PROBLEMI DI INFERENZA SU MEDIE
|
|
|
- Cosima Visconti
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 PROBLEMI DI INFERENZA SU MEDIE
2 STIMA PUNTUALE Il problema della stima di ua media si poe allorchè si vuole cooscere, sulla base di osservazioi campioarie, il valore medio μ che u dato carattere preseta ella popolazioe dalla quale il campioe è stato estratto. Il migliore stimatore putuale corretto della media icogita μ di u carattere, secodo la legge ormale ella popolazioe dalla quale è stato estratto il campioe è La variaza di X è σ /. X i ˆ X Ache se il carattere ella popolazioe o si distribuisce ormalmete, la media aritmetica del campioe è sempre uo stimatore corretto i
3 STIMA PUNTUALE
4 Stima per itervallo (s oto) Teedo coto che la v.c. Z X è N (μ, σ /), la v.c. X s ha distribuzioe ormale stadardizzata; è possibile allora, scelto u livello di cofideza α, determiare l itervallo che co probabilità α, iclude la media icogita μ. Pr X z s X z s Questa procedura è idetica per i gradi e piccoli campioi
5 ESEMPIO Le stature dei vetei baresi maschi della classe 979, misurate alla leva, si distribuiscoo secodo la legge ormale. Si voglia determiare l itervallo di cofideza (-α = 0,95) della media, sapedo che lo scarto quadratico medio della popolazioe è σ = 6,5. Si sceglie u campioe di umerosità =6 e utilizzado lo stimatore MEDIA otteiamo : x 70cm. Per cui 0,95 Pr X z s X s Pr 6,5 6,5 70,96 70,96 6 Pr66,8 73,8 z 6 L itervallo di cofideza cercato è 66,8 73,8, il quale, co probabilità pari al 95%, potrebbe essere uo di quelli che icludoo il parametro igoto μ.
6 ALCUNI VALORI PIU UTILIZZATI DELL INTEGRALE DELLA CURVA NORMALE STANDARDIZZATA Livello di cofideza Livello di sigificatività α α Valori soglia di 0,50 0,50 0,674 0,90 0,0,645 0,95 0,05,960 0,98 0,0,36 0,99 0,0,576 0,998 0,00 3,090 0,999 0,00 3,9 0,9998 0,000 3,79 0,9999 0,000 3,89 z α
7 Stima per itervallo (s o oto) I geere lo scarto quadratico medio della popolazioe s, al pari della media μ, o è oto. Pertato, per otteere u itervallo di cofideza per la media della popolazioe possiamo basarci sulle sole statistiche campioarie X e S. Se la variabile casuale X ha ua distribuzioe ormale allora la statistica X t S ha ua distribuzioe t di Studet co ( ) gradi di libertà. Se variabile casuale X o ha ua distribuzioe ormale la statistica t ha comuque approssimativamete ua distribuzioe t di Studet i virtù del Teorema del Limite Cetrale.
8 Variaza campioaria La variaza campioaria è espressa da S ( X i i X ) ( ). Si può dimostrare che E( S ) s, dove s Var ( S ) [ (idice di curtosi). 4 ( )], è ua costate della popolazioe
9 Stima per itervallo (s o oto) La distribuzioe t di Studet ha ua forma molto simile a quella della ormale stadardizzata. Tuttavia il grafico risulta più appiattito e l area sottesa sulle code è maggiore di quella della ormale a causa del fatto che s o è oto e viee stimato da S. L icertezza su s causa la maggior variabilità di t. All aumetare dei gradi di libertà, la distribuzioe t si avvicia progressivamete alla distribuzioe ormale fio a che le due distribuzioi risultao virtualmete idetiche.
10 Stima per itervallo (s o oto) I valori critici della distribuzioe t di Studet corrispodeti agli appropriati gradi di libertà si ottegoo dalla tavola della distribuzioe t. Ogi coloa è relativa ad u area a destra della distribuzioe t.
11 Per la determiazioe dell itervallo di cofideza di μ si utilizzao, così come il caso della ormale stadardizzata, le tavole della T di Studet.
12 Stima per itervallo (s o oto) Il sigificato dei gradi di libertà è legato al fatto che per calcolare S è ecessario calcolare prevetivamete X. Quidi, dato il valore di X, solo osservazioi campioarie soo libere di variare: ci soo quidi gradi di libertà. L itervallo di cofideza all ( α)% della media quado σ o è oto è defiito ell equazioe (8.). Itervallo di cofideza per la media (σ o oto) X t S (8.) dove t ;α/ è il valore critico a cui corrispode u area cumulata pari a ( α/) della distribuzioe t di Studet co ( ) gradi di libertà. X t,, S
13 Stima per itervallo(s o oto) Esempio: ua azieda maifatturiera è iteressata a stimare la forza ecessaria a rompere u isolatore termico di propria produzioe. A questo scopo viee codotto u esperimeto dove viee misurato il peso di rottura per u campioe di 30 isolatori: Dai dati campioari si ricava che X =73.4 e S= Dalla tavola E.3 si ottiee il valore critico t 9;0.05 =.045, quidi u itervallo di cofideza al 95% per μ è dato da X t S ; / / = 73.4±(.045) 89.55/ 30 = 73.4±33.44 perciò si ottiee μ
14 Stima per itervallo (s o oto) Possiamo quidi cocludere co u livello di cofideza del 95% che la forza media ecessaria per rompere u isolatore è compresa tra e La validità dell itervallo dipede dall assuzioe di ormalità per la forza, ache se per campioi di umerosità elevata, questa ipotesi o è così strigete.
15 Stima per itervallo Variaza o ota Gradi campioi Se la variaza o è ota, ma la dimesioe campioaria è sufficietemete grade, aziché la v.c. T possiamo utilizzare la v.c. Z Pr X z S X z S
16 Determiazioe dell ampiezza campioaria Per determiare l ampiezza campioaria ecessaria per stimare la media dobbiamo cosiderare l imprecisioe ella stima dovuta alla variabilità campioaria che siamo disposti a tollerare e il livello di cofideza desiderato: X z s e La differeza tra la media campioaria e la media della popolazioe, idicata co e, prede il ome di errore di campioameto. Risolvedo per si ottiee l ampiezza campioaria ecessaria per determiare u itervallo di cofideza per la media co errore campioario iferiore ad e: X z s e
17 Determiazioe dell ampiezza campioaria Per determiare l ampiezza del campioe dobbiamo quidi disporre di tre elemeti:.il livello di cofideza desiderato, che determia il valore di Z, il valore critico dalla distribuzioe ormale stadardizzata;.l errore campioario e accettabile; 3.lo scarto quadratico medio σ. E importate sottolieare che di tali iformazioi avremo bisogo prima di estrarre il campioe. Nella pratica, può o essere sempre facile determiare queste tre quatità.
18 Esempio. La XYZ è u azieda di vedita all igrosso di prodotti alimetari. Il revisore dell azieda è resposabile dell accuratezza dell ivetario e dell accuratezza delle registrazioi delle fatture. Ovviamete, sarebbe possibile teere sotto il cotrollo questi aspetti aalizzado ad esempio tutte le fatture. Tuttavia, è evidete che u cotrollo di questo tipo sarebbe eccessivamete oeroso sia i termii di costi che di tempo. U approccio più efficiete potrebbe utilizzare teciche ifereziali per trarre coclusioi sulla popolazioe a partire dalle osservazioi coteute i u campioe. Per questo motivo, alla fie di ogi mese, viee estratto u campioe casuale di fatture per determiare l ammotare medio registrato elle fatture. Quato soo accurati i risultati campioari e come possoo essere utilizzati? Il campioe è abbastaza ampio da cosetire di otteere iformazioi che ci iteressao co la precisioe desiderata?
19 Esempio. Suppoete di estrarre u campioe casuale di 00 fatture di vedita dalla popolazioe delle fatture di u mese e di osservare u ammotare medio pari a 00,45 euro, co uo scarto quadratico medio s=5,6 euro. Se vogliamo otteere u itervallo di cofideza al 95% per la media della popolazioe dobbiamo utilizzare la formula: Pr X z S X z S Pr 00,45,96 5,6 00,45,96 5,6 00 Pr 95,43 05,47 0, ,95
20 Esempio. Adesso ci chiediamo, come è stata determiata l ampiezza campioaria? Ci soo ampiezze campioarie più opportue di questa? Suppoiamo che, dopo alcue cosultazioi co i fuzioari della società, si stabilisca di essere disposti a tollerare u errore campioario o superiore a 5 euro per u livello di cofideza del 95%. Si osserva ioltre che lo scarto quadratico medio delle vedite è stato pari a 5 euro per u lugo periodo. Quidi, poedo: e = 5; σ = 5 ; Z =,96 (al livello di cofideza pari al 95%) otteiamo z s, e 96,4 Quidi = 97: l ampiezza campioaria scelta, 00, è vicia a quella ecessaria per soddisfare le richieste della società co riferimeto all errore campioario tollerato, al livello di cofideza fissato e sulla base della stima dello scarto quadratico medio dispoibile.
21 VERIFICA DELLE IPOTESI SULLA MEDIA DELLA POPOLAZIONE (σ oto) SISTEMA D IPOTESI Caso i cui la variaza della popolazioe è ota (gradi e piccoli campioi) Il TEST utilizzato è Fissato α (LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA ) si accetterà l ipotesi ulla se z z α/ el caso di ipotesi alterativa bidirezioale; z - z α el caso di ipotesi alterativa uidirezioale siistra; z z α el caso di ipotesi alterativa uidirezioale destra : : oppure : : oppure : : H H H H H H X Z s
22 IPOTESI ALTERNATIVA BIDIREZIONALE
23
24 ALCUNI VALORI PIU UTILIZZATI DELL INTEGRALE DELLA CURVA NORMALE STANDARDIZZATA Livello di cofideza Livello di sigificatività α α Valori soglia di 0,50 0,50 0,674 0,90 0,0,645 0,95 0,05,960 0,98 0,0,36 0,99 0,0,576 0,998 0,00 3,090 0,999 0,00 3,9 0,9998 0,000 3,79 0,9999 0,000 3,89 z α
25
26 IPOTESI ALTERNATIVA UNIDIREZIONALE
27 ESEMPIO Il salario medio orario dei lavoratori di u particolare settore idustriale è di 5,0 co u σ di 0,50. I lavoratori di ua particolare ditta, i base ad u campioe di 30 lavoratori, percepiscoo 4,50 all ora. I lavoratori di quella ditta riteevao di essere sottopagati. Verifichiamo: ) SCRIVERE LE IPOTESI H 0 : μ = 5,0 il salario medio o si discosta da quello del settore. H : μ < 5,0 il salario medio è iferiore a quello di settore. ) TROVARE LA STATISTICA PER IL CAMPIONE È il valore medio campioario del salario della ditta: X = 4,50 3) CALCOLARE IL TEST STATISTICO Trattadosi di u test a ua coda, se il livello di sigificatività voluto è acora del 5 %, dalle tavole della ormale si trova che il 5% delle osservazioi si trova al di sopra del valore stadardizzato,645 (coda a destra) o al di sotto di,645 (coda a siistra). Poiché l ipotesi alterativa mi dice che i loro salari soo iferiori alla media azioale, cosidero solo la coda a siistra.
28 Z x s 4,50 5,0 0, ,57 4) CONFRONTARE QUESTO VALORE CON QUELLI CRITICI Il test statistico Z è duque - 6,57. Cade quidi ella zoa di rifiuto dell ipotesi ulla H 0. Cioè il salario medio della ditta è sigificativamete iferiore a quello medio azioale.
29
30
31 3) CALCOLARE IL TEST STATISTICO Trattadosi di u test a ua coda, se il livello di sigificatività voluto è acora del 5 %, dalle tavole della ormale si trova che il 5% delle osservazioi si trova al di sopra del valore stadardizzato,645 (coda a destra) o al di sotto di,645 (coda a siistra). Poiché l ipotesi alterativa mi dice di cotrollare che il umero delle bibite sia iferiore a 35, cosidero solo la coda a siistra. Z x s , 4) CONFRONTARE QUESTO VALORE CON QUELLI CRITICI Il test statistico Z è duque -,. Cade quidi ella zoa di accettazioe dell ipotesi ulla H 0. Quidi, si decide di lasciare il distributore.
32 VERIFICA DELLE IPOTESI SULLA MEDIA DELLA POPOLAZIONE (σ igoto) SISTEMA D IPOTESI Caso i cui la variaza della popolazioe è igota (piccoli campioi) Il TEST utilizzato è Fissato α (LIVELLO DI SIGNIFICATIVITA ) si accetterà l ipotesi ulla se t t -,α/ el caso di ipotesi alterativa bidirezioale; t - t -,α/ el caso di ipotesi alterativa uidirezioale siistra; t t -,α/ el caso di ipotesi alterativa uidirezioale destra : : oppure : : oppure : : H H H H H H s X T
33 Il test T Il test t è molto simile al test Z, ma usa la distribuzioe t ivece della ormale. È u tipo di distribuzioe che ha ua forma simile (a campaa) ma è adatta per campioi piccoli. L altezza della campaa della distribuzioe t varia a secoda del umero di osservazioi: tato più è piccole tato più la campaa è bassa e viceversa. Quado ³ 30 la distribuzioe t approssima molto bee quella Normale.
34
35 Procedura per il test T A.Va calcolata la statistica usado la formula del test T: T X s Dove, abbiamo già visto s x i x B. Quidi vao idividuati i valori critici che separao la zoa di rifiuto dalla zoa di accettazioe. Per trovarli si deve ricorrere alle tavole della distribuzioe t. Questa è u diversa da quella della Normale. È ecessario cooscere i gradi di libertà: questi dipedoo dalla dimesioe del campioe. I gradi di liberta rappresetao il umero di uità di iformazioi idipedeti i u campioe attieti la stima di u parametro. I gradi di libertà soo pari alla umerosità campioaria meo il umero di parametri oti della popolazioe.
36
37 La coloa a siistra della tavola della distribuzioe t cotiee il umero di gradi di libertà, metre le restati coloe dao i valori critici per i vari livelli di sigificatività (la proporzioe dell area che sta su ua delle due code).
38 ESEMPIO Dai dati azioali il valore medio delle spese settimaali di ua famiglia formata da quattro persoe, risulta essere di 58. Soo state itervistate 6 famiglie della zoa trovado che il loro cosumo medio è di 49 co uo sqm di 33. Al livello del 5% di sigificatività, la loro spesa media è sigificativamete diversa da quella azioale? No si coosce lo σ della popolazioe e il campioe è < 30. Quidi usiamo u test t. ) SCRIVERE LE IPOTESI H 0 : µ = 58 (ipotesi ulla, il cosumo medio è i liea co quello azioale) H : µ 58 (ipotesi alterativa, il cosumo medio o è i liea co quello azioale) ) TROVARE LA STATISTICA PER IL CAMPIONE cosumo medio delle famiglie campioe = 49 (media campioaria) co uo SQM di 33.
39 3) CALCOLARE IL TEST STATISTICO t Si tratta di u test a due code: T X s 33 9,09 4) CONFRONTARE QUESTO VALORE CON QUELLI CRITICI Vao trovati i puti critici: la umerosità del campioe è 6. I gradi di libertà soo 6 meo l uico parametro oto sulla popolazioe che è la media: due i gradi di libertà soo 5. Al livello di sigificatività del 5% i puti critici si trovao a,34 e,34. il test statistico t si trova ella zoa di accettazioe dell ipotesi ulla: la spesa media di questo campioe o è sigificativamete diversa da quella azioale.
40 ESEMPIO U gruppo di 9 persoe che aspira ad u assuzioe presso u certa ditta, deve sottoporsi ad u test psicometrico. I loro puteggi soo: Si sa che il puteggio medio di tutti i test precedeti è 6. Si vuole verificare se questo gruppo di persoe ha u puteggio medio superiore a questa media. ) SCRIVERE LE IPOTESI H 0 : µ = 6 (ipotesi ulla, la resa del gruppo è la stessa della media) H : µ > 6 (ipotesi alterativa, la loro resa è maggiore) ) TROVARE LA STATISTICA PER IL CAMPIONE Si tratta di calcolare media e sqm dei dati dispoibili. Il puteggio medio è x = 66,33 e s = 4,03 (si ricordi che <30). 3) CALCOLARE IL TEST STATISTICO t Si tratta di u test a ua coda: T X 66,33 6 s 4,03 3,7
41 4) CONFRONTARE QUESTO VALORE CON QUELLI CRITICI Avedo osservazioi, i gradi di libertà soo (-). A livello di sigificatività del 5% (0,05) e trattadosi di u test a ua coda, il puto critico il puto critico si trova a,7959 duque il test t cade ella zoa di rifiuto dell ipotesi ulla. La resa del gruppo è sigificativamete superiore rispetto a quella della media
42 CONFRONTO FRA LE MEDIE DI DUE CAMPIONI Nei problemi co due campioi l obiettivo dell ifereza è cofrotare le risposte ei due trattameti o cofrotare le caratteristiche di due popolazioi. CONDIZIONI PER IL CONFRONTO TRA DUE MEDIE Dobbiamo avere due campioi casuali semplici selezioati da due popolazioi differeti. I campioi devoo essere idipedeti; vale a dire che o deve esserci alcu tipo di associazioe fra le uità del primo e del secodo campioe. Misuriamo la stessa variabile per etrambi i campioi. Etrambe le popolazioi soo distribuite ormalmete. Le medie e la deviazioe stadard delle popolazioi soo icogite. I pratica, è sufficiete che le distribuzioi abbiao ua forma simile e che i dati o presetio degli outlier eccessivi
43 CONFRONTO FRA LE MEDIE DI DUE CAMPIONI SIMBOLOGIA I POPOLAZIONE II POPOLAZIONE Variabile X X Media µ µ Deviazioe stadard σ σ Numerosità campioaria Media campioaria X X Dev.std. campioaria s s
44 SISTEMA D IPOTESI Caso i cui le variaze delle popolazioi soo igote ma supposte uguali: Essedo igoto il valore della variaza comue, si procede alla stima di questa co la media aritmetica delle due variaze campioarie poderata co i rispettivi gradi di libertà. Il TEST utilizzato è Se il risultato del test è all itero dell itervallo: (soglie della distribuzioe T di Studet) si accetta H o, se estero si rifiuta S x x T s s s : : oppure : : oppure : : H H H H H H ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x S S S i i i i ; ; ; t t
45 Esempio Due esperimeti di u dato prodotto agricolo, su sei e otto zoe sperimetali ha dato i segueti risultati (ql per ettaro): I II Cosiderado le suddette osservazioi come due campioi casuali proveieti da due popolazioi ormali, si vuole cofrotare il redimeto medio dei due esperimeti. Numerosità campioaria = 6 = 8 Media campioaria = 0 = Variaza campioaria s =5,60 s =5,4 x x Il TEST utilizzato è T S x x 0 5,33 6 8,60 Nelle Tavole della T di Studet co gdl e α=0,05, si legge il valore t=,79: quidi l itervallo è -,79 e +,79. Essedo il risultato del test itero a detto itervallo, possiamo affermare che la differeza riscotrata tra i due campioi è di atura casuale a livello del 5%.
46 L approccio del P-VALUE Esiste u altro approccio alla verifica di ipotesi: l approccio del p- value. Il p-value rappreseta la probabilità di osservare u valore della statistica test uguale o più estremo del valore che si calcola a partire dal campioe, quado l ipotesi H 0 e vera. U p-value basso porta a rifiutare l ipotesi ulla H 0. Il p-value e ache chiamato livello di sigificatività osservato, i quato coicide co il più piccolo livello di sigificatività i corrispodeza del quale H0 e rifiutata. I base all approccio del p-value, la regola decisioale per rifiutare H0 e la seguete: Se il p-value e α, l ipotesi ulla o e rifiutata. Se il p-value e < α, l ipotesi ulla e rifiutata.
47 L approccio del P-VALUE Toriamo acora ua volta all esempio relativo alla produzioe delle scatole di cereali. Nel verificare se il peso medio dei cereali coteuti elle scatole e uguale a 368 grammi, abbiamo otteuto u valore di Z uguale a.50 e o abbiamo rifiutato l ipotesi, perche.50 e maggiore del valore critico più piccolo.96 e miore di quello più grade Risolviamo, ora, questo problema di verifica di ipotesi facedo ricorso all approccio del p-value. Per questo test a due code, dobbiamo, i base alla defiizioe del p-value, calcolare la probabilità di osservare u valore della statistica test uguale o più estremo di.50. Si tratta, più precisamete, di calcolare la probabilità che Z assuma u valore maggiore di.50 oppure miore di.50. I base alla Tavola della CURVA NORMALE STANDARDIZZATA, la probabilità che Z assuma u valore miore di.50 e , metre la probabilità che Z assuma u valore miore di +.50 e 0.933, quidi la probabilità che Z assuma u valore maggiore di +.50 e = Pertato il p-value per questo test a due code e =
48 rtato il p-value L approccio per questo del test P-VALUE a due code è =
Statistica. Lezione 5
Uiversità degli Studi del Piemote Orietale Corso di Laurea i Ifermieristica Corso itegrato i Scieze della Prevezioe e dei Servizi saitari Statistica Lezioe 5 a.a 2011-2012 Dott.ssa Daiela Ferrate daiela.ferrate@med.uipm.it
ALCUNI ESERCIZI SUI TEST DI IPOTESI PARAMETRICHE PARTE 1
ALCUNI ESERCIZI SUI TEST DI IPOTESI PARAMETRICHE PARTE ESERCIZIO. Si vuole verificare l ipotesi, a livello di sigificatività α, che la media μ di ua variabile aleatoria X abbia u valore fissato μ. Si effettuao
Università degli Studi di Cassino, Anno accademico Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno
Uiversità degli Studi di Cassio, Ao accademico 004-005 Corso di Statistica, Prof.. uro Esercitazioe del 01/03/005 dott. Claudio Coversao Esercizio 1 Si cosideri il seguete campioe casuale semplice estratto
Costo manutenzione (euro)
Esercitazioe 05 maggio 016 ESERCIZIO 1 Ua società di servizi possiede u parco auto di diverse età. I dirigeti ritegoo che il costo degli iterveti di mautezioe per le auto più vecchie sia geeralmete più
Campionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento )
Campioameto casuale da popolazioe fiita (caso seza reiserimeto ) Suppoiamo di avere ua popolazioe di idividui e di estrarre u campioe di uità (co < ) Suppoiamo di studiare il carattere X che assume i valori
Titolo della lezione. Dal campione alla popolazione: stima puntuale e per intervalli
Titolo della lezioe Dal campioe alla popolazioe: stima putuale e per itervalli Itroduzioe Itrodurre il cocetto di itervallo di cofideza Stima di parametri per piccoli e gradi campioi Stimare la proporzioe
Corso di Statistica. Test per differenza tra medie e proporzioni. Prof.ssa T. Laureti a.a
Corso di Statistica Test per differeza tra medie e proporzioi Prof.ssa T. Laureti a.a. -3 Corso di Statistica a.a. -3 DEIM, Uiv.TUSCIA - Prof.ssa Laureti Test basati su campioi idipedeti proveieti da due
STATISTICA INFERENZIALE
STATISTICA INFERENZIALE 6 INFERENZA STATISTICA Isieme di metodi che cercao di raggiugere coclusioi sulla popolazioe, sulla base delle iformazioi coteute i u campioe estratto da quella popolazioe. INFERENZA
Stimatori, stima puntuale e intervalli di confidenza Statistica L-33 prof. Pellegrini
Lezioe 3 Stimatori, stima putuale e itervalli di cofideza Statistica L-33 prof. Pellegrii Oggi studiamo le proprietà della stima che ricaviamo da u campioe. Si chiama teoria della stima. La stima statistica
Statistica. Esercitazione 12. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice
Esercitazioe 12 Alfoso Iodice D Eza iodicede@uicas.it Uiversità degli studi di Cassio () 1 / 15 Outlie 1 () 2 / 15 Outlie 1 2 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 4 () 2 / 15 Outlie 1 2 3 4 5
Intervalli di Fiducia
di Fiducia Itroduzioe per la media Caso variaza ota per la media Caso variaza o ota per i coefficieti di regressioe per la risposta media i per i coefficieti i di regressioe multilieare - Media aritmetica
n=400 X= Km; s cor =9000 Km Livello di confidenza (1-α)=0,95 z(0,05)=1,96
STATISTICA A K (60 ore Marco Riai mriai@uipr.it http://www.riai.it : stima della percorreza media delle vetture diesel di u certo modello al primo guasto 400 X34.000 Km; s cor 9000 Km Livello di cofideza
Esercitazione 6 del corso di Statistica 2
Esercitazioe 6 del corso di Statistica Dott.ssa Paola Costatii 7 marzo Decisioe vera falsa è respita Errore di I tipo Decisioe corretta o è respita Probabilità = Decisioe corretta Probabilità = - Probabilità
Esercitazioni di Statistica
Esercitazioi di Statistica Itervalli di cofideza Prof. Livia De Giovai statistica@dis.uiroma1.it Esercizio 1 La fabbrica A produce matite colorate. Ua prova su 100 matite scelte a caso ha idicato u peso
Argomenti trattati: Stima puntuale e stimatore Proprietà degli stimatori Stima puntuale della media della
1 La stima putuale Argometi trattati: Stima putuale e stimatore Proprietà degli stimatori Stima putuale della media della popolazioe e sua distribuzioe Stima putuale di ua proporzioe e sua distribuzioe
PROBLEMI DI INFERENZA SU PERCENTUALI
ROBLEMI DI INFERENZA SU ERCENTUALI STIMA UNTUALE Il roblema della stima di ua ercetuale si oe allorchè si vuole cooscere, sulla base di osservazioi camioarie, la frazioe π di ua oolazioe N che ossiede
Politecnico di Milano - Anno Accademico Statistica Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo
Politecico di Milao - Ao Accademico 010-011 Statistica 086449 Docete: Alessadra Guglielmi Esercitatore: Stefao Baraldo Esercitazioe 8 14 Giugo 011 Esercizio 1. Sia X ua popolazioe distribuita secodo ua
Quesito 1. I seguenti dati si riferiscono ai tempi di reazione motori a uno stimolo luminoso, espressi in decimi di secondo, di un gruppo di piloti:
Quesito. I segueti dati si riferiscoo ai tempi di reazioe motori a uo stimolo lumioso, espressi i decimi di secodo, di u gruppo di piloti: 2, 6 3, 8 4, 8 5, 8 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2,
Titolo della lezione. Campionamento e Distribuzioni Campionarie
Titolo della lezioe Campioameto e Distribuzioi Campioarie Itroduzioe Itrodurre le idagii campioarie Aalizzare il le teciche di costruzioe dei campioi e di rilevazioe Sviluppare il cocetto di distribuzioe
Appunti di STATISTICA
Apputi di STATISTICA! Distribuzioe espoeziale X v.a. cotiua, R X = (0,+ ) Si dice che X ha distribuzioe espoeziale a parametro f X = >0 E (X) = 1/ Var (X) = 1/ e - x x>0 0 altrove (umero reale) se la p.d.f.
Popolazione e Campione
Popolazioe e Campioe POPOLAZIONE: Isieme di tutte le iformazioi sul feomeo oggetto di studio Viee descritta mediate ua variabile casuale X: X ~ f ( x; ϑ) θ = costate icogita Qual è il valore di θ? E verosimile
Università di Napoli Federico II, DISES, A.a , CLEC, Corso di Statistica (L-Z) Lezione 22 La verifica delle ipotesi. Corso di Statistica (L-Z)
Uiversità di Napoli Federico II, DISES, A.a. 215-16, CLEC, Corso di Statistica (L-Z) Corso di laurea i Ecoomia e Commercio (CLEC) Ao accademico 215-16 Corso di Statistica (L-Z) Maria Mario Lezioe: 22 Argometo:
Esercitazioni del corso: ANALISI MULTIVARIATA
A. A. 9 1 Esercitazioi del corso: ANALISI MULTIVARIATA Isabella Romeo: i.romeo@campus.uimib.it Sommario Esercitazioe 4: Verifica d Ipotesi Test Z e test T Test d Idipedeza Aalisi Multivariata a. a. 9-1
6 Stima di media e varianza, e intervalli di confidenza
Si può mostrare che, per ogi fissato α, t,α z α, e t,α z α per + I pratica t,α e z α soo idistiguibili per 200. 6 Stima di media e variaza, e itervalli di cofideza Lo scopo esseziale della Statistica ifereziale
NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI
NOTE DALLE LEZIONI DI TATITICA MEDICA ED EERCIZI I METODI PER IL CONFRONTO DI MEDIE (Campioi idipedeti) IL PROBLEMA oo stati rilevati i dati relativi alla frequeza cardiaca (misurata i battiti al miuto)
Anemia. Anemia - percentuali
1 emia emoglobia 1-13 Data la distribuzioe dell emoglobia i u gruppo di pazieti maschi sottoposti a trattameto: - Circa u paziete su 3 era fortemete aemico (emogl. meo di 1) - La mediaa era fra 13 e 14
VERIFICA DI IPOTESI SULLA DIFFERENZA TRA DUE MEDIE. Psicometria 1 - Lezione 12 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.
VERIFICA DI IPOTESI SULLA DIFFERENZA TRA DUE MEDIE Psicometria - Lezioe Lucidi presetati a lezioe AA 000/00 dott. Corrado Caudek Il caso più comue di disego sperimetale è quello i cui i soggetti vegoo
TEST STATISTICI. indica l ipotesi che il parametro della distribuzione di una variabile assume il valore 0
TEST STATISTICI I dati campioari possoo essere utilizzati per verificare se ua certa ipotesi su ua caratteristica della popolazioe può essere riteuta verosimile o meo. Co il termie ipotesi statistica si
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO - BICOCCA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO - BICOCCA FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a. 9 Esame del -6- Statistica ESERCIZIO Relazioi tra Variabili (totale puti: ) Ad ua riuioe del circolo Amati dell acquario, i soci preseti
Inferenza statistica. Popolazione. Camp. Statistiche campionarie basate sulle osservazioni del campione. Estrazione casuale. Parametro e statistica
6/0/0 Corso di Statistica per l impresa Prof. A. D Agostio Ifereza statistica Per fare ifereza statistica si utilizzao le iformazioi raccolte su u campioe per cooscere parametri icogiti della popolazioe
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA. Prof.ssa Donatella Siepi tel:
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA Prof.ssa Doatella Siepi doatella.siepi@uipg.it tel: 075 5853525 05 dicembre 2014 6 LEZIONE Statistica descrittiva STATISTICA DESCRITTIVA Rilevazioe dei
Stima della media di una variabile X definita su una popolazione finita
Stima della media di ua variabile X defiita su ua popolazioe fiita otazioi: popolazioe, campioe e strati Popolazioe. umerosità popolazioe; Ω {ω,..., ω } popolazioe X variabile aleatoria defiita sulla popolazioe
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 3 Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e 3/x, x > f Y (y) =, x, co h opportua costate positiva.
Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Lucio Demeio Dipartimeto di Igegeria Idustriale e Scieze Matematiche Uiversità Politecica delle Marche 1. Esercizio (31 marzo 2012. 1). Al
APPROSSIMAZIONE NORMALE. 1. Si tirano 300 dadi non truccati. Sia X la somma dei punteggi. Calcolare approssimativamente le probabilità seguenti.
AROSSIMAZIONE NORMALE 1. Si tirao 300 dadi o truccati. Sia X la somma dei puteggi. Calcolare approssimativamete le probabilità segueti. (a (X 1000; (b (1000 X 1100. 2. La quatità di eve, che cade al gioro,i
Argomenti trattati: Capitolo 12 libro di testo. Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali A. Di Ciaccio, S.
1 GLI INTERVALLI DI CONFIDENZA Argometi trattati: Stima per itervallo Aalogie tra la stima putuale e per itervallo Itervallo di cofideza per la media Itervallo di cofideza per la proporzioe Itervallo di
INFERENZA o STATISTICA INFERENTE
INFERENZA o STATISTICA INFERENTE Le iformazioi sui parametri della popolazioe si possoo otteere sia mediate ua rilevazioe totale (o rilevazioe cesuaria) sia mediate ua rilevazioe parziale (o rilevazioe
Alcuni concetti di statistica: medie, varianze, covarianze e regressioni
A Alcui cocetti di statistica: medie, variaze, covariaze e regressioi Esistoo svariati modi per presetare gradi quatità di dati. Ua possibilità è presetare la cosiddetta distribuzioe, raggruppare cioè
Confronto di due misure Campioni indipendenti
Statistica7 /11/015 Cofroto di due misure Campioi idipedeti o meglio.. rispodere al quesito Due serie di misure soo state estratte dalla stessa popolazioe (popolazioe comue o idetica) o soo state estratte
Intervalli di confidenza
Itervalli di cofideza Fracesco Lagoa Itroduzioe Questa dispesa riassume schematicamete i pricipali risultati discussi a lezioe sulla costruzioe di itervalli di cofideza. Itervalli di cofideza per la media
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO - BICOCCA FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a Esame del STATISTICA
FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA a. a. 011 01 Esame del 11-01-01 STATISTICA ESERCIZIO 1 U idagie sulle abitudii alimetari dei requetatori di u cetro itess ha moitorato il umero di caè cosumati i u gioro ormale e
Soluzioni. Se l interallo avesse livello di confidenza 99%, al posto di 1,96 avremmo
Esercizio 1 Soluzioi 1. Ricordiamo che l ampiezza di u itervallo di cofideza è fuzioe della umerosità campioaria edellivellodicofideza. Aparità di tutto il resto, l ampiezza dimiuisce al crescere di eaumetaal
(sqm ottenuto dividendo per n-1 ) =
STATISTICA PER L ANALISI ORGANIZZATIVA AA 006-007 Per casa Soluzioi Esercizio.. Durate ua ricerca soo state rilevate le lughezze di tre differeti variabili ecoomiche per ciascuo di 50 paesi i via di sviluppo.
LE MISURE DI TENDENZA CENTRALE
STATISTICA DESCRITTIVA LE MISURE DI TENDENZA CENTRALE http://www.biostatistica.uich.itit OBIETTIVO Esempio: Nella tabella seguete soo riportati i valori del tasso glicemico rilevati su 0 pazieti: Idividuare
STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI
Leoardo Latella STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Il calcolo delle probabilità studia gli eveti casuali probabili, cioè quegli eveti che possoo o o possoo verificarsi e che dipedoo uicamete dal caso. Tale studio
Legge Gamma e Legge Chi quadro
Legge Gamma e Legge Chi quadro Sia G ua variabile aleatoria di legge Gamma di parametri a e λ reali positivi, G Γ(a, λ, la cui fuzioe di desità è: f G (x = λa Γ(a e λx x a per x 0 dove Γ( è la fuzioe Gamma
STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 5
STATISTICA ESERCITAZIONE 5 Dott. Giuseppe Padolfo 28 Ottobre 203 VARIABILITA IN TERMINI DI DISPERSIONE DA UN CENTRO Cetro Me o μ La dispersioe viee misurata come sitesi delle distaze tra le uità statistiche
INTRODUZIONE ALLA INFERENZA STATISTICA
INTRODUZIONE ALLA INFERENZA STATISTICA 1) CONCETTO DI INFERENZA STATISTICA E SCOPI : L ifereza statistica è il procedimeto iduttivo che, avvaledosi del calcolo delle probabilità, cosete di estedere all
Lezione III: Variabilità. Misure di dispersione o di variabilità. Prof. Enzo Ballone. Lezione 3a- Misure di dispersione o di variabilità
Lezioe III: Variabilità Cattedra di Biostatistica Dipartimeto di Scieze Biomediche, Uiversità degli Studi G. d Auzio di Chieti Pescara Prof. Ezo Balloe Lezioe a- Misure di dispersioe o di variabilità Misure
DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE
DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA
Lezione 5. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 5. A. Iodice.
La Statistica Alfoso Iodice D Eza iodicede@uicas.it Uiversità degli studi di Cassio () Statistica 1 / 26 Outlie La 1 2 La 3 4 () Statistica 2 / 26 Trimmed mea - La aritmetica risete della preseza di valori
PREMESSA. = η valore medio della popolazione = σ deviazione standard della popolazione. Descrizione parametrica di una popolazione
PREMESSA Descrizioe parametrica di ua popolazioe Sappiamo che u famiglia parametrica di fuzioi desità di probabilità è defiita da uo o più parametri Θ = {θ, θ,., θ }. Ad esempio, la d.d.p. di tipo espoeziale
Esercitazione parte 1 Medie e medie per dati raggruppati. Esercitazione parte 2 - Medie per dati raggruppati
Esercitazioe parte Medie e medie per dati raggruppati el file dati0.xls soo coteute alcue distribuzioi di dati. Calcolare di ogua. Media aritmetica o Mostrare, co u calcolo automatico, che la somma degli
Quartili. Esempio Q 3. Me Q 1. Distribuzione unitaria degli affitti settimanali in euro pagati da 19 studenti U.S. A G I F B D L H E M C
Quartili Primo quartile Q 1 : modalità che ella graduatoria (crescete o decrescete) bipartisce il 50% delle osservazioi co modalità più piccole o al più uguali alla Me Terzo quartile Q 3 : modalità che
Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi
1 Uiversità di Veezia Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romaazzi 12 Maggio 2014 Cogome e Nome..................................... N. Matricola.......... Valutazioe Il puteggio massimo teorico di questa
STATISTICA A K (63 ore)
STATISTICA A K (63 ore) Marco Riai mriai@uipr.it http://www.riai.it : stima della percorreza media delle vetture diesel di u certo modello al primo guasto =400 X =34.000 Km; s cor =9000 Km Calcolare l
Quartili. Esempio Q 3 Q 1. Distribuzione unitaria degli affitti settimanali in euro pagati da 19 studenti U.S. A G I F B D L H E M C
Quartili Primo quartile Q 1 : modalità che ella graduatoria (crescete o decrescete) bipartisce il 50% delle osservazioi co modalità più piccole o al più uguali alla Me Terzo quartile Q 3 : modalità che
ESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare
SVOLGIMENTO. a) 1) Ipotesi nulla ) Ipotesi alternativa 2. 3) Statistica test. Statistica test ( n 1 ) s. 4) Regola di decisione. α=
ESERCIZIO 7. U uovo modello di termotato per frigorifero dovrebbe aicurare, tado alle pecifiche teciche, ua miore variabilità ella temperatura del frigo ripetto ai modelli della cocorreza. I particolare
Esercitazioni di Statistica Dott. Danilo Alunni Fegatelli
Esercitazioi di Statistica Dott. Dailo Alui Fegatelli dailo.aluifegatelli@uiroma.it Esercizio. Su 0 idividui soo stati rilevati la variabile X (geere) e (umero di auto possedute) X F F M F M F F M F M
CAPITOLO 2 Semplici esperimenti comparativi
Douglas C. Motgomer Progettazioe e aalisi degli esperimeti 006 McGraw-Hill CAPITOLO emplici esperimeti comparativi Metodi statistici e probabilistici per l igegeria Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A.
Approfondimento 2.1 Scaling degli stimoli mediante il metodo del confronto a coppie
Approfodimeto 2.1 Scalig degli stimoli mediate il metodo del cofroto a coppie Il metodo del cofroto a coppie di Thurstoe (Thurstoe, 1927) si basa sull assuzioe che la valutazioe di u oggetto o di uo stimolo
( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ
LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a
Statistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 21 Misura della dipedeza di u carattere
LEGGE DEI GRANDI NUMERI
LEGGE DEI GRANDI NUMERI E. DI NARDO 1. Legge empirica del caso e il teorema di Beroulli I diverse occasioi, abbiamo mezioato che la ozioe ituitiva di probabilità si basa sulla seguete assuzioe: se i sperimetazioi
Stimatori corretti, stimatori efficaci e disuguaglianza di Cramer Rao
Stimatori corretti stimatori efficaci e disuguagliaza di Cramer Rao Lucio Demeio Dipartimeto di Igegeria Idustriale e Scieze Matematiche Uiversità Politecica delle Marche Defiizioe. Sia {X X 2... X } u
Capitolo 8. Intervalli di confidenza. Statistica. Levine, Krehbiel, Berenson. Casa editrice: Pearson. Insegnamento: Statistica
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Casa editrice: Pearson Capitolo 8 Intervalli di confidenza Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Dipartimento di Economia e Management, Università
1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.
Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):
Appunti complementari per il Corso di Statistica
Apputi complemetari per il Corso di Statistica Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Tessile Ilia Negri 24 settembre 2002 1 Schemi di campioameto Co il termie campioameto si itede l operazioe di estrazioe
Tutorato di Probabilità 1, foglio I a.a. 2007/2008
Tutorato di Probabilità, foglio I a.a. 2007/2008 Esercizio. Siao A, B, C, D eveti.. Dimostrare che P(A B c ) = P(A) P(A B). 2. Calcolare P ( A (B c C) ), sapedo che P(A) = /2, P(A B) = /4 e P(A B C) =
Metodi statistici per l analisi dei dati
Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo
LEZIONI DI STATISTICA MEDICA
LEZIONI DI STATISTICA MEDICA $! %! """ # &' ( )* &' + %, -. / %,! 0 -$ 34! % 3 3 3 3 )5* 3$&6 ( &7'* / $& : 3; / ( 8/ &* &')&56 &/ * : 5'9 $ : x A > x B I risultati del trial ci permettoo di decidere
Carte di controllo per attributi
Carte di cotrollo per attributi Il cotrollo per variabili o sempre è effettuabile misurazioi troppo difficili o costose troppe variabili che defiiscoo qualità di u prodotto le caratteristiche dei prodotti
1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti
6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo
iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Intervalli di confidenza
iovaella@disp.uiroma.it http://www.disp.uiroma.it/users/iovaella Itervalli di cofideza Itroduzioe Note geerali La stima putuale permette di otteere valori per i parametri di ua fuzioe ma i alcui casi può
SUCCESSIONI DI FUNZIONI
SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe
STATISTICA INFERENZIALE - SCHEDA N. 1 CAMPIONAMENTO E STIMA
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.uige/pls_statistica Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE
5. INDICI DI VARIABILITA'
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA DIPARTIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FORMAZIONE Corso di Laurea i Scieze per l'ivestigazioe e la Sicurezza. INDICI DI VARIABILITA' Prof. Maurizio Pertichetti
Statistica inferenziale e mercati azionari
Statistica ifereziale e mercati azioari Di Cristiao Armellii, cristiao.armellii@alice.it Dalla statistica ifereziale sappiamo che se m = media del campioe s = scarto quadratico medio del campioe = umerosità
Esercitazione 5 del corso di Statistica (parte 2)
Eercitazioe 5 del coro di Statitica (parte ) Dott.a Paola Cotatii 5 Maggio Eercizio Per verificare l efficacia di u coro di tatitica vegoo cofrotati i redimeti medi di due campioi di tudeti di ampiezza
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2005/06
PROVE SCRITTE DI MTEMTIC PPLICT, NNO 5/6 Esercizio 1 Prova scritta del 14/1/5 Sia X ua successioe I.I.D. di variabili aleatorie co distribuzioe uiforme cotiua, X U(, M), ove M = umero lettere del cogome.
Metodi statistici per l'analisi dei dati
Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio
Insiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:
Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,
Approfondimento 3.3. Calcolare gli indici di posizione con dati metrici singoli e raggruppati in classi
Chiorri, C. (201). Fodameti di psicometria - Approfodimeto. 1 Approfodimeto. Calcolare gli idici di posizioe co dati metrici sigoli e raggruppati i classi 1. Dati metrici sigoli Quado l iformazioe è a
ES 1.3. Data la distribuzione unitaria di una variabile quantitativa X. la media aritmetica di X è data dal rapporto tra il totale n
ES 1.3 1 Media e variaza Data la distribuzioe uitaria di ua variabile quatitativa X x 1... x i... x, la media aritmetica di X è data dal rapporto tra il totale x i e il umero delle uità rilevate: x = 1
Il test parametrico si costruisce in tre passi:
R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica
Elementi di calcolo combinatorio
Appedice A Elemeti di calcolo combiatorio A.1 Disposizioi, combiazioi, permutazioi Il calcolo combiatorio si occupa di alcue questioi iereti allo studio delle modalità secodo cui si possoo raggruppare
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)
Corso di Laurea Trieale i Matematica Calcolo delle Probabilità I doceti G. Nappo, F. Spizzichio Prova di martedì luglio tempo a disposizioe: 3 ore. Scrivere su ogi foglio NOME e COGNOME. Le risposte devoo
STATISTICA 1 parte 2/2 STATISTICA INFERENZIALE
STATISTICA parte / U test statistico è ua regola di decisioe Effettuare u test statistico sigifica verificare IPOTESI sui parametri. STATISTICA INFERENZIALE STIMA PUNTUALE STIMA PER INTERVALLI TEST PARAMETRICI
STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.uige/pls_statistica Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE
Metodi statistici per le ricerche di mercato
Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Migo A.A. 2015-2016 Facoltà di Scieze Politiche, Sociologia, Comuicazioe Corso di laurea Magistrale i «Orgaizzazioe e marketig per la comuicazioe
LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI
LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività
Domande di teoria. Chiorri, C. (2014). Fondamenti di psicometria - Risposte e soluzioni Capitolo 3
Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo Domade di teoria. Per le caratteristiche geerali vedi paragrafo. p. 79. Per le procedure di calcolo vedi per la moda pp. 79-8, per
PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN BASE 10
PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN BASE Poteze i base co espoete itero positivo Prediamo u umero qualsiasi che deotiamo co la lettera a e u umero itero positivo che deotiamo co la lettera Per defiizioe (cioè per
Probabilità 1, laurea triennale in Matematica II prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09
Probabilità, laurea trieale i Matematica II prova scritta sessioe estiva a.a. 8/9. U ura cotiee dadi di cui la metà soo equilibrati, metre gli altri soo stati maipolati i modo che, per ciascuo di essi,
STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 4
STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 4 Dott. Giuseppe Padolfo 21 Ottobre 2013 Percetili: i valori che dividoo la distribuzioe i ceto parti di uguale umerosità. Esercizio 1 La seguete tabella riporta la distribuzioe
Y = ln X è normalmente distribuita. (y) = dg(x) dx. f Y. (x) = dy dx f Y. f X. (g(x)) & exp$ dx x - $ % ( x) DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE.
DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE. La variabile si dice log-ormalmete distribuita se: l è ormalmete distribuita g( l g ( e 0 +. uzioe di desità di probabilità: f ( d d f ( dg( d f (g( dg( d f (. & ep$ - / $ %,
SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.
SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....
Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale. II Prova in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 5 luglio 2012
Politecico di Milao - Scuola di Igegeria Idustriale II Prova i Itiere di Statistica per Igegeria Eergetica 5 luglio 2012 c I diritti d autore soo riservati. Ogi sfruttameto commerciale o autorizzato sarà
min z wz sub F(z) = y (3.1)
37 LA FUNZIONE DI COSTO 3.1 Miimizzazioe dei costi Riprediamo il problema della massimizzazioe dei profitti del capitolo precedete e suppoiamo ora che l'impresa coosca il livello di output che deve produrre;