Elementi di calcolo delle probabilità

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1 1 Elemeti di calcolo delle probabilità 5 1. Itroduzioe La statistica è ua scieza, strumetale ad altre, cocerete la determiazioe dei metodi scietifici da seguire per raccogliere, elaborare e valutare i dati riguardati l esseza di particolari feomei di massa. Nell ambito della metodologia statistica si distiguoo, a fii puramete didattici, due filoi fodametali: la statistica descrittiva e la statistica ifereziale. La statistica descrittiva è volta alla rappresetazioe, attraverso mezzi matematici, di uo o più feomei reali coducedo lo studio sull itera popolazioe i cui si palesa il feomeo o i feomei oggetto di studio. La statistica ifereziale è volta all iduzioe probabilistica circa la struttura icogita di ua popolazioe. Questo filoe della statistica si occupa di risolvere il cosiddetto problema iverso, ossia, sulla base di osservazioi su u campioe di uità selezioate co date procedure dalla popolazioe, perviee a soluzioi valide, etro dati livelli di probabilità, ache per la popolazioe stessa. U umero icalcolabile di feomei e processi soo svelati alla mete umaa solo comprededo i pricipi fodametali della probabilità. La probabilità è quella parte della matematica che dà u preciso sigificato al cocetto di icertezza. Icerto è il risultato di ua partita di calcio, così come icerta è la temperatura del gioro seguete. La gete scommette co differeti proostici sul risultato della partita di calcio, può presumere ua temperatura sulla base di quella dei giori precedeti. I ogi caso, fa delle supposizioi su quello che sarà il risultato di qualche eveto. La teoria della probabilità è la scieza che quatifica l igoraza umaa relativamete ai risultati di eveti. Essa asce qualche secolo fa ed è fatta risalire al gioco d azzardo ache se, allo stato attuale, è u fodametale strumeto per ua miriade di feomei. Si cosiderio le scieze attuariali relativamete alla sopravviveza o mortalità di idividui, la meteorologia relativamete alle temperature di u area geografica, le estrazioi del lotto i relazioe all uscita su ua data ruota di uo o più umeri, la politica relativamete alle prefereze esprimibili da u dato gruppo di elettori. Questi ed altri feomei, per iteressare la teoria della probabilità, devoo essere icerti ei risultati ed essere ripetibili.. Evoluzioe storica della statistica Nell evoluzioe storica della statistica si è soliti idividuare quattro fasi distite. Nella prima fase, il cui iizio si può far coicidere co le ολιτειαι di ristotele, l iteresse della statistica vee rivolto essezialmete agli aspetti otevoli degli Stati grazie agli sforzi iiziali (XV e XVI secolo) di studiosi italiai, tra cui vao ricordati F. Sasovio (Del govero e ammiistrazioe di diversi regi e repubbliche, Veezia 1567) e G. Botero (Le relazioi uiversali, 1593). Tali studi iiziali veero approfoditi i Germaia ed Olada, raggiugedo il massimo sviluppo el XVII e XVIII secolo elle uiversità tedesche. La secoda fase iiziò el XVII secolo i Ighilterra, e fu detta degli aritmetici politici, poiché l iteresse degli studiosi era cocetrato sull osservazioe umerica di ascite, morti ed altri feomei che oggi soo detti demografici. Tra i massimi espoeti di questa scuola vao ricordati J.B.J. Fourier e T.R. Malthus, che riapplicaroo all aritmetica politica il termie statistica, usato i precedeza per l aalisi delle orgaizzazioi sociali. 1. Elemeti di calcolo delle probabilità

2 6 La fase successiva è caratterizzata dall applicazioe sistematica del calcolo della probabilità agli studi statistici. Nel 181 ifatti appare la Théorie aalytique des probabilités di P.S. Laplace, i cui il calcolo delle probabilità ricevette la prima sistemazioe teorica. I tale lavoro Laplace si occupò di due importati problemi teorici, ossia lo scostameto, i u umero limitato di prove, della frequeza empirica di u feomeo dalla probabilità teorica e l approssimazioe co cui ua frequeza empirica calcolata su u adeguato umero di prove si avvicia alla corrispodete probabilità teorica, esistete ma scoosciuta. Tali risultati, di atura emietemete teorica, veero impiegati da Laplace per risolvere problemi di atura pratica, quali, ad esempio, la determiazioe della popolazioe di u paese a partire dai tassi di atalità rilevati i alcue sue zoe o regioi. ltri importati espoeti di questa fase furoo F. Galto e K. Pearso, padri dello studio dei legami esisteti tra feomei aleatori (o casuali) e J. Quetelet, iiziatore dell atropometria. L ultima fase è quella che vede la etta separazioe della statistica metodologica e matematica da ua parte e della statistica applicata dall altra. 3. Eveti ed algebra di Boole Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria I stretto parallelismo co l algebra di Boole, l algebra degli eveti studia, tramite l utilizzo di simboli e di operazioi, le relazioi tra gli eveti e le loro proprietà. Prima di spiegare il cocetto di eveto esplicitiamo il cocetto di prova. Per prova si itede u esperimeto soggetto ad icertezza. ffiché l esperimeto iteressi il calcolo delle probabilità deve soddisfare le segueti codizioi: tutti i possibili risultati devoo essere oti a priori; il risultato di ua particolare prova deve essere icogito; l esperimeto può essere reiterato sotto date codizioi. Esempi classici di prove soo foriti dal lacio di ua moeta, dall estrazioe di ua pallia da u ura, etc. L esperimeto può suddividersi i sottoprove, ad esempio l estrazioe di due pallie da u ura è ua prova cosistete i due sottoprove che soo, rispettivamete, l estrazioe della prima e della secoda pallia. Siccome è praticamete impossibile circoscrivere a date categorie tutte le prove possibili, si ricorre ad ua schematizzazioe che riesce a compredere gra parte degli esperimeti. I geerale, l estrazioe cosiste ella idividuazioe di u isieme di uità statistiche da ua popolazioe tramite u procedimeto casuale. Lo schema cui si fa riferimeto è quello della estrazioe di ua o più pallie da u ura. Si cosideri u ura coteete pallie uguali ma che differiscoo per qualche particolare come il colore. Le modalità secodo cui soo estratte le pallie successive alla prima si distiguoo i due tipologie: estrazioe co ripetizioe (o beroulliaa) se, ua volta estratta, la pallia è rimessa ell ura e quidi può essere riestratta o alteradosi ogi volta la composizioe dell ura; estrazioe seza ripetizioe (o i blocco) se, ua volta estratta, la pallia o è rimessa ell ura, per cui ciascua pallia può essere estratta ua sola volta. Per eveto si itede uo dei possibili risultati di ua prova. Nella prova «lacio di u dado o truccato», u eveto è dato dal umero rappresetato sulla faccia i alto del dado dopo il lacio. Uo dei possibili risultati è l eveto «faccia co 1 puto», gli altri soo gli eveti «faccia co puti»,, «faccia co 6 puti». L isieme di tutti i possibili risultati di ua prova è deomiato spazio campioe (idicato co ) metre i suoi elemeti soo deomiati puti campioe. Si cosideri u esperimeto cosistete el lacio di u dado o truccato. Siao E 1 l eveto «faccia co 1 puto», E l eveto «faccia co puti»,, E 6 l eveto «faccia co 6 puti», lo spazio campioe è dato dall isieme = {E 1, E,, E 6 }, i puti campioe soo gli elemeti E 1, E,, E 6.

3 Uo spazio campioe si dice: discreto se è costituito da u umero fiito o da ua ifiità umerabile di puti campioe, u esempio di spazio discreto è forito dal duplice lacio di u dado o truccato, i cui i puti campioe soo (E 1, E 1 ), (E 1, E ), (E 1, E 3 ),, (E 6, E 5 ), (E 6, E 6 ); cotiuo se è costituito da u ifiità o umerabile di puti campioe, u esempio di spazio cotiuo è forito dalle diverse misurazioi dell altezza di u idividuo, o della temperatura di u ambiete. Le defiizioi che seguoo soo mutuate dall algebra degli isiemi, detta ache algebra di Boole. Se per l eveto vale la relazioe di uguagliaza =, allora gli eveti di ecessariamete si verificao. L isieme vuoto è l isieme seza alcu elemeto ed è deotato co il simbolo, per cui, se vale la relazioe =, allora gli eveti i o si verificao, ed è l eveto impossibile el seso che o può mai essere il risultato di ua prova. Le operazioi tra isiemi soo illustrate dai diagrammi di Ve, i cui ogi isieme è delimitato da ua porzioe di piao racchiusa da ua figura. Per aalogia, tale rappresetazioe è utilmete adoperata per illustrare relazioi ed operazioi dell algebra degli eveti. Nei diagrammi di Ve lo spazio campioe è rappresetato geeralmete da u rettagolo, all itero del quale si rappresetao altre figure rappresetati i diversi eveti. Le operazioi tra eveti, mutuate dalla teoria degli isiemi, soo le segueti: uioe, egazioe, itersezioe Uioe (somma logica) Siao e B due eveti, si dice uioe di e B, e si deota co il simbolo: B (dove è il simbolo di uioe), l eveto C che si verifica quado si verifica almeo uo dei due eveti e B, i altre parole se si verifica, B o se si verificao e B cotemporaeamete. La figura seguete rappreseta, ell area ombreggiata, tre possibili situazioi di uioe di e B: B B B B 1. Elemeti di calcolo delle probabilità

4 8 B B = B quado B L operazioe di uioe di eveti si può estedere ache ad u umero fiito o umerabile di eveti. Pertato, siao E 1, E,, E, ua raccolta di eveti, si ha che: E E... E = E 1 è l eveto uioe degli eveti E 1, E,, E e si verifica se si verifica almeo uo degli eveti E i, i = 1,,,. Dall operazioe di uioe di due o più eveti è possibile trarre, i prima approssimazioe, le due defiizioi segueti: eveto elemetare è quello che o può essere costituito dall uioe di altri eveti elemetari; eveto composto è quello che è costituito dall uioe di più eveti elemetari. Lo spazio campioe è l eveto certo; u eveto che ello spazio campioe è costituito da u solo puto campioe è u eveto elemetare. 3. Negazioe i = 1 i Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria L isieme degli elemeti o iclusi i è deomiato complemeto o egazioe di e si idica co il simbolo, oppure co. La egazioe dell eveto riguarda tutti gli eveti di ua prova escluso l eveto. =

5 3.3 Itersezioe (prodotto logico) 9 Siao dati due eveti e B, si dice itersezioe di e B e si deota co il simbolo: B (dove è il simbolo di itersezioe) quell eveto C che si verifica se e solo se si verificao cotemporaeamete sia sia B. Grazie all operazioe di itersezioe è possibile dare u ulteriore e più precisa defiizioe di eveto elemetare; è tale l eveto E che, per ogi eveto, può solo verificarsi che E è icluso i oppure che E è icompatibile co. Formalmete: E = E oppure E = La figura seguete rappreseta, ell area ombreggiata, tre possibili situazioi di itersezioe: B B B B B B = quado B La tabella seguete riporta alcue otevoli proprietà dell uioe e dell itersezioe di due eveti: Proprietà Uioe Itersezioe Idempoteza = = Elemeto eutro = = Commutativa B = B B = B ssociativa ( B) C = (B C) ( B) C = (B C) Distributiva (B C) = ( B) ( C) (B C) = ( B) ( C) 1. Elemeti di calcolo delle probabilità

6 10 Le proprietà esposte possoo essere verificate facilmete ricorredo ai diagrammi di Ve. La figura seguete, ad esempio, illustra la proprietà distributiva dell itersezioe rispetto all uioe: B C (B C) = ( B) ( C) Esempio Ua moeta è laciata due volte, determiare i segueti eveti: a) = {esce esattamete ua volta testa}; b) B = {esce almeo ua volta testa}; c) B; d) B. Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria Sia T il risultato testa e C il risultato croce, sulla base di queste otazioi gli eveti soo i segueti: a) = {(T,C), (C,T)}; b) B = {(T,T), (T,C), (C,T)}; c) l eveto uioe di e B si verifica quado si verifica almeo uo dei due eveti e B, per cui è: B = {(T,T), (T,C), (C,T)} = B i questo caso è B; d) l eveto itersezioe di e B si verifica quado si verificao cotemporaeamete sia sia B, per cui è: B = {(T,C), (C,T)} = Il legame esistete tra le operazioi espresse è forito dalle leggi di De Morga, per le quali: la egazioe dell uioe tra due eveti è uguale all itersezioe delle egazioi degli eveti stessi; i simboli: B = B la egazioe dell itersezioe tra due eveti è uguale all uioe delle egazioi degli eveti stessi; i simboli: 3.4 Partizioe di B = B Se B =, allora si dice che e B soo icompatibili o mutuamete esclusivi.

7 Due eveti e B si dicoo, ivece, ecessari se la loro uioe è l eveto certo; i simboli: 11 B = La rappresetazioe grafica dei due eveti è la seguete: B Ua raccolta di eveti ecessari e icompatibili E i si dice ua partizioe di, che è tale se e solo se: E i i = 1 la loro uioe è l eveto certo, ossia = ; soo icompatibili a due a due, ossia E i E j =, i j. 4. Defiizioi alterative della probabilità Noostate sia u cocetto primitivo, la probabilità ha ricevuto el tempo defiizioi diverse, le quali, a dispetto del forte coteuto ituitivo, e quidi della loro plausibilità, presetao rilevati iadeguatezze, almeo dal puto di vista del rigore scietifico. Di seguito diamo tre defiizioi di probabilità: classica, frequetista, soggettivista. 4.1 Defiizioe classica La defiizioe classica della probabilità, utilizzata già da Galileo, Fermat e formalizzata da Laplace, è la seguete: Sia dato u esperimeto ed u eveto E tra i possibili eveti risultati dall esperimeto, sia m il umero dei possibili risultati che dao luogo all eveto E, e il umero di tutti i possibili risultati dell esperimeto allora, la probabilità dell eveto E è il rapporto m/, purché gli risultati possibili siao tutti ugualmete possibili; i simboli: ( ) = PE La probabilità di u qualsiasi eveto E è sempre u umero tale che: m 0 P(E) 1 ssume valore estremo 0 quado il umero dei casi favorevoli all eveto è pari a 0, i tal caso l eveto è impossibile, metre assume valore estremo 1 quado il umero dei casi favorevoli coicide co il umero dei casi possibili, i tal caso l eveto è certo. 1. Elemeti di calcolo delle probabilità

8 1 Esempio Da u mazzo di 5 carte e viee estratta 1. Determiare la probabilità che si estragga ua carta di cuori. Il umero dei casi favorevoli è 13, ifatti 13 soo le carte di cuori, metre il umero dei casi possibili è 5. Pertato, la probabilità richiesta è: ( ) = = P ua carta di cuori La defiizioe ha l ambizioe di cogliere la vera esseza del cocetto di misura di ua probabilità, idipedetemete dal particolare esperimeto i esame. Tuttavia, fa riferimeto ad u rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, supposti ugualmete possibili, ma per sapere se u caso è possibile, e se più casi soo ugualmete possibili o, il che è lo stesso ugualmete probabili, bisogerebbe dapprima defiire cosa si itede per probabilità, cadedo i u circolo vizioso. 4. Defiizioe frequetista La defiizioe frequetista di probabilità di u eveto, opera di R. vo Mises, stabilisce ua relazioe tra il cocetto di frequeza e quello di probabilità, la prima calcolata dopo avere effettuato l esperimeto (a posteriori), la secoda defiita prima dell esperimeto (a priori). Essa può essere espressa ella forma seguete: Sia dato u esperimeto perfettamete ripetibile ed u eveto E tra i possibili eveti risultati dall esperimeto, sia fr (E), la frequeza assoluta di E, ossia il umero di volte i cui si è verificato E i ua serie di esperimeti ripetuti elle medesime codizioi, allora la probabilità dell eveto E è il limite cui tede la frequeza relativa dell eveto E quado il umero delle prove tede all ifiito; i simboli: , Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria ( ) = PE ( ) fr E lim La probabilità di u eveto si defiisce ricorredo alla legge empirica del caso per la quale, effettuado u gra umero di prove elle medesime codizioi, la frequeza dei successi si approssima alla probabilità, e l approssimazioe migliora al crescere del umero delle prove. La defiizioe trova applicazioe el campo delle assicurazioi i relazioe agli eveti attieti la vita umaa studiati ei cofroti di ua collettività, i cui particolare importaza hao le frequeze calcolate per la sopravviveza e la mortalità di idividui per diverse fasce di età. I base alla defiizioe frequetista della probabilità e alla legge empirica del caso, le frequeze suddette soo assimilate alla probabilità di sopravviveza e di mortalità. La defiizioe esposta sebbee sia di tipo più cocreto della precedete, ecessita di u umero ifiito di prove per essere effettivamete ua defiizioe. Ora, poiché, i ambiti ormali o è dato ad uo sperimetatore umao di ripetere ifiite volte ua prova, ache la secoda defiizioe o è adeguata. Ioltre, la defiizioe ecessita che le successive prove si svolgao elle medesime codizioi. È questa la codizioe di ripetibilità dell esperimeto i pratica quasi mai attuabile. 4.3 Defiizioe soggettivista La defiizioe soggettivista della probabilità, opera di De Fietti, trae le sue origii el gioco d azzardo, ed esprime il grado di fiducia che u idividuo coerete, sulla base delle

9 iformazioi di cui dispoe, attribuisce al verificarsi di u eveto. Essa è espressa ella forma seguete: Sia dato u esperimeto e sia E u eveto tra i possibili eveti risultati dall esperimeto, allora la probabilità dell eveto E è la somma che u idividuo coerete è disposto a scommettere i u gioco equo i cui, se si verifica E, egli riceve u importo uitario. I altri termii, la probabilità di E rappreseta la dispoibilità di u idividuo a pagare, i quato equa, la quota di ua scommessa, per riscuotere, se si verifica E, u importo uitario e se o si verifica E u importo ullo. 13 Esempio Uo scommettitore deve putare su u dato cavallo. Se per lo scommettitore la probabilità di vittoria del cavallo è 0,, vuol dire che egli è disposto a pagare 0 per ricevere 100 el caso di vittoria del cavallo. Il limite fodametale della defiizioe è che la stessa o è basata su cocetti rigorosi esprimibili i termii formali, ma su cogetture persoali. 5. ssiomatizzazioe del calcolo delle probabilità Le cosiderazioi sull iadeguatezza delle defiizioi precedeti, pur pieamete accettate dal seso comue, portaroo i matematici ad u otevole sforzo di ricerca e di fodazioe teorica. Per fare i modo che la teoria della probabilità assumesse la veste di scieza matematica a tutti gli effetti, al pari della Geometria e dell lgebra, Kolmogorov el 1933, ha affrotato le problematiche coesse alla probabilità secodo il metodo tipico delle scieze deduttive, che si basa sullo schema seguete: si itroducoo i cocetti primitivi, cioè delle ozioi origiarie o defiibili; si formalizzao tali cocetti; mediate tali cocetti si euciao assiomi o postulati, che o soo dimostrabili ma che si ritegoo utili, ecessari e coereti; da questi ultimi si deducoo tutte le cosegueze, logiche e matematiche, perveedo alla dimostrazioe di teoremi. I cocetti primitivi su cui poggia l assiomatizzazioe del calcolo delle probabilità soo quelli di prova, eveto e probabilità. Per probabilità si itede, comuque, u umero associato al verificarsi di u eveto. Per esprimere i postulati del calcolo delle probabilità si deve itrodurre, d ora i poi, la seguete simbologia cocerete gli eveti: siao E i, i = 1,,,, eveti dello spazio campioe ; la probabilità dell eveto i - esimo sia P(E). i d ogi eveto E i dello spazio campioe è associato u umero reale P(E i ) che soddisfa i segueti postulati: POSTULTO 1. La probabilità di u eveto è ua fuzioe che assega ad ogi eveto u umero reale o egativo: P(E i ) 0, E i POSTULTO. L eveto certo ha probabilità 1: P() = 1 POSTULTO 3. La probabilità dell uioe di ua ifiità umerabile di eveti icompatibili è uguale alla somma delle sigole probabilità: Ei E j =, i j P Ei P E i= 1 = ( ) i= 1 i 1. Elemeti di calcolo delle probabilità

10 14 Sulla base dei postulati esposti si possoo dimostrare i segueti teoremi: TEOREM 1 P(B ) = P(B) P( B) TEOREM P( ) = 1 P() TEOREM 3 P( ) = 0 TEOREM 4 B P() P(B) TEOREM 5 0 P() 1 TEOREM 6 (probabilità dell uioe di eveti o icompatibili) P( B) = P() + P(B) P( B) TEOREM 7 P( B C) = P() + P(B) + P(C) P( B) P( C) P(B C) + P( B C) TEOREM 8 (oto ache come pricipio di iclusioe-esclusioe) Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria PE E E PE PE E E E E 1 i ( i j) + P ( i j h) + i = 1 i j= 1 i j h= ( 1) PE ( 1 E E ) ( ) = ( ) + Valgoo, ioltre, le segueti relazioi fodametali: disuguagliaza di Boole disuguagliaza di Boferroi 6. Probabilità codizioata ( ) ( ) PE E E PE 1 i = 1 ( 1 ) ( ) = ( i ) PE E E 1 PE PE 1 i i = 1 i = 1 i ( ) Siao dati due eveti e B, talvolta è iteressate sapere se il verificarsi del primo può i qualche modo codizioare la probabilità del verificarsi del secodo. questo puto ua volta verificatosi, l eveto è u eveto certo, assumedo, quidi, la cofigurazioe dello spazio campioe. Pertato, quale che sia la defiizioe della probabilità, si defiisce la probabilità del-

11 Teoria delle variabili aleatorie 33 Sezioe Prima Variabili aleatorie Variabile aleatoria Ua variabile aleatoria (v.a.) X, detta ache variabile casuale (v.c.), è ua fuzioe misurabile e a valori reali defiita sullo spazio campioe. d ogi elemeto dello spazio campioe corrispode uo e u solo valore della v.a.; si defiisce ua variabile aleatoria quado si crea ua corrispodeza tra l isieme dei risultati di ua prova e l isieme dei umeri reali. Tuttavia, la corrispodeza tra eveti e umeri o deve essere ecessariamete biuivoca. Variabile aleatoria discreta Ua v.a. è discreta se i valori che assume soo i corrispodeza di u isieme umerabile. d ua v.a. discreta è associata la fuzioe di probabilità, che esprime la probabilità: P(X = x) = p x di ogi valore assuto dalla v.a.; essa è defiita se e solo se: p( x ) 0 i = 1,, ; i p( x i )= 1. (.1.1) i = 1 Variabile aleatoria cotiua Ua v.a. è cotiua se i valori che può assumere soo tutti quelli di u itervallo reale. d essa è associata la fuzioe di desità di probabilità che è ua fuzioe che, i relazioe all area sottesa alla curva, è proporzioale alla probabilità che la v.a. assuma valori i u itervallo ifiitesimo cetrato su x, cioè: P(x X < x + dx) = f(x)dx Per ua fuzioe di desità deve essere: f(x) 0; f( x) dx = 1. (.1.) Fuzioe di ripartizioe La fuzioe di ripartizioe esprime la probabilità che la v.a. X assuma valori iferiori o uguali ad u valore prefissato, cioè per ogi x reale: pi per ua v.a. discreta x F x P X x i x ( )= ( )= x f( w) dw per ua v.a. cotiua. Teoria delle variabili aleatorie

12 34 Fuzioe di rischio La fuzioe di rischio per ua v.a. cotiua assume la seguete espressioe aalitica: f( x) d H( x)= F x F( x) = l 1 ( ) 1 dx [ ] i cui, il deomiatore della frazioe, ossia il complemeto a 1 della fuzioe di ripartizioe, è deomiato fuzioe di affidabilità o fuzioe di sopravviveza e si idica el modo seguete: S( x)= P( X > x)= 1 F( x) essa esprime la probabilità che la durata del feomeo assuma u valore maggiore di x. Esercizio..1.1 La fuzioe di probabilità di ua v.a. discreta X è: P(X = x) = αx per x = 0, 1,, 3 Determiare il valore della costate α. Risoluzioe Per defiizioe di fuzioe di probabilità deve essere: Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria P(x i ) 0 per i = 0, 1,, 3 P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) = 1 I valori delle sigole probabilità soo: P(X = 0) = α (0) = 0 P(X = 1) = α (1) = α P(X = ) = α () = 4α P(X = 3) = α (3) = 9α Sostituedo tali valori ella secoda codizioe imposta prima si ha: da cui si desume facilmete: α + 4α + 9α = 1 α = 1 14 Pertato, la fuzioe di probabilità è: 1 P( X = x)= x per x = 0, 1,, 3 14

13 Esercizio La fuzioe di desità di ua v.a. X è: Determiare il valore della costate α. f( x)= α x per x 3 Risoluzioe Per defiizioe di fuzioe di desità, l itegrale ell isieme di defiizioe deve essere pari a 1; i simboli: da cui: 3 α x dx = 1 pertato: α x dx = α ( x ) α = ( ) ( 3 ) 3 = α 3 = 1 α = 3 La fuzioe di desità è, duque: 3 f( x)= x per x 3 Esercizio..1.3 Si cosideri l esperimeto cosistete el lacio di u dado o truccato, determiare: a) i valori che assume la fuzioe di ripartizioe relativa alla v.a. associata al lacio del dado; b) la rappresetazioe grafica della fuzioe di ripartizioe. Risoluzioe La v.a. X associata al lacio del dado assume i soli valori 1,, 3,, 6, i quali soo ugualmete probabili e co probabilità pari a 1/6. a) La fuzioe di ripartizioe assume, quidi, i segueti valori: x < 1 0 F(x) i x i + 1 i/6 per i = 1,,, 5 x 6 1 TBELL 1 I effetti, ache se i valori della x iferiori ad 1 o superiori a 6 soo impossibili, ha seso calcolare i possibili valori della fuzioe di ripartizioe.. Teoria delle variabili aleatorie

14 36 b) La rappresetazioe grafica della fuzioe di ripartizioe è ua fuzioe a gradii: F(x) 1 5/6 4/6 3/6 /6 1/ x Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria

15 76 Quesiti a scelta multipla 1. Sia data u v.a. X, se essa assume valori i corrispodeza di u isieme umerabile allora, X è: ) reale B) discreta C) cotiua. ffiché u v.a. cotiua sia be defiita occorre che: ) f( x) 0; f( x) dx = 1 B) f( x) 0; f( x) dx = 0 C) f( x) 0; f( x) dx = 1 3. La fuzioe di ripartizioe di ua v.a.: ) può assumere solo valori comprsi tra 1 e 1 B) esprime la probabilità che la v.a. assuma valori iferiori o uguali ad u valore prefissato C) o è legata da alcua relazioe co la fuzioe di desità della medesima v.a. Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria 4. Il Tempo di guasto di u elemeto rappreseta ua realizzazioe di ua v.a.: ) discreta B) cotiua C) crescete 5. La v.a. multivariata (X 1, X,, X m ) è defiita come u regola che associa ad ogi eveto dello spazio campioe: ) u m pla ordiata di valori reali apparteeti a R m realizzazioi delle v.a. B) u solo valore della v.a. C) essu valore della v.a. 6. Data ua v.a. discreta multivariata (X 1, X,, X m ) le v.a. X 1, X,, X m si dicoo idipedeti se, per qualsiasi m pla di valori apparteeti a R m : ) la fuzioe di ripartizioe della v.a. multivariata assume valori iferiori a 0 B) la fuzioe di probabilità cogiuta è pari alla somma delle fuzioi di probabilità delle v.a. compoeti C) la fuzioe di probabilità cogiuta si fattorizza el prodotto delle fuzioi di probabilità delle v.a. compoeti 7. Date due v.a. X e Y il valore medio della v.a. Z = X + 3Y è: ) E(Z) = E(X) + 3E(Y) B) E(Z) = 4E(X) + 9E(Y) C) E(Z) = E(X) + E(Y)

16 8. La variaza di ua v.a. cotiua X avete media µ è: 77 ) Var ( X )= ( x ) f ( x ) dx + B) Var ( X )= x µ f x dx + ( ) ( ) ( ) ( ) + C) Var ( X )= x µ f x dx 9. Se X e Y soo due v.a. idipedeti, allora la variaza della v.a. Z = X + 3Y è: ) Var ( Z )= 3Var ( X )+ Var ( Y ) B) Var ( Z )= Var ( X )+ 3Var ( Y ) C) Var ( Z )= 4Var ( X )+ 9Var ( Y ) 10. Se due v.a. X e Y soo idipedeti: ) Cov ( X, Y )=1 B) Cov ( X, Y )= Var ( X )= Var ( Y ) C) Cov ( X, Y )= 0 Risposte (Per approfodimeti teorici si rimada al volume PT10 - Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria) 1. B (v. cap. par. ).. C (v. cap. par. ). 3. B (v. cap. par..1). 4. B (v. cap. par..). 5. (v. cap. par. 3). 6. C (v. cap. par. 3.). 7. (v. cap. par. 5.). 8. B (v. cap. par. 7). 9. C (v. cap. par. 11.1). 10. C (v. cap. par. 11.1).. Teoria delle variabili aleatorie

17 78 Ulteriori quesiti a scelta multipla (le soluzioi soo dispoibili sul sito 1. La fuzioe di desità di ua v.a. X è: Determiare il valore della costate α. f( x) = αx( 1 x) per0 x Il mometo r esimo stadardizzato di ua v.a. X coicide co l idice di asimmetria di Fisher se: r = 0 r = 1 r = 3 r = 4 3. La fuzioe di desità di probabilità di ua v.a. X è: Determiare il valore medio della v.a. f( x)=3x per0 x 1 Esercizi svolti di Probabilità e Statistica per le scieze e l igegeria La fuzioe di desità di probabilità di ua v.a. X è: ( ) Determiare il valore mediao della v.a. f( x) = exp x per 0 x 1 l La fuzioe di desità di probabilità di ua v.a. discreta X è: P X = x = 1 ( ) x per x =1,, 3, 4 30 Determiare la variaza della v.a

18 Test di verifica (Vero/Falso) (le soluzioi soo dispoibili sul sito d ogi elemeto dello spazio campioe corrispodoo due o più elemeti della v.a.. ffiché ua fuzioe a valori reali possa essere ua fuzioe di desità be defiita occorre che: f( x) 0 + f( x) dx = 1 3. La fuzioe di ripartizioe di ua v.a. può assumere valori egativi. 4. Il umero di pezzi difettosi prodotti da ua macchia è ua v.a. discreta. 5. Se il valore medio della v.a. X è µ, il valore medio della v.a. X µ è La variaza della v.a. X è uguale, i valore assoluto, ma di sego cotrario, alla variaza della v.a. X. 7. Il mometo secodo rispetto al valore medio di ua v.a. coicide co il valore medio della v.a. 8. Se due v.a. X e Y soo idipedeti, allora: Cov ( X, Y )= 0 9. Il coefficiete di correlazioe lieare tra due v.a. è pari al rapporto tra la covariaza tra le due v.a. e il prodotto delle rispettive variaze. 10. Se due v.a. X e Y soo idipedeti, allora: E( XY)= E( X)+ E( Y). Teoria delle variabili aleatorie