Popolazione e Campione

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1 Popolazioe e Campioe POPOLAZIONE: Isieme di tutte le iformazioi sul feomeo oggetto di studio Viee descritta mediate ua variabile casuale X: X ~ f ( x; ϑ) θ = costate icogita Qual è il valore di θ? E verosimile u ipotesi sul valore di θ? CAMPIONE: Sottoisieme della popolazioe Come devoo essere scelte le uità apparteeti al campioe? CAMPIONE CASUALE Ciascua uità ha probabilità > 0 di essere estratta

2 Il campioe casuale Campioe casuale No è u campioe a casaccio!!! E u campioe scelto da ua popolazioe i cui ciascua uità ha ua probabilità o ulla di essere estratta. Campioe casuale semplice E u campioe scelto da ua popolazioe i cui ciascua uità ha la stessa probabilità di essere estratta.

3 I 3 elemeti dell ifereza Popolazioe Campioe Campioe osservato X ~ f ( x; ϑ) ( X, X,, X ) ( x, x,, x ) Spazio campioario: isieme di tutti i possibili campioi Prima dell estrazioe, il campioe è costituito da ua -pla di variabili casuali Se il campioe è formato da elemeti, ogi suo elemeto può essere cosiderato come la realizzazioe della variabile casuale X i, idicado co X i la i-esima estrazioe della v.c. X. Variabili casuali osservazioi campioarie X ~ f x; ϑ i =,,, i Ciascua variabile X i ha la stessa distribuzioe della variabile casuale che descrive la popolazioe

4 I pratica, data la popolazioe: X~f(x, µ, σ ) µ X =00 σ X = Mi(X i )=50 Max(X i )=80 Se: C = umero dei possibili campioi estraibili da X = 8 = ampiezza di ogi campioe Si avrao 8 v.c. X i osservazioe campioaria : X X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 a oss. a oss. 3 a oss. 4 a oss. 5 a oss. 6 a oss. 7 a oss. 8 a oss. campioe x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 campioe x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 3 campioe : x 3 x 3 x 33 x 34 x 35 x 36 x 37 x 38 C campioe x C x C x C3 x C4 x C5 x C6 x C7 x C8 I questo seso: Prima dell estrazioe il campioe è ua -pla di variabili casuali (i questo caso = 8): X,, X 8 Ciascu campioe x,, x 8 e costituisce ua determiazioe Le determiazioi di ogi X i soo i totale C

5 Ciascua v.c. osservazioe campioaria, X i, ha la stessa distribuzioe e gli stessi parametri della variabile X ella popolazioe. Se: X~f(x, θ) µ X =00 σ X = Mi(X i )=50 Max(X i )=80 i si ha: X i ~f(x, θ) µ X i =00 σ Xi = Mi(X i)=50 Max(X i )=80 X~f(x, θ) X X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 a oss. a oss. 3 a oss. 4 a oss. 5 a oss. 6 a oss. 7 a oss. 8 a oss. campioe campioe 3 campioe : C campioe

6 Statistiche e parametri Poiché ciascua osservazioe campioaria X i è ua variabile casuale, ogi fuzioe f(x,, X ) delle osservazioi campioarie sarà essa stessa ua variabile casuale ed è detta statistica Esempi: ( ) f X,,X = x = x + x + + x ( ) i i f X,,X = x = x x x i i f X,,X x x x x ( ) = i = ( ) i Quidi, i valori otteuti attraverso ua qualsiasi trasformazioe dei valori osservati vegoo chiamate statistiche, metre i rispettivi valori della popolazioe, che soo delle costati, vegoo defiiti parametri. Esempi: Media campioaria X = x + x + + x ( ) Statistica Media della popolazioe µ Parametro

7 Statistiche e statistiche calcolate Si defiisce statistica T = T(X, X,, X ) ua qualsiasi fuzioe a valori reali del campioe casuale (X, X,, X ) che o dipede da quatità icogite. Il valore della statistica T calcolata sul campioe osservato (x, x,, x ) costituisce la statistica calcolata t = T(x, x,, x ). T statistica Variabile casuale t statistica calcolata Realizzazioe della variabile casuale T

8 La distribuzioe campioaria Ogi statistica è, duque, ua sitesi delle variabili casuali campioarie media campioaria X = Xi i= variaza campioaria variaza campioaria corretta S X X = i i= S X X = i i= Dato u campioe casuale (X, X,, X ), defiita la statistica T = T(X, X,, X ), fuzioe delle osservazioi campioarie, la distribuzioe di probabilità della statistica T(X, X,, X ) al variare del campioe viee defiita distribuzioe campioaria di T.

9 La media campioaria La variabile casuale media campioaria, X, è ua combiazioe lieare delle variabili casuali osservazioi campioarie X i, i=,..,. X = Xi i= Le variabili casuali X, X,, X soo idipedeti e ideticamete distribuite alla variabile X ella popolazioe, co media µ e variaza σ. E importate defiire la distribuzioe di X, ma prima acora determiare il valore atteso e la variaza. E ( X) = Var ( X) = Idetificao il valore cetrale e la variabilità di ua variabile casuale I geerale, data ua v.c. X cooscere E(X) e Var(X) sigifica cooscere due parametri cruciali della distribuzioe di X, ossia due caratteristiche fodametali della v.c.

10 Distribuzioe di probabilità di ua v.c. X Descrive come varia la probabilità al variare dei possibili valori della X (di tutte le uità statistiche della popolazioe) Distribuzioe campioaria di ua statistica T (fuzioe delle x i ) Descrive come varia la probabilità al variare dei possibili risultati di T calcolata (i teoria) su tutti i possibili campioi proveieti dalla popolazioe Esempio: distribuzioe campioaria della media campioaria Descrive come varia la probabilità al variare dei possibili valori della media calcolata (ipoteticamete) i tutti i possibili campioi estraibili dalla popolazioe

11 Somma di variabili casuali S = X = X + X + + X i i= E S = E X i = µ i = Var S = Var X = σ i = Media di variabili casuali i X, X,, X E X i = µ, i ( i ) Var X = σ, i X idipedeti i X = X = X + X + + X i i= E X = µ E X = E X + E X + + E X = µ = µ Var X σ = Var ( X) = Var ( X ) + Var ( X ) + + Var ( X ) = σ = σ =

12 U esempio Estrazioe co reitroduzioe Popolazioe: X N=3 µ = 7,33 σ = 4, Campioe: = = Xi i= campioe X X X 5 5 5, , , , , , , , ,0 Media 7,33 7,33 7,33 Variaza 4, 4,, Media di variabili casuali E X = E X + E X + + E X = µ = µ ( ) ( ) ( ) Var X = Var X + Var X + + Var X = σ = σ =

13 U esempio Estrazioe seza reitroduzioe Popolazioe: X N=3 µ = 7,33 σ = 4, Campioe: = = Xi i= campioe X X X 5 7 6, , , , , ,5 Media 7,33 7,33 7,33 Variaza 4, 4,,06 Media di variabili casuali E X = µ Var X σ N = N Ma quado N è grade: N N Var X σ

14 Qualche osservazioe Campioameto co reitroduzioe (CCR) µ ; Var ( X) E X = = σ Campioameto seza reitroduzioe (CSR) µ ; Var ( X) E X σ N = = N =: i risultati otteuti co lo schema di CCR coicidoo co quelli otteuti el CSR; =N: la variaza della media campioaria ello schema di CSR è ulla. I questo caso, ifatti, il campioe coicide co la popolazioe e o si ha più alcua icertezza legata al campioameto; <N: il fattore di correzioe utilizzato ello schema di CSR è <. Questo vuol dire che la variaza della media campioaria el CSR è miore di quella che si ottiee el CCR; molto piccola rispetto alla umerosità della popolazioe N: il fattore di correzioe per lo schema di CSR è prossimo a. La differeza tra i due schemi può quidi essere cosiderata trascurabile.

15 La distribuzioe della media campioaria!!! Se è oto che: X ~ N(µ, σ )!!! Allora si sa ache: i= X i ~ N(µ, σ ) i X = X ~ N (?,?) i Campioameto co reitroduzioe Campioameto seza reitroduzioe µ Var ( X) E X = = σ µ Var ( X) E X σ N = = N X µ ~ N 0, σ X σ µ N N ~ N 0, Ma se o si coosce la distribuzioe di X???

16 Teorema limite cetrale Lideberg-Levy Data ua successioe X di variabili casuali X, X,, X, idipedeti e ideticamete X + X + + X distribuite co media µ e variaza σ costati, defiita la variabile casuale X E ( X ) e la sua stadardizzazioe Z =, al crescere di si ha che Z N(0, ) (Z tede Var ( X ) ad ua Normale stadardizzata) Lideberg-Cramer X = Il teorema limite cetrale resta valido ache quado la successioe X è formata da variabili casuali che o soo ideticamete distribuite, purché ciascua v.c. X i sia idipedete dalle altre e abbia mometi primi e secodi fiiti (µ e σ o ecessariamete costati). Ioltre: I altre parole Sotto codizioi molto geerali, la somma di v.c. idipedeti è asitoticamete Normale, e questo è vero qualuque sia il tipo di distribuzioe di ciascua delle X i. ( ) S E S Z = N 0, Var S Tutte le volte che u feomeo reale può essere iterpretato come la somma, oppure la media, di u gra umero di cause idipedeti, idipedetemete dai modelli probabilistici che geerao le sigole variabili casuali è ragioevole attedersi che la distribuzioe di probabilità di quel feomeo possa essere approssimabile mediate la v.c. Normale.

17 Esempio U produttore di cosmetici ha 500 veditori porta a porta che, mediamete, ell ultimo mese hao realizzato vedite per u valore pari a µ = 300 $ e co s.q.m. σ = 450 $. Si estrae u campioe di 64 veditori, seza reimmissioe. Qual è la probabilità che questo gruppo abbia realizzato, i media ell ultimo mese, vedite per u valore iferiore a 3000 $? Soluzioe X = vedite idividuali, distribuzioe o ota N = 500 µ = 300 $ σ = 450 $ = 64 ( 64 ) P X < 3000 =? Teorema limite cetrale ( ) ( ) X E X Z = N 0, Var X X64 µ P X < = < P σ N N = P Z < = P ( Z <,8) = , 035

18 Esempio Le fui di sostego di u pote soo formate da cavi di acciaio. La resisteza alla trazioe di ogi cavo è ua variabile casuale co media µ = 0, toellate e s.q.m. σ = 0,06 toellate. Assumedo che ua fue abbia ua resisteza alla trazioe uguale alla somma delle resisteze dei cavi che la compogoo, si calcoli: a)la probabilità che ua fue costituita da 00 cavi sopporti ua trazioe di 9 toellate; b)il umero di cavi ecessario affiché ua fue sopporti u carico di 0 toellate co probabilità 0,99. Soluzioe X i = resisteza del cavo i X i : µ = 0, σ = 0,06 X i iid; distribuzioe o ota X = resisteza della fue composta da cavi Teorema limite cetrale ( ) S E S Z = N 0, Var S a) = i = X X µ = µ = 00 0, = 0 P X > 9 =? 00 X 00 σ = σ = 00 0, 0036 = 0,36 X 00 X N 0; P ( X > 9) = P Z > = P ( Z >,67 ) = 0, ,6 00

19 b) P X > 0 = 0,99 Cerchiamo quel valore di tale che: 0 µ P Z = 0,99 σ 0 µ 0 µ 0 0, 0 0, = = = σ σ 0, 06 0, , P Z = 0,99 0,06 0 0, 0,06 =,33 -,33 0 0, +,33 = 0 0,06 0 0, +,33 0,06 = 0 0 0, + 0,398 = 0 0 0, + 0,398 = 0 0 0, + 0,398 = 0 y = 0, y + 0,398 y + 0 = 0 y = b ± b 4ac a y ( ) ( 0,) 0,398 ± 0, , 0 = = - 9,35 = 0,73 = 5 + 0,73

20 Distribuzioi campioarie di uso frequete Distribuzioe χ (chi quadro) (Somma di v.c. Normali stadardizzate al quadrato) Date v.c. X, X,, X idipedeti e ogua distribuita secodo ua Normale di parametri µ i e σ i, allora la variabile casuale defiita come: X µ i i χ = i= σi segue ua distribuzioe χ co g = gradi di libertà x f(x;g) = exp x g g Γ g= g=4 g= g La variabile χ è cotiua, o può essere egativa e varia tra zero e ifiito. La sua forma e il suo cetro dipedoo dal umero di gradi di libertà. Y ~ χ( ) Relazioe tra χ e Normale: E Y = g ; Var Y = g ; se ua v.c. Z segue ua distribuzioe Normale stadardizzata, la trasformata Y=Z si distribuirà secodo ua v.c. χ co grado di libertà.

21 Distribuzioe t di Studet (Rapporto tra ua v.c. Normale stadardizzata e la radice quadrata di ua v.c. c divisa per i suoi gradi di libertà) Data ua v.c. Z, distribuita secodo la legge Normale stadardizzata, e la v.c. Y, distribuita secodo u χ co gradi di libertà, co Z e Y tra loro idipedeti, la variabile casuale t defiita dal rapporto segue ua distribuzioe deomiata t di Studet co gradi di libertà: g + Γ x f(x; g) = + g π Γ g g g= g=0 g + g=3 g= Y ~ t t = Z Y Z Y ~ t () La distribuzioe t di Studet ha ua forma simmetrica che dipede dal valore di, parametro che idica i gradi di libertà e che deriva dalla variabile χ, al deomiatore della formula. E ( Y) = 0 ; Var ( Y ) = ; Relazioe co la Normale: Quado, la v.c. t coverge alla Normale. Quidi, quado è elevato, la f(t) può essere approssimata dalla N(0,).

22 Distribuzioe F di Fisher (Rapporto di due v.c. χ idipedeti, ciascua divisa per il proprio umero di gradi di libertà.) Date due v.c. X e Y tra loro idipedeti, ogua delle quali distribuita secodo u χ rispettivamete co g e g gradi di libertà, il rapporto segue la distribuzioe F co g e g gradi di libertà. g / g / = (g + g ) / B(g /,g /) g f(x;g,g ) (g /g ) x.0 g =0, g = x g X g Y g X g ~ F g,g Y g La distribuzioe F di Fisher è cotiua e, essedo otteuta come rapporto tra due v.c. χ, è defiita ell itervallo (0, + ). 0.6 Y ~ F g =5, g =5 g =5, g = E Y = Var Y + = m ( m ) ( ) ( 4)