PREMESSA. = η valore medio della popolazione = σ deviazione standard della popolazione. Descrizione parametrica di una popolazione

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1 PREMESSA Descrizioe parametrica di ua popolazioe Sappiamo che u famiglia parametrica di fuzioi desità di probabilità è defiita da uo o più parametri Θ = {θ, θ,., θ }. Ad esempio, la d.d.p. di tipo espoeziale è completamete caratterizzata dal parametro θ e si iterpreta come fuzioe di co parametro θ fissato. f(;θ) = θ ep ( θ) La distribuzioe ormale è completamete specificata dai parametri θ = η e = : f(;θ,θ ) = πθ ep[ θ ( θ ) ] Nei due casi la fuzioe rappreseta la variabile misurabile e viee scelta sulla base dell esperimeto (es. pressioe, frequeza cardiaca, ecc.). Il parametro Θ riporta iformazioi sulla posizioe esull adameto della legge di distribuzioe della variabile misurabile. Come abbiamo già messo i evideza el capitolo relativo alle variabili aleatorie e ai rispettivi mometi, cooscere i parametri della d.d.p. sigifica essere i grado di caratterizzare ua popolazioe di dati i modo esatto. Esempio: θ = η valore medio della popolazioe θ = deviazioe stadard della popolazioe θ = Defiizioe e proprietà degli stimatori θ =η Fig. I geere la legge si coosce o si suppoe ota, metre i parametri o soo oti e la loro stima è fatta sulla base dei risultati di u campioe di osservazioi di ua variabile aleatoria misurabile = {,,., }. Pertato la ricerca della migliore stima del parametro icogito si può formulare come la ricerca della migliore fuzioe g derivata dal vettore osservazioe che sia la migliore stima di θ, che chiameremo θˆ. I particolare: θˆ = g() = {,,..., } 0 Campioe. Campioe... Fig. Quidi si tratta di trovare la fuzioe g che meglio stimi il parametro della popolazioe. U esempio di g è la fuzioe che calcola il valore medio. Il valore medio campioario può essere scritto come:

2 (,,..., ) = = g i i U altro esempio di g può essere la fuzioe che calcola la deviazioe stadard. INFERENZA STATISTICA Alla base della statistica c è il cocetto di stima, cioè sulla base dei risultati tratti da u campioe si effettua ua stima dei parametri della popolazioe dalla quale il campioe è stato estratto. La teoria dell ifereza statistica riguarda prevaletemete due argometi specifici: a) la stima di itervallo, etro il quale si stabilisce che adrà a cadere il parametro della popolazioe co u errore predefiito, sulla base di u dato campioario. Vedremo che per defiire l itervallo di cofideza è ecessario cooscere: - la media campioaria, - la deviazioe stadard della popolazioe (o i sua macaza, si può stimare),- la umerosità del campioe. La media della popolazioe µ o è quidi richiesta per la stima dell itervallo di cofideza: ifatti l itervallo di cofideza defiisce gli estremi etro il quale si colloca la media della popolazioe sulla base del dato campioario e assumedo ua probabilità di errore α. b) il test delle ipotesi, che è impiegato per verificare statisticamete la validità di ua certa assuzioe sulla base di u evideza campioaria. Per esempio, si può cofrotare la media di ua variabile rilevata su u campioe co la media della popolazioe per determiare se il campioe può cosiderarsi estratto da quella popolazioe. Si possoo ache cofrotare due medie campioarie per capire se vi sia ua differeza dovuta al caso, oppure le medie delle popolazioi di proveieza siao realmete diverse. Data ua popolazioe su cui è defiita ua variabile aleatoria X co ddp f X (). Si effettui u campioameto casuale di elemeti = {,,., }. Se si estraggoo più campioi dalla stessa popolazioe si ottegoo valori medi differeti per tutte le possibili estrazioi campioarie. I valori delle medie, essedo fuzioe del campioe, soo a loro volta ua variabile aleatoria. Quidi si può ipotizzare che esista ua distribuzioe (campioaria) del valore medio, che avrà u proprio valore medio e ua propria deviazioe stadard. Notare che la deviazioe stadard idica la variabilità di ua serie di misure. Quado si tratta della descrizioe della variabilità di u valore statistico (es. la media ecc.) calcolato su u campioe, si utilizza l'errore stadard, defiito come: =. Prima di procedere all aalisi dei dati campioari, è fodametale che siao sempre verificati e soddisfatti alcui assuti che riguardao la popolazioe d'origie, dalla quale si presume che i dati campioari siao stati estratti, e il modo di estrarre i campioi. Nel caso i cui ache uo solo dei presupposti o sia rispettato, eppure dopo appropriati tetativi di trasformazioe dei dati che modificao la forma della distribuzioe campioaria, possoo ragioevolmete sorgere dubbi sulla validità delle aalisi successive. Il primo assuto da rispettare è l'idipedeza dei gruppi campioari: i campioi sottoposti ai differeti trattameti dovrebbero essere geerati per estrazioe casuale da ua popolazioe, ella quale ogi soggetto abbia la stessa probabilità di essere icluso i u gruppo qualsiasi. I questo modo, i fattori aleatori o o cotrollati dovrebbero risultare casualmete distribuiti e o geerare distorsioi od errori sistematici. E ua codizioe che spesso è soddisfatta co facilità e che dipede quasi completamete dalla programmazioe dell esperimeto. Il secodo assuto, distitivo della statistica parametrica, riguarda la ormalità delle distribuzioi. Da essa deriva la relazioe tra popolazioe dei dati e medie dei campioi, secodo il teorema del limite cetrale: se da ua popolazioe co media η e deviazioe stadard, i cui dati abbiao ua forma di distribuzioe o ormale, si estraggoo casualmete campioi di dimesioe sufficietemete grade ( 30), le loro medie si distribuirao ormalmete co media geerale η ed errore stadard.

3 La o-ormalità della distribuzioe delle medie è u idice serio di u'estrazioe o casuale. La grade importaza pratica del teorema del limite cetrale, che rede diffusamete applicabile la statistica parametrica, deriva dal fatto che gruppi di dati estratti da ua popolazioe distribuita i modo differete dalla ormale, hao medie che tedoo a distribuirsi ormalmete. Se il campioe estratto da ua popolazioe icogita è piccolo, si hao dei risultati solo se il campioe proviee da ua distribuzioe ormale. La distribuzioe ormale è la forma limite della distribuzioe delle medie campioarie per che tede all ifiito. E possibile compredere il teorema del limite cetrale i modo ituitivo, pesado come esempio al lacio dei dadi. Co u solo dado, i 6 umeri avrao la stessa probabilità e la distribuzioe delle frequeze dei umeri otteuti co i laci ha forma rettagolare. Co due dadi, è possibile otteere somme da a e tra esse quelle cetrali soo più frequeti. All aumetare del umero di dadi, la distribuzioe delle somme o delle medie (la legge è valida per etrambe, poiché cotegoo la medesima iformazioe) è sempre meglio approssimata ad ua distribuzioe ormale. Il terzo assuto riguarda la omogeeità delle variaze: se soo formati per estrazioe casuale dalla medesima popolazioe i vari gruppi devoo avere variaze eguali. Vedremo successivamete che ella statistica parametrica, è possibile verificare se esistoo differeze sigificative tra medie campioarie, solamete quado i gruppi a cofroto hao la stessa variaza. Ifatti, l aalisi statistica prevede u apposito test utilizzato per verificare l uguagliaza statistica o meo tra le variaze di due campioi di dati. Lo stimatore della media è o polarizzato e cosistete Dopo aver trovato g(), cerchiamo i geerale la risposta a due quesiti: a) quato ottima è la stima effettuata co quel parametro; b) se esistoo stimatori migliori per il parametro icogito. Il criterio che ormalmete si usa è la miimizzazioe dell errore quadratico medio, ma è molto usato ache il criterio della massima verosimigliaza. I pratica si deve valutare la seguete probabilità valida per uo stimatore ) η del parametro η : ) Q P { η -η ε} ε ) dove ε è ua quatità piccola a piacere e Q = E[( η η) ] è l errore quadratico medio. Si può dimostrare che uo stimatore il cui errore quadratico medio tede a zero, è o polarizzato (Fig. 3a) e cosistete (Fig. 3b). Cosistete Polarizzato = 500 No polarizzato = 00 = 50 η (a) θ Fig. 3 (b) Uo stimatore è o polarizzato se il valore medio della distribuzioe degli stimatori campioari tede al valore medio della popolazioe. Uo stimatore è cosistete se la variaza della distribuzioe dello stimatore campioario dimiuisce all aumetare della umerosità del campioe. Sulla base di quato sopra esposto, si può affermare che lo stimatore media campioaria è o polarizzato e ioltre è cosistete perché la variaza è e tede a zero all aumetare di. Cos è l accuratezza e la precisioe 3

4 Ambedue dipedoo o dal tipo di stimatore scelto, ma dalla misura (strumeto, tecico, ecc). L accuratezza è la viciaza di u valore misurato al suo valore reale e i buoa parte dipede dallo strumeto. La precisioe è la viciaza di misure ripetute, al medesimo valore. Spesso dipede dalla capacità del tecico di ripetere la misurazioe co le stesse modalità e ha origie dalla sua esperieza o abilità. A B C Nella figura A le misure soo accurate, vicie al valore vero, e molto precise. Nella figura B le misure soo accurate, ma poco precise, cioè differeti tra loro. Nella figura C le misure soo o accurate, ma molto precise. Nella figura D le misure soo o accurate e poco precise. D Variabile stadardizzata Z Abbiamo già avuto modo di dire che partedo da ua popolazioe co media η e deviazioe stadard, la variabile segue ua distribuzioe approssimativamete ormale co media ed errore stadard dati da: η = η = A questo puto si defiisce ua uova variabile detta variabile aleatoria stadardizzata i base alla seguete trasformazioe: η z = / Stadardizzare ua variabile sigifica riferirla ai parametri (media, deviazioe stadard) della popolazioe dalla quale è stato estratto il dato campioario. Ciò forisce ua rappresetazioe del dato campioario adeguata per effettuare u cofroto tra risultati campioari otteuti i laboratori differeti. f(z) α = 0.05 α = z Fig. 4 La variabile z segue ua distribuzioe ormale co media zero e deviazioe stadard uitaria. I questo modo è possibile stabilire l area, e quidi la probabilità, che z sia compreso all itero di u dato itervallo. 4

5 f ( z) = e Quado si fissa ua soglia, per esempio ai valori di z = ±.96, si ha la probabilità del 95% che il dato campioario cada all itero di tale itervallo, e co u errore del 5% che il campioe cada al di fuori di tale itervallo. Teuto coto della defiizioe data per z, è possibile mettere i relazioe il valore tabulato di z co il dato campioario Per cosolidata covezioe iterazioale, i livelli di soglia delle probabilità α ai quali di orma si ricorre per effettuare i test statistici descritti el paragrafo sull ifereza statistica, soo tre: 0.05 (5%); 0.0 (%); 0.00 (0.%). Le tre probabilità e i valori critici più frequetemete utilizzati soo: 5% =>.96; % =>.58; 0.% => 3.8. z Variabile stadardizzata t di Studet Se il campioe estratto da ua popolazioe icogita è piccolo e il campioe proviee da ua distribuzioe ormale di cui o si coosce la deviazioe stadard, si defiisce ua uova variabile stadardizzata T: η sˆ t = co sˆ = sˆ dove co si è idicato il valore medio campioario e co ŝ la deviazioe stadard campioaria. I questo caso la deviazioe stadard ŝ o era ota a priori, ed è stata stimata direttamete dai dati. La uova variabile segue ua distribuzioe t di Studet co (ν = - ) gradi di libertà, dove è la dimesioe del campioe. La distribuzioe t di Studet è decritta dalla seguete legge: ( ν+ ) / t f (t) = ( + ) ν e dipede dal parametro ν. E simile alla distribuzioe di Gauss e per molto grade potrebbe essere be approssimata da essa. Normale T di Studet co ν = 5 Come per la variabile stadardizzata z, così ache per la variabile stadardizzata T è possibile leggere sulle tavole l area corrispodete a determiati valori di T ed applicare i ragioameti sviluppati per la variabile z. Variabile stadardizzata χ Fiora abbiamo discusso la distribuzioe della variabile stadardizzata relativa alla media campioaria, ma co ragioameto aalogo si può studiare la distribuzioe della variaza campioaria. Suppoiamo di estrarre da ua popolazioe ormale co variaza u certo umero di campioi casuali di umerosità. Idicado co s la variaza campioaria si ottiee la seguete variabile stadardizzata: χ ( ) s = è ua variabile aleatoria co distribuzioe χ (chi quadro) di parametro ν =. Si dimostra che la distribuzioe ha media η = ν e = ν. Ioltre la distribuzioe χ è defiita solo per valori positivi di ed è simmetrica i particolare per bassi valori di ν. χ 5

6 Itervallo di cofideza per la media (variaza ota) Come abbiamo già avuto modo di dire, la media campioaria è ua buoa stima delle media della popolazioe, ma a causa dell errore dovuta alla variabilità casuale del campioe, la media campioaria coiciderà co la media della popolazioe. Ha pertato più sigificato stimare u itervallo per la media, che ci dia iformazioi sulla probabile etità della media stessa. η Abbiamo già detto che data ua popolazioe co media η e variaza, la variabile stadardizzata z = ha / approssimativamete la distribuzioe ormale stadardizzata. Apposite tavole foriscoo l area della distribuzioe ormale stadardizzata i fuzioe dei valori di z. Pertato, utilizzado i valori tabulati si possoo determiare due valori c e c tali che: p(c z c) = α i geere tali itervalli soo scelti i modo simmetrico (c = c = c). La precedete uguagliaza è equivalete a scrivere: p ( c η + c ) = α Fissato il livello di sigificatività α = 0.05 (ella tabella α è l area a siistra di z = -c più quella a destra di z = c) si ottiee il seguete itervallo di cofideza: p (.96 η +.96 ) = La precedete equazioe può essere iterpretata el modo seguete: se si ripete ifiite volte l esperimeto di estrazioe di campioi e ad ogi esperimeto si calcola la media e l itervallo.96 e +.96, allora el 95% dei casi, η è coteuto ell itervallo calcolato. Esempio. U campioe di 00 cavie ha u peso medio 0.84 kg e ua deviazioe stadard di Determiare gli itervalli di cofideza al 95% e 99% sulla media η icogita. Sappiamo che: p ( η ) = dove il valore.96 è letto i corrispodeza delle tavole della variabile stadardizzata z. Pertato l itervallo di cofideza per la media è: 0.88 η , cioè il peso delle cavie è compreso ell itervallo trovato co ua probabilità del 95%. Per α = 0.0 si ha: p ( η ) = e quidi l itervallo di cofideza per la media è: η Si oti come all aumetare del livello di cofideza (dal 95% al 99%) sia cresciuta ache l ampiezza dell itervallo. L iterpretazioe è la seguete: se desidero cooscere l itervallo di cofideza della media co ua miore probabilità di commettere u errore, essedo i dati campioari ivariati come umero, ecessariamete l itervallo di cofideza si deve allargare. Al cotrario l itervallo dimiuisce al crescere della umerosità del campioe, cioè al crescere dell evideza sperimetale. Itervallo di cofideza per la media (variaza icogita) 6

7 Nel caso di variaza icogita, la variabile stadardizzata t η = segue ua distribuzioe t di Studet co (ν = s ˆ - ) gradi di libertà. Fissata la umerosità del campioe, e stabilità la sigificatività α, mediate l uso delle tavole si potrao allora determiare due valori c e c tali che: (c v c ) = α p ipotizzado c = c = c, si ottiee: ( ŝ ŝ i ˆ ) p ( c η + c ) = α dove: ŝ = i =. ( ) Per valori molto gradi di, la distribuzioe t di Studet è praticamete uguale alla distribuzioe ormale e duque si può usare z. Esempio. U campioe di cavie ha avuto i u determiato periodo di tempo i segueti icremeti di peso i grammi: 55,6,54,57,65,64,60,63,58,67,63,6. Qual è l itervallo di cofideza, al livello del 95%, dell icremeto di peso medio? L icremeto di peso medio calcolato sulle cavie risulta essere di gr Co gradi di libertà e u livello di sigificatività α = 0.05, sulla tabella si legge u valore del coefficiete c =,0. Pertato l itervallo di cofideza si ottiee risolvedo la seguete formula: p ( η ) = α = 0.95 L itervallo di cofideza risulta essere: 58.7 η Test delle ipotesi U test statistico può essere defiito come ua procedura che, sulla base di dati campioari e co u certo grado di probabilità cosete di decidere se è ragioevole respigere ua certa ipotesi (ed accettare implicitamete l ipotesi alterativa), oppure se o esistoo elemeti sufficieti per respigerla. I pratica il test statistico è strutturato i: Ipotesi iiziale (H 0 ), detta ache ipotesi ulla, che solitamete sostiee la o diversità, cioè qualuque differeza, se riscotrata, è dovuta al caso. Essa afferma che gli effetti osservati ei campioi soo dovuti a fluttuazioi casuali, sempre possibili data la variabilità tra gli idividui; si tratta di variazioi che soo tato più marcate quato più ridotto è il umero di osservazioi. Simbolicamete si scrive: H0 : η = η0, cioè o ci soo differeze tra le medie. Nel test delle ipotesi η e η 0 rappresetao le due evideze da cofrotare. Ipotesi alterativa H a cotrapposta all ipotesi ulla H 0. Livello di sigificatività α per idicare l errore massimo che accettiamo di commettere sosteedo che esiste ua differeza. Il valore α viee detto errore di I specie. L ipotesi alterativa, i rapporto al problema e al test utilizzato, può essere di tre tipi, tra loro mutuamete esclusivi: ) bilaterale: H0 : η = η0 cotro Ha : η η0. Per esempio, quado si cofrota l effetto di due sostaze A e B sull accrescimeto di due gruppi di aimali, si è iteressati a valutare quale abbia l effetto maggiore e ioltre si ritiee che ambedue le risposte siao possibili. I questo caso l ipotesi ulla stabilisce che le due diete soo comparabili, metre l ipotesi alterativa dice che ua delle due risposte è prevalete. I cocetti espressi sul test bilaterale soo espressi el seguete grafico: 7

8 - Z α/ (/ ) µ 0 + Z α/ (/ ) Nel seguito ci si riferisce alla variabile stadardizzata t, ma lo stesso ragioameto può essere applicato alla variabile z. Il test bilaterale cosiste ell applicare la seguete formula: p ( c t c) = α per accettare l ipotesi ulla, dove c viee letto sulle tavole di t di Studet. Si fissa u valore per l errore α, esempio 5%. Poiché la distribuzioe di T è simmetrica e dato che si usa il test bidirezioale, il valore di α da iserire ella relazioe: p ( c T c) = α è la somma dei valori delle aree sottese dalle code della distribuzioe. Quado il valore calcolato di t è compreso tra ± c, si accetta l ipotesi ulla, per cui H0 : η = η0 e quidi le evetuali differeze riscotrate tra i due valori sotto test soo dovute al caso (o c è differeza sigificativa). Quado il valore di t risulta estero all itervallo ± c, si rifiuta l ipotesi ulla e si afferma che le differeze riscotrate soo sigificativamete diverse sulla base dell errore prefissato. ) uilaterale: è uilaterale quado è possibile escludere a priori il fatto che la media di u campioe possa essere miore o maggiore dell altra. Per esempio quado si cofrotao i risultati di u pricipio attivo (tossico) e di u placebo come dieta per cavie, o ci si può aspettare che gli aimali ai quali è stato sommiistrato il tossico abbiao risultati migliori ella crescita rispetto a quelli ai quali è stato sommiistrato placebo. Il test uilaterale si usa quado l ipotesi ulla è: H0 : η = η0, metre l ipotesi alterativa è: Ha : η < η0 (cioè: p ( t c) = α ), oppure H a : η > η 0 ( p ( t c) = α ). Si rifiuta l ipotesi ulla quado, quado t < c, essedo l ipotesi alterativa: p ( t c) = α per u prefissato valore di sigificatività α a cui corrispode u valore c letto sulle tavole. Oppure si rifiuta l ipotesi ulla, quado t c, essedo l ipotesi alterativa: p ( t c) = α per u prefissato valore di sigificatività α a cui corrispode u valore c letto sulle tavole. I caso cotrario, cioè se t > c quado t < c H a : η < η 0, oppure quado H a : η > η 0, allora si accetta l ipotesi ulla. I cocetti espressi sul test uilaterale soo rappresetati el seguete grafico: µ 0 + Z α (/ ) La differeza tra test uilaterale e test bilaterale o è solamete ua questioe teorica: è ua scelta co effetti pratici rilevati, poiché è importate per la determiazioe della zoa di rifiuto dell'ipotesi ulla. I ua distribuzioe ormale, prededo come livello di sigificatività α = 5%, - i u test ad ua coda l'area di rifiuto dell'ipotesi ulla iizia dal valore critico Z α =,645 - i u test a due code essa iizia dal valore critico Z α/ =,96. Errori di I e di II specie 8

9 L isieme dei valori otteibili co il test può essere diviso i due zoe: -ua zoa di rifiuto dell ipotesi ulla, collocata oltre gli estremi della distribuzioe secodo la direzioe dell ipotesi alterativa. Se il valore dell idice statistico cade ella zoa di rifiuto, si respige l ipotesi ulla. Si rifiuta l ipotesi ulla quado il dato campioario appartiee ad ua popolazioe co distribuzioe di dati diversa da quella su cui si basa l ipotesi ulla. - ua zoa di accettazioe dell ipotesi ulla, che comprede i restati valori. Co riferimeto alla figura che segue, la distribuzioe sulla quale si defiisce l ipotesi ulla H 0 può rappresetare la distribuzioe dello stimatore su campioi prelevati da ua popolazioe di soggetti ormali, metre quella sulla destra può rappresetare la distribuzioe dello stimatore su campioi che o soo ormali, per esempio patologici, che rappreseta l ipotesi alterativa H a. Quado il valore assuto dallo stimatore supera la soglia prefissata, si dice che le differeze tra i risultati campioari e il valore della popolazioe ormale o soo dovute al caso, ma il campioe è parte di u altra popolazioe, per esempio i patologici. L errore che posso commettere el rifiutare l ipotesi ulla è α (ifatti, pur facedo parte della distribuzioe dei ormali, il valore dello stimatore cade alla destra della soglia). La sovrapposizioe delle due distribuzioi dice ache che posso commettere u errore ache quado accetto l ipotesi ulla, ma essa è falsa, commettedo u errore β (pur facedo parte della distribuzioe dei patologici, il valore dello stimatore cade alla siistra della soglia). Pertato, ell applicazioe di u test statistico, si possoo commettere due errori: - rifiutare l ipotesi ulla quado i realtà è vera: si parla di errore di prima specie (errore α) e corrispode alla probabilità che il valore campioario cada ella zoa di rifiuto, quado l ipotesi ulla è vera; - accettare l ipotesi ulla quado i realtà è falsa: si parla di errore di secoda specie (errore β) e corrispode alla probabilità che il valore campioario cada ella zoa di accettazioe (si accetta l ipotesi ulla) quado i realtà essa è falsa. Nella tabella che segue soo riportate le possibili situazioi. Accetto H 0 Rifiuto H 0 H 0 vera Scelta corretta P = - α Errore I specie P = α H 0 falsa Errore II specie P = β Scelta corretta P = - β Il termie P = - β, il quale rappreseta l area della distribuzioe alla destra della soglia, è chiamato poteza del test. A parità di umerosità del campioe, se dimiuisco la probabilità di errore di I specie (α), aumeto la probabilità di errore di II specie (β), cioè dimiuisce la poteza del test. Le fasi della verifica delle ipotesi Le pricipali fasi richieste per mettere a puto u test d ipotesi soo: Defiire l ipotesi H 0 Defiire l ipotesi H a 9

10 3 Specificare il livello di sigificatività α 4 Determiare la dimesioe del campioe 5 Determiare la statistica del test 6 Fissare il valore (test uidirezioale) o i valori critici (test bidirezioale) che dividoo le regioi di rifiuto e di accettazioe 7 Calcolare il valore campioario della statistica 8 Cofrotare il valore campioario della statistica co il/i valori critici 9 Predere ua decisioe Test delle ipotesi sulla media Il test delle ipotesi può essere utilizzato per il cofroto tra media campioaria e media della popolazioe, il cofroto tra dato campioario e media della popolazioe, oppure tra medie campioarie. Così come per la stima d itervallo, si utilizzao le statistiche di z o t a secoda che la variaza sia ota oppure sia ecessario stimarla dai dati campioari. Nel seguito prederemo i esame alcui esempi dell applicazioe di test parametrici. Esempio: Riprediamo il caso dell icremeto del peso elle cavie (icremeto di peso medio = e variaza = 6.38). Ioltre, sapedo che cavie dello stesso tipo o sottoposte a dieta mostrao u icremeto di peso medio di 65 grammi, ci si domada se le risultaze campioarie siao tali da attribuire alla dieta le differeze riscotrate ell icremeto di peso oppure sia semplicemete dovuto al caso. Si tratta di u test bidirezioale: ) si fissa il livello di sigificatività: α = 0.05 ) si specificao le due ipotesi: H 0 : η = 65 ; H a : η 65 (il test è bidirezioale, cioè l area α relativa alla variabile stadardizzata deve essere letta sulle due code, ciascua di valore α/). 65 3) Si idividua la variabile aleatoria del test: t = Tale variabile descrive l adameto dei risultati campioari sˆ sotto l ipotesi ulla, cioè a codizioe che le differeze siao dovute al caso (la dieta o ha effetto) ) Si poe a cofroto il valore assuto da t, calcolato sui dati campioari: t = = co il valore 6.38/ critico c. Dato che T = < -.0 = -c, si rifiuta l ipotesi ulla al livello di sigificatività α = 0.05, si rifiuta cioè l ipotesi che la differeza d = sia dovuta al caso. Nel caso di test uidirezioale avremmo avuto: H 0 : η = 65 ; H a : η < 65 (oppure H a : η > 65 ). I questo caso il valore critico c soddisfa la relazioe: p ( t c) = α e c =.80. Pertato: t = = - c e si rifiuta l ipotesi ulla. Esempio Si suppoga di avere a disposizioe u gruppo di osservazioi campioarie relative ad ua popolazioe ormale X co media η icogita e variaza ota, ed u secodo gruppo di osservazioi campioarie relative ad ua popolazioe ormale Y co media η y icogita e variaza ota y. Suppoiamo di voler stabilire se la differeza evetualmete riscotrata tra le due medie campioarie e y sia da attribuire al caso o al fatto che le due medie η e η y delle popolazioi di proveieza dei due campioi soo diverse. I altri termii si vuole decidere per l evetuale sigificatività statistica della differeza: d = y. Pertato l ipotesi ulla H 0 è: H 0 : y = d ; L ipotesi alterativa è ua delle segueti: H : H : H : y > d ; y < d ; y d ; 0

11 Nei primi due casi si fa u test uidirezioale, metre ell ultimo caso si fa u test bidirezioale. I tal caso la variabile z è data da: ormale. ( y) d z = ed ha, quado l ipotesi ulla è vera, legge di distribuzioe / + / y Si suppoga ora di avere a disposizioe due gruppi di e osservazioi campioarie relative a due popolazioi ormali X e Y co rispettive media η e η y icogite e variaze uguali e icogite. I questo caso si deve ricorrere ad ua stima campioaria della variaza. Tuttavia, per quato riguarda il test, si procede co le ipotesi come el caso visto i precedeza, teedo coto che i questo caso il test da impiegare è quello basato sulla variabile T data da: ( y) d t = dove: s (/ + / ) ( )s ( )s s + y = + Test F sull uguagliaza di due variaze Le assuzioi di validità di u test parametrico sul cofroto tra due o più medie soo essezialmete tre: - l idipedeza dei dati etro e tra campioi; - l omogeeità della variaza: il cofroto tra due o più medie è valido se e solo se le popolazioi dalle quali i campioi soo estratti hao variaze uguali; 3 - i dati o (detto acor medio) gli scarti rispetto alla media soo distribuiti ormalmete, Co due campioi idipedeti, l assuzioe di validità più importate è quella dell uguagliaza della variaza, perché rispetto ad essa il test t è meo robusto. La variaza è ua stima della credibilità di ua media: dati molto variabili, quidi co ua variaza ampia, a parità del umero di osservazioi hao medie meo credibili, apputo perché più variabili come i loro dati. Per cofrotare due medie, è quidi ecessario che la loro credibilità sia simile, soprattutto quado i campioi hao dimesioi molto differeti, per cui ua variaza diversa determia la stima della probabilità α e del rischio β che possoo essere sesibilmete differeti da quelli omiali o dichiarati. Per l applicazioe del test t, l omogeeità tra le variaze di due gruppi (A e B) è verificata co u test bilaterale, dove l ipotesi ulla H 0 e l ipotesi alterativa H a soo: H : = 0 A B H a : A B E possibile ache u test uilaterale, quado ua delle due variaze tede a essere sistematicamete maggiore o miore dell altra. Ma, ella pratica della ricerca ambietale e biologica, i questo cotesto di aalisi prelimiare per il cofroto tra le medie di due campioi idipedeti, il test uilaterale è u caso più raro. Tra i test parametrici più diffusi i letteratura e elle pubblicazioi per verificare l omogeeità della variaza bilaterale o uilaterale vi è sicuramete il test F o del rapporto tra le due variaze, defiito come segue: F ( ma ),( mi ) = dove: S ma è la variaza maggiore S mi è la variaza miore ma è il umero di dati el gruppo co variaza maggiore S S ma mi

12 mi è il umero di dati el gruppo co variaza miore Fodato sull ipotesi che le due variaze siao uguali (cioè che l ipotesi ulla H0 sia vera), il rapporto tra esse dovrebbe essere uguale a. I valori critici della distribuzioe F dipedoo dai gradi di libertà e cioè: - ν = - rappreseta i gradi di libertà del umeratore, riportati ella prima riga della tabella, - ν = - rappreseta i gradi di libertà del deomiatore, riportati ella prima coloa della tabella. Solo se si dimostra che l ipotesi ulla è vera e pertato che i due gruppi hao variaze statisticamete uguali, è possibile usare il test t di Studet per campioi idipedeti. Test di adattameto o del χ I questo paragrafo ci occuperemo di u metodo statistico per stabilire se u campioe di dati misurati si adatta ad ua predetermiata distribuzioe teorica. U tale tipo di test si chiama test di adattameto. Per applicare il test del chi quadro si deve disporre della frequeza osservata O i e della frequeza attesa A i. Per valutare la botà dell adattameto si usa la seguete variabile: χ = K i= i (Oi A i ) A essedo K il umero delle classi su cui si desidera effettuare il cofroto. Si dimostra che per sufficietemete grade, tale statistica ha ua distribuzioe approssimabile a quella della variabile χ co ν = K-m- gradi di libertà, dove m è il umero dei parametri della distribuzioe teorica stimati servedosi dei dati del campioe. Nel caso l ipotesi ulla sia che i dati si adattio alla distribuzioe teorica, allora si rifiuta l ipotesi ulla H 0 se il valore di χ calcolato dai dati è maggiore del valore critico χ, dove α è il livello di sigificatività. α Esempio. I media i ua classe di studeti del primo ao di u corso uiversitario l età assume quattro valori come appare dalla seguete tabella: Età 9 0 Percetuale 6% 3% 5% 7% Effettuado ua rilevazioe i ua certa classe di 350 studeti si ottegoo i segueti risultati: Età 9 0 O i Si vuole sapere se, sulla base delle rilevazioi sperimetali, le due tabelle cocordao statisticamete, oppure le differeze soo statisticamete rilevati. A questo puto, applicado la percetuale media al caso dei 350 studeti, si otterrebbero i segueti risultati teorici: Età 9 0 A i ( Oi Ai ) A i

13 Sommado gli scarti su ciascua classe si ottiee: χ = 3.8. I gradi di libertà ν = K-m- soo 3, i quato essu coefficiete è stato stimato dai dati (m = 0). Al livello di sigificatività del 5% si ottiee dalle tavole del χ il seguete valore critico: χ 0.05 = 7.8. Poiché il valore di χ calcolato dai dati è iferiore a quello ricavato dalle tavole, si accetta l ipotesi ulla e cioè o esiste differeza sigificativa tra i dati campioari e i valori medi (popolazioe). 3