Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 6

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2 X c () t dx e x t altrove x e x x f x t x X = =4 =8 E[X] = Var[X] =

3 Teorema Z, Z,, Z N(0 ; ) e idipedeti X= Z + Z + +Z c () Nota Esistoo tavole dei puti percetuali delle distribuzioi chi-quadro per diversi gradi di libertà (elle righe) e tipici valori di probabilità (elle coloe). c a, = valore per cui vale a l area a destra di c a,, sottesa dal grafico della fuzioe desità di probabilità della distribuzioe chiquadro co gradi di libertà.

4 Puti percetuali della distribuzioe chi-quadro

5 X t() f X x π xr x t() t(3) t(00) N(0;) EX 0 VarX

6 Teorema Z N(0 ; ), X c () e idipedeti Z T ~ t X Nota Esistoo tavole dei puti percetuali delle distribuzioi t per diversi gradi di libertà (elle righe) e tipici valori di probabilità (elle coloe). t a, = valore per cui vale a l area a destra di t a,, sottesa dal grafico della fuzioe desità di probabilità della distribuzioe t co gradi di libertà.

7 Puti percetuali della distribuzioe t di Studet

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9 X popolazioe campioata X v.a. co desità f(x) (X, X,, X ) campioe casuale di ampiezza estratto da X X, X,, X idipedeti e ideticamete distribuite (i.i.d.), tutte co desità f(x) f(x, x,, x ) distribuzioe campioaria distribuzioe cogiuta del vettore (X, X,, X ) Essedo X, X,, X idipedeti, si ha: f(x, x,, x )= f (x ) f (x ) f (x )

10 Esempio X = popolazioe campioata = primo estratto del gioco del Lotto su ua geerica ruota i u dato gioro. 90 f PX 90 fuzioe di massa di probabilità di X (X, X,, X 0 ) c.c. estratto da X X i = primo estratto sull i-esima ruota La distribuzioe campioaria è data da: 90,..., 0 f 0,, f f

11 Esempio X Bi(5 ; 0.5) popolazioe campioata (X, X,, X 0 ) c.c. estratto da X (x, x,, x 0 ) = (,,, 4,, 4, 3, 4,,,, 4,, 3,, 4, 3,,, ) campioe osservato (x, x,, x 0 ) = (3,,,, 4, 3, 3, 3, 4, 3,,,, 4, 4,,, 3, 3, ) campioe osservato (x, x,, x 0 ) = (,, 3,,,, 3, 3,,, 4, 4, 3, 0,, 5, 3,,, ) 3 campioe osservato

12 (X, X,, X ) campioe casuale di ampiezza estratto da ua popolazioe X. Si chiama statistica ua qualuque fuzioe delle v.a. di u campioe che o dipeda ella sua defiizioe da alcu parametro icogito: Θˆ h X,,X statistica Pricipali statistiche: T i X i somma campioaria X X i i media campioaria S X i X X i X i i variaza campioaria S S deviazioe stadard campioaria

13 Nota Per le proprietà di valore atteso e variaza, si ha che: E[X] = m Var[X] = s σ X Var X Var μ X E X E σ X Var T Var μ X E T E i i i i i i i i

14 Esempio X Bi(5 ; 0.5) popolazioe campioata (X, X,, X ) c.c. estratto da X X X i media campioaria (x, x,, x ) = (, 3, 3,, 3,, ) campioe osservato = x =.5 x 3 =.67 x 4 =.5. x i (x, x,, x 0 ) = (,,, 4, 3,, ) campioe osservato = x = x 3 =.33 x 4 =. x (x, x,, x 0 ) = (4,,,,,, ) 3 campioe osservato = 4 =3 =.67 x =.5. x x x 3 4

15 E[X] Valori assuti dalla media campioaria el campioe osservato Valori assuti dalla media campioaria el campioe osservato Valori assuti dalla media campioaria el 3 campioe osservato

16 Teorema (X, X,, X ) c.c. da X ~Nm,s X e S idipedeti Nota Questo teorema caratterizza la distribuzioe ormale

17 σ S ~ c T ~ N m; s (X, X,, X ) c.c. da X ~Nm,s X ~ N m; s X S μ ~ t-

18 Esempio Il peso del geerico idividuo di ua popolazioe ha ua distribuzioe ormale di media 70 kg e deviazioe stadard 0 kg. Si cosidera u c.c. di ampiezza 30. Qual è la probabilità che il peso medio del campioe sia iferiore a 65 kg? 00 X 30 ~ N 70; P X PX Qual è il valore a che la variaza campioaria supera co probabilità del 90%? 9 00 S 30 ~ c 9 P S a 0. 9 P S a 0. 9 a c a , 9

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20 {X } successioe di v.a. co fuzioi di ripartizioe F (x) X v.a. co fuzioe di ripartizioe F(x) {X } coverge i legge a X : la successioe delle fuzioi di ripartizioe F (x) coverge putualmete a F(x) per ogi puto di X L X cotiuità di F(x): x: F x cotiua lim F x Fx

21 X popolazioe campioata E[X]=m Var[X]=s X m (X, X,, X ) c.c. estratto da X Z Media campioaria stadardizzata s Z ~N(0,) Z L Z

22 Nota Il TCL afferma che, per sufficietemete grade : Z N(0 ; ) P[ Z a ] (a) asitoticamete distribuita I geerale è sufficiete >30 per poter applicare il TCL.

23 = = 0 = 00 Desità di Z Desità ormale stadard

24 Corollario Per sufficietemete grade : σ X Nμ ;, cioè P a μ X a σ Corollario i Per sufficietemete grade : T X i N m ; s

25 Esempio I u certo aeroporto il tempo d attesa al check-i è ua v.a. co media di 8. miuti e deviazioe stadard di.5 miuti. Qual è la probabilità che il tempo medio di attesa di u c.c. di 50 viaggiatori sia compreso tra 8 e 9 miuti? X 50 = tempo medio di attesa di u c.c. di 50 viaggiatori Per il TCL: X N8. ; 50 P X

26 X Be(p) (X, X,, X ) c.c. estratto da X T i X i somma campioaria T Bi(, p) sufficietemete grade T C L T N( p ; p(-p) ) L approssimazioe è buoa quado: p 5 e (-p) 5

27 x-0.5 x x+0.5 Correzioe di cotiuità Dato che, approssimado ua biomiale co ua ormale, si passa da ua v.a. discreta ad ua cotiua, per migliorare l approssimazioe si itroduce u fattore 0.5, detto correzioe di cotiuità: P[X=x] Desità biomiale

28 x-0.5 x x+0.5 P X x Px 0. 5 X x 0. 5 x 0. 5 p x 0. 5 p p p p p Desità ormale N( p, p(-p) ) Desità biomiale Bi (, p)

29 x x+0.5 P X x PX x 0. 5 x 0. 5 p p p

30 x-0.5 x P X x PX x 0. 5 x 0. 5 p p p

31 Esempio Il % della popolazioe modiale è composto da macii. Calcolare le probabilità che, su u c.c. di ampiezza 00: a) ci sia u umero di macii compreso tra 0 e 4; X = umero di macii su 00 X Bi(00, 0.) p = (-p) = 88 approssimazioe ormale: X N(, 0.56) P0 X 4 4 i0 00 i 0. i i Valore esatto P0 X Appross. seza correzioe P0 X Appross. co correzioe

32 b) ci siao esattamete macii; PX Valore esatto PX P. 5 X c) ci siao almeo 5 macii. P X 5 00 i5 00 i 0. i i P X

33 Nota La biomiale si può approssimare ache co ua poissoiaa: X Bi(; p) X Po(p) L approssimazioe è buoa quado 0 e p 0.05 Esempio X Bi(30; 0.0) X Po(0.6) PX Valore esatto PX 3 e ! Valore approssimato

34 X ~ Po(l) TCL X N( l, l ) L approssimazioe è buoa quado l 5

35 Esempio Il umero di particelle cotamiati rilevate su u provio di cm ha distribuzioe di Poisso di media 000. Qual è la probabilità che su 0 cm ci siao meo di 9800 particelle cotamiati? X 0 = umero di particelle i 0 cm X 0 Po(0000) X 0 N(0000;0000) P X i0 e i! i Valore esatto P X Valore approssimato

36 X i Logoormale Uiforme lx e - l X X i Poisso (l) e X l 5 m =l, s = l 0 ; p 0.05 l =p Normale (m,s ) X i Biomiale (,p) = p 5 ; (-p) 5 m =p, s =p(-p) msx (X-m) / s X i Normale (0, Beroulli (p) Weibull (m,l) l lx X /m Espoeziale (l) m= = l = / Chi-quadro () X i X i 0 t-studet ()