Argomenti trattati: Capitolo 12 libro di testo. Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali A. Di Ciaccio, S.

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1 1 GLI INTERVALLI DI CONFIDENZA Argometi trattati: Stima per itervallo Aalogie tra la stima putuale e per itervallo Itervallo di cofideza per la media Itervallo di cofideza per la proporzioe Itervallo di cofideza per la variaza Determiazioe della umerosità campioaria Capitolo 1 libro di testo

2 PERCHE LA STIMA PER INTERVALLO? a) Abbiamo detto che l ifereza statistica è il processo attraverso cui i risultati campioari vegoo utilizzati per trarre coclusioi sulle caratteristiche di ua Popolazioe. Lo stimatore putuale è ua sigola statistica che viee usata per stimare il vero valore (icogito) di u parametro θ di ua P (es. X µ oppure S σ ). Tuttavia, oostate sia possibile idividuare stimatori che godao di proprietà ottimali, sappiamo che ella pratica si selezioa u solo campioe e che ua statistica varia da campioe a campioe e perciò dipede dagli elemeti che vegoo selezioati; di ciò va ecessariamete teuto coto quado co u solo valore umerico cerchiamo di stimare ua caratteristica icogita di P. Pertato è più opportuo per garatirsi cotro evetuali deviazioi, positive e egative, dal vero valore, forire u itervallo di valori per la stima del parametro icogito

3 3 b) Nel campioameto da ua popolazioe, a parità di codizioi, è ragioevole riteere che ad ua coosceza più approfodita di P si giuga usado campioi più gradi. Ciò o è rispecchiato dalla stima putuale (a meo che come abbiamo visto o vega accompagata dall errore stadard come el caso della media campioaria). Ad esempio la stima putuale della proporzioe π di pezzi difettosiiucaricosarebbelastessasiaosservado1pezzoi ucampioedi10pezzi,siaosservado100pezzidifettosiiu campioe di 1000 pezzi. La maggiore precisioe delle ostre iformazioi sul parametro della popolazioe viee esplicitamete evideziata elle stime per itervallo. Ifatti come vedremo, a parità delle altre codizioi, campioi più gradi determiao stime per itervallo più precise, riflettedo i tal modo la miore icertezza sull effettivo valore del parametro icogito cosiderato.

4 4 STIMATORE PER INTERVALLO Uo stimatore per itervallo per u parametro di P è ua fuzioe della variabili campioarie (campioe casuale): determia gli estremi di u itervallo di valori che verosimilmete cotiee il parametro da stimare. La stima corrispodete viee chiamata stima per itervallo. Ma che cos è e come si perviee ad ua stima per itervallo?

5 5 Stima per itervallo Suppoiamo di aver estratto u campioe casuale da P e che sulla base delle iformazioi campioarie sia possibile determiare due v. casuali: L = L1( X1, K,X 1 ) ed L = L( X1, K,X ) co L 1 <L. I corrispodeza di u determiato campioe siao l 1 ed l i valori assuti da L 1 ed L allora l ua delle due: l itervallo da l 1 a l o cotiee o o cotiee il parametro stimato. No avedo idagato l itera P o possiamo tuttavia saperlo. Ipotizziamo allora di estrarre ripetutamete dei campioi casuali da P e di determiare gli itervalli corrispodeti a tutti i diversi L 1 e L.

6 6 Stima per itervallo Alla fie solo ua certa percetuale di questi itervalli (ad es. il 95% 0 il 98%) coterrà il valore icogito. I base alla defiizioe frequetista di probabilità si può dare la seguete iterpretazioe degli itervalli trovati: Se si estraggoo successivamete più campioi idipedeti dalla stessa popolazioe e si determiao i relativi itervalli (di cofideza) el modo ora illustrato, alla fie il 95% (o u altra percetuale qualsiasi) di itervalli coterrà il vero valore del parametro icogito. L itervallo [L 1, L ] è defiito uo stimatore per itervallo a livello di cofideza 95% per il parametro

7 7 Stima per itervallo SiaXua v.c. che rappreseta u carattere osservato su ua popolazioe. Suppoiamo che la v.c. sia defiita da ua fuzioe di probabilitàf ( x;θ ) dipedete dal parametro icogito θ. X, K,X x, K,x Sia 1 u campioe di dimesioe e 1 il corrispodete campioe osservato. Obiettivo: Determiare due statistiche campioarie: L = L X, K,X 1 1 ( 1 ( 1 tali che L1 L per ogi possibile campioe e che l itervallo [ L 1, L ] cotega il parametro θ co probabilità 1 ossia tali chep(l 1 θ L )=1-α ) L = L X, K,X ) α

8 8 Stima per itervallo [ L ( X,,X ),L ( X, K, )] L itervallo casuale 1 1 K 1 X si defiisce itervallo di cofideza di livello 1 α per il parametro θ se cotiee co probabilità 1 α il parametro igoto della popolazioe, ossia: Pr θ [ L ( X, K,X ) θ L ( X, K, X )] = 1 α α I geere si fissao valori di pari a 0,99; 0,95; 0,90 e questo viee detto livello di cofideza. Ua volta estratto il campioe si ottiee l itervallo di cofideza stimato [l 1,l ]. OSSERVAZIONE: No è possibile sapere se l itervallo stimato cotega o meo il valore vero del parametro; d altra parte se si estraesse dalla popolazioe u umero sufficietemete elevato di campioi ripetutamete ed i modo idipedete, e calcolassimo i corrispodeti itervalli di cofideza, il vero valore del parametro θ sarà coteuto el circa il 100(1-α)% di questi itervalli. il livello di cofideza è quidi la frequeza di questi itervalli aleatori che cotegoo θ e perciò o si parla della probabilità che il ostro parametro sia coteuto Copyright ell itervallo 005 The McGraw-Hill Compaies srl

9 9 esempio Ua ota azieda alimetare produce ogi gioro migliaia di scatole di cereali per la prima colazioe. Se gli impiati di riempimeto o fuzioao adeguatamete le scatole possoo risultare o troppo piee o troppo vuote. Poiché cotrollare ogi scatola risulterebbe lugo e dispedioso, il maager operativo deve elaborare ua strategia che gli coseta di valutare a partire da u campioe di scatole, la probabilità che il processo di riempimeto sia sotto cotrollo: ua volta estratto u campioe di scatole e pesata ogua d esse, si deve determiare la probabilità che tale campioe, caratterizzato da ua media, provega da ua popolazioe la cui vera media µ, ha u certo valore, es. 368 gr. x Alla luce di tale risultato il maager prederà ua decisioe circa il mateere o meo lo stesso processo produttivo oppure modificarlo.

10 10 Suppoiamo che il macchiario sia predisposto i maiera tale che la quatità i ua scatola abbia distribuzioe Normale di µ=368 gr e che σ=15 gr. Se estraiamo casualmete u campioe di 5 scatole ci potremmo ad es. chiedere qual è la probabilità che tale campioe abbia ua media iferiore a 365 gr. Poiché X N( µ, σ / ) dobbiamo trovare l area sottesa alla ormale fio a 365; ossia i termii di N(0,1): Z = = = I corrispodeza di -1 sulle tavole troviamo che la probabilità cercata è il 15.87% di tutti i possibili campioi di ampiezza 5 ha ua media campioaria al di sotto di 365 gr. Ciò o equivale alla probabilità che ua sigola scatola cotega meo di 365 gr di cereali; questa percetuale può essere calcolata come: x µ Z = = = 0.0 σ 15 I corrispodeza di -0.0 troviamo ci aspettiamo che il 4.07% delle sigole scatole cotega meo di 365 gr. Tale % di sigole scatole come si vede è superiore rispetto alla corrispodete % di medie campioarie: la probabilità che la media del campioe sia lotaa dalla media di P è iferiore alla probabilità che la sigola osservazioe lo sia.

11 11 Come cambia l errore stadard sepassa da 5 a 100 scatole? σ 1 5 Se =100 = = ; quadruplicado l ampiezza campioaria l errore stadard della media si riduce della metà: u aumeto dell ampiezza campioaria comporta miore variabilità delle possibili medie da campioe a campioe.la Probabilità di otteere ua media iferiore a 365 co u campioe di 100 scatole sara : Z = = = L area a siistra di - è Ci aspetteremo che il.8% dei campioi di =100 ha ua media iferiore a 365. Determiiamo ora l itervallo cetrato sulla media della Popolazioe di scatole, coteete il 95% delle medie campioarie calcolate a partire da campioi di 5 scatole. Il 95% delle osservazioi si divide i due parti uguali, metà al di sotto della media e metà al di sopra

12 1 A siistra il valore di Z cui corrispode ua prob. cum. di 0.05 è ed il valore di Z cui corrispode ua prob. cum. pari a è Quidi: 1 5 X L = µ ( σ / ) = = X L = µ ( σ / ) = = Pertato il 95% delle media di campioi di 5 scatole cadrà tra 36.1 e gr.

13 13 La precedete coclusioe si basa su u ragioameto deduttivo. Facciamo u tipo opposto di ragioameto di tipo iduttivo: l ifereza si basa ifatti sui risultati di u solo campioe per trarre coclusioi sulla itera Popolazioe e o viceversa. Cosideriamo il caso i cui si voglia stimare la media di P µ (che suppoiamo o cooscere) e ipotizziamo di cooscere σ=15 gr. Pertato ivece di calcolare µ±1.96(σ/ ) per defiire limite superiore ed iferiore dell itervallo cetrato i µ etro cui cade il 95% delle media campioarie, valutiamo che cosa succede quado a µ o ota sostituiamo X ed usiamo X ±1.96(σ/ ) come itervallo per stimare µ. Suppoiamo iizialmete che u campioe di 5 scatole abbia forito come media 36.3 gr. L itervallo costruito per stimare µ è 36 ±1.96(15/ 5) ossia 36.3 ±5.88. Lo stimatore per itervallo di µ sarà quidi: µ Poiché la vera media di P è 368 essa è coteuta i tale itervallo; questo campioe ha codotto ad ua valutazioe corretta!

14 14 14 Suppoiamo che per u diverso campioe di 5 scatole la media è I questo caso l itervallo sarebbe 369.5±1.96(15/ 5) ossia ±5.88 e lo stimatore per itervallo di µ: µ Ed ache questo campioe porterebbe a coclusioi corrette! Tuttavia suppoiamo di estrarre u terzo ipotetico campioe di =5 e di aver trovato che la media è 360 gr. I tal caso risulterebbe 360 ±1.96(15/ 5) ossia 360 ±5.88 e lo stimatore per itervallo di µ sarà quidi: µ Questo campioe coduce ad ua coclusioe errata circa il vero valore di µ! Quidi per alcui campioi la stima (per itervallo) di µ è corretta metre per altri o lo è. Nella pratica estraiamo u solo campioe e poiché o si coosce la media di P, o possiamo stabilire se le coclusioi a cui perveiamo siao corrette o meo. COME RISOLVIAMO QUESTO PROBLEMA?

15 15 Determiiamo la proporzioe dei campioi che dà luogo ad affermazioi corrette sulla media µ. Cosideriamo altri due campioi di =5 quello co media 36.1 e quello co media Co gli aaloghi calcoli fatti prima foriscoo rispettivamete come stime per itervallo per µ: µ e µ : la media di P coicide co i limiti iferiore e superiore dei due itervalli ed etrambi coducoo a coclusioi corrette.

16 16 se la media campioaria calcolata per u campioe =5 è compresa tra 36.1 e , la media µ di P e iclusa ell itervallo costruito sulla base di tale media. Allo stesso tempo abbiamo visto che il 95% delle medie campioarie è compreso tra 36.1 e il 95% dei campioi di =5 scatole ha ua media campioaria che dà luogo ad itervalli coteeti la media di P. L itervallo di estremi [36.1,373.88] è il ostro itervallo di cofideza al 95% Lo iterpretiamo: sesicosideraotuttiipossibilicampioidiampiezza,eper ciascuo la media campioaria e l itervallo cetrato su questa, il 95%degliitervallicosiotteuticotieelamediadiPesoloil 5%diessiolacomprede o possiamo sapere se uo specifico itervallo iclude o meo µ; tuttavia abbiamo ua cofideza (fiducia) del 95% di aver selezioato u campioe cui corrispode u itervallo compredete la media (icogita) di P

17 17 17 A volte è desiderabile u livello di fiducia maggiore (es. 99%), a volte possiamo accettare u grado miore di sicurezza (es 90%). I geerale il livello di cofideza è idicato co (1-α)100%, dove α è la massa che si trova elle code della distribuzioe fuori dall itervallo di cofideza, che si bipartisce i maiera simmetrica i α/, ella coda siistra e destra. I coclusioe (suppoedo ota le variaza di P!) abbiamo costruito l itervallo per la media el modo seguete: σ σ σ X ± Z o equivaletemete X Z µ X + Z Dove Z (valore critico della distribuzioe) è quel valore tale che l area sottesa alla curva N(0,1) tra Z e +Z è pari ad (1-α); quidi Z si lascia a destra u area pari ad α/ e l area sottesa alla ormale tra 0 e Z è pari ad (1-α)/. A diversi livelli (1-α) corrispodoo diversi valori critici: (1-α)=95% Z=1.96;(1-α)=99% Z=.58

18 18 La quatità z α/ σ/ viee detta ache margie di errore (o ache errore di campioameto) metre z α/ viee ache chiamato fattore di affidabilità. I tabella diversi livelli di cofideza e corrispodeti soglie critiche el caso di Normale Livello di cofideza 90% 95% 98% 99% α Z α/

19 19 19 Stima per itervallo esempio (fare su libro) Esempio: Sia X ~ N µ ; σ = ( ) 0, 1 Si cosideri u campioe di dimesioe =10 La media campioaria è ua v.c. che si distribuisce come ( ) µ ; σ 0, 01 X ~ N = ( X µ ) 0, 01 Pr ( 1, 96 Z + 1, 96) = 0, 95 Z = µ da cui possiamo ricavare che è ua v.c. Normale stadardizzata ( X 1, 96 0, 1 µ X + 1, 96 0, 1) 0, 95 Pr = Se dal campioe estratto si osserva u valore della media pari a = 10, l itervallo stimato risulta: 9, 804; 10, 196 x [ ]

20 0 Stima per itervallo - esempio Esempio (cotiua) Nella seguete figura si mostrao, i corrispodeza di 6 campioi osservati, gl itervalli di cofideza stimati per la media della popolazioe a u livello di cofideza 0,95. Osserviamo che dal campioe 5 si ottiee u itervallo stimato che o cotiee il vero parametro della popolazioe.

21 1 Aalogie co la stima putuale Nella seguete tabella soo riportate aalogie e differeze tra la stima putuale e la stima per itervallo.

22 Itervallo di cofideza per la media (variaza ota e P Normale) Sia X ua v.c. che rappreseta u carattere osservato su ua popolazioe. Suppoiamo che la v.c. sia distribuita come ua Normale co variaza ota. Allora sappiamo che: X X ( ), µ = ~N0 (,1) ~ N σ µ Z σ P ( z Z + ) = 1 α α zα X µ P zα + zα = 1 α σ σ σ P zα X µ + zα = 1 α P X σ σ zα µ X + zα = 1 α

23 3 3 Itervallo di cofideza per la media (co variaza ota e P distribuita come ua Normale) Dato u campioe casuale estratto da ua popolazioe Normale co media igota e variaza ota, l itervallo di cofideza per la media della popolazioe al livello di cofideza è: 1 α σ σ X zα, X + zα Esempio Siao σ = 10 = 9 1 α = 0, 99 Dalle tavole della Normale stadardizzata si ottiee z α = z0, 005 =, 576 Se si ottiee: x = 4, ±, , [, 480, 7, 3678]

24 4 4 Itervallo di cofideza per la media (variaza ota) La lughezza (ampiezza) dell itervallo di cofideza si ricava dalla differeza tra estremo superiore e estremo iferiore: Lughezza= zα ( σ ) Dipede da: 1. la dimesioe del campioe. il livello di cofideza 3. la variaza della popolazioe Iterveedo sulla dimesioe del campioe o sul livello di cofideza si può aumetare o dimiuire la lughezza dell itervallo. Ua volta fissati questi due elemeti, al variare dei campioi estratti, la lughezza degli itervalli corrispodeti rimae costate.

25 5 5 Itervallo di cofideza per la media (variaza ota) La lughezza dell itervallo di cofideza si ricava dalla differeza tra estremo superiore e estremo iferiore: Lughezza= z σ α ( ) Esempio: Fissato 1 α = 100 = 70 = 50 = 10 Fissato 1 α = 0, 85 1 α = 0, 90 1 α = 0, 95 1 α = 0, 99

26 6 6 Esempio Cosideriamo u azieda che produce fogli di carta per PC mediate u ciclo produttivo che opera iiterrottamete per ogi ciclo di produzioe. I fogli di carta dovrebbero avere lughezza media pari a 33 cmedsqmparia0.06cm.aditervalliregolari, vegooestrattidei campioidifogliperstabilireselalughezzamediaèdi33oppureseè il processo è adato fuori cotrollo. Suppoiamo di estrarre u campioedi100fogliecherisultachelalughezzamediaè3.994cm. Calcolare u itervallo di cofideza di livello 95% per la media della lughezza dei fogli ella Popolazioe. = x = σ = p e r il liv e llo 9 5 % r is u lta c h e z = e d a v r e m o σ X ± Z = ± (1.9 6 ) = ± eoc èmotivodiriteerechecisiaqualcosacheovaelprocesso produttivo µ

27 7 L itervallo cambia se scegliamo u livello di cofideza diverso! Suppoiamo il livello desiderato sia del 99% e calcoliamo il corrispodete itervallo di cofideza: = 100 x = σ = 0.06 per il livello 99% risulta che z=.58 ed avremo σ 0.06 X ± Z = ± (.58) 100 = ± µ U livello di cofideza più elevato ha codotto ad u itervallo più ampio. Poichè 33 è icluso o si ha ache i tal caso motivo di riteere che il processo o fuzioi i modo corretto.

28 8 8 I geere σ di P al pari della media µ è o oto per otteere u itervallo di cofideza della media dobbiamo basarci su etrambe le statistiche campioarie X ed S A questo puto si utilizza u risultato dovuto a W.S. Gosset, uo statistico impiegato presso la Guiess i Irlada agli iizi del secolo che affrotò il problema della stima della media di ua P Normale quado ache σ o è ota. Poiché agli impiegati della fabbrica o era cocesso pubblicare lavori di ricerca utilizzò lo pseudoimo Studet. La disrtibuzioe da lui determiata è da allora ota come t di Studet. µ σ Se la v.c. X N(, ) allora la (statistica) v.c. t( 1) X µ S

29 9 9 Sui gradi di libertà (g.d.l.) Per determiare la variaza campioarias dobbiamo calcolare i = 1 ( X X ) i Ossia bisoga cooscere la media; di cosegueza solo -1 valori campioari soo liberi di variare: ci soo-1 g.d.l. Suppoiamo di avere u campioe di 5 valori che hao media 0. Di quati valori distiti si ha bisogo per ricostruire l itero campioe? = 5 e X = 0 ci dice ache che X = 100 (poichè X / = X ) i= 1 i Quidi se coosciamo solo 4 dei 5 valori, il quito o sarà libero di variare, perché la somma dei 5 elemeti deve essere pari a 100. Per es. se i 4 valori soo pari a 18,4,19,16, il quito potrà essere pari solo a 3 i modo da avere somma 100. i= 1 i

30 30 30 Itervallo di cofideza per la media (variaza igota) Sia X ua v.c. che rappreseta u carattere osservato su ua popolazioe. Suppoiamo che la v.c. sia distribuita come ua Normale co media e variaza igota. Per stimare la variaza della popolazioe si utilizza lo stimatore variaza campioaria corretta: S = 1 1 ( x i x ) i= 1 Pertato la v.c. v.c.t-studet co ( X ) ( S ) T = µ 1 si distribuisce come ua gradi di libertà.

31 31 31 Itervallo di cofideza per la media (variaza igota) Dato u campioe casuale di dimesioe estratto da ua popolazioe Normale co media e variaza etrambe igote, l itervallo di cofideza per la media a livello 1 αè dato da: S X tα, X + tα S La lughezza dell itervallo di cofideza è data i questo caso da: Lughezza= t α ( S ) Nota Al variare dei campioi estratti, la lughezza degli itervalli corrispodeti o rimae costate poiché varia il valore dis.

32 3 Itervallo di cofideza per la media (popolazioi o Normali) Quado o è ota la popolazioe ma il campioe ha ua dimesioe sufficietemete grade, possiamo cosiderare u approssimazioe dell itervallo di cofideza per la media otteuta attraverso il teorema del limite cetrale. Per sufficietemete grade possiamo utilizzare il seguete itervallo di cofideza a livello 1 α : S X zα, X + zα S

33 33 33 Esempio U maager di ua società che vede combustibile per riscaldameto domestico vuole stimare il cosumo medio auo elle case moofamiliari di ua certa area geografica. Si estrae u campioe di 35 case ed il loro cosumo auo risulta:

34 34 Si vuole calcolare u itervallo di cofideza del 95% per la media della popolazioe del cosumo medio di combustibile i u ao. I calcoli dao luogo a x = ed s = 95.7 Per otteere l itervallo di cofideza dobbiamo determiare il valore critico corrispodete ad u area di 0.05 i ciascua coda per 34 g.d.l. : t ( α /, 1) = t(0.05,34 ) Dalla tavola si ricavat=.03. Abbiamo tutti gli igredieti per determiare l itervallo: S 95.7 X ± t( α /, 1) = ± (.03) = ± µ La validità della coclusioe dipede dall assuzioe di Normalità; co u campioe di ampiezza 35 l uso della distribuzioetpuò riteersi appropriato.

35 35 35 Itervallo di cofideza per ua proporzioe (campioi di dimesioe elevata) Quado la popolazioe è riferita a u carattere che può assumere solo due modalità (popolazioe Beroulliaa), siamo iteressati all itervallo di cofideza per ua proporzioe π, ad esempio, la proporzioe di maschi ella popolazioe. Come sappiamo u buo stimatore per π è la media campioaria X. Si ha: E ( X ) = π V ( X ) = π ( 1 π ) ioltre, dal teorema del limite cetrale sappiamo che al crescere della dimesioe campioaria la distribuzioe della X tede alla Normale, pertato Z = X π π ( 1 π ) ~ N ( 0,1)

36 36 Itervallo di cofideza per ua proporzioe (campioi di dimesioe elevata) 1 α = P X P z z α α π π α π ( 1 π ) ( 1 π ) π ( 1 π ) X π X + + z z α Tuttavia gli estremi dell itervallo dipedoo acora dal parametro icogito e duque devoo essere sostituiti co degli stimatori, otteedo il seguete itervallo di cofideza al livello 1 α : = X z X ( 1 X ) X ( 1 X ), X + α α z Ua regola pratica: x 5 e ( 1 x ) 5

37 37 Esempio Si vuole otteere ua stima itervallare della proporzioe di fumatori preseti i ua certa regioe. A tal fie viee osservato u campioe casuale di 10 persoe, di cui 78 soo fumatori. Quidi la stima putuale della proporzioe è data da: x = = 0, 65 quidi l itervallo di cofideza al livello è: ( 0, 35) 0, 65( 0, 35) 0, 65, 65 z0 05, 0,65 + z0, 10 0, 05 = 10 1 α = 0, 95 [ 0, 56, 0,74] I questo caso: x = 10 0, 65 = 78 5 ( 1 x ) = 10 0, 35 = 4 5

38 38 Itervallo di cofideza per la variaza Si cosideri ua popolazioe Normale co media e variaza etrambe igote. Come stimatori putuali dei due parametri si possoo utilizzare: X µ S Si può dimostrare che la v.c. pertato 1 α = = P P χ 1 α σ ( 1) ( 1) S σ ~ χ 1 ( ) ( ) ) 1S χ σ 1S χ α α 1 α E quidi l itervallo per la variaza al livello : σ S χ = 1 α [( ) ( ) ] 1 S χ, 1 S χ α 1 α

39 39 Determiazioe umerosità campioaria Si cosideri ua popolazioe Normale co media igota e variaza ota. Ci si può chiedere quale debba essere la dimesioe campioaria ecessaria ad assicurare che la semi-lughezza dell itervallo o superi u certo valore δ. Dalla formula della lughezza dell itervallo di cofideza si ottiee: σ = z α δ Quado la popolazioe o è Normale o la variaza è igota si utilizza: = z α S δ tuttavia i questo caso è ecessario che la umerosità risultate sia sufficietemete grade (>10)

40 40 Determiazioe umerosità campioaria Nel caso di popolazioe Beroulliaa si ha: dove πˆ = z α ( ) ˆ π 1 ˆ π δ idica il valore della stima prelimiare di π. Se o si hao iformazioi a priori sul parametro icogito si usa fissare valore prudeziale pari a ˆ π = 0,5

41 41 Esempio Si vuole stimare la umerosità ecessaria per otteere u itervallo di cofideza per π (ad es. la proporzioe di persoe propese a dare la prefereza a u certo cadidato) i modo tale che la semi-lughezza dell itervallo di cofideza al livello 0,95 o sia superiore a 0,05. ( 0, 5) 0, 5 = 196, = 384, 16 0,