La dinamica dei sistemi - intro

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2 La diamica dei sistemi - itro Il puto materiale rappreseta ua schematizzazioe utile o solo per descrivere situazioi di iteresse diretto ma è ache il ecessario presupposto alla meccaica dei sistemi materiali estesi. U sistema materiale esteso può essere sempre immagiato come costituito da u isieme di puti materiali. Talvolta, il sistema esteso è effettivamete formato da u certo umero di costitueti praticamete putiformi ciascuo idetificabile e distiguibile dagli altri: si dice allora che si ha a che fare co u sistema discreto. Più spesso, a livello macroscopico, u corpo esteso si preseta come u sistema cotiuo: i questo caso si può comuque immagiare di suddividere il sistema cotiuo i u certo umero di elemeti di massa elemetare dm e di volume dτ praticamete putiforme.

3 Il cetro di massa Si cosideri u sistema formato da due particelle di massa rispettivamete m 1 ed m 2 soggette alle forze estere F 1 ed F 2. Tale sistema soggiace alle leggi del moto come se etrambe le masse m 1 +m 2 fossero cocetrate i u uico puto chiamato cetro di massa soggetto ad ua forza F 1 +F 2 agete sul puto. si defiisce cetro di massa di u sistema composto da più di ua particella, il puto i cui si suppoe cocetrata tutta la massa del sistema. Si può supporre che sul puto agisca ua forza estera etta i modo tale che il moto di u sistema di particelle si possa descrivere attraverso il moto del suo cetro di massa.

4 Il cetro di massa La posizioe del cetro di massa è data dalla relazioe Da cui: r cm = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 x cm = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Se assumiamo, ad esempio, x 1 = 2m, x 2 = 8m, m 1 = m 2 = 6Kg, allora x cm = (6Kg)(2m) + (6Kg)(8m) 6Kg + 6Kg = 5m

5 Cetro di massa caso geerale Se il sistema è composto da particelle, allora la relazioe può essere geeralizzata: Ovvero, el piao cartesiao: r cm = m 1r 1 + m 2 r 2 +. m 1 + m 2 + = i=1 m i r i i=1 m i x cm = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 1 + m 2 + = i=1 m i x i i=1 m i i=1 i=1 m i i=1 i=1 m i y cm = m 1y + m 2 y 2 + m 1 + m 2 + = m i y i z cm = m 1z 1 + m 2 z 2 + m 1 + m 2 + = m i z i

6 Velocità del cetro di massa La velocità co cui si muove il cetro di massa di u sistema di particelle è: da cui: v cm = m 1v 1 + m 2 v 2 + m 1 + m 2 + = i=1 m i v i i=1 m i v i = dr dt = dx i dt i + dy i dt j + dz i dt k Pertato le sue compoeti cartesiae soo: v xcm = m 1v x1 + m 2 v x2 + m 1 + m 2 + = i=1 m i v xi i=1 m i i=1 i=1 m i i=1 i=1 m i v ycm = m 1v y1 + m 2 v y2 + m 1 + m 2 + = m i v yi v zcm = m 1v z1 + m 2 v z2 + m 1 + m 2 + = m i v zi

7 Accelerazioe del cetro di massa L accelerazioe del cetro di massa di u sistema di particelle è: da cui: a cm = m 1a 1 + m 2 a 2 + m 1 + m 2 + = i=1 m i a i i=1 m i a i = dv dt = dv xi dt i + dv yi dt j + dv zi dt k o, ciò che è lo stesso: a = d2 r i dt 2 i + d 2 yi j + d2 z i k dt 2 dt 2 dt 2 = d2 x i Pertato le sue compoeti cartesiae soo: a xcm m a m a... 1 x1 2 x2 x1 m1m2... x1 ma i m i xi a ycm m a m a... 1 y1 2 y2 y1 m1m2... y1 ma i m i yi a zcm m a m m a... m... 1 z1 2 z2 1 2 x1 x1 ma i m i zi

8 Il moto del cetro di massa La ciematica di u sistema di particelle può essere studiata aalizzado il moto del suo cetro di massa. Si cosideri u sistema di particelle il sui moto è di sola traslazioe. Si sa, per defiizioe, che r cm = i=1 Se idichiamo la massa totale del sistema come allora si potrà scrivere: i=1 m i r i m i Derivado, si potrà scrivere: La quatità a destra dell uguagliaza rappreseta la quatità di moto del cetro di massa.

9 Il teorema del cetro di massa Pertato si potrà scrivere: Derivado ulteriormete, si avrà: Il termie a destra dell uguagliaza rappreseta la somma delle forze applicate su ciascua particella del sistema Questa relazioe prede il ome di teorema del cetro di massa: Il cetro di massa di u sistema materiale che abbia massa M costate si muove come u puto materiale i cui sia cocetrata tutta la massa M del sistema e a cui sia applicata ua forza pari alla risultate F delle forze estere ageti sul sistema stesso

10 E le forze itere? Si oti che la quatità F i rappreseta la somma delle forse estere ageti sul sistema e delle forse itere al sistema di iterazioe tra le sigole particelle. Tuttavia, se ad esempio si cosiderao due particelle si ota che la forza che la massa 1 esercita sulla massa 2 è uguale ed opposta a quella che la massa 2 esercita sulla massa 1. Pertato la somma delle forze itere è ulla. NB: U cocetto simile al cetro di massa è quello di cetro di gravità defiito come il puto i cui si immagia applicata la forza di attrazioe gravitazioale. Per sistemi di particelle o corpi costituiti da particelle le cui dimesioi soo trascurabili rispetto alle dimesioi della Terra, il cetro di gravità e il cetro di massa coicidoo.

11 Le equazioi cardiali della diamica dei sistemi Si cosideri u sistema materiale S e se e scriva la posizioe del suo cetro di massa: r c = m ir i M Nell ipotesi che la massa M sia costate, derivado, si ha: ovvero v c = m iv i M Mv c = m i v i = q i = Q La relazioe ci mostra che la quatità di moto Q di u sistema materiale di massa costate può essere espressa come prodotto fra la massa totale del sistema M e la velocità v c del suo cetro di massa.

12 Le equazioi cardiali della diamica dei sistemi Derivado ulteriormete, si ottiee: cioè: Ma c = dq dt F e = dq dt Dal teorema del mometo agolare si è ricavato, ioltre che: M = dp dt Mettedo isieme le osservazioi fiora fatte e teuto coto della trascurabilità delle forze itere tra le particelle, si ottegoo le equazioi cardiali della diamica dei sistemi: F e = dq dt M e = dp dt

13 Cetro di massa di sistemi cotiui Nel caso di sistemi cotiui, il cetro di massa si defiisce i modo del tutto aalogo al caso dei sistemi discreti. Si suddivide il sistema i tati elemeti praticamete putiformi di massa dm i e volume dτ i ; la posizioe del cetro di massa è data approssimativamete da Il calcolo diviee esatto eseguedo il limite a zero dei volumetti: r cm = lim Δτ i 0 i=1 i=1 dm i r i dm i Usado la simbologia propria del calcolo itegrale, questo limite si scrive

14 Cetro di massa di sistemi cotiui Per il calcolo dell itegrale è ecessario esprimere la massa elemetare dm i fuzioe delle coordiate x,y, z. A questo scopo si itroduce la desità di massa del sistema cosiderato. La desità ρ=ρ(x,y,z) è quella fuzioe delle coordiate che moltiplicata per l elemeto di volume dτ forisce la massa dm dell elemeto di volume dτ: dm= ρdτ = ρ(x,y,z)dxdydz Da queste ultime cosiderazioi si può dedurre:

15 Note Beché, a rigore, ogi corpo materiale esteso abbia struttura tridimesioale, o è raro che la forma del corpo sia tale che risulti coveiete schematizzarlo come u sistema a due dimesioi o addirittura a ua dimesioe sola. I questi casi coviee itrodurre, rispettivamete, ua desità superficiale σ e ua desità lieare λ. Il risultato molto importate a cui si è giuti è che, quado il corpo ha ua desità costate, il cetro di massa (e il cetro di gravità se il campo gravitazioale è costate) dipedoo solo dalla cofigurazioe geometrica del corpo e o dalle sue proprietà fisiche

16 Il teorema di Koeig Si cosideri u sistema di puti materiali che si muove i u sistema di riferimeto ierziale R(0xyz); si itroduca u secodo sistema di riferimeto mobile R che abbia origie coicidete co il cetro di massa C del sistema S e orietameto fisso rispetto a R. Sia r C il vettore posizioe di C rispetto a R e r i il vettore posizioe del puto P i di S acora rispetto a S. Sia ioltre r i il vettore posizioe di P i rispetto a R. Si ha: r i = r c + r i Derivado questa relazioe rispetto al tempo, si ottiee: v i = v c + v i dove v i è la velocità di P i rispetto a R; v c è la velocità del cetro di massa C rispetto a R; v i è la velocità di P i rispetto a R, cioè rispetto al sistema solidale co C.

17 Il teorema di Koeig L eergia cietica K i del puto P i el sistema ierziale R può essere scritta come: K i = 1 2 m iv i 2 = 1 2 m iv i v i = 1 2 m i v c + v i v c + v i = 1 2 m iv c m iv i 2 + m i v i v c Sommado sull idice i, si ottiee l eergia totale del sistema S: 1 K = K i = 2 m iv 2 1 c + 2 m iv 2 i + + m i v i v c = 1 2 v c 2 m i + A proposito dei tre termii possiamo scrivere: 1 2 m iv i 2 + v c m i v i 1 v 2 c 2 m i può essere scritto come 1 Mv 2 c 2 dove M = m i è la massa totale del sistema. 1 m 2 2 iv i rappreseta l eergia cietica del sistema S el sistema di riferimeto R che ha origie el cetro di massa C e orietameto fisso rispetto a R, ovvero rappreseta l eergia cietica di S rispetto al cetro di massa: la si può chiamare S. v c m i v i questo termie è ullo perché m i v i = Mv c e v c rappreseta la velocità del cetro di massa rispetto a R ma el sistema R tale velocità è ulla.

18 Il teorema di Koeig I defiitiva: K = 1 2 Mv c 2 + K I u sistema di riferimeto ierziale qualuque, l eergia cietica di u sistema materiale S può essere espressa come somma dell eergia cietica 1 2 Mv c 2 che il sistema avrebbe se tutta la sua massa fosse cocetrata el suo cetro di massa più l eergia cietica K che il sistema S ha i u sistema di riferimeto co origie el cetro di massa e orietameto fisso.