 348, 48 66, , Le differeze tra le medie ha u peso quasi ullo rispetto alla variabilità totale

18 Cosa vuol dire: esiste ua relazioe tra due caratteri? caratteri tabella doppia Si cosiderao le frequeze cogiute delle modalità dei due caratteri Esisteza di relazioe X = Colore dei capelli x 1 : eri x : biodi Y = Colore della pelle y 1 : era y : biaca pelle capelli era biaca eri 11 1 biodi 1 Sappiamo che tra il colore della pelle e dei capelli esiste ua relazioe Ci aspettiamo che, ad esempio, u idividuo di pelle era abbia capelli eri, oppure che o li abbia biodi I riferimeto ad ua tabella a doppia etrata questo equivale a dire che ci aspettiamo: ua prevaleza della frequeza cogiuta pelle era-capelli eri 11 ua frequeza cogiuta pelle era-capelli biodi bassa 1 18

19 Asseza di relazioe: idipedeza X = Colore dei capelli x 1 : eri x : biodi Y = geere TV preferito y 1 : fictio y : reality TV capelli fictio reality eri 11 1 biodi 1 Sappiamo che tra il colore dei capelli ed il geere TV preferito o esiste ua relazioe Sapedo che, ad esempio, u idividuo ha capelli biodi o sappiamo cosa aspettarci dal geere TV che preferisce I riferimeto ad ua tabella a doppia etrata questo equivale a dire che ci aspettiamo che le modalità del colore si presetio idifferetemete i coppia co tutte le modalità del geere e viceversa, ossia che frequeze cogiute o presetio particolari prevaleze, cioè si distribuiscao uiformemete 19

20 Codizioe di idipedeza su tabelle a doppia etrata scelta egozio Bar Coloiali D. Autom. S.market Totale 1 CH MM Totale Righe idipedeti dalle coloe (scelta idipedete da egozio) La scelta della marca o è codizioata dal tipo di egozio i cui si acquista, che equivale a dire che: le distribuzioi del carattere scelta codizioate alle modalità del carattere egozio soo uguali tra loro ed alla distribuzioe margiale del carattere scelta Coloe idipedeti dalle righe (egozio idipedete da scelta) Il egozio i cui si acquista o è codizioato dalla marca scelta, il che equivale a dire che: le distribuzioi del carattere egozio codizioate alle modalità del carattere scelta soo uguali tra loro ed alla distribuzioe margiale del carattere egozio

21 Frequeze assolute egozio scelta Bar Coloiali D. Autom. S.market Totale CH MM Totale Profili coloa egozio scelta Bar Coloiali D. Autom. S.market Totale CH MM Totale

22 I profili coloa Negozio (X) Scelta (Y) Bar Coloiali D. Autom. S.market Profilo margiale CH p 11 p 1 p 13 p 14 p 1. = f 1. MM p 1 P p 3 P 4 p. = f. Totale p.j Codizioe di idipedeza di Y da X per i profili coloa: p p p p p p p p p p che per la geerica cella è: p p i. Ossia: i. i..j.j Codizioe di idipedeza di Y da X

23 Ragioado rispetto ai profili riga: egozio (X) scelta (Y) Bar Coloiali D. Autom. S.market Totale CH p 11 P 1 p 13 p 14 1 MM p 1 p p 3 p 4 1 Pr. margiale p.1 p. p.3 p.4 1 p i. Codizioe di idipedeza di X da Y per i profili riga: p11 p1 p.1; p1 p p.; p13 p3 p.3; p14 p4 p.4 che per la geerica cella è: p p.j.j.j i. i. Codizioe di idipedeza di X da Y Codizioe geerale di idipedeza tra X ed Y

24 Coessioe caratteri qualitativi, tabelle di cotigeza Idice Chi-quadro di Pearso ( ) i..j.j i. Codizioe di idipedeza per la cella : ˆ i j = frequeze teoriche Per misurare la coessioe bisoga cosiderare le differeze tra le frequeze teoriche e le frequeze osservate. Ma: la somma delle differeze ˆ è pari a 0: 1 1 ˆ ˆ r c r c k h r c r c i j i j i1 j1 i1 j1 i1 j1 i1 j1 i1 j1 1 0 Quidi: si ricorre alla somma dei quadrati delle differeze 4

25 L idice chi-quadro è basato sulla somma dei quadrati delle differeze tra le frequeze teoriche e le frequeze osservate. r c i1 j1 ˆ ˆ r = umero d righe c = umero di coloe 0 0 No esiste coessioe tra X ed Y (X ed Y soo idipedeti). Ogi frequeza cogiuta è pari alla rispettiva frequeza teorica. 0 Esiste coessioe tra X ed Y (X ed Y o soo idipedeti). Almeo ua frequeza cogiuta è diversa dalla rispettiva frequeza teorica. 5

26 Formulazioe alterativa i j ˆ ˆ ˆ i j ˆ ˆ i j ˆ ˆ i j i j ˆ i j i j ˆ i j i j r c 1 i1 j1 i j 6

27 Idice Phi-quadro di Fisher ( ) 0 mi r 1,c 1 Idice relativo Idice T di Tchuprov T mi r 1,c 1 mi r 1,c 1 0 T 1 Idice ormalizzato 7

28 Esempio egozio scelta Bar Coloiali D. Autom. S.market Totale CH MM Totale Frequeze teoriche ˆ Metodo A. 4 i1 j1 ˆ ˆ egozio scelta Bar Coloiali D. Autom. S.market Totale CH 6,3 6,3,8 5,6 1 MM,7,7 1,,4 9 Totale ,3 8 6,3 1,8 3 5,6 0,7 1,7 3 1, 5, 4 6,3 6,3,8 5,6,7,7 1,, 4 1,16 0, 46,8 13,7 1 13,7 0, mi(r-1, c-1) =

29 Metodo B. 4 1 i1 j1 i..j 1. Frequeze osservate al quadrato egozio scelta Bar Coloiali D. Autom. S.market CH MM i..j egozio scelta Bar Coloiali D. Autom. S.market CH MM , ,7 1 13,7 0,

30 Perfetta dipedeza uilaterale e bilaterale Si è ella situazioe di perfetta dipedeza uilaterale quado, data ua modalità di uo dei due caratteri, la modalità che assume l altro è uivocamete idividuabile. La perfetta dipedeza è bilaterale quado questa relazioe è reciproca (e può verificarsi solo su tabelle quadrate). Se: si ha: Y è il carattere sulle righe (r modalità) X è il carattere sulle coloe (c modalità) Perfetta dipedeza uilaterale di Y da X (tabelle rettagolari, o quadrate) r 1 j r < c Perfetta dipedeza uilaterale di X da Y (tabelle rettagolari, o quadrate) c 1 i c < r Perfetta dipedeza bilaterale (tabelle quadrate) r 1 c 1 j i r = c 30

31 Esempi di perfetta dipedeza uilaterale Massima dipedeza uilaterale del carattere SCELTA (Y) dal carattere NEGOZIO (X) (se X allora Y) egozio (X) scelta (Y) Bar Coloiali D. Autom S.market Totale CH MM Totale r < c.j r 1 1 Massima dipedeza uilaterale del carattere SCELTA (X) dal carattere NEGOZIO (Y) (se Y allora X) scelta (X) CH MM egozio (Y) Totale Bar Coloiali D. Autom S.market Totale r > c i. c

32 Esempio di perfetta dipedeza bilaterale Massima dipedeza bilaterale del carattere COLORE OCCHI (X) dal carattere COLORE CAPELLI (Y) e del carattere COLORE CAPELLI (Y) dal carattere COLORE OCCHI (X) (se Y allora X e se X allora Y) Occhi (X) Castai Azzurri Verdi Neri totale Capelli (Y) Castai 8 8 Biodi 1 1 Rossi 4 4 r = c = 4 j i Neri 6 6 totale r 1 c 1 3 3