Appunti sui modelli lineari

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1 Uiversità degli Studi di Bologa Facoltà di Scieze Statistiche Auti sui modelli lieari Agela Motaari ANNO ACCADEMICO

2 . INRODUZI ONE AI DAI MUL IVARI AI Esemio (Fote: Quattroruote, Marzo 996 = 5 modelli di autovetture = 6 caratteristiche = caacità del bagagliaio (dm 3 2 = lughezza della vettura (cm 3 = larghezza della vettura (cm 4 = livello massimo di oteza del motore (CV 5 = velocità massima della vettura (m/h 6 = cosumo di carburate su ercorso urbao (litri 00 m Modello IE , A 400 Gti ,6 A 500 Diesel , Puto 90 EL ,5 Puto DS ,0 Bravo 400iS ,0 Brava 400iS ,2 Fiesta 200i Studio ,5 Y 400i LS ,9 Corsa 400i Viva , i S ,3 Clio 400 Rti ,8 Ibiza 400i Jigle ,2 Polo 400i ,6 Golf 400 Movie ,8 = 5 righe = 6 coloe. La matrice dei dati Sesso uò essere di iteresse lo studio simultaeo di iù caratteri osservati sulle medesime uità statistiche. Se si cosiderao le variabili,,,, rilevate su uità di u camioe (limiteremo la ostra attezioe allo studio di caratteri quatitativi o di caratteri biari che assumoo i valori 0 o ad idicare, risettivamete, la reseza o meo di u certo attributo o l aarteeza o meo a ua certa categoria, l isieme delle iformazioi si uò riassumere ella matrice dei dati righe coloe (uità er variabili: = i i i

3 l elemeto i all icrocio della i-esima riga e della -esima coloa di rareseta il valore della -esima variabile oggetto di studio rilevato er la i-esima uità statistica ad ogi riga di corrisode u uità statistica la riga i-esima, i, cotiee i valori delle variabili oggetto di studio rilevati er la i-esima uità statistica del camioe (della oolazioe ad ogi coloa di corrisode ua variabile oggetto di studio la coloa -esima,, cotiee i valori della -esima variabile osservati er le uità statistiche del camioe (della oolazioe La matrice dei dati è quidi comosta da: vettori coloa =,, (di elemeti ciascuo vettori riga i, i =,, (di elemeti ciascuo I articolare ciascua uità statistica uò essere esata come u uto (vettore ello sazio -dimesioale R L aalisi statistica multivariata uò essere realizzata: risetto alle coloe di risetto alle righe di Nel rimo caso l iteresse rimario riguarda lo studio delle variabili (ad esemio lo studio della loro variabilità o delle loro relazioi. Nel secodo caso l iteresse rimario riguarda lo studio delle uità statistiche (ad esemio lo studio delle loro rossimità. A artire dalla matrice ossoo oi essere ricavate tutta ua serie di ulteriori matrici utili er articolari fialità cooscitive..2 Il vettore delle medie aritmetiche delle variabili A ciascua variabile si uò associare la risettiva media aritmetica Media aritmetica 274 dm cm 64,70 cm 73 CV 66,8 m/h 8,29 litri/00 m 6 righe coloa Le medie relative ai caratteri oggetto di iteresse ossoo essere riassute el vettore: = = = righe coloa 2

4 .3 La matrice degli scarti dalla media I alcue circostaze uò risultare utile esrimere le variabili i termii di scarti dalla media. Si ottegoo così le variabili scarto dalla media: = er =,,, che si ossoo sitetizzare ella matrice: = i i i dove i = i = = = I = A dove A è detta ceterig matri. Ciascua coloa di ha somma (media ulla. Co la matrice si cosidera i R u uovo sistema di assi cartesiai uguale a quello risetto a cui è defiita la matrice trae che er l origie che, el uovo sistema, è el uto che ha come coordiate le medie aritmetiche delle variabili oggetto di studio. La uvola di uti reseta il medesimo asetto; ciò che cambia è soltato l origie degli assi, che subisce ua traslazioe. Nell esemio: Modello IE ,3 7,2,8 A 400 Gti ,7 2 9,2 0,3 A 500 Diesel ,7-5 -8,8-3,9 Puto 90 EL -3 -,7 5,2,2 Puto DS -4 -,7-6 -6,8 -,29 Bravo 400iS 6 23,3 7 3,2 0,7 Brava 400iS ,3 7 3,2 0,9 Fiesta 200i Studio ,7 2 3,2-0,79 Y 400i LS ,3 7 3,2 0,6 Corsa 400i Viva ,7-3 -,8 0, i S ,7 2 8,2 0,0 Clio 400 Rti ,7 5 8,2-0,49 Ibiza 400i Jigle -4-0,7-3 -6,8 0,9 Polo 400i ,7-3 -6,8-0,69 Golf 400 Movie ,3-3 -9,8-0,49 3

5 .4 La matrice delle variabili stadardizzate Qualora si voglia elimiare l effetto dell uità di misura sui valori assuti dalle uità statistiche risetto alle variabili si uò defiire la matrice delle variabili stadardizzate: z z z i i Z = z i zi zi dove z i = =. z z z Idicata co D la matrice diagoale che cotiee sulla diagoale riciale le variaze delle variabili osservate, si uò defiire la matrice delle variabili stadardizzate come 2 Z = D Ciascua coloa di Z ha somma (media ulla e variaza uitaria. Gli elemeti di Z soo umeri uri (o diedoo dall uità di misura delle variabili oggetto di studio. Le aalisi statistiche realizzate risetto a Z roducoo risultati che o soo ifluezati dalle differeze esisteti tra le variabili osservate risetto all uità di misura, all ordie medio di gradezza ed alla variabilità di ogua di esse. Nell esemio: Modello Z Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z IE A 400 Gti A 500 Diesel Puto 90 El Puto Ds Bravo 400is Brava 400is Fiesta 200i Studio Y 400i LS Corsa 400i Viva i S Clio 400 Rti Ibiza 400i Jigle Polo 400 I Golf 400 Movie La matrice di variaze e covariaze Quado l iteresse rimario riguarda lo studio delle variabili (coloe di, i articolare della variabilità e/o delle relazioi tra le variabili u be oto strumeto di sitesi è raresetato dalla covariaza che er le variabili e h è defiita come: 4

6 , h = i= ( ( ih h = ( i ih i / i= = h dove e h soo le coloe -esima e h-esima di. Si oti che la covariaza tra la variabile e se stessa, e rareseta la variaza. Si uò defiire allora la matrice di variaze e covariaze associata a (cioè riferita alle variabili che idetificao le coloe di come S = = ( ( =,,,,,, ( righe coloe (Si oti che la matrice detta matrice di deviaze e codeviaze cotiee sulla diagoale riciale le deviaze e fuori della diagoale riciale le codeviaze. La matrice S reseta alcue caratteristiche di rilievo: * è quadrata; * è simmetrica; * è semidefiita ositiva * gli elemeti sulla diagoale riciale soo le variaze delle variabili; * tr(s =. = Covariaze tra le 6 variabili dell esemio: La matrice delle correlazioi U idicatore simmetrico e adimesioale della relazioe lieare fra due variabili è raresetato dal coefficiete di correlazioe lieare semlice fra e h : 5

7 r h =, h dove z e z h soo le coloe -esima e h-esima di Z. Si defiisce allora la matrice delle correlazioi: h = i ih h = i= z i z ih = z z h h i= R= D 2 SD = D D = Z Z = r r ( righe coloe La matrice R * è quadrata; * è simmetrica; * è semidefiita ositiva * gli elemeti sulla diagoale riciale soo tutti uguali a ; * tr(r =. r r r r R uò essere iterretata ache come la matrice delle variaze e delle covariaze tra le variabili Z,, Z,, Z. Correlazioi tra le 6 variabili dell esemio: ,000 0,793 0,574 0,0-0,025 0, ,793,000 0,92 0,49-0,034 0, ,574 0,92,000 0,97 0,0 0,52 4 0,0 0,49 0,97,000 0,948 0, ,025-0,034 0,0 0,948,000 0,42 6 0,244 0,498 0,52 0,603 0,42,000 Le matrici S e R cotegoo le iformazioi di base er alcue aalisi statistiche multivariate relative alle variabili osservate:. aalisi della regressioe lieare multila: studio della diedeza lieare di ua variabile quatitativa Y da u isieme di variabili eslicative quatitative; 2. aalisi delle comoeti riciali: studio della variabilità comlessiva di variabili quatitative; 3. aalisi dei fattori: studio delle correlazioi lieari semlici tra variabili quatitative; 4. aalisi della correlazioe caoica: studio delle correlazioi multivariate tra due isiemi di variabili quatitative. 6