APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)"

Transcript

1 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1). Simboli di disuguagliaza (per tutti gli isiemi umerici, trae C): - < : miore; - > : maggiore; - : miore o uguale; - : maggiore o uguale. N è u isieme (totalmete) ordiato (ossia, dati due umeri aturali qualsiasi a, b, vale uo ed uo solo dei tre segueti casi: a < b, a b, a > b). I umeri aturali possoo essere rappresetati su ua semiretta orietata. N è u isieme discreto (ossia, dati due umeri aturali, o sempre esiste u terzo umero aturale compreso tra i due umeri dati; equivaletemete, tra due umeri aturali vi è sempre u umero fiito evetualmete ullo di umeri aturali). Ua operazioe è ua procedura che geera u valore uico (il risultato dell operazioe) partedo da uo o più valori dati (detti operadi dell operazioe), seguedo delle regole meccaicistiche. - Ua operazioe uaria è ua operazioe co u solo operado; - Ua operazioe biaria è ua operazioe co due operadi. I simboli utilizzati per idicare le varie operazioi soo chiamati operatori (+, -,, :, etc.). Operazioi dell aritmetica: addizioe, moltiplicazioe (operazioi fodametali), sottrazioe, divisioe ( le quattro operazioi elemetari), elevameto a poteza, estrazioe della radice (tutte e sei biarie). Termiologia delle operazioi aritmetiche: - addizioe: i due operadi soo gli addedi, il risultato è la somma; - sottrazioe: (primo operado: miuedo, secodo operado: sottraedo) il risultato è la differeza; - moltiplicazioe: i due operadi soo i fattori, il risultato è il prodotto; - divisioe ( reale, seza resto, ossia co (evetuale) parte decimale): il primo operado è il dividedo, il secodo operado è il divisore, il risultato è il quoziete. No si deve cofodere ua data operazioe co il suo risultato. Priorità delle operazioi (i asseza di paretesi!): 1) operazioi di elevameto a poteza ed estrazioe della radice (da siistra a destra); 2) moltiplicazioi e divisioi (da siistra a destra); 3) addizioi e sottrazioi (da siistra a destra). Elevameto a poteza ed estrazioe della radice; moltiplicazioe e divisioe; addizioe e sottrazioe; soo operazioi di pari priorità.

2 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (2) Defiizioe di somma di due umeri aturali a, b : a + b a bvolte Defiizioe di prodotto di due umeri aturali a, b : a b a a... a. bvolte L addizioe e la moltiplicazioe fra due umeri aturali dao sempre come risultato u umero aturale, ossia la somma e il prodotto di due umeri aturali soo sempre umeri aturali, ossia esistoo sempre i N. [Espressioi equivaleti: l addizioe e la moltiplicazioe soo operazioi itere i N ; N è chiuso rispetto all addizioe e alla moltiplicazioe.] Defiizioe di differeza tra due umeri (qualuque) a, b : a b c se c + b a. La sottrazioe tra due umeri aturali può NON dare come risultato u umero aturale, ossia la differeza tra due umeri aturali può NON essere u umero aturale, ossia o sempre esiste i N. [Ossia, la sottrazioe NON è ua operazioe itera i N ; N NON è chiuso rispetto alla sottrazioe.] Defiizioe di quoziete tra due umeri (qualuque) a, b (co b 0) : a : b c se c b a. La divisioe tra due umeri aturali (col secodo diverso da zero) può NON dare come risultato u umero aturale, ossia il quoziete tra due umeri aturali può NON essere u umero aturale, ossia o sempre esiste i N. [Ossia, la divisioe NON è ua operazioe itera i N ; N NON è chiuso rispetto alla divisioe.] Se il quoziete della divisioe tra due umeri aturali a, b (b 0) è u umero aturale, si dice che la divisioe è esatta, e che il quoziete è esatto (ossia è u umero seza virgola, é cifre decimali ). Se la divisioe tra due umeri aturali a, b (b 0) è esatta (ossia, se a : b c N ; ossia, se esiste u umero aturale c tale che a b c), si dice che: - a è divisibile per b; - b divide a; - b è divisore di a; - a è multiplo di b; - b è sottomultiplo di a. Naturalmete, se a è divisibile per b, co a b q, allora a automaticamete è divisibile ache per q, ossia è possibile scambiare tra loro i ruoli di divisore e quoziete. [Metre ciò o è più sempre vero se a o è divisibile per b.] I N, ivece, è sempre possibile eseguire la divisioe itera ( co resto ; il quoziete si ferma alle uità, o ha la virgola, o ha cifre decimali ).

3 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (3) Teorema fodametale della divisioe: dati due umeri aturali a, b (co b 0), esistoo e soo uici altri due umeri aturali q ed r, tali che: a b q + r, co 0 r < b. (a dividedo, b divisore, q quoziete, r resto). Dati due umeri aturali a, b (b 0), a è divisibile per b se e solo se il resto della divisioe (itera) è 0. Note (utili per i casi pratici) sul teorema: - il teorema si applica tipicamete se a > b (> 0) ; - se a b (> 0), il teorema vale acora, co q 1 e r 0 (< b) (ossia a b 1 + 0) ; - se a < b (a 0, b > 0), il teorema vale acora, co q 0 e r a (< b) (ossia a b 0 + a) ; - i geerale, è sempre q a, r a ; - i geerale, o c è essua relazioe particolare tra b e q (ossia può essere b > q, b q, o b < q) ; - i geerale, o c è essua relazioe particolare tra r e q (ossia può essere r > q, r q, o r < q). Proprietà delle operazioi (addizioe e moltiplicazioe): (a, b, c umeri qualuque) - proprietà commutativa dell addizioe: a + b b + a - proprietà commutativa della moltiplicazioe: a b b a - proprietà associativa dell addizioe: (a + b) + c a + (b + c) - proprietà associativa della moltiplicazioe: (a b) c a (b c) - proprietà distributiva della moltiplicazioe rispetto all addizioe: a*(b + c) a b + a c [ i forma equivalete: (a + b) c a c + b c ] - esisteza e uicità dell elemeto eutro dell addizioe: 0, tale che: a a a - esisteza e uicità dell elemeto eutro della moltiplicazioe: 1, tale che: a 1 1 a a - esisteza e uicità dell opposto di ogi umero a : -a, tale che: a + (-a) (-a) + a 0 (NON vale però i N) esisteza e uicità dell iverso di ogi umero a 0 :, tale che: a a 1 a a a (NON vale però i N, Z ; l iverso è detto ache reciproco)

4 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (4) Defiizioe di sottrazioe di due umeri a, b : a b a + (-b). 1 Defiizioe di divisioe di due umeri a, b (b 0) : a : b a. b Note: - No vale la proprietà distributiva della addizioe rispetto alla moltiplicazioe; - No valgoo é la proprietà commutativa é la proprietà associativa é della sottrazioe é della divisioe; - La proprietà distributiva è alla base (i algebra) della regola pratica del raccoglimeto a fattor comue. Casi particolari: - a 0 0 a 0 ; - a a 0 ; - a : a 1 (a 0) ; - a 0 a ; - a : 1 a ; - 0 : a 0 (a 0) ; - a : 0 OPERAZIONE IMPOSSIBILE!!! (a 0) - 0 : 0 OPERAZIONE INDETERMINATA!!! Legge di aullameto del prodotto: u prodotto è ullo se e solo se almeo uo dei fattori è ullo. (Equivaletemete: u prodotto si aulla se e solo se almeo uo dei fattori si aulla; u prodotto è uguale a zero se e solo se almeo uo dei fattori è uguale a zero). Il prodotto può essere di u umero qualuque di fattori (2, 3,...).

5 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (5) Dato u umero aturale a, u divisore di a è u umero aturale b diverso da zero che divide a. - U umero aturale a diverso da zero ha u umero fiito di divisori; - 0 ha ifiiti divisori (ossia ogi umero aturale diverso da zero divide lo 0); - 0 NON è u divisore!!! - Il primo divisore teorico è 1. Dato u umero aturale a diverso da zero, u multiplo di a è u qualuque umero aturale b otteuto moltiplicado a per u certo umero aturale c (0 compreso). - U umero aturale a diverso da zero ha u umero ifiito di multipli (tati quati i umeri aturali); - 0 ha u uico multiplo, 0 stesso; - 0 è multiplo di ogi umero aturale; - Il primo multiplo teorico è 0. Pricipali criteri di divisibilità (di u umero itero): - per 2 : l ultima cifra (la cifra più a destra) del umero è 0, o 2, o 4, o 6, o 8 ; - per 3 : la somma delle cifre del umero è divisibile per 3 ; - per 5 : l ultima cifra (la cifra più a destra) del umero è 0 o 5 ; - per 9 : la somma delle cifre del umero è divisibile per 9 ; - per 11 : il valore assoluto della differeza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari (cosiderate da destra a siistra) è u multiplo di 11 (0 compreso!). Defiizioe di poteza tra due umeri aturali a, b (o cotemporaeamete ulli): c b a a a... a. bvolte Termiologia: - operazioe: elevameto a poteza ; - operadi: a base, b espoete ; - risultato: c poteza. Casi particolari: - a 0 1, a 0 ; - a 1 a, a ; - 1 1, (e quidi 1 0 1, 1 1 1) ; - 0 0, 0 (e quidi 0 1 0) ; ESPRESSIONE PRIVA DI SIGNIFICATO!!!

6 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (6) Proprietà delle poteze (a,b,c,m, umeri aturali; base ed espoete o cotemporaeamete ulli): 1) 2) 3) 4) m a a m a : a c c b m a ; m a c c c a : b c b 5) a c Casi pratici: 3-a) a b c 4-a) a : b c 2-b) 4-b) 4-c) a a a b m c c a b c a (a 0) ; a b ; a : b (b 0) ; b c a. c c a b ; c c a : b (b 0). m a (a 0) ; a b a b c c c (b 0) ; (b 0). Iterpretazioe delle proprietà delle poteze: 1) Il prodotto di due poteze co stessa base è ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete la somma degli espoeti. 2) Il quoziete di due poteze co stessa base è ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete la differeza degli espoeti. 3) Il prodotto di due poteze co stesso espoete è ua poteza che ha per base il prodotto delle basi e per espoete lo stesso espoete. 4) Il quoziete di due poteze co stesso espoete è ua poteza che ha per base il quoziete delle basi e per espoete lo stesso espoete. 5) La poteza di ua poteza è ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete il prodotto degli espoeti. Ulteriori iterpretazioi: 3-a) La poteza di u prodotto è il prodotto delle sigole poteze; 4-a) La poteza di u quoziete è il quoziete delle sigole poteze; 4-c) La poteza di ua frazioe è la frazioe delle sigole poteze.

7 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (7) U umero aturale p si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso (equivaletemete: se i suoi uici divisori soo 1 e p stesso). Dato il umero aturale, i due umeri 1 e soo detti divisori impropri di (perciò u umero è primo se i suoi uici divisori soo i due divisori impropri). U umero aturale > 1 ha sempre (almeo) due divisori (i divisori impropri); 0 NON è u divisore!!! U umero aturale o è primo se ha (almeo) u divisore diverso dai due divisori impropri (cioè ha almeo u divisore proprio). - 1 o è primo perché ha u uico divisore (i due divisori impropri coicidoo); - 0 o è primo perché è divisibile per qualsiasi umero diverso da zero (ossia ha ifiiti divisori); - Il primo umero primo è 2 (ed è ache l uico umero primo pari; tutti gli altri soo dispari); - I umeri primi soo ifiiti. Teorema fodametale dell aritmetica: ogi umero aturale (> 1) può essere scritto come prodotto di umeri primi; tale scrittura è uica, a meo dell ordie i cui compaioo i fattori. (I simboli, compattamete: m i 1 p i, m 1.) La scrittura precedete si chiama fattorizzazioe o scomposizioe del umero i prodotto di fattori primi. Nella fattorizzazioe del umero aturale, uo o più umeri primi possoo essere ripetuti più volte; è allora più coveiete scrivere il prodotto di tutti i umeri primi uguali come poteza del umero primo ripetuto. Si ha quidi, propriamete, ua scomposizioe del umero i prodotto di fattori-poteze di umeri primi (ossia la base di ogi sigola poteza deve essere u umero primo). (E quidi, i simboli, compattamete: m i 1 p i i, m 1, i N, i 1.) - Il massimo comu divisore (M.C.D.) tra due o più umeri aturali (diversi da zero) è il più grade tra i loro divisori comui (defiizioe). (Il M.C.D. è ovviamete diverso da zero!) - Il massimo comu divisore tra due o più umeri aturali (diversi da zero) è il prodotto dei soli fattori primi comui, ciascuo preso co l espoete più piccolo (regola pratica). - Il miimo comue multiplo (m.c.m.) tra due o più umeri aturali (diversi da zero) è il più piccolo tra i loro multipli comui, diversi da zero (defiizioe). (Il m.c.m. è quidi diverso da zero) - Il miimo comue multiplo tra due o più umeri aturali (diversi da zero) è il prodotto di tutti i fattori primi, comui e o comui, ciascuo preso co l espoete più grade (regola pratica).

8 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (8) Due umeri aturali (diversi da zero) si dicoo primi tra loro (o coprimi) se il loro M.C.D. è 1 (ossia, se o hao divisori i comue, trae il umero 1). Se due umeri aturali soo primi, allora soo ache primi tra loro; viceversa, se due umeri soo primi tra loro, o è detto che siao ecessariamete ache primi. Dividedo due umeri aturali per il loro M.C.D., si ottegoo due umeri primi tra loro. Dati due umeri aturali a, b diversi da zero, e detti M e m rispettivamete il loro M.C.D. e il loro m.c.m., si ha: a b M m. (Di cosegueza, se due umeri soo primi tra loro, il loro m.c.m. è dato direttamete dal loro prodotto). Due umeri aturali cosecutivi (ossia tali che differiscoo di ua uità) soo sempre primi tra loro. ALGEBRA \ ARITMETICA \ SISTEMI DI NUMERAZIONE Teorema: dato u umero aturale b > 1, ogi umero aturale si scrive i modo uico ella forma: r r 1 arb ar 1 b... a1b a0, co 0 a i b i 0, 1,..., r, e ioltre a 0. r (Più compattamete: r i 0 a r b i r i.) Tale forma si chiama forma poliomiale del umero. b è la base del sistema di umerazioe, avete quidi b simboli utilizzabili, da 0 a (b-1); tali simboli soo le cifre del sistema di umerazioe. Le cifre assumoo u valore diverso a secoda della posizioe i cui si trovao el umero (sistema di umerazioe posizioale ). U sistema di umerazioe posizioale può quidi avere come base u umero aturale (> 1) qualsiasi; si dice allora che i umeri soo rappresetati i base b. - Il sistema di umerazioe i base 10 si chiama decimale, e ha 10 cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ; ); - Il sistema di umerazioe i base 2 si chiama biario, e ha 2 cifre (0 e 1 ; 1 2-1). I base b hao u umero di cifre r esattamete i primi r b umeri aturali. Il passaggio dal sistema di umerazioe decimale a quello biario comporta u (otevole) aumeto del umero delle cifre occorreti.

9 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI INTERI (1) Da ogi umero aturale (diverso da zero) si possoo ricavare due umeri, per mezzo dei 2 segi + e -. I umeri co il sego + si chiamao positivi, i umeri co il sego si chiamao egativi; 0 è l uico umero seza sego. - Due umeri si dicoo cocordi se hao lo stesso sego; - Due umeri si dicoo discordi se hao sego diverso. Il valore assoluto o modulo di u umero è il umero cosiderato seza sego (ossia, privato del sego ); per idicarlo si usa il simbolo. Defiizioe di valore assoluto o modulo di u umero x: x + x, se x 0 ; - x, se x < 0. x 0, x R. x 0 x 0. Due umeri si dicoo opposti se hao lo stesso valore assoluto e soo discordi (Di cosegueza, si possoo dire l uo opposto dell altro). - Tra due umeri positivi, il maggiore è quello di valore assoluto maggiore; - Tra due umeri egativi, il maggiore è quello di valore assoluto miore; - Ogi umero positivo è sempre maggiore di ogi umero egativo; - 0 è maggiore di ogi umero egativo, ed è miore di ogi umero positivo. I umeri iteri hao u ordie; ogi umero itero ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero itero ha u precedete (otteuto sottraedo 1). Z è u isieme (totalmete) ordiato (ossia, dati due umeri iteri qualsiasi a, b, vale uo ed uo solo dei tre segueti casi: a < b, a b, a > b). I umeri iteri possoo essere rappresetati su ua retta orietata. Due umeri opposti soo equidistati dallo 0. Z è u isieme discreto (ossia, dati due umeri iteri, o sempre esiste u terzo umero itero compreso tra i due umeri dati; equivaletemete, tra due umeri iteri vi è sempre u umero fiito evetualmete ullo di umeri iteri).

10 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI INTERI (2) L addizioe e la moltiplicazioe fra due umeri iteri dao sempre come risultato u umero itero, ossia la somma e il prodotto di due umeri iteri soo sempre umeri iteri, ossia esistoo sempre i Z. [Espressioi equivaleti: l addizioe e la moltiplicazioe soo operazioi itere i Z ; Z è chiuso rispetto all addizioe e alla moltiplicazioe.] La sottrazioe tra due umeri iteri dà sempre come risultato u umero itero, ossia la differeza tra due umeri iteri è sempre u umero itero, ossia esiste sempre i Z. [Ossia, la sottrazioe è ua operazioe itera i Z ; Z è chiuso rispetto alla sottrazioe.] La divisioe tra due umeri iteri (col secodo diverso da zero) può NON dare come risultato u umero itero, ossia il quoziete tra due umeri iteri può NON essere u umero itero, ossia o sempre esiste i Z. [Ossia, la divisioe NON è ua operazioe itera i Z ; Z NON è chiuso rispetto alla divisioe.] - La somma di due umeri iteri cocordi è u umero che ha per modulo la somma dei moduli, e per sego lo stesso sego dei due umeri; - La somma di due umeri iteri discordi è u umero che ha per modulo la differeza tra il maggiore e il miore dei moduli, e per sego il sego del umero di modulo maggiore. I Z, ogi umero ha opposto (otteuto cambiado il sego del umero stesso); l opposto di 0 è 0. U umero ed il suo opposto hao segi diversi (a parte, aturalmete, lo 0). Defiizioe di sottrazioe di due umeri a, b : a b a + (-b). Il prodotto di due umeri iteri è u umero itero che ha: - per modulo, il prodotto dei moduli dei due umeri iteri; - per sego, il sego positivo se i 2 fattori soo cocordi, il sego egativo se i 2 fattori soo discordi. Se si moltiplicao più di due umeri iteri, per determiare il sego del prodotto basta cotare il umero di fattori egativi (ossia, i pratica, il umero di segi ): - se il umero è pari, il prodotto è positivo; - se il umero è dispari, il prodotto è egativo. Moltiplicare u umero per 1 equivale a cambiargli il sego, otteedo come risultato il suo opposto (e viceversa: cambiare il sego ad u umero equivale a moltiplicarlo per 1). Per la divisioe, vale la regola dei segi della moltiplicazioe. La poteza di u umero itero è u umero itero che ha: - per modulo, la poteza del modulo del umero itero; - per sego, il sego egativo solo se la base è egativa e l espoete è dispari, il sego positivo egli altri tre casi (base egativa ed espoete pari, oppure base positiva ed espoete pari o dispari).

11 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI RAZIONALI (1) Ua frazioe è ua coppia ordiata di umeri iteri, di cui il secodo diverso da zero. Il primo umero della coppia (umeratore) è al di sopra della liea di frazioe ; il secodo umero della coppia (deomiatore) è al di sotto della liea di frazioe. Ua frazioe rappreseta il quoziete tra due umeri iteri, ossia il loro rapporto; :m (m 0). m Dato che i ua divisioe il divisore o può mai essere uguale a zero (e quidi, dato che la divisioe per zero è ua operazioe impossibile), il deomiatore di ua frazioe o può mai essere uguale a zero (e quidi o esistoo frazioi co deomiatore zero). - Le frazioi col umeratore miore del deomiatore soo dette frazioi proprie; - Le frazioi col umeratore maggiore del deomiatore soo dette frazioi improprie; - Le frazioi col umeratore multiplo del deomiatore soo dette frazioi appareti (e corrispodoo i pratica a dei umeri iteri). Due frazioi b a e d c soo equivaleti se a d b c (cioè se soo uguali i due prodotti i croce ). Due frazioi equivaleti rappresetao i pratica lo stesso umero razioale. Proprietà ivariativa delle frazioi: moltiplicado umeratore e deomiatore di ua frazioe per lo stesso umero itero diverso da zero, o dividedo umeratore e deomiatore di ua frazioe per lo stesso umero itero diverso da zero (e loro divisore comue), si ottiee ua frazioe equivalete alla frazioe data. Semplificare ua frazioe sigifica i pratica applicare la proprietà ivariativa alla frazioe data, dividedo umeratore e deomiatore per uo stesso umero (diverso da zero). Ua frazioe si dice ridotta ai miimi termii se umeratore e deomiatore o hao più divisori i comue diversi da 1 (ossia, se umeratore e deomiatore soo primi tra loro, ossia il loro M.C.D. è 1). I pratica, ua frazioe è ridotta ai miimi termii se è semplificata il più possibile. Per ridurre ua frazioe ai miimi termii, basta dividere umeratore e deomiatore per il loro M.C.D. (diverso da zero per defiizioe). Ridurre a deomiatore comue due (o più) frazioi sigifica trovare altre due (o più) frazioi aveti tutte lo stesso deomiatore, ciascua equivalete alla corrispodete frazioe data. Applicado la proprietà ivariativa, si hao ifiite possibili soluzioi a questo problema. Per covezioe, tra tutti i possibili deomiatori comui si sceglie il più piccolo, e precisamete il m.c.m. tra i vari deomiatori; si ha quidi la riduzioe al miimo comue deomiatore (m.c.d.).

12 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI RAZIONALI (2) m m m. U umero razioale corrispode i pratica ad ua frazioe ridotta ai miimi termii (viceversa, ogi frazioe corrispode ad u umero razioale). Le frazioi co deomiatore 1 corrispodoo ai umeri iteri. I Q è sempre possibile la divisioe tra umeri aturali/iteri/razioali (purché, aturalmete, il divisore sia diverso da zero), ossia i Q il quoziete esiste sempre. [La divisioe è quidi u operazioe itera i Q ; Q è chiuso rispetto alla divisioe.] Q è u isieme (totalmete) ordiato. I umeri razioali possoo essere rappresetati su ua retta orietata. Q è u isieme deso (ossia, dati due umeri razioali, esiste sempre u terzo umero razioale compreso tra i due umeri dati; equivaletemete, tra due umeri razioali vi è sempre u umero ifiito di umeri razioali). Ricapitolado: - I Q (ed R) soo sempre possibili le prime quattro operazioi elemetari (addizioe, sottrazioe, moltiplicazioe, divisioe aturalmete, per u divisore diverso da zero), ossia i Q (ed R) esistoo sempre la somma, la differeza, il prodotto, ed il quoziete ( reale ); [Ossia, Q (ed R) soo chiusi rispetto ad addizioe, sottrazioe, moltiplicazioe, divisioe.] - N, Z, Q (ed R) soo isiemi ifiiti; - N, Z, Q (ed R) soo isiemi (totalmete) ordiati; - I umeri aturali, iteri, razioali (e reali) possoo essere rappresetati su ua retta orietata; - N e Z soo isiemi discreti, metre Q (ed R) soo isiemi desi.

13 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI RAZIONALI (3) a b a b c c c (c 0) ; a b ar c d mbs, co m m.c.d., r m:c, s m:d (c, d 0). a c a c b d b d (b, d 0). I Q, ogi umero (diverso da zero) ha iverso (o reciproco); l iverso del umero razioale espresso m dalla frazioe è il umero razioale espresso dalla frazioe, che si ottiee dalla frazioe data m scambiado tra loro umeratore e deomiatore. Poiché o possoo esistere frazioi co deomiatore 0, il umero 0 (uguale, ad es., a 1 0 ) o ha iverso. L iverso del umero itero a (a 0) è a 1. U umero e il suo iverso hao lo stesso sego; l iverso di +1 è +1, l iverso di -1 è -1. Defiizioe di divisioe tra due umeri a, b (b 0) : a:b a 1. b Di cosegueza, dati due umeri razioali b a e d c, a c a d a d : ( b d b c b c ) (b, c, d 0). a b a b 1 a a, co N (b 0). (a 0). a b b a, co N (a, b 0). Per 1, si ottiee l iverso (ache come simbolo) di u umero diverso da zero: 1 1 a. a

14 ALGEBRA \ ARITMETICA \ CALCOLO NUMERICO Le percetuali soo u modo diverso di rappresetare le frazioi co deomiatore 100. I simboli: % (co N). 100 Dato u umero reale r, si chiama otazioe espoeziale di r l espressioe: i c 10, co i Z, c R. Dato che l espoete i della poteza i base 10 (essedo u umero itero) può assumere ifiiti valori, ogi umero reale può quidi essere rappresetato i ifiiti modi secodo la otazioe espoeziale. Dato u umero reale r, si chiama NOTAZIONE SCIENTIFICA di r l espressioe: i c 10, co i Z, c R, 1 c < 10. Dato che la costate c (dovedo essere compresa tra 1 e 10) è sostazialmete uica, ogi umero reale può quidi essere rappresetato i modo uico secodo la otazioe scietifica. Metre le otazioi espoeziali di u umero soo ifiite, la otazioe scietifica di u umero (che è u caso particolarissimo di otazioe espoeziale) è uica (tra tutte le ifiite otazioi espoeziali). L ordie di gradezza di u umero reale è la poteza di 10 (ella otazioe scietifica!) più vicia al umero stesso (o, equivaletemete, l espoete della predetta poteza di 10). Dati umeri reali x,..., x aritmetica degli umeri, ossia: m L errore assoluto 1 (co N, > 0), il valor medio m degli umeri è dato dalla media x 1... x i 1 e ass di ua serie di misure rappresetate da umeri reali x,..., x semidiffereza tra il valore massimo e il valore miimo, ossia: x i. e ass xmax x mi 2. 1 è dato dalla L errore relativo e rel di ua serie di misure rappresetate da umeri reali x 1,..., x è dato dal rapporto tra l errore assoluto e il valore medio, ossia: e rel e ass. m L errore relativo può essere poi espresso ache i forma percetuale; si parla allora, apputo, di errore relativo percetuale. Metre il valor medio e l errore assoluto di ua serie di misure vao espresse ella stessa uità di misura delle misure stesse, l errore relativo, essedo il rapporto tra due gradezze omogeee, è u umero puro, e va quidi espresso seza alcua uità di misura.

15 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI REALI (1) Se ua frazioe è apparete, corrispode i pratica ad u umero itero, e può quidi essere rappresetata (i modo uico) mediate u umero itero. Se ua frazioe è decimale (cioè ha come deomiatore ua poteza di 10, co espoete aturale maggiore di 0), o è equivalete ad ua frazioe decimale, può essere rappresetata (i modo uico) mediate la rappresetazioe decimale, basata sulla scrittura posizioale e sull uso della virgola. Le cifre assumoo u valore diverso a secoda della posizioe i cui si trovao el umero (come el caso dei umeri aturali ed iteri); la virgola serve per separare la parte itera dalla parte decimale del umero. I questo modo, ad ogi umero razioale rappresetabile mediate ua frazioe decimale viee fatto corrispodere u umero decimale fiito, ossia u umero decimale avete u umero fiito di cifre decimali. No tutti i umeri razioali soo rappresetabili mediate frazioi decimali; lo soo, ifatti, solo quelli corrispodeti a frazioi che, ridotte ai miimi termii, hao il deomiatore coteete come fattori primi solo (poteze di) 2 e 5 (divisori propri di 10). Quado ua frazioe o può essere trasformata (applicado la proprietà ivariativa) i ua frazioe decimale, la frazioe corrispode allora ad u umero decimale periodico, ossia ad u umero decimale avete u umero ifiito di cifre decimali, tali che, da u certo puto i avati, si ripetoo sempre a gruppi sempre uguali; il gruppo di cifre ripetute si chiama periodo, il gruppo di cifre (se esiste) comprese tra la virgola e il periodo si chiama atiperiodo. [Si dimostra che il periodo o può mai essere 9.] I geerale, u umero razioale (o itero) può sempre essere rappresetato mediate u umero decimale fiito o periodico. Data ua frazioe (qualuque), il umero decimale corrispodete si può otteere dalla divisioe tra il umeratore e il deomiatore della frazioe. Esistoo procedimeti matematici (come, per esempio quello della estrazioe della radice ) che portao ivece a umeri decimali illimitati e o periodici; esistoo duque umeri decimali che NON corrispodoo a umeri razioali. U umero irrazioale è u umero decimale illimitato e o periodico. I umeri irrazioali soo di due tipi: algebrici (legati, i sostaza, all estrazioe di radici), e trascedeti (o legati all estrazioe di radici; ad es., 3,14159, e la costate di Nepero e 2, ). Per idicare il valore esatto di u umero decimale illimitato (periodico o o periodico), o potedo aturalmete scrivere tutte le (ifiite) cifre decimali, se e scrivoo solo le prime (i umero variabile a secoda dei casi), seguite da putii; qualora poi o serva proprio il valore esatto, si può usare allora u valore approssimato (per difetto o per eccesso), sempre co le sole prime cifre decimali volute (e sempre i umero variabile a secoda dei casi), ma utilizzado, aziché il simbolo, il simbolo. U umero reale è u umero razioale o irrazioale.

16 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI REALI (2) Alcue proprietà fodametali dei umeri reali: - I R, ogi quadrato è maggiore o uguale a zero (vero ache per N, Z, Q); - Ogi umero reale o egativo è u quadrato (o vero per N, Z, Q); - R è u isieme ifiito, (totalmete) ordiato, deso; - I umeri reali possoo essere rappresetati su ua retta orietata; ed azi: - Ad ogi umero reale corrispode u puto su ua retta, e viceversa (o vero per N, Z, Q). N o è chiuso rispetto alla sottrazioe, metre Z è chiuso rispetto alla sottrazioe; i altri termii, partedo dai umeri aturali, la sottrazioe, operazioe iversa dell addizioe, è divetata operazioe itera itroducedo i umeri iteri (aggiugedo i umeri egativi). Aalogamete, Z o è chiuso rispetto alla divisioe, metre Q è chiuso rispetto alla divisioe; i altri termii, partedo dai umeri iteri, la divisioe, operazioe iversa della moltiplicazioe, è divetata operazioe itera itroducedo i umeri razioali (aggiugedo le frazioi aveti deomiatore diverso da 1). L operazioe iversa dell operazioe di elevameto a poteza (ad espoete aturale > 0) è l operazioe di estrazioe della radice (-esima) ; Q o è chiuso rispetto all operazioe di estrazioe della radice, ossia l operazioe di estrazioe di radice o è itera i Q. Nell isieme dei umeri reali o egativi, l operazioe di estrazioe di ua qualuque radice è itera (e quidi ogi umero o egativo può essere cosiderato, ad es., come u quadrato); l operazioe è divetata itera aggiugedo ai umeri razioali i umeri irrazioali (algebrici).

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo

Dettagli

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02% RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base

Dettagli

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale.

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale. Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 Dott.ssa Sadra Lucete Fuzioi poteza ed espoeziale. Teorema. Teorema di esisteza della radice -esima. Sia N. Per ogi a R + esiste uo ed u solo

Dettagli

V Tutorato 6 Novembre 2014

V Tutorato 6 Novembre 2014 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe

Dettagli

Successioni. Grafico di una successione

Successioni. Grafico di una successione Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Argometo 3s Limiti di successioi Ua successioe {a : N} è ua fuzioe defiita sull isieme N deiumeriaturaliavalori reali: essa verrà el seguito idicata più brevemeteco{a } a èdettotermie geerale della successioe

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Anno 5 Successioni numeriche

Anno 5 Successioni numeriche Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai

Dettagli

Progressioni aritmetiche

Progressioni aritmetiche Progressioi aritmetiche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 7,, 5, 9, +4 +4 +4 +4 +4 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre +4. Si

Dettagli

Successioni ricorsive di numeri

Successioni ricorsive di numeri Successioi ricorsive di umeri Getile Alessadro Laboratorio di matematica discreta A.A. 6/7 I queste pagie si voglioo predere i esame alcue tra le più famose successioi ricorsive, presetadoe alcue caratteristiche..

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi. Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5 Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio

Dettagli

II-9 Successioni e serie

II-9 Successioni e serie SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

( ) n > n. Ora osserviamo che 2 1. ( ) è vera. ( ) una proposizione riguardante il numero intero n. Se avviene che:

( ) n > n. Ora osserviamo che 2 1. ( ) è vera. ( ) una proposizione riguardante il numero intero n. Se avviene che: ARITMETICA 1 U importate ramo della matematica è l aritmetica, o teoria dei umeri, qui itesi come umeri iteri. Ci si poe il problema di stabilire se certe relazioi possao essere soddisfatte da umeri iteri,

Dettagli

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA

Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA Corso di Laurea i Ig Edile Politecico di Bari AA 2008-2009 Prof ssa Letizia Bruetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA 2 Idice Spazi vettoriali Cei sulle strutture algebriche 4 2 Defiizioe di spazio vettoriale

Dettagli

Si presentano qui alcune nozioni sugli anelli, sia come modello di. strutture con due operazioni binarie, sia per l importanza di queste strutture in

Si presentano qui alcune nozioni sugli anelli, sia come modello di. strutture con due operazioni binarie, sia per l importanza di queste strutture in NOZIONI ELEMENTARI SUGLI ANELLI Si presetao qui alcue ozioi sugli aelli, sia come modello di strutture co due operazioi biarie, sia per l importaza di queste strutture i tutte le sezioi della Matematica

Dettagli

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 CAPITOLO VII DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe.) La derivata è u operatore che ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe e che obbedisce alle segueti regole: () D a a a 0 0 0 derivata di u moomio D 6 D 0 D ()

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste

Dettagli

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci. Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe......... uccessioe di Fiboacci....... 3. Formula di Biet per la successioe

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014)

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014) Calcolo Combiatorio (vers. 1/10/2014 Daiela De Caditiis modulo CdP di teoria dei segali Igegeria dell Iformazioe - sede di Latia, CALCOLO COMBINATORIO Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio: Si realizzio

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al

Dettagli

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre Uiversità Boccoi. Ao accademico 00 00 Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi email: fabrizio.iozzi@ui-boccoi.it Lezioi / Gli isiemi umerici Gli isiemi umerici co i quali lavoreremo soo:, l'isieme

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica Strumeti di idagie per la valutazioe psicologica 1.2 - Richiami di statistica descrittiva Davide Massidda davide.massidda@gmail.com Descrivere i dati Dovedo scegliere u esame opzioale, uo studete ha itezioe

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x. ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016 Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 205-206 27. Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d

Dettagli

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015 Corso di Elemeti di Impiati e mahie elettriche Ao Aademico 014-015 Esercizio.1 U trasformatore moofase ha i segueti dati di targa: Poteza omiale A =10 kva Tesioe omiale V 1 :V =480:10 V Frequeza omiale

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

3.1 Il principio di inclusione-esclusione

3.1 Il principio di inclusione-esclusione Capitolo 3 Calcolo combiatorio 3.1 Il pricipio di iclusioe-esclusioe Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota il umero di elemeti. Questo può dar luogo ad iteressati

Dettagli

che sono una l inversa dell altra; l insieme dei messaggi cifrati C i cui elementi sono indicati con la lettera c.

che sono una l inversa dell altra; l insieme dei messaggi cifrati C i cui elementi sono indicati con la lettera c. I LEZIONE Il ostro iteto è aalizzare i dettaglio i metodi di cifratura che si soo susseguiti el corso della storia prestado particolare attezioe all impiato matematico che e cosete la realizzazioe Iiziamo

Dettagli

5. Le serie numeriche

5. Le serie numeriche 5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a

Dettagli

Le tante facce del numero e di Nepero

Le tante facce del numero e di Nepero Le tate facce del umero e di Nepero Paolo Tilli Dipartimeto di Matematica Politecico di Torio Premessa Questa breve ota raccoglie e i parte itegra il coteuto della cofereza da me teuta col medesimo titolo

Dettagli

1 Limiti di successioni

1 Limiti di successioni Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

Disposizioni semplici. Disposizioni semplici esercizi

Disposizioni semplici. Disposizioni semplici esercizi Disposizioi semplici Ua disposizioe (semplice) di oggetti i k posti (duque 1 < k < ) è ogi raggruppameto di k oggetti, seza ripetizioi, scelti fra gli oggetti dati, cioè ciascuo dei raggruppameti ordiati

Dettagli

Campionamento stratificato. Esempio

Campionamento stratificato. Esempio ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete

Dettagli

ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente

ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente Corso di Laurea i Matematica LEZIONI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA..2 A.A. 2007-2008 ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE Dott.ssa Sadra Lucete Idice :. Prime geeralità sulle serie. 2. Serie a termii o egativi:

Dettagli

Sistemi e Tecnologie della Comunicazione

Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Sistemi e ecologie della Comuicazioe Lezioe 4: strato fisico: caratterizzazioe del segale i frequeza Lo strato fisico Le pricipali fuzioi dello strato fisico soo defiizioe delle iterfacce meccaiche (specifiche

Dettagli

2.6 Paradosso di Zenone e la somma di infiniti addendi

2.6 Paradosso di Zenone e la somma di infiniti addendi .6 Paradosso di Zeoe e la somma di ifiiti addedi Si potrebbe pesare che la matematica, la braca del sapere co la più solida tradizioe di precisioe e cosisteza, sia la più immue dai paradossi. La sua storia

Dettagli

cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64

cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64 By Luca Torchio Prima di defiire i modo rigoroso ua somma di ifiiti umeri, che tra l altro i matematici chiamao Serie, cerchiamo di covicerci che ha seso sommare ifiiti umeri! La cosa, i effetti, fa u

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

Serie numeriche: esercizi svolti

Serie numeriche: esercizi svolti Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

Capitolo V : Successioni e serie numeriche

Capitolo V : Successioni e serie numeriche Liceo Lugao, 0-0 3N Luca Rovelli) Capitolo V : Successioi e serie umeriche La cosiddetta aalisi matematica, sviluppata iizialmete i maiera idipedete da Newto e Leibitz a partire dalla fie del XVII secolo,

Dettagli

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge: Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA

STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.uige/pls_statistica Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE

Dettagli

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI . L'INSIEME DEI NUMERI REALI. I pricipli isiemi di umeri Ripredimo i pricipli isiemi umerici N, l'isieme dei umeri turli 0; ; ; ; ;... L'ide ituitiv di umero turle è ssocit l prolem di cotre e ordire gli

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33) Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego,

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

INTERI L insieme Z degli interi positivi viene definito da

INTERI L insieme Z degli interi positivi viene definito da ALGEBRA I Meegazzo & Pablo ma ache (f(gh(t = f(g(h(t INTERI L isieme Z degli iteri positivi viee defiito da Z := (N N/ ove (a, b (c, d a + d = b + c Scegliedo come rappresetati le coppie i cui almeo uo

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado

Dettagli

DISTRIBUZIONI DOPPIE

DISTRIBUZIONI DOPPIE DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la

Dettagli

CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA 1. INTRODUZIONE

CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA 1. INTRODUZIONE CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA SOMMARIO: 1. Itroduzioe. - 2. Asimmetria. - 3. Grafico a scatola (box plot). - 4. Curtosi. - Questioario. 1. INTRODUZIONE Dopo aver aalizzato gli idici di posizioe

Dettagli

Corsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3.

Corsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3. Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Architettura Prova scritta di Aalisi Matematica del 6// ) Mostrare che + si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) = 3. Possibile soluzioe: Cosiderado dapprima il deomiatore otiamo

Dettagli

Analisi statistica dell Output

Analisi statistica dell Output Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?

Dettagli

1. UNA RAPIDA INTRODUZIONE 1 2. UNA RASSEGNA DI ESEMPI 2 3. QUANDO IL LIMITE E BANALE: LA CONTINUITÀ 10 4. LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITE 24 8

1. UNA RAPIDA INTRODUZIONE 1 2. UNA RASSEGNA DI ESEMPI 2 3. QUANDO IL LIMITE E BANALE: LA CONTINUITÀ 10 4. LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITE 24 8 I LIMITI. UNA RAPIDA INTRODUZIONE pag.. UNA RASSEGNA DI ESEMPI. QUANDO IL LIMITE E BANALE: LA CONTINUITÀ 4. IL LIMITE DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO: RICAPITOLIAMO 5. PSEUDO-UGUAGLIANZE E FORME DI INDECISIONE

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli Uiversità degli Studi di Bologa Scuola di Ecoomia Maagemet e Statistica Corso di Laurea i Scieze Statistiche Apputi del corso di Aalisi Matematica Ao Accademico 03 04 f b y prof. Daiele Ritelli f a a b

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

Dispense di Analisi Matematica II

Dispense di Analisi Matematica II Dispese di Aalisi Matematica II Domeico Cadeloro (Prima Parte) Itroduzioe Queste dispese trattao la prima parte del corso di Aalisi Matematica II. Nel primo capitolo si discutoo gli itegrali geeralizzati

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE a cura di Michele Scaglia RICHIAMI TEORICI Richiamiamo brevemete i pricipali risultati riguardati le serie umeriche. Teorema (Codizioe Necessaria per la Covergeza) Sia a

Dettagli

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA aa 2009-2010 Operazioi statistiche elemetari Spesso ci si preseta il problema del cofroto tra dati Ad esempio, possiamo voler cofrotare feomei [ecoomici]

Dettagli

Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R.

Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R. Radicali Radici quadrate Si dice radice quadrata di u umero reale a, e si idica co a, il umero reale positivo o ullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come risultato a. Esisteza delle radici quadrate:

Dettagli

Probabilità e Statistica I

Probabilità e Statistica I Probabilità e Statistica I Elvira Di Nardo (Dipartimeto di Matematica) Uiversità degli Studi della Basilicata e-mail:diardo@uibas.it http://www.uibas.it/uteti/diardo/home.html Tel:097/05890 Prerequisiti:

Dettagli

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli:

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli: PROPOSTA DI UN PROTOCOLLO DI PROVE PER IL CONTROLLO DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE FINALITÀ Nel campo edile l utilizzo di rivestimeti esteri da riportare sulle

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

Statistica 1 A.A. 2015/2016

Statistica 1 A.A. 2015/2016 Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative

Dettagli

Appunti su rendite e ammortamenti

Appunti su rendite e ammortamenti Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, fuari@uive.it Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme

Dettagli

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30) Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo

Dettagli

Interesse e formule relative.

Interesse e formule relative. Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli