CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioni d impresa (Note didattiche) Bruno Chiandotto

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1 CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE Metodi Statistici per le decisioi d impresa (Note didattiche) Bruo Chiadotto CALCOLO DELLE PROBABILITA Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo si è sviluppato teoricamete fio ad assumere u ruolo particolarmete rilevate ell aalisi dei feomei collettivi divetado, come già sottolieato i precedeza, presupposto esseziale della teoria delle decisioi e della statistica. La teoria delle probabilità è ua disciplia matematica astratta e altamete formalizzata pur coservado il suo origiale e rilevate coteuto empirico; per questa sua particolare atura l esposizioe, ecessariamete sommaria, dei suoi coteuti risulta facilitata dall itroduzioe di defiizioi esplicite relative agli aspetti e cocetti che e costituiscoo il corpo. Defiizioe : Si dice esperimeto casuale, ogi operazioe o attività (feomeo) il cui risultato (la cui maifestazioe) o può essere previsto co certezza. Risulta chiaro che il termie esperimeto va qui iteso i seso lato, comprededo i esso, sia il caso del lacio di u dado, sia il caso dell'estrazioe di ua pallia da u'ura, sia il caso della rilevazioe dei pesi dei coscritti alla leva, sia quello dell esito di ua operazioe chirurgica, sia il caso della sperimetazioe di u uovo farmaco, sia quello del cotrollo dei pezzi prodotti da u certo macchiario ecc. Defiizioe : Si dice spazio campioario di u esperimeto casuale, l'isieme Ω di tutti i possibili risultati, esaustivi e mutualmete escludetesi, dell'esperimeto stesso. Se l'esperimeto cosiste ell'estrazioe di ua pallia da u'ura che e cotiee idetiche a meo del umero progressivo, da a, sopra impresso, lo spazio campioario resta defiito da (,,...,,..., ) Ω ω ω ω ω i dove ω i (i,,...,) sta ad idicare il puto campoario costituito dalla estrazioe della

2 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. pallia cotrassegata co il umero i. Se l'esperimeto si svolge attraverso il cotrollo dei pezzi prodotti da u certo macchiario avedo come fialità l'accertameto della botà o difettosità del pezzo prodotto, lo spazio campioario Ω sarà composto dai soli due elemeti (puti campioari) ω e ω, dove ω rappreseta il pezzo difettoso ed ω il pezzo o difettoso. Defiizioe 3: Se lo spazio campioario è costituito da u umero fiito o da u ifiità umerabile di puti campioari, si dice eveto ogi sottoisieme E dello spazio campioario Ω. Se lo spazio campioario è costituito d u ifiità o umerabile di puti, o tutti i possibili sottoisiemi di Ω soo eveti; i questa sede verrao, comuque, cosiderati soltato i cosidetti sottoisiemi ammissibili di Ω, cioè i sottoisiemi che hao atura di eveti. Ogi eveto sarà pertato costituito da u isieme di puti campioari. Se, ad esempio, si fa riferimeto al caso dell'estrazioe di ua pallia da u'ura che e cotiee, si può pesare di suddividere l'itero spazio campioario i due sottospazi Ω ed Ω coteeti, rispettivamete, i puti campioari: a) presetarsi di ua pallia cotrassegata da u umero dispari; b) presetarsi di ua pallia cotrassegata co u umero pari. L'eveto E ( ω : ω i per i pari o dispari) ( ω, ω,..., ω,..., ω ) i Ω coicide co l'itero spazio e rappreseta l'eveto certo; l'eveto cioè che certamete si realizzerà i quato effettuado l'estrazioe è certo che si preseterà ua pallia o cotrassegata co u umero dispari o cotrassegata co u umero pari. L'eveto E ( ω : ω i per i pari e dispari)

3 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. è u eveto che o cotiee puti campioari; ifatti ogi pallia è cotrassegata o da u umero dispari o da u umero pari e o esiste pallia cotrassegata da u umero che è dispari e pari allo stesso tempo. L'eveto così defiito viee detto eveto impossibile (si tratta dell'eveto che o si potrà mai realizzare) e deotato co il simbolo ø. Gli eveti E i (ω i ), per i,,,, vegoo detti eveti elemetari i quato costituiti da u solo puto campioario. Sugli eveti si può itrodurre u'algebra, cioè u isieme di operazioi che soddisfao certe proprietà e che geerao, come risultato delle operazioi stesse, acora degli eveti, cioè elemeti che appartegoo all isieme B sui quali è stata itrodotta l algebra e si parla di sistema chiuso rispetto alle operazioi itrodotte. Se il sistema è chiuso rispetto ad u umero fiito di operazioi, si parla di algebra di Boole o, più semplicemete, di algebra o campo, se il sistema è chiuso rispetto ad u ifità umerabile di operazioi, si parla di algebra di Boole completa o, più semplicemete, di σ-algebra o σ-campo. Il lettore a coosceza dei rudimeti della teoria degli isiemi oterà come quato esposto i queste ote, riguardo agli eveti, o rappreseta alcuchè di uovo o di diverso rispetto al già coosciuto; i effetti gli eveti possoo essere iterpretati come isiemi, o meglio, come sottoisiemi di u isieme dato rappresetato dallo spazio campioario Ω. Si ha così che l'eveto certo Ω (coicidete co l'itero spazio campioario) o rappreseta altro che l'isieme uiversale, metre l'eveto impossibile ø corrispoderà all'isieme vuoto. Le operazioi proprie della teoria degli isiemi soo quella di prodotto o itersezioe ( ), quella di somma o uioe ( ), quella di complemetazioe o egazioe E e quella di differeza (-); si tratta delle stesse operazioi che, oltre al cocetto di iclusioe, verrao qui cosiderate i quato costitueti parte esseziale dell'algebra degli eveti. 3

4 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Si dice che u eveto E è icluso ell'eveto E, e si scrive E E se ogi puto campioario apparteete ad E appartiee ache ad E. Due eveti E ed E soo, quidi, uguali se e solo se (sse) cotemporaeamete E E ed E E i questo caso i due eveti sarao costituiti dagli stessi puti campioari. Si defiisce come egazioe (complemetazioe ella teoria degli isiemi) di u eveto E, e si scrive E, l'eveto che si realizza quado o si realizza E. L'eveto E sarà pertato, costituito da tutti i puti campioari di Ω che o appartegoo ad E. Nella figura sottostate vegoo proposti graficamete (facedo ricorso ai cosidetti diagrammi di Ve) il cocetto di eveto icluso e di eveto egato. Ω E E E Fig. 4 - Diagrammi di Ve per l iclusioe e la egazioe dove il quadrato rappreseta l itero spazio campioario Ω e E E. Sugli eveti vegoo defiite le due ulteriori operazioi di itersezioe (o prodotto) tra eveti e quello di uioe (o somma) di eveti. L'itersezioe tra due eveti E ed E è l'eveto E 3 E E, che resta defiito dai puti campioari che appartegoo sia ad E sia ad E. L'uioe tra due eveti E ed E è l'eveto E 4 E E che resta defiito da tutti i puti campioari che appartegoo ad E o ad E o ad etrambi gli eveti E ed E. 4

5 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. La rappresetazioe grafica tramite i diagrammi di Ve delle due operazioi (itersezioe ed uioe) è riportata ella figura sottostate Ω Ω E 3 E E E 4 Fig. 5 - Diagrammi di Ve per l itersezioe e l uioe dove il tratteggio vuole evideziare rispettivamete, l eveto E 3, ella prima figura e l eveto E 4 ella secoda figura. Si defiisce, ifie, come differeza fra due eveti E ed E l'eveto E 5 E - E che risulta costituito dai puti campioari che appartegoo ad E ma o a E. Si oti che ua volta itrodotte le operazioi di egazioe ed itersezioe (operazioi base dell algebra di Boole) si potrebbe fare a meo d'itrodurre le due ulteriori operazioi di uioe e di differeza o essedo queste ultime operazioi cocettualmete uove; ifatti: E E ( E ) E E ( E ) E E La relazioe E E ( E ) e la relazioe duale E E ( E ) E E vegoo usualmete dette leggi di de Morga. L'itroduzioe di queste due ultime operazioi è giustificata dalla semplificazioe, sia formale sia operativa, che esse comportao. 5

6 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Due eveti E e E si dicoo icompatibili se la loro itersezioe da luogo all'eveto impossibile E E ø si tratta di eveti che o hao elemeti (puti campioari) comui. A questo puto risulta facile verificare le relazioi segueti, dove il simbolo rappreseta la relazioe di implicazioe (dalla prima relazioe deriva ecessariamete - è implicata - la secoda relazioe): E E > E E E E E > E E E φ Ω Ω ø ø E Ω E ø ø E Ω E E ø E E Ω Ω E E ø E E Ω E (E E ) (E E ) E E (E E ) (E E ) E 6

7 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. U ulteriore e rilevate cocetto è quello di codizioameto degli eveti. L'eveto E /E (e si legge l'eveto E codizioato dall'eveto E o, più semplicemete, l'eveto E dato E ) va aalizzato presuppoedo già verificato l'eveto codizioate E. Il codizioameto degli eveti si risolve, praticamete, i ua sorta di ridefiizioe dello spazio campioario che da Ω si trasforma ell'eveto codizioate, o, acora meglio, è l'eveto codizioate che assume la atura di spazio campioario di riferimeto. Ω E E Fig. 6 - Ridefiizioe degli spazi per eveti codizioati Se si cosidera l'eveto codizioato E /E o solo E si trasforma i Ω ma ache l'eveto E si trasforma ell'eveto E E, i quato, sapedo che l'eveto E si è verificato perdoo di rilevaza tutti i puti campioari che pur apparteedo ad E o appartegoo ad E. Le operazioi di uioe e di itersezioe possoo, aturalmete, essere applicate ache a (>) eveti. l'itersezioe fra eveti E,E,.,E forisce come risultato l'eveto E E E E... E E i i che cotiee tutti i puti campioari ω i comui ai eveti E,E,.,E ; metre, l'uioe tra gli stessi eveti dà come risultato l'eveto E E E E... E E i i 7

8 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. che cotiee tutti i puti campioari ω i che appartegoo ad almeo uo degli eveti E i. Le operazioi di uioe e di itersezioe soddisfao la proprietà associativa e quella distributiva E E E 3 (E E ) E 3 E (E E 3 ) E E E 3 (E E ) E 3 E (E E 3 ) E (E E 3 ) (E E ) (E E 3 ) E (E E 3 ) (E E ) (E E 3 ) Le due ultime proprietà (distributive) per eveti dao E (E E... E ) E ( i E i ) (E E i ) i E (E E... E ) E ( E i ) i (E E i ) i Relativamete agli esperimeti casuali più semplici o s'icotrao, usualmete, difficoltà ell'idividuazioe e ella successiva eumerazioe dei puti campioari che e costituiscoo i possibili risultati. I esperimeti più complessi possoo risultare di otevole ausilio alcue formule combiatorie (richiamate siteticamete i appedice al capitolo) che facilitao otevolmete l'eumerazioe dei puti campioari, cioè l'esatta defiizioe dello spazio campioario. Defiizioe 4: Si dice probabilità di u eveto, la fuzioe a valori reali P(E), defiita sulla classe dei sottoisiemi ammissibili (eveti) dello spazio campioario che soddisfa specifiche proprietà. I cocetti (primitivi) prova o esperimeto casuale, eveto e probabilità itrodotti soo legati fra loro dalla seguete frase: "l'esperimeto geera l'eveto co ua certa 8

9 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. probabilità". Dove, aturalmete, la probabilità va itesa come misura applicata agli eveti quado viee codotto u esperimeto casuale. I tre cocetti primitivi soo posti a base della defiizioe assiomatica di probabilità. Si tratta di ua defiizioe che o ha sollevato obiezioi sostaziali da parte degli studiosi dopo la sua formulazioe da parte di Kolmogorov. Si tratta ifatti di ua defiizioe che si preoccupa di precisare e chiarire soltato i coteuti sitattici sui quali è più facile trovare l'accordo. Ma se da u lato il cosidetto approccio assiomaticoformale alla probabilità preseta idubbi vataggi, sia i termii di accettabilità che di sviluppo della teoria, dall'altro lato il cosiderare i soli aspetti formali esclude ogi operatività della defiizioe stessa i quato o cosete la derivazioe umerica della probabilità ei sigoli casi cocreti. Quado si vuol far ricorso alla probabilità per risolvere problemi reali si dovrà, quidi, fare ecessariamete ricorso ad altre defiizioi elle quali l'aspetto sematico viee privilegiato. Prima di trattare della defiizioe assiomatica di probabilità coviee, pertato, itrodurre altre defiizioi. Tra le iumerevoli defiizioi proposte i letteratura, i questa sede se e presetao soltato tre: la defiizioe classica, quella frequetista o statistica e la defiizioe soggettiva. Si tratta delle tre defiizioi o assiomatiche della probabilità più ote ed alle quali si fa più spesso riferimeto i pratica; tutte e tre le defiizioi soddisfao ai postulati posti a base della defiizioe assiomatica di probabilità. Defiizioe classica (a priori) della probabilità La probabilità P(E) di u eveto E è data dal rapporto tra il umero E dei casi favorevoli al verificarsi dell'eveto e il umero dei casi possibili, purchè tutti i casi siao egualmete possibili E PE ( ) umero dei casi favorevoli umero dei casi possibili Alla defiizioe classica di probabilità soo state rivolte critiche di varia atura. La prima critica è di ordie logico e riguarda la circolarità della defiizioe: affermare 9

10 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. che tutti i casi soo ugualmete possibili sigifica dire che soo ugualmete probabili (o si può defiire u cocetto utilizzado lo stesso cocetto). Altre due critiche riguardao l operatività della defiizioe; ua volta superato lo scoglio logico, o soo affatto rare le situazioi reali elle queli o è possibile procedere all eumerazioe dei casi favorevoli e dei casi possibili, ioltre, ache elle situazioi i cui si può effettuare ua tale eumerazioe, o è ifrequete la circostaza i cui o tutti i casi soo ugualmete possibili. Per superare gli icoveieti operativi cui si adrebbe icotro se si volesse far ricorso alla defiizioe classica di probabilità quado le situazioi o lo cosetoo, è stata itrodotta ua diversa defiizioe di probabilità. Defiizioe frequetista o statistica (a posteriori) della probabilità La probabilità di u eveto ripetibile E è data dal rapporto tra il umero E delle volte i cui l'eveto si è verificato ed il umero delle prove (effettuate tutte elle stesse codizioi) quado il umero delle prove stesse tede ad ifiito P(E) lim E La probabilità secodo questa defiizioe può essere, pertato, itesa come ua sorta di idealizzazioe della frequeza relativa che verrà itrodotta el cotesto della statistica descrittiva. Talui autori ritegoo, ifatti, che probabilità e frequeza relativa o siao altro che l'aspetto teorico e quello empirico di uo stesso cocetto ed iterpretao la frequeza relativa di u eveto come misura approssimata (per fiito) della probabilità. Ache alla defiizioe frequetista soo state rivolte critiche di varia atura quale quella relativa al limite irraggiugibile (+ ) imposto al umero delle prove, ma ad ua tale critica si rispode accettado la frequeza relativa di u umero fiito (ma sufficietemete elevato) di prove come misura approssimata della probabilità. Molto più problematica è la risposta alla critica relativa alla ripetibilità delle prove (esperimeto) i situazioi ivariate e, soprattutto, quella che fa riferimeto alle situazioi reali, e o soo affatto ifrequeti, elle quali o è possibile procedere all effettuazioe di alcua prova. 0

11 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Ua defiizioe che supera le critiche, sia di ordie logico che operativo, rivolte alla defiizioe classica e alla defiizioe frequetista di probabilità è la defiizioe sotto riportata. Defiizioe soggettiva della probabilità La probabilità P(E) di u eveto E viee defiita come il grado di fiducia che u idividuo razioale attribuisce al verificarsi di u eveto. La misura (soggettiva) di probabilità si deriva poedo l'idividuo (razioale) di frote ad u'operazioe di scommessa chiededo quato è disposto a putare per ricevere el caso i cui l'eveto i questioe si realizzi. Si deve sottolieare che questa affermazioe vale solo el caso di idividui co fuzioe di utilità lieare; ma sulla fuzioe di utilità si avrà modo di torare elle pagie successive. Ache alla defiizioe soggettiva di probabilità soo state rivolte critiche. La prima riguarda proprio la soggettività isita ella stessa defiizioe, la secoda è relativa alla difficoltà di traduzioe i u valore umerico sigificativo del grado di fiducia. Alla prima critica si rispode osservado che qualuque probabilità deve essere itesa i seso codizioato, cioè codizioatamete allo stato di iformazioe dell idividuo (razioale); pertato, ache se apparetemete due idividui diversi attribuiscoo ua diversa misura di probabilità ad uo stesso eveto, gli stessi idividui si riferiscoo a due diversi eveti essedo diverso lo stato di iformazioe su cui basao l esplicitazioe del proprio grado di fiducia. Alla secoda critica si rispode che, oostate alcue difficoltà operative, alla misura di probabilità si perviee, come già sottolieato, attraverso l attivazioe di u processo relativamete semplice (almeo sul piao cocettuale) che è quello di porre l idividuo di frote ad ua operazioe di scommessa. Le tre defiizioi itrodotte, cui si può far ricorso per addiveire ad ua valutazioe umerica della probabilità, o soo ecessarie per lo sviluppo del calcolo delle probabilità bastado a tal fie la defiizioe assiomatica, ed a questa defiizioe si farà riferimeto egli sviluppi teorici che seguoo. Alle tre defiizioi o assiomatiche si farà, di volta i volta, riferimeto elle esemplificazioi delle argometazioi teoriche.

12 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Defiizioe assiomatica di probabilità Gli assiomi o postulati di base del Calcolo delle probabilità soo sei: il primo riguarda il cocetto primitivo di eveto, gli altri cique il cocetto primitivo di probabilità. Assioma - Gli eveti formao u algebra di Boole completa. Assioma - La misura di probabilità di u eveto P(E) è uica. Assioma 3 - La misura della probabilità di u eveto è sempre o egativa P(E) 0 Assioma 4 - La probabilità dell eveto certo è uguale a P(Ω) Assioma 5 - Se due eveti E ed E soo icompatibili, cioè se la loro itersezioe è l eveto impossibile, allora la probabilità della loro uioe è uguale alla somma delle probabilità dei sigoli eveti (pricipio delle probabilità totali per eveti icompatibili) P(E E ) P(E ) + P(E ) per E E Assioma 6 - La probabilità dell eveto codizioato E /E è pari alla probabilità dell itersezioe dei due eveti rapportata alla probabilità dell eveto codizioate supposta maggiore di 0 P(E /E ) P(E E ) P(E ) per P(E ) > 0 L ultima relazioe può essere riscritta (pricipio delle probabilità composte) come: P(E E ) P(E ) P(E /E ) P(E E ) P(E ) P(E /E ) Avedo defiito la probabilità come fuzioe da applicare agli eveti dove, come precisato, l'eveto è u qualuque sottoisieme dello spazio campioario Ω, cioè u elemeto dell isieme B (Algebra di Boole completa costruita su Ω), risulta facile dimostrare le relazioi d uguagliaza (teoremi) segueti:

13 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. P( E) P(E) P(E) P(ø) 0 E E > P(E ) < P(E ) P(E E ) P(E ) + P(E ) - P(E E ) L'ultima relazioe, detta ache (impropriamete) pricipio delle probabilità totali, per eveti diveta P i Ei ΣP + ( Ei ) Σi Σ jp( Ei E j) + Σi Σ jσh P( Ei E j Eh ) + + ( ) e si riduce al postulato delle probabilità totali i E i P E i P(E ) i i i quado i eveti E i soo tra loro icompatibili. La probabilità per eveti codizioati o, più semplicemete, la probabilità codizioata P(E /E ) soddisfa ai primi cique assiomi; ifatti gli eveti codizioati formao u algebra di Boole, ioltre P(E /E) 0 P(E/E) P(E E.../E) P(E /E) + P(E /E) +... se gli eveti E, E,... soo icompatibili. Ioltre E E > P(E /E) P(E /E) P( E /E) - P(E /E) 3

14 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. P(E E /E) P(E /E) + P(E /E) - P(E E /E) Il pricipio delle probabilità composte; può riguardare ache u umero qualsiasi di eveti E, E, E 3,..., si avrà allora P(E E E 3...) P(E ).P(E /E ).P(E 3 /E E )... Si cosideri ua partizioe dello spazio campioario Ω i eveti E, E,..., E i,..., E ; i eveti soo ecessari ed icompatibili, tali cioè da rispettare le codizioi E i E j ø per i j,,..., e E i i Ω. Se E è u eveto apparteete ad Ω si ha E E Ω E ( E i i ) i (E E i ) e, per l'icompatibilità degli eveti E i, ache P(E) P [ (E E i )] i i P(E E i ) Ioltre, valedo le relazioi P(E E j ) P(E j )P(E/ E j ) P(E j E) P(E) P(E j /E) si avrà P(E j /E) P(E j)p(e / E j) P(E) i P(E j P(E )P(E/E i j ) )P(E/E i ) che viee detta formula di Baes ed assume ua rilevaza particolare quado i eveti E i possoo essere iterpretati come possibili cause dell'eveto E. I tale cotesto, 4

15 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. P(E j /E) viee detta probabilità a posteriori della causa E j ; metre, P(E j ) rappreseta la probabilità a priori della stessa causa e P(E/ E j ) è detta probabilità probativa o verosimigliaza dell'eveto E. Ω E E 3 E4 E E E 5 Fig. 7 - Partizioe dello spazio campioario Ω i cique eveti E, E, E 3, E 4 ed E 5 possibili cause dell eveto E La formula di Baes esprime i maiera molto semplice il processo di appredimeto dall'esperieza i cotesti o determiistici. Della realtà si possiede ua coosceza probabilistica, che viee espressa i termii di probabilità (a priori) P(E j ), queste probabilità si trasformao, al verificarsi dell'eveto E (acquisizioe di ulteriori iformazioi), elle probabilità (a posteriori) P(E j /E). Le probabilità codizioate si usao, quidi, per riassegare le probabilità agli eveti ua volta che siao state acquisite ulteriori iformazioi relative ad ua realizzazioe parziale di u esperimeto casuale. Sapedo che si è realizzato u certo eveto E, o è detto che questo modifichi ecessariamete la probabilità di realizzarsi di u altro eveto E, può accadere cioè che P(E / E ) P(E ) i tal caso si avrà ache (pricipio delle probabilità composte per eveti idipedeti) P(E E ) P(E ) P(E ) ed i due eveti E ed E si dicoo idipedeti statisticamete (o idipedeti stocasticamete, o idipedeti i probabilità). 5

16 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Più i geerale, eveti E, E,..., E si dicoo statisticamete (o stocasticamete o probabilisticamete) idipedeti se P(E E... E ) P(E ) P(E )... P(E ) i i i i i i per ogi sottoisieme di eveti E, E,, E per s, 3, 4,...,. Ad esempio i i i is tre eveti E, E ed E 3 soo statisticamete idipedeti se valgoo le relazioi P(E E ) P(E ) P(E ) P(E E 3 ) P(E ) P(E 3 ) P(E E 3 ) P(E ) P(E 3 ) P(E E E 3 ) P(E ) P(E ) P(E 3 ) Si deve sottolieare i proposito che le prime tre relazioi (idipedeze doppie) o implicao la quarta (idipedeza tripla). Così come la quarta relazioe o implica le prime tre. Prima di procedere all'itroduzioe di ulteriori cocetti, coviee precisare acora ua volta il ruolo che, i qualuque cotesto di ricerca, viee svolto dalla statistica e quello svolto dal calcolo delle probabilità. Il calcolo delle probabilità si occupa dello studio degli esperimeti casuali, della coereza delle probabilità assute dai vari eveti, della costruzioe di modelli probabilistici su esperimeti casuali e sulle loro implicazioi. Metre la statistica si preoccupa di accertare se le effettive osservazioi, relative ad u determiato esperimeto o a ua serie di esperimeti casuali, soo coereti co il modello probabilistico assuto. Nella statistica, aturalmete, le osservazioi e le evetuali coosceze a priori sul feomeo oggetto d'idagie possoo essere utilizzate per la costruzioe di u modello probabilistico rappresetativo del feomeo cui le osservazioi e le coosceze a priori si riferiscoo. L'uso delle coosceze a priori ella statistica iduttiva caratterizza la cosidetta ifereza statistica baesiaa; che si distigue dalla ifereza statistica classica proprio perchè questa ultima, basata sul presupposto della riproducibilità delle esperieze, prefigura l'utilizzo delle sole iformazioi campioarie. 6

17 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Se co I p si idica l'isieme delle iformazioi a priori, si può proporre ua rappresetazioe schematica completa (cfr. Fig.8) di quato si è adato dicedo fio a questo mometo dopo aver aggiuto, a completameto del quadro delieato, che il calcolo delle probabilità si occupa ache dello studio dell'uiverso o spazio dei campioi; spazio questo costituito dall'isieme di tutti i possibili campioi estraibili da ua determiata popolazioe. f (.). F P. R f i (.). SPAZIO o UNIVERSO dei Campioi DEDUZIONE Calcolo delle Probabilità C t (.). t i (.). t (.) Rc R CLASSICA INDUZIONE Ifereza Statistica Ip BAYESIANA Fig.8 - Rappresetazioe grafica del processo di iduzioe statistica (classica e baesiaa) Dopo la sommaria idicazioe delle operazioi proprie del calcolo delle probabilità e dopo aver precisato che la tripletta (Ω, B, P(.)) [dove: Ω è lo spazio campioario (cioè l isieme di tutti i puti campioari ω,... possibili risultati di u, ω esperimeto casuale), B è l algebra di Boole completa costruita su Ω e P(.) è ua fuzioe defiita su B che gode di particolari proprietà], viee detta spazio di probabilità o spazio probabilistico, si può procedere all'itroduzioe di due ulteriori cocetti che possoo essere riteuti fodametali ello sviluppo sia del calcolo delle probabilità sia della statistica. Il primo cocetto è quello di "variabile casuale", il secodo è quello di "fuzioe di distribuzioe". 7

18 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Defiizioe 5: Si dice variabile casuale, ua fuzioe X (.) a valori reali defiita sullo spazio campioario Ω; cioè ogi fuzioe che, soddisfacedo ad opportue codizioi (tali da preservare la struttura di B), associa ad ogi puto dello spazio campioario u umero reale. I termii più rigorosi, la fuzioe uivoca X( ω ) defiita su Ω è ua variabile casuale (o variabile stocastica, o variabile aleatoria o umero aleatorio) se vale la relazioe A { ω Ω / X( ω) } B cioè se l isieme A, costituito da tutti gli eveti elemetari ω per i quali il valore assuto dalla fuzioe X(ω ) è miore od uguale ad u umero reale qualsiasi, è u elemeto di B, cioè u eveto apparteete all algebra. Le variabili casuali si distiguoo i: a) discrete, se il rago della fuzioe è costituito da u umero fiito o da u'ifiità umerabile di umeri reali; b) cotiue, se il rago della fuzioe è costituito da u isieme cotiuo (e quidi o umerabile) di umeri reali. Defiizioe 6: Si dice fuzioe di distribuzioe (o fuzioe di ripartizioe, o fuzioe delle probabilità cumulate) della variabile casuale X, la fuzioe F() defiita dalla relazioe F() P (X ) dove: rappreseta u umero reale qualuque; P (X ) misura la probabilità co cui la variabile casuale X può assumere u valore iferiore od uguale al umero reale. La fuzioe di distribuzioe o rappreseta altro che la probabilità dell eveto A P Ω / X( ) P X( ) P( X ). defiito i precedeza; ifatti, P(A) [ ω ω ] [ ω ] 8

19 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Se co,,...,, si idicao le possibili determiazioi distite, ordiate i modo crescete, di ua certa variabile casuale discreta X e co p, p,...,p, le probabilità rispettive, si avrà F( i ) P(X i ) i j P(X j ) i j p j dove pj P(X j ) La fuzioe f( i ) che deriva dalla relazioe f( i ) F( i ) - F( i- ) viee detta fuzioe di massa di probabilità e, ovviamete, forisce la probabilità che l etità variabile X ha di assumere la specifica determiazioe i ; ifatti F( i ) - F( i- ) P (X i ) - P (X i- ) P(X i ) per i,,...,. Nel caso i cui la variabile X sia cotiua, e la F() sia ua fuzioe assolutamete cotiua (si supporrà, da ora i poi e per tutte le F(), che tale codizioe sia soddisfatta), esisterà la derivata f() df ( ) d Si ricorda i proposito che le fuzioi assolutamete cotiue soo fuzioi cotiue e derivabili (quasi ovuque). La fuzioe f() così defiita viee detta fuzioe di desità di probabilità o più semplicemete fuzioe di desità. Si avrà quidi ache X f() d F(). Evidetemete, f() d df(), rappreseta la probabilità co cui ua variabile casuale cotiua X assume valori all'itero dell'itervallio ifiitesimo +d. Va rilevato che le fuzioi di distribuzioe, e quidi le corrispodeti (corrispodeza biuivoca) fuzioi di massa di probabilità, el discreto, di desità di probabilità, el cotiuo, che idetificao completamete le variabili casuali cui si riferiscoo, soo caratterizzate da specifici valori (etità di riferimeto) dette parametri. Per evideziare tale fatto, si usa la otazioe 9

20 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. F(; θ ;θ,...,θ µ ) ; f(; θ ;θ,...,θ µ ) dove i simboli θ ;θ,...,θ µ idicao i parametri caratteristici della fuzioe (modello probabilistico). Ripercorredo il processo che ha portato alla defiizioe della fuzioe di distribuzioe, della fuzioe di massa e di desità di probabilità, risulta immediata l idividuazioe delle proprietà che tali fuzioi soddisfao. Si suppoga che la variabile casuale discreta X possa assumere le determiazioi,,..., i,...,, (dove: i < i+ e può ache tedere al valore + ) e che la variabile casuale cotiua X risulti defiita ell itervallo dell asse reale a b(dove: a < b, a può tedere al valore - e b tedere al valore + ), allora la fuzioe di distribuzioe F():. assume valori ell itervallo uitario 0 F(). il limite siistro assume valore zero lim F() 0 3. il limite destro assume valore uo lim + F() 4. è mootoa o decrescete 5. è cotiua a destra el caso discreto (i puti di discotiuità si collocao i corrispodeza dei valori,,..., assuti dalla variabile) è assolutamete cotiua (cotiua e derivabile quasi ovuque) el caso cotiuo. La fuzioe di massa di probabilità f( i ), essedo ua probabilità gode delle proprietà già cosiderate relativamete a tale etità, ioltre f( i ) i La fuzioe di desità f() soddisfa le codizioi f() 0. 0

21 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. b f ( ) d a Da quato è stato detto, risulta che ua variabile casuale rimae idividuata completamete dalla sua fuzioe di distribuzioe (o di massa o di desità di probabilità) e che essa rappreseta ua formalizzazioe astratta (modello) dell'isieme delle possibili maifestazioi di u certo feomeo avete atura aleatoria. Per particolari esigeze scietifiche ed operative si può essere iteressati all effettuazioe di ua rappresetazioe sitetica delle maifestazioi di u certo feomeo mediate idici caratteristici. Può, cioè, risultare coveiete, o sufficiete, descrivere ua variabile casuale co degli idici caratteristici, azichè procedere ad ua sua rappresetazioe completa mediate la fuzioe di distribuzioe, la fuzioe di massa o la fuzioe di desità di probabilità. U modo di perveire alla sitesi di ua variabile casuale X è quello di procedere al calcolo del valore atteso E(.) di particolari trasformazioi Y g(x) della variabile casuale stessa. I questa sede si cosiderao solo le trasformazioi che portao alla defiizioe di ua uova variabile casuale; se, ad es., X è ua v.c. cotiua co fuzioe di desità f(), ache Y g(x) è ua variabile casuale, discreta o cotiua, la cui fuzioe di desità f() o di massa di probabilità f( i ) potrà essere derivata attraverso appropriate trasformazioi della fuzioe di desità f(). Defiizioe 7: Si defiisce valore atteso di ua trasformazioe g(x) di ua variabile casuale X, co fuzioe di distribuzioe F(), la quatità defiita dalla relazioe E [ g( X )] g( i ) f ( i ) el discreto i0 [ g( X )] g()() f E d el cotiuo dove f ( i ) è la fuzioe di massa di probabilità della variabile casuale discreta X che assume il valore i co probabilità ( ) i f, per i,,..., ; metre f () è la fuzioe di desità di probabilità della variabile casuale cotiua X, defiita ell itervallo a b. Si può osservare come l operatore valore atteso o richieda la derivazioe della fuzioe di desità o di massa di probabilità della variabile casuale trasformata Y

22 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. g(x) e goda della proprietà di liearità; ifatti, per qualuque variabile X, co fuzioe f( i ) el discreto, f() el cotiuo, date due costati a, b e due trasformazioi g (X) e g (X) acora variabili casuali { ( ) + ( )} [ ( )] + [ ( )] Eag X bg X a Eg X b Eg X come si può verificare facilmete osservado le relazioi sotto riportate { } [ i i ] E ag ( X) + bg ( X) ag ( ) + bg ( ) f ( ) el discreto e i i [ ] [ ] a g ( ) f( ) + b g ( ) f( ) a E g ( X) + b E g ( X) i b E[ ] [ ] i i i i i ag ( X) + bg ( X) ag ( ) + bg ( ) f( ) d el cotiuo. a [ ] [ ] a g ( ) f ( ) d + b g ( ) f ( ) d a E g ( X ) + b E g ( X ) a b b a Poedo g(x) X r per r 0,,,... si ha EgX [ ( )] EX ( ) µ r r i b r a f( ) r i f( ) d i el discreto el cotiuo che viee detto mometo r-esimo rispetto all origie o mometo di ordie r rispetto all origie. Da rilevare che il mometo di ordie 0 EX ( ) µ 0 0 i b f( ) el discreto f( ) d a i el cotiuo è assolutamete o sigificativo risultado, almeo elle codizioi qui prefigurate, sempre uguale ad uo per qualuque variabile casuale. Particolare rilevaza assume il mometo di ordie uo.

23 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. µ µ EgX [ ( )] EX ( ) i b a f( ) i f( ) d i eldiscreto el cotiuo che viee detto ache media aritmetica della variabile casuale ed è l idice sitetico (idice caratteristico) più utilizzato per mettere i evideza quato c è di tipico ella variabile casuale. Altri mometi di u certo rilievo soo il mometo secodo µ, il mometo terzo µ 3 ed il mometo quarto µ 4 che evideziao, come si avrà modo di sottolieare elle righe successive, la loro rilevaza i cotesti diversi di sitesi delle variabili casuali. r Poedo g(x) ( X µ ), per r 0,,..., dove µ µ EX ( ) è il mometo primo rispetto all origie (media aritmetica) della variabile casuale X, si avrà µ r r [ ] E [(X µ ) ] E g(x) i b a r ( µ ) f ( ) i r ( µ ) f ()d i el discreto el cotiuo che viee detto mometo cetrale r-esimo o mometo di ordie r rispetto alla media (aritmetica). Oltre al mometo di ordie zero, o preseta alcua rilevaza ache il mometo di ordie uo; ifatti [ ] [ ] µ EgX ( ) E( X µ ) EX ( ) E( µ ) µ µ 0 dove o si è più proceduto, essedo fatto ormai acquisito, alla esplicitazioe del valore atteso i termii di sommatoria o di itegrale. La trasformazioe g(x) ( X µ ) si risolve co ua traslazioe dell origie el puto medio. La variabile casuale trasformata si idica usualmete co il simbolo S ( X µ ) e viee detta variabile casuale scarto. Qualuque variabile casuale scarto ha, pertato, il mometo primo sempre uguale a zero; cioè la media aritmetica di ua qualuque variabile casuale scarto è uguale a zero. Il mometo cetrale di ordie due [ ( )] E[ ( X ) ] µ EgX µ EX ( + µ µ X) EX ( ) + E( µ ) µ EX ( ) 3

24 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. µ + µ µ µ µ σ viee deomiato variaza ed assume ua rilevaza tutta particolare i quato è l idice più utilizzato per sitetizzare la variabilità di ua variabile casuale. Da sottolieare che il mometo cetrale di ordie due µ, cioè la variaza σ, è uguale al mometo secodo rispetto all origie ( µ ) meo il quadrato del mometo primo rispetto all origie ( µ ). Essedo la media (aritmetica) e la variaza gli idici caratteristici più utilizzati per sitetizzare i u solo valore, rispettivamete, la tipicità e la variabilità di ua variabile casuale, si icotrao spesso situazioi i cui iteressa valutare l effetto sulla media e sulla variaza di particolari trasformazioi di variabili casuali. Iteressa, ad esempio, i molti cotesti di ricerca procedere ad ua trasformazioe lieare (cambiameto del sistema di riferimeto che si risolve ella traslazioe dell origie e el cambiameto dell uità di misura co cui è espressa la variabile) della variabile X Se co µ e σ Y a + bx si idicao rispettivamete la media e la variaza della variabile casuale X, la media e la variaza della variabile casuale trasformata Y risultao dalla relazioe µ EY ( ) Ea ( + bx) a+ bµ cioè, la media di ua trasformazioe lieare di ua variabile casuale è uguale alla trasformazioe lieare della media della variabile casuale origiaria. [ µ ) ] E [(a + bx a bµ ] σ E (Y ) [( ) ] [( ) ] E bx bµ b E X µ b σ cioè, la variaza di ua trasformazioe lieare di ua variabile casuale è pari alla variaza della variabile casuale origiaria moltiplicata per il quadrato del coefficiete agolare della trasformazioe. Poedo g(x) X µ σ r 4

25 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. dove: µ è il mometo primo (media aritmetica) della variabile casuale X e σ la radice quadrata positiva della sua variaza σ, si ha µ r r i µ r [ ] µ f ( i ) el discreto X i E g(x) E σ per r,,... r σ b µ f ()d elcotiuo a σ che viee detto mometo stadardizzato r-esimo o mometo stadardizzato di ordie r. La trasformazioe (lieare), stadardizzazioe Z X µ σ µ + σ σ X è particolarmete rilevate i quato oltre a procedere alla traslazioe el puto medio si utilizza come uova uità di misura il valore assuto dall idice caratteristico di variabilità σ che prede il ome di scostameto quadratico medio. Oltre ai mometi stadardizzati di ordie zero ( µ 0 ) e di ordie uo ( µ 0) ache il mometo stadardizzato di ordie due è del tutto irrilevate; ifatti µ [( µ ) ] µ σ σ σ σ E X E X cioè, per qualuque variabile casuale il secodo mometo stadardizzato è uguale a uo. Particolare rilevaza assumoo, ivece, il mometo terzo stadardizzato µ 3 3 µ E X E X σ σ 3 [( µ ) ] 3 µ 3 γ σ 3 che misura la simmetria (rispetto al valore cetrale) delle distribuzioi, ed il mometo quarto stadardizzato µ 4 4 µ E X E X σ σ 4 [( µ ) ] 4 µ 4 γ σ 4 che misura la curtosi (appiattimeto rispetto alla distribuzioe ormale che verrà aalizzata elle pagie successive) della distribuzioe. 5

26 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Sui due idici di simmetria ( γ ) e di curtosi ( γ ) si avrà modo di torare successivamete, dopo aver parlato della variabile casuale ormale, metre risulta coveiete defiire altri due idici caratteristici molto usati per sitetizzare gli aspetti di tipicità delle variabili casuali. Il primo idice caratteristico che si cosidera è la moda di ua variabile casuale. Si defiisce come moda ( M o ) di ua distribuzioe il valore della modalità cui corrispode la probabilità (el caso discreto) o la desità di probabilità (el caso cotiuo) più elevata. Quado il massimo o è uico si parla di distribuzioi plurimodali; cocetto questo che può essere esteso ache a situazioi i cui si cosiderao o solo il massimo assoluto (della probabilità o della desità di probabilità) ma ache i massimi relativi (massimi locali). Il secodo idice caratteristico che serve ad evideziare la tipicità delle variabili casuali è la mediaa. Si defiisce come mediaa ( M e ) di ua variabile casuale cotiua il valore cetrale della distribuzioe stessa; cioè il valore della modalità rispetto a quale si registra ua probabilità pari a 0,50 di valori iferiori e pari a 0,50 di valori superiori. Si può aver iteresse alla idividuazioe di altri valori (segaletici) particolari. Se la variabile casuale è cotiua, il valore che è preceduto dal 5% dei casi e seguito dal 75% dei casi ( Q ) e quello preceduto dal 75% dei casi e seguito dal 5% dei casi ( Q 3 ). I valori Q e Q 3 vegoo detti, rispettivamete, primo e terzo quartile; ovviamete il secodo quartile Q è uguale alla Mediaa. I geerale il p-esimo quatile, co 0 < p <,è il valore, usualmete idicato co Q (p), che soddisfa la relazioe P[ X Q (p) ] p. Per le variabili casuali cotiue è possibile operare la suddivisioe co ua proporzioe esatta p di casi a siistra ed ua proporzioe (-p) esatta di casi a destra di Q (p) metre ciò o è sempre possibile per le variabili casuali discrete. Ifatti, per le variabili casuali discrete la massa di probabilità del puto Q (p) può essere diversa da zero, pertato, la proporzioe di valori a siistra di Q (p) può essere p e la proporzioe di valori a destra di Q (p) può essere (-p). Può accadere, cioè, che o esista alcu valore per il quale F() p, il quatile viee comuque facilmete idividuato i corrispodeza del valore Q (p) el quale si riscotra il salto della 6

27 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. fuzioe di distribuzioe (da u valore iferiore a p ad u valore superiore a p ). Ioltre, sempre per le variabili casuali discrete può accadere che la relazioe F() p valga per u itervallo di valori di, i questo caso il quatile si ottiee calcolado la semisomma degli estremi dell itervallo. Variabili casuali di uso più frequete. Alcui modelli probabilistici (tipi specifici di variabili casuali) si soo dimostrati particolarmete utili i vari campi della ricerca applicata. Tra questi, e vegoo presetati alcui, tra quelli più comuemete usati, facedo riferimeto al tipo di distribuzioe ad essi associata. DISTRIBUZIONI DISCRETE Distribuzioe biomiale La distribuzioe biomiale si usa quado si è iteressati al umero delle volte co cui u certo eveto E si preseta i ripetizioi idipedeti di u esperimeto casuale. Se co P(E) p si idica la probabilità che ha l'eveto di presetarsi i ua sigola prova, - p q rappreseterà la probabilità cotraria, cioè la probabilità del o verificarsi dell'eveto. Si cosideri ora la variabile casuale X ( umero delle volte i cui l'eveto E si preseta elle prove). Per si avrà che la variabile casuale X, detta variabile casuale di Beroulli, potrà assumere uicamete i due valori 0 e, co probabilità rispettive P (X 0) q - p, P (X ) p La corrispodete fuzioe di massa assume i valori f(0) q e f() p, e può essere espressa dalla formula f() f(;p) p q - per 0, 7

28 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Per qualsiasi, si avrà che la variabile casuale X potrà assumere i valori 0,,,...,, si tratta cioè di ua fuzioe che associa ad ogi possibile successioe di successi ed isuccessi i prove idipedeti, il umero di successi che elle prove stesse si soo verificati. La probabilità di successi P(X ) f(), cioè la fuzioe di massa di probabilità è data da f() f(;,p) pq dove rappreseta il umero di permutazioi co ripetizioe di oggetti di cui e (-) soo uguali tra loro che coicide co il umero delle combiazioi di oggetti a, cioè!!( )! L'iterpretazioe della formula della fuzioe di massa di probabilità della variabile casuale biomiale è immediata: la probabilità di ua specifica successioe di successi e (-) isuccessi idipedeti è pari a (pricipio delle probabilità composte per eveti idipedeti) p p p p q qq p q volte ( ) volte ; o essedo iteressati all'ordie di presetazioe dei successi, ma solo al loro umero, tali probabilità dovrao essere sommate (pricipio delle probabilità totali per eveti icompatibili) tate volte quate soo le permutazioi di oggetti di cui ed (-) soo uguali tra loro. Il ome di variabile casuale biomiale deriva dal fatto che i valori della fuzioe f() rappresetao i termii dello sviluppo del biomio di Newto. Ovviamete la 8

29 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. somma delle probabilità relative a tutti i possibili valori assuti dalla variabile casuale biomiale (come per qualuque variabile discreta) è uguale ad uo; ifatti 0 p q (p + q) La media e la variaza della distribuzioe biomiale soo date rispettivamete dalle uguagliaze µ fp ( ;, ) pq p 0 0 σ ( µ ) fp ( ;, ) ( p) 0 0 p q pq Esempio. Assumedo che la probabilità di ascita di u maschio o ua femmia sia uguale, cioè p -p 0,5, si vuol determiare la probabilità che i ua famiglia co quattro figli vi sia: a) Almeo u maschio, b) almeo u maschio ed ua femmia. a) - Poichè si ha P (0 maschi) ,5 0 0,5 6 P ( maschio) P ( maschi) 4 3 0,5 0,5 0,5 4 0, P (3 maschi) 0,5 3 0,5 4 9

30 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. P (4 maschi) ,5 4 0,5 6 la probabilità che ella famiglia vi sia almeo u maschio sarà forita dall'espressioe P (almeo u maschio) P ( maschio) + P ( maschi) + P (3 maschi) + P (4 maschi) Ua soluzioe più rapida si ottiee se si cosidera l'eveto cotrario (essu maschio) a quello che iteressa (almeo u maschio), si determia poi la probabilità del suo verificarsi che sottratta alla uità forisce il risultato; si avrà P ( almeo u maschio ) - P ( essu maschio) ,5 0 0, b) - Per rispodere al quesito si può seguire la secoda via sopra idicata; si avrà P ( almeo u maschio ed ua femmia ) - P ( essu maschio ) - P (essua femmia) Esempio I ua serie di esperimeti su cavie è stata riscotrata ua mortalità del 60%. Voledo predisporre u ulteriore esperimeto i modo tale che, co ua probabilità superiore all'80%, almeo due aimali sopravvivao, si chiede quale dovrà essere il umero miimo di cavie da sottoporre ad esperimeto. I altri termii si dovrà ricercare 30

31 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. il più piccolo (umero di cavie da sottoporre ad esperimeto) capace di soddisfare la disuguagliaza. P (X ) > 0,80 dove X sta per il umero di cavie che sopravvivoo all'esperimeto. Nella distribuzioe biomiale per p 0,4 (probabilità di successo; e el caso specifico successo sigifica cavia sopravvissuta) ed 7, si ha 7 P(X ) P(X 0) P(X ) 0, , ,40 0,60 6 0,84 Per p 0,4 ed 6, si ha 6 P(X ) P(X 0) P(X ) 0, , ,40 0,60 0,77 Il umero miimo di cavie da sottoporre ad esperimeto dovrà quidi essere pari a 7. Distribuzioe ipergeometrica Per itrodurre la distribuzioe ipergeometrica coviee ripredere i cosiderazioe la distribuzioe biomiale propoedo u'iterpretazioe che si rifà al liguaggio dell'estrazioe casuale da u'ura. Si cosideri u'ura coteete N pallie, di cui K siao biache e N - K ere. La probabilità di estrarre pallia biaca i ua prova sarà p K N. Se si effettuao estrazioi co ripetizioe (cioè co reiserimeto della pallia ell ura) la probabilità di otteere esattamete pallie biache, elle prove, è data da 3

32 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. K PX ( ) f ( ) N K N pq Quato detto mostra come l'estrazioe co ripetizioe (campioameto beroulliao) coduce alla distribuzioe biomiale. Si ammetta ora di effettuare le estrazioi, seza rimettere ogi volta la pallia estratta ell'ura (campioameto esaustivo o campioameto seza ripetizioe); i questa situazioe la probabilità di estrarre esattamete pallie biache è data da K N K f () f (;, K, N) per ma [ 0, - (N - K) ] mi [, K] N Ifatti, se > K, X potrà assumere al massimo il valore K, ioltre se > N - K, il valore miimo che X può assumere sarà pari a - (N - K). Naturalmete 0 fkn ( ;,, ) 0 K N K N La media e la variaza, della distribuzioe che ha la fuzioe di massa sopra idicata e che viee detta ipergeometrica, soo date rispettivamete da µ f( bkn ;,, ) 0 0 K N K N K N p 3

33 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. σ ( µ ) f (;, K, N) N 0 0 K N K N N N K N K N pq N N Il fattore N ( ) viee usualmete detto fattore di correzioe per il N campioameto seza ripetizioe. Distribuzioe di Poisso La distribuzioe che ha la fuzioe di massa di probabilità f( ) f( ; λ) λ e! λ per 0,,... (dove e è la costate di Nepero e λ u umero reale positivo) è detta distribuzioe di Poisso. Naturalmete la somma delle probabilità, per questa particolare variabile casuale discreta che può assumere l'ifiità (umerabile) di valori diversi 0,,,..., è pari ad 0 λ λ e f( ; λ)! 0 Si dimostra che λ λ e µ f( ; λ) λ! 0 0 λ λ e σ ( µ ) f( ; λ) ( λ) λ!

34 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. Dalle uguagliaze sopra riportate risulta che il parametro, caratterizzate la distribuzioe di Poisso, coicide co la media e la variaza della variabile casuale ad esso associata. La distribuzioe di Poisso ha importati applicazioi ache perchè essa rappreseta ua coveiete approssimazioe della distribuzioe biomiale el caso i cui il umero delle prove sia abbastaza elevato e le probabilità che l'eveto si preseti i ua sigola prova sia sufficietemete prossima allo 0. Alcue cosiderazioi sull'applicazioe delle distribuzioi: biomiale, ipergeometrica e di Poisso. La distribuzioe biomiale può essere cosiderata u'eccellete modello probabilistico per molte situazioi sperimetali. Ifatti, tale distribuzioe può servire per studiare ad es. l'atteggiameto dei cittadii ei cofroti di u determiato provvedimeto legislativo (favorevoli o cotrari alla elezioe diretta del Presidete della Repubblica), per aalizzare la produzioe di u determiato macchiario (pezzi regolari e pezzi difettosi) ecc. Serve cioè, i geerale, ello studio di tutti quei feomei che possoo essere caratterizzati da u eveto che può realizzarsi o meo: "successo" o "isuccesso"; dove, successo vuol dire estrazioe di pallia biaca, essere favorevole alla elezioe diretta del Presidete, pezzo regolare, ecc., metre isuccesso vuol dire estrazioe di pallia era, essere cotrari alla elezioe diretta, pezzo difettoso, ecc. La distribuzioe ipergeometrica ha lo stesso campo di applicabilità della distribuzioe biomiale, e dovrà essere ad essa sostituita tutte le volte che gli eveti relativi alle sigole prove o possoo essere cosiderati idipedeti. L'esperieza mostra che l'applicazioe della distribuzioe di Poisso i svariati campi dell'aalisi coduce a dei risultati piuttosto soddisfaceti. Si cosideri ad es. il umero delle particelle emesse da ua sostaza radioattiva i u certo itervallo di tempo e si idichi tale umero co X, si potrà accertare che, per u coveiete valore di λ, la variabile casuale X ha ua distribuzioe di probabilità approssimativamete poissoiaa. Si pesi acora al umero di difetti riscotrabili i u maufatto, al umero delle chiamate telefoiche i u certo itervallo di tempo, al umero degli arrivi, sempre 34

35 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. i u determiato itervallo di tempo, a u casello autostradale o a uo sportello bacario. I tutti questi casi si può pesare ad u processo di geerazioe di umeri casuali (difetti, chiamate, ecc.) i u determiato itervallo temporale o spaziale, approssimativamete poissoiao. Altre distribuzioi discrete frequetemete usate soo: la distribuzioe geometrica e la distribuzioe biomiale egativa. 35

36 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. DISTRIBUZIONI CONTINUE Distribuzioe ormale. La distribuzioe ormale, o gaussiaa, o degli errori accidetali, può essere cosiderata la più importate tra le distribuzioi cotiue, soprattutto per le segueti ragioi: a) ua vasta serie di esperimeti casuali ha associata ua variabile casuale la cui distribuzioe è approssimativamete ormale; b) alcue variabili casuali che o soo distribuite ormalmete, possoo essere rese tali mediate trasformazioi relativamete semplici; c) alcue distribuzioi relativamete complicate, possoo essere approssimate sufficietemete bee dalla distribuzioe ormale; d) alcue variabili casuali, che soo alla base di procedure per la verifica di ipotesi statistiche o per la determiazioe di itervalli di stima, o soo distribuite ormalmete o derivao da tale distribuzioe. Si deve, comuque, sottolieare che i passato si è esagerato sull'importaza, pure otevolissima, della distribuzioe ormale. U tale fatto è derivato soprattutto dal ruolo fodametale che la distribuzioe ha giocato ella "teoria degli errori accidetali" e che ha spito diversi studiosi a riteere che essa potesse riguardare praticamete tutti i feomei aturali. I realtà, la giustificazioe teorica del ruolo importatissimo che svolge la distribuzioe ormale ella ricerca scietifica risiede soprattutto el teorema del limite cetrale o teorema cetrale del limite ; di questo teorema si tratterà i seguito. La fuzioe di desità di probabilità della distribuzioe ormale è f ( ) f ( ; µ σ µ, σ ) e per - + πσ Ovviamete 36

37 B. Chiadotto Versioe 00 - Cap. + f (; µ ; σ )d Si cotrolla facilmete che la distribuzioe ormale è simmetrica e che ha il massimo el puto µ. Si dimostra ioltre che i due parametri caratteristici µ e σ corrispodoo proprio alla media (mometo primo rispetto all origie) e alla variaza (mometo secodo rispetto alla media) della distribuzioe. µ f ( ; µ, σ ) d σ + ( µ ) f (; µ, σ ) d Il mometo terzo ed il mometo quarto stadardizzati (idice di simmetria e idice di curtosi) soo dati rispettivamete, da: 3 + µ γ µ 3 f (; µ, σ )d 0 σ 4 + µ γ µ 4 f (; µ, σ )d 3 σ Ovviamete, essedo la distribuzioe ormale simmetrica, l idice γ assume valore zero. L idice assume, ivece, valore egativo i caso di asimmetria a siistra, valore positivo i caso di asimmetria a destra, della distribuzioe (cfr. Fig. 9). Metre l asimmetria è defiita i termii assoluti, la curtosi è cocetto relativo; ifatti, si può affermare che ua distribuzioe è platicurtica o leptocurtica solo se si fa riferimeto alla distribuzioe ormale. Essedo per quest ultima distribuzioe il valore assuto dall idice di curtosi pari a tre, si dirà platicurtica la distribuzioe co valore dell idice γ iferiore a tre, leptocurtica la distribuzioe co valore dell idice γ maggiore di tre (cfr. Fig. 9). 37

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