Appendice A. Elementi di Algebra Matriciale

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1 ppedice. Elemeti di lgebra Matriciale Defiizioi Matrice quadrata Matrice diagoale Matrice triagolare Matrice riga e matrice coloa Matrice simmetrica e emisimmetrica Operazioi elemetari su matrici Uguagliaza Moltiplicazioe per uo scalare Somma Differeza rasposta Decomposizioe di ua matrice quadrata ella somma di ua matrice simmetrica ed ua emisimmetrica Prodotto di matrici rasposta di prodotto Prodotto di ua matrice per la sua trasposta Prodotto di vettori Prodotto di ua matrice per u vettore Forma quadratica Determiate di ua matrice quadrata Matrice di dimesioe Matrice di dimesioe Matrici diagoali e triagolari... - Proprietà... - Esempi Matrice sigolare Miori di ua matrice Matrice iversa Esempio Sottomatrici Partizioe di matrice Operazioi su matrici partizioate Somma Prodotto... 6 appedix_a

2 ppedice. Elemeti di lgebra Matriciale. Defiizioi Si defiisce matrice u isieme di elemeti, umerici ma o solo, ordiati secodo righe e coloe. Ciascu elemeto della matrice è idividuato dalla posizioe che assume ella riga e ella coloa di apparteeza, attraverso 2 idici; ad esempio, l elemeto a rappreseta u elemeto apparteete alla riga i e alla coloa j della matrice che si idica co la lettera maiuscola i grassetto,, o sottolieata. Detto m il umero di righe e il umero di coloe, la matrice si dirà di dimesioi (m x ). Si idica come segue: a a a a a2 a22 a23 a 24 a a a a Matrice quadrata Se m, la matrice si defiisce quadrata di ordie ( x ).. Gli elemeti aii caratterizzati da idici uguali defiiscoo la diagoale pricipale della matrice La somma degli elemeti apparteeti alla diagoale pricipale è detta traccia della matrice tr a i..2 Matrice diagoale i I ua matrice quadrata, se tutti gli elemeti fuori diagoale pricipale soo ulli ( a 0 per j), la matrice si dice diagoale. a a a 22 Data ua matrice diagoale, se risulta aii i, co a 0 per i j (ovvero a δ dove δ è il simbolo di Kroecker), essa è detta matrice idetità o matrice uità di ordie e si idica co I. Ua matrice i cui elemeti soo tutti ideticamete ulli appedix_a 2

3 a 0 i,, m j,, si dice matrice ulla di dimesioi (m x ) e si idica co O...3 Matrice triagolare Si defiisce matrice triagolare alta ua matrice quadrata i cui elemeti posti al di sotto della diagoale pricipale soo tutti ulli. Viceversa, si dice triagolare bassa se soo uguali a zero tutti gli elemeti al di sopra della diagoale pricipale. a a a a 0 a a a 0 0 a a a triagolare alta..4 Matrice riga e matrice coloa Per m, ( x ) è detta matrice riga. 44 a a2 a a3 a32 a33 0 a4 a42 a43 a44 triagolare bassa Per, (m x ) è detta matrice riga o vettore coloa. Il termie vettore, cui i geerale viee associato ua lettera miuscola i grassetto v o co sottolieatura v, sta ad idicare ua matrice coloa. ale omeclatura si associa alla circostaza che u vettore geometrico v può essere rappresetato ordiado per righe le sue compoeti secodo gli assi coordiati v ve + ve + ve x x y y z z viee rappresetato ache come vx v vy v z..5 Matrice simmetrica e emisimmetrica Si defiisce matrice simmetrica ua matrice quadrata i cui elemeti fuori diagoale risultao uguali a a i, j ji Si defiisce matrice emisimmetrica (o atisimmetrica) ua matrice quadrata i cui elemeti fuori diagoale risultao opposti a a i, j Gli elemeti apparteeti alla diagoale pricipali soo tutti ulli. ji appedix_a 3

4 .2 Operazioi elemetari su matrici.2. Uguagliaza Date due matrici e B, queste si dicoo uguali se e solo se soo dello stesso ordie (m x ) e risulta a b i,, m j,, L operazioe di uguagliaza gode delle segueti proprietà: Proprietà trasitiva Se B e B, segue C.2.2 Moltiplicazioe per uo scalare Data ua matrice, si defiisce prodotto di per uo scalare λ, la matrice stesso ordie (m x ), i cui elemeti risultao b λ a i,, m j,, B λ dello Per λ, B defiisce la matrice opposta della matrice..2.3 Somma Date due matrici e B, dello stesso ordie (m x ), si defiisce somma delle due matrici la matrice C + B, i cui elemeti soo defiiti come somma dei corrispodeti elemeti di e di B, ovvero c a + b i,, m j,, La somma di matrici è defiita pertato solo per matrici di uguali dimesioi. L operazioe di somma gode delle segueti proprietà, aaloghe a quelle di cui gode la somma di scalari: Proprietà commutativa + B B+ ovvero, i termii di elemeti delle matrici a + b b + a i,, m j,, Proprietà associativa + B+ C ( + B) + C + ( B+ C ) Proprietà associativa, rispetto al prodotto per uo scalare λ+ λb λ( + B ) Proprietà distributiva, rispetto al prodotto per uo scalare ( ) λ + B λ+ λb appedix_a 4

5 L operazioe di somma possiede ioltre l elemeto eutro che è costituito dalla matrice ulla O di dimesioi (m x ) opportue..2.4 Differeza Date due matrici e B, dello stesso ordie (m x ), si defiisce differeza la somma di e dell opposta di B, ovvero i cui elemeti risultao pertato C B + ( ) B c a b i,, m j,,.2.5 rasposta Data ua matrice di dimesioi (m x ), si defiisce matrice trasposta di e si idica co, la matrice di ordie ( x m) che si ottiee scambiado le righe co le coloe,ovvero B ove Esempio: b a i,, m j,, ji Si osservi che l operazioe di trasposizioe di ua matrice trasposta ricoduce alla matrice di parteza ( ) Nel caso di matrice simmetrica risulta, i quato, per defiizioe di matrice simmetrica risulta a a i, j ji Nel caso di matrice emisimmetrica risulta ivece..2.6 Decomposizioe di ua matrice quadrata ella somma di ua matrice simmetrica ed ua emisimmetrica Data ua matrice quadrata di ordie ( x ), la si può sempre scrivere come somma di ua matrice simmetrica ed ua emisimmetrica così defiite: e tali che risulti S Sym s ( a + aji ) 2 E Skew e ( a aji ) 2 appedix_a 5

6 S + E l fie di verificare la validità di tale affermazioe si scriva: s + e ( a + a ) + ( a a ) a 2 2 ji ji s ( a + a ) ( a + a ) s 2 2 ji ji ji e ( a a ) ( a a ) e 2 2 ji ji ji..le matrici S ed E si dicoo rispettivamete parte simmetrica di e parte emisimmetrica di.2.7 Prodotto di matrici Date ua matrici di dimesioe ( mx ) ed ua matrice B di dimesioe ( mb x B), si defiisce prodotto delle due matrici, la matrice C B i cui elemeti soo dati dalla somma dei prodotti degli elemeti della i-esima riga per i corrispodeti elemeti delle j-esima coloa c a b ih hj h State la defiizioe stessa, il prodotto di due matrici è defiito se e solo se il umero di coloe della prima matrice eguaglia il umero di righe della secoda, ovvero mb. La matrice prodotto sarà di dimesioi ( m x ) Si osservi pertato che le dimesioi della matrice prodotto si possoo idividuare dalle dimesioi estere, avedo scritto B Esempio: B C ( mx ) ( mb x B) dove mb Sviluppado ciascu prodotto: B 2 2 (3x 2) (2 x 4) B C (3x 2) (2 x 4) (3x 4) c a b + a2 b ( ) 2 c2 a b2 + a2 b c3 a b3 + a2 b c4 a b4 + a2 b ( 2) 5 appedix_a 6

7 c2 a2 b + a22 b ( ) 2 c22 a2 b2 + a22 b c23 a2 b3 + a22 b c24 a2 b4 + a22 b ( 2) 4 c3 a3 b + a32 b2 3 + ( ) 4 c32 a3 b2 + a32 b c33 a3 b3 + a32 b c44 a4 b4 + a42 b ( 2) 7 si ottiee: C Date due matrici qualsiasi, il prodotto tra matrici o è i geere defiito, a meo che o risulti mb. Il prodotto tra matrici o gode della proprietà commutativa, azi, i geere, dato il prodotto B, B o risulta emmeo defiito, i quato, metre l esisteza del prodotto B implica la relazioe m B, ulla è detto di u evetuale legame tra B e m, ed i geere risulta m B Ifatti metre B implica ( m x ) ( m x ) B B B implica ( m x ) ( m x ) B B che qualora risultasse B me pertato esistesse B, i geerale sarà B B, addirittura i dimesioi. Esempio: B (2x3) (3x 2) Esempio: B 7 5 B (2 x 2) (3x 3) B 2 (2 x 2) (2 x 2) appedix_a 7

8 2 2 B B 0 5 (2 x 2) (2 x 2) B B Risulta pertato rilevate l ordie i cui viee operato il prodotto e pertato si parla di premoltiplicare o post-moltiplicare per idividuare la posizioe della matrice per la quale si vuole moltiplicare ua matrice data. Se risulta B B le matrici si dicoo permutabili. Questo accade solo se le matrici soo quadrate e per casi particolari, quale il caso di matrici etrambi diagoali (il cui prodotto è acora ua matrice diagoale i cui elemeti soo i particolare i prodotti degli elemeti lugo le corrispodeti diagoali pricipali, c ii a ii b ii e c 0 i j), la moltiplicazioe di ua geerica matrice quadrata ( x ) per ua matrice idetità (ovviamete di ordie, altrimeti il prodotto o sarebbe defiito) e per ua matrice ulla, ach essa di ordie ( x ). La matrice idetità I XX e la matrice ulla l operazioe di moltiplicazioe. Il prodotto tra matrici gode delle segueti proprietà: proprietà distributiva rispetto alla somma proprietà associativa rispetto alla somma O costituiscoo l elemeto eutro e lo zero per ( + B) C C + BC ( B+ C) B + C C + BC ( + B) C B + C ( B+ C ) proprietà distributiva proprietà associativa ( B ) C BC BC ( B ) C - rasposta di prodotto L operazioe di trasposta di u prodotto di matrice forisce ( ) B B - Prodotto di ua matrice per la sua trasposta Data ua matrice di dimesioi (m x ), il prodotto simmetrica. Ifatti risulta è ua matrice quadrata appedix_a 8

9 - Prodotto di vettori ( ) ( ) U caso iteressate è il prodotto tra 2 vettori che si defiisce come prodotto del trasposto del primo per il secodo c a b a b Si osservi che il risultato è uo scalare e la precedete espressioe corrispode alla scrittura i termii matriciali del prodotto scalare di due vettori. Se si idica co r il vettore coteete le compoeti del versore e r della retta r, si può scrivere la compoete v r di v secodo r come avedo i precedeza scritto v v v r r r v v e e v r r r - Prodotto di ua matrice per u vettore Forma quadratica Data ua matrice (m x ) ed u vettore x ( x ), il prodotto x è u vettore y di ordie m, i cui elemeti si esprimoo come: y a x i,, m i j j Se è ua matrice quadrata ( x ), e c u secodo vettore, ach esso di ordie il prodotto c x forisce uo scalare c x i j ca x i j I geerale, c x x c, i quato e pertato c x x c, se e solo se ( ) ( ) x c x c c x c x I particolare si defiisce forma quadratica il prodotto ovvero, il polimoio omogeeo, ovvero se la matrice è simmetrica. F (,, ) x x F x x a xx i j i j La matrice viee detta matrice della forma quadratica. appedix_a 9

10 .2.8 Determiate di ua matrice quadrata d ogi matrice quadrata è possibile associare ua quatità scalare (u umero), che viee idicato co det oppure co, determiata come det a j (dove i idica aver scelto la i esima riga per lo sviluppo del determiate), somma dei prodotti degli elemeti della i esima riga a (o j-esima coloa) per i corrispodeti completameti algebrici. Il complemeto algebrico dell elemeto matrice, che chiameremo a è dato dal determiate di ordie - della, otteuta elimiado la riga i-esima e la coloa j-esima idividuate dall elemeto a, moltiplicato per ( ) i+ j, ovvero per + se la somma degli idici è pari e per (-) se la somma degli idici è dispari: - Matrice di dimesioe 2 ( ) i+j - det U caso particolare di calcolo di determiate si ha per 2. I tal caso, il determiate si calcola sommado il prodotto degli elemeti posti sulla diagoale pricipale meo il prodotto dei due rimaeti elemeti: - Matrice di dimesioe 3 a Nel caso di matrice di dimesioe 3, a 2 a2 a det aa22 a2 a2 22 a a a 2 3 a2 a22 a 23 a a a il determiate può essere calcolato sommado i prodotti delle diagoali a 3 elemeti che si ottegoo da siistra a destra, immagiado di affiacare alla matrice, le prime due coloe della matrice stessa e sottraedo i prodotti che si ottegoo cosiderado le diagoali da destra a siistra (regola di Sarrus) a a a a a a a a a a a a a a a det a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a appedix_a 0

11 - Matrici diagoali e triagolari Il determiate di ua matrice diagoale o di ua matrice triagolare (alta o bassa) è dato dal prodotto degli elemeti apparteeti alla diagoale pricipale. - Proprietà Il determiate gode delle segueti proprietà: Se ha due righe (o coloe) uguali, oppure ua riga (o coloa) di zero, allora det 0. Se ' è la matrice otteuta da scambiado di posto due coloe o due righe, allora det ' det Il determiate di ua matrice trasposta è uguale al determiate della matrice di parteza det det Il determiate o cambia se i sommiamo ad ua riga (o ad ua coloa) ua combiazioe lieari delle altre righe (o coloe) Il determiate del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determiati: det ( B ) det ( ) det ( B ) Il determiate del prodotto di ua matrice i cui ua riga è moltiplicata per uo scalare è uguale al prodotto dello scalare per il determiate della matrice a a a a det λai λa i λdet ai a i a a a a m m m m - Esempi Matrice di dimesioe 2 Matrice di dimesioe det ( ) Questo determiate può essere calcolato o attraverso la regola di Sarrus o attraverso la sua defiizioe det 2 0 ( 2) ( ) ( ) 2 45 appedix_a

12 det (0 4) 3 (2 20) + ( 0) I questo secodo caso, poteva risultare più coveiete scegliere di sviluppare secodo la 2 a riga ivece che secodo la a, evitado così il calcolo di u miore i quato moltiplicato per 0: det ( ) 0 4 ( 6 ) 4 (2 5) Matrice sigolare Ua matrice si dice sigolare se ha determiate ullo.2.0 Miori di ua matrice- det 0 Si defiiscoo miori di ordie p di ua matrice di geeriche dimesioi (m x ) i determiati delle matrici di ordie p mi( m, ) che è possibile estrarre dalla matrice. U miore si dice pricipale se è estratto sulla diagoale pricipale. Si defiisce rago di ua matrice l ordie più elevato i corrispodeza del quale la matrice possiede almeo u miore o ullo. Ua matrice o sigolare di ordie si dice avere rago massimo pari ad. Ua matrice quadrata si dice defiita positiva se det > 0 e risultao maggiori di zero tutti i miori pricipali..2. Matrice iversa Si defiisce iversa di ua matrice quadrata, e si idica co moltiplicata per la matrice di parteza forisce la matrice idetità. I quella matrice tale che Si osservi che ua matrice quadrata e la sua iversa soo permutabili. La matrice iversa è data pertato da co gli elemeti α della matrice iversa soo defiiti dalla seguete relazioe ji α det appedix_a 2

13 dove gli elemeti ( ) i+j - det soo i complemeti algebrici dell elemeto α. Si osservi che la matrice iversa è defiita se è solo se la matrice è quadrata e o sigolare. L iversa di ua matrice diagoale è acora ua matrice diagoale i cui elemeti soo gli iversi dei corrispodeti elemeti : ii α ii det L iversa di ua matrice triagolare alta (o bassa) è data da ua matrice triagolare alta (o bassa) è data da ua matrice triagolare bassa (o alta) i cui elemeti soo gli iversi degli elemeti della diagoale pricipale della matrice data. Risulta ioltre L iversa di ua matrice iversa forisce la matrice di parteza ( ) La iversa di u prodotto di due matrici è pari al prodotto delle matrici iverse scambiate di posto ( ) B B La iversa di ua trasposta è pari alla trasposta dell iversa - - ( ) ( ) - Ua matrice tale che la trasposta sia uguale all iversa si dice ortogoale - Esempio Calcolare la matrice iversa di Si calcoli il determiate di : I 2 3 det ( ) 2 ( 3) 5 Poiché tale determiate risulta diverso da zero è possibile calcolare la matrice iversa. Determiiamo i complemeti algebrici: ( ) ( + ) ( ) ( + ) det a 22 ( ) ( + 2) ( ) ( + 2) det a ( ) ( 2 + ) ( ) ( 2 + ) det a appedix_a 3

14 ( ) ( 2 + 2) ( ) ( 2 + 2) det a Coseguetemete gli elemeti della matrice iversa risultao La matrice iversa risulta pertato Per verifica sviluppiamo il prodotto det 5 α 2 det 5 2 α 2 3 det 5 2 α 2 det 5 22 α appedix_a 4

15 .3 Sottomatrici Data ua matrice di dimesioi (m x ), si dice sottomatrice di dimesioi (r x s), ua matrice otteuta da quella di parteza estraedo gli elemeti apparteeti cotemporaeamete alle r righe ed s coloe di. d esempio, se dalla matrice estraiamo gli elemeti apparteeti cotemporaeamete alla a e 3 a riga ed alla 2 a e 4 a coloa otteiamo la matrice B a a2 a3 a4 a a a a a3 a32 a33 a 34 a4 a42 a43 a44 a a a a B a a 2 4 a32 a Partizioe di matrice Data ua matrice di dimesioi (m x ), si defiisce partizioe la suddivisioe della matrice data i sottomatrici, o come si usa dire a blocchi. Le sottomatrici vegoo idicate co la medesima simbologia delle matrici, cui vegoo apposti idici di riga e coloa ad idicare la posizioe della sottomatrice all itero della matrice di parteza. a a a a a2 a2s a a a a a a a a a a a a s, s+ r rs r, s+ r, r+. r+, s r+, s+ r+, m ms m, s+ m,.3.2 Operazioi su matrici partizioate s coloe s coloe } } r righe m r righe - Somma Sia data la somma di due matrici C + B. Data partizioata secodo r righe ed s coloe, la somma delle due matrici, per defiizioe di somma, delle medesime dimesioi può essere scritta come + B 2 + B2 + B 2 + B B22 dove B è stata partizioata i sottomatrici delle medesime dimesioi delle sottomatrici di. La somma è pertato defiita cosiderado le sigole sottomatrici alla stregua di elemeti. appedix_a 5

16 - Prodotto alogamete può essere scritto il prodotto di due matrici e B di dimesioi opportue, (m x ) ed (m B x B ) co m B, ove, ua volta defiita la partizioe su, la matrice B vega partizioata opportuamete B ( m x ) ( m x ) 2 B B2 ( r x s) ( r x ( s )) ( s x q) ( s x ( B q )) B B m r x s m r x s s x q s x q B B ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) B B + 2B2 B2 + 2B22 ( r x q) ( r x ( B q )) 2B + 22B2 2B2 + 22B 22 (( m r) x q) (( m r) x ( B q) ) ( m x ) Il prodotto i termii di sottomatrici si scrive formalmete cosiderado le sigole sottomatrici quali elemeti della matrice stessa. C B appedix_a 6