Dimostrazione. σ σ. Quesito: esistono giaciture che hanno solo tensione normale?
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- Mariangela Corsini
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1 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL 5. DREZON E TENON PRNCPAL Nel uto P, su ua geerica giacitura di ormale agisce ua tesioe che, i geerale, ha ua comoete ormale e ua comoete tageiale. P Quesito: esistoo giaciture che hao solo tesioe ormale? P Risosta: e esistoo tre, ortogoali fra loro. i chiamao giaciture riciali e le loro ormali direioi riciali. Le direioi riciali defiiscoo ua tera ortogoale (tera riciale. Le tesioi (uramete ormali sulle giaciture riciali soo le tesioi riciali. Dimostraioe. Per ua giacitura geerica: ( ( ( Ma se la giacitura è riciale, (Cauch (,, Quidi: ( ( ( i è otteuto il sistema lieare omogeeo: ( ( ( (3 7
2 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL dove: ij soo le comoeti di tesioe risetto alla tera (,, di artea (che suoiamo ote;,, (icogiti soo i cosei direttori della direioe riciale che stiamo cercado; (icogita è la tesioe riciale corrisodete. oluioe del sistema omogeeo: a oluioe baale accettabile erché trattadosi di cosei direttori deve essere: (4 b Possiamo avere ulteriori soluioi se si aera il determiate dei coefficieti Det viluado i calcoli si ottiee: 3 Dove: Det Essedo icogita, si è otteuta u equaioe di 3 grado: 3 (5 (equaioe secolare i cui coefficieti, tesioe.,, i otrebbe dimostrare che ruotado gli assi {,, } 8, soo deomiati ivariati riciali della il loro valore o cambia. i uò ache dimostrare che la (5 ha tre radici reali. Le deomiiamo, (tesioi riciali., ostituedo ua di esse (es. el sistema (3 il determiate dei coefficieti è ullo e quidi ua delle tre equaioi va elimiata (è combiaioe lieare delle altre due. Però vi è ache la (4 e quidi il roblema è determiato. La tera dei cosei direttori che si ottiee forisce la direioe riciale ormale alla giacitura su cui agisce. Rietedo co, si ottegoo i cosei direttori di altre due direioi riciali. i uò, dimostrare che le tre direioi soo ortogoali.
3 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL Passi oerativi: Dato: Calcolo degli ivariati: Det 3 Determiaioe delle tre radici,, dell equaioe: 3 ostituioe di ciascua radice el sistema: ( ( ( associato all equaioe e determiaioe delle tre direioi riciali: Prorietà e casi articolari. Prorietà: Euciamo, sea dimostraioe, la seguete imortate rorietà: deomiiamo le tre tesioi riciali secodo l ordie decrescete della loro gradea. Es.. Allora: è la massima fra tutte le tesioi el uto P è la miima fra tutte le tesioi el uto P Poiché le direioi riciali soo ortogoali, ossoo ache essere assute come ua fra le ifiite ossibili tere di assi. Risetto a tale tera la matrice del tesore della tesioe è ua matrice diagoale. 9
4 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL Casi articolari: e due radici della (5 soo coicideti,, tutte le direioi ortogoali a quella corrisodete a soo riciali (stato di tesioe cilidrico; se le tre radici soo coicideti,, tutte le direioi el uto P soo riciali (stato sferico. e tutte le radici della (5 soo, lo stato di tesioe el uto P si dice triassiale. e ua, es.,lo stato si dice biassiale. e due, es. ;, lo stato si dice mooassiale. e soo tutte ulle, si ha uo stato ullo. Liee isostatiche. mmagiiamo di idicare i ogi uto le tre direioi riciali. l loro iviluo defiisce tre famiglie di curve mutuamete ortogoali (liee isostatiche. Per costruioe, sulle giaciture ormali alle isostatiche c è solo tesioe ormale. oltre lugo le isostatiche vi soo tesioi massime e miime. (disegato i dimesioi trutture co ervature disoste secodo le isostatiche, e quidi riforate secodo le direioi i cui gli sfori soo iù gravosi, si trovao i atura e elle oere di alcui architetti.
5 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL DREZON E TENON PRNCPAL - EEMPO variati: 3 ; ; Equaioe secolare: 3 3 Radici (ordiate : ; ; ostituioe di ciascua radice el sistema: ( ( ( co ; ; 3 ; P - -
6 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL TAT D TENONE BAAL Uo stato di tesioe el uto P è biassiale se ua tesioe riciale (es. è ulla. U caso articolare otevole di stato biassiale esteso a tutto il coro è dato dagli stati iai di tesioe, i cui si ha ovuque ed ioltre,, o diedoo da. ituaioi di questo geere si hao ad esemio i lastre iae sottili, caricate arallelamete al loro iao medio da fore costati sullo sessore. l roblema diede solo da, (roblema iao. questo caso è evidetemete ua direioe riciale ( direioi riciali stao el iao {, }, metre le altre due. Poiché, la tesioe riciale corrisodete a vale vero e quidi lo stato di tesioe è biassiale. Co questi stati di tesioe, la determiaioe delle tesioi sul fascio di giaciture di asse (ed i articolare la determiaioe delle altre due tesioi riciali, uò farsi col cerchio di Mohr. CERCHO D MOHR questa trattaioe la tera è usualmete disosta come sotto idicato. Quidi el iao {, } gli assi risultao così disosti uoiamo ( direioe riciale e (stato di tesioe biassiale
7 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL Assumiamo ote,., Quato valgoo le comoeti ormale della tesioe e tageiale agete sulla geerica giacitura la cui ormale forma l agolo α co l asse? Per il teorema di Cauch: Ma, siα, er cui: siα ( siα s s oltre: siα ( siα s Combiado le ( co le ( si ottiee ifie: s cos α siα siα si α siα si α cos α siα (3 Le (3 ossoo ache essere scritte: ( siα ( cos α si α cos α e, er le formule di trigoometria: ( ( ( siα cos α cos α cos α siα si α (4 si α siα Le (4 risolvoo aaliticamete il roblema dato, che cosisteva i: dato uo stato di tesioe biassiale 3
8 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL assuta la direioe riciale co tesioe riciale ero, come asse, er cui ;, (ote, determiare la tesioe ormale e tageiale su ua geerica giacitura del fascio di asse, formate l agolo α co l asse. Per avere ua visioe grafica, quadriamo e sommiamo le (4: ( ( (5 4 Nel iao {, } la (5 è l equaioe di u cerchio (cerchio di Mohr co cetro C e raggio R: (, C ( R 4. Le comoeti ormale idividuao u uto Q del cerchio. Quidi: date {, }, A ma mi C D E R Q (, e tageiale della tesioe sulla geerica giacitura del fascio di asse e costruito il cerchio di Mohr le tesioi su tutte le giaciture del fascio di asse corrisodoo a uti del iao {, } situati sul cerchio di Mohr. articolare, fra le tesioi sul fascio ci soo ache due tesioi riciali che chiamiamo, (la tera, che abbiamo chiamato tageiale ulla e valgoo: ( ± ( 4 (NB. i vede che ma mi Le tesioi tageiali ma/mi (uti D, E valgoo: ma mi ± R ± ( 4, è ero. Esse corrisodoo ai uti A e B (tesioe B Vi è il roblema di idividuare la giacitura sulla quale agisce ciascua tesioe. Ciò si uò fare co la seguete costruioe grafica (raresetaioe di Mohr. 4
9 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL D N P A L C K B E M (,- Associamo gli assi, agli assi, el seguete modo: arallelo a e cocorde arallelo a e discorde Riortiamo sull asse i uti K (, Riortiamo il uto N (, e L (, Tracciamo il cerchio, assate er N, di cetro C, e raggio CN. Tale cerchio è il cerchio di Mohr. Cosideriamo il uto M ( simmetrico di N risetto all asse. M è deomiato, olo della raresetaioe. Data el uto P del coro ua giacitura la cui ormale forma l agolo α co l asse, coduciamo dal olo M la arallela alla giacitura. Essa icotra il cerchio di Mohr i u uto le cui coordiate ( tageiale su quella giacitura. soo la tesioe ormale e la tesioe, 5
10 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL Dimostraioe della raresetaioe di Mohr. (, N P ( C K ( H M (,- OH OC CH ( R cos( α α ( R( cos α cos α siα siα ( ( ( CK cos α NKsiα cos α siα H Rsi R ( α α ( siα cos α cos α siα NK cos α CKsiα cos α ( siα coformemete alle formule (4. 6
11 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL Prorietà geerali. D N (, P C A H B E M (,- Le rette MB e MA idividuao le due giaciture riciali (ortogoali fra loro sulle quali agiscoo,. Esse soo idividuate aaliticamete da: tgα Le rette MD e ME idividuao le due giaciture (ortogoali fra loro su cui agiscoo le tesioi tageiali ma/mi, che valgoo: ma, mi ± ( Tali giaciture soo a 45 risetto alle giaciture riciali. u tali giaciture c è ache ua tesioe ormale: ( 7
12 Caitolo5 DREZON E TENON PRNCPAL CECHO D MOHR EEMP ELEMENTAR Lastra iaa quadrata (L L di sessore s. isostatiche s qs q Risulta: ; ; sl L sl L (>q q C ma M L q L q ma L (su giacitura a 45 isostatiche s Risulta: ; sl L C ma ma L L (su giaciture arallele a, 8 M
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