APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

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1 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1). Simboli di disuguagliaza (per tutti gli isiemi umerici, trae C): - < : miore; - > : maggiore; - : miore o uguale; - : maggiore o uguale. N è u isieme (totalmete) ordiato (ossia, dati due umeri aturali qualsiasi a, b, vale uo ed uo solo dei tre segueti casi: a < b, a b, a > b). I umeri aturali possoo essere rappresetati su ua semiretta orietata. N è u isieme discreto (ossia, dati due umeri aturali, o sempre esiste u terzo umero aturale compreso tra i due umeri dati; equivaletemete, tra due umeri aturali vi è sempre u umero fiito evetualmete ullo di umeri aturali). Ua operazioe è ua procedura che geera u valore uico (il risultato dell operazioe) partedo da uo o più valori dati (detti operadi dell operazioe), seguedo delle regole meccaicistiche. - Ua operazioe uaria è ua operazioe co u solo operado; - Ua operazioe biaria è ua operazioe co due operadi. I simboli utilizzati per idicare le varie operazioi soo chiamati operatori (+, -,, :, etc.). Operazioi dell aritmetica: addizioe, moltiplicazioe (operazioi fodametali), sottrazioe, divisioe ( le quattro operazioi elemetari), elevameto a poteza, estrazioe della radice (tutte e sei biarie). Termiologia delle operazioi aritmetiche: - addizioe: i due operadi soo gli addedi, il risultato è la somma; - sottrazioe: (primo operado: miuedo, secodo operado: sottraedo) il risultato è la differeza; - moltiplicazioe: i due operadi soo i fattori, il risultato è il prodotto; - divisioe ( reale, seza resto, ossia co (evetuale) parte decimale): il primo operado è il dividedo, il secodo operado è il divisore, il risultato è il quoziete. No si deve cofodere ua data operazioe co il suo risultato. Priorità delle operazioi (i asseza di paretesi!): 1) operazioi di elevameto a poteza ed estrazioe della radice (da siistra a destra); 2) moltiplicazioi e divisioi (da siistra a destra); 3) addizioi e sottrazioi (da siistra a destra). Elevameto a poteza ed estrazioe della radice; moltiplicazioe e divisioe; addizioe e sottrazioe; soo operazioi di pari priorità.

2 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (2) Defiizioe di somma di due umeri aturali a, b : a + b a bvolte Defiizioe di prodotto di due umeri aturali a, b : a b a a... a. bvolte L addizioe e la moltiplicazioe fra due umeri aturali dao sempre come risultato u umero aturale, ossia la somma e il prodotto di due umeri aturali soo sempre umeri aturali, ossia esistoo sempre i N. [Espressioi equivaleti: l addizioe e la moltiplicazioe soo operazioi itere i N ; N è chiuso rispetto all addizioe e alla moltiplicazioe.] Defiizioe di differeza tra due umeri (qualuque) a, b : a b c se c + b a. La sottrazioe tra due umeri aturali può NON dare come risultato u umero aturale, ossia la differeza tra due umeri aturali può NON essere u umero aturale, ossia o sempre esiste i N. [Ossia, la sottrazioe NON è ua operazioe itera i N ; N NON è chiuso rispetto alla sottrazioe.] Defiizioe di quoziete tra due umeri (qualuque) a, b (co b 0) : a : b c se c b a. La divisioe tra due umeri aturali (col secodo diverso da zero) può NON dare come risultato u umero aturale, ossia il quoziete tra due umeri aturali può NON essere u umero aturale, ossia o sempre esiste i N. [Ossia, la divisioe NON è ua operazioe itera i N ; N NON è chiuso rispetto alla divisioe.] Se il quoziete della divisioe tra due umeri aturali a, b (b 0) è u umero aturale, si dice che la divisioe è esatta, e che il quoziete è esatto (ossia è u umero seza virgola, é cifre decimali ). Se la divisioe tra due umeri aturali a, b (b 0) è esatta (ossia, se a : b c N ; ossia, se esiste u umero aturale c tale che a b c), si dice che: - a è divisibile per b; - b divide a; - b è divisore di a; - a è multiplo di b; - b è sottomultiplo di a. Naturalmete, se a è divisibile per b, co a b q, allora a automaticamete è divisibile ache per q, ossia è possibile scambiare tra loro i ruoli di divisore e quoziete. [Metre ciò o è più sempre vero se a o è divisibile per b.] I N, ivece, è sempre possibile eseguire la divisioe itera ( co resto ; il quoziete si ferma alle uità, o ha la virgola, o ha cifre decimali ).

3 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (3) Teorema fodametale della divisioe: dati due umeri aturali a, b (co b 0), esistoo e soo uici altri due umeri aturali q ed r, tali che: a b q + r, co 0 r < b. (a dividedo, b divisore, q quoziete, r resto). Dati due umeri aturali a, b (b 0), a è divisibile per b se e solo se il resto della divisioe (itera) è 0. Note (utili per i casi pratici) sul teorema: - il teorema si applica tipicamete se a > b (> 0) ; - se a b (> 0), il teorema vale acora, co q 1 e r 0 (< b) (ossia a b 1 + 0) ; - se a < b (a 0, b > 0), il teorema vale acora, co q 0 e r a (< b) (ossia a b 0 + a) ; - i geerale, è sempre q a, r a ; - i geerale, o c è essua relazioe particolare tra b e q (ossia può essere b > q, b q, o b < q) ; - i geerale, o c è essua relazioe particolare tra r e q (ossia può essere r > q, r q, o r < q). Proprietà delle operazioi (addizioe e moltiplicazioe): (a, b, c umeri qualuque) - proprietà commutativa dell addizioe: a + b b + a - proprietà commutativa della moltiplicazioe: a b b a - proprietà associativa dell addizioe: (a + b) + c a + (b + c) - proprietà associativa della moltiplicazioe: (a b) c a (b c) - proprietà distributiva della moltiplicazioe rispetto all addizioe: a*(b + c) a b + a c [ i forma equivalete: (a + b) c a c + b c ] - esisteza e uicità dell elemeto eutro dell addizioe: 0, tale che: a a a - esisteza e uicità dell elemeto eutro della moltiplicazioe: 1, tale che: a 1 1 a a - esisteza e uicità dell opposto di ogi umero a : -a, tale che: a + (-a) (-a) + a 0 (NON vale però i N) esisteza e uicità dell iverso di ogi umero a 0 :, tale che: a a 1 a a a (NON vale però i N, Z ; l iverso è detto ache reciproco)

4 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (4) Defiizioe di sottrazioe di due umeri a, b : a b a + (-b). 1 Defiizioe di divisioe di due umeri a, b (b 0) : a : b a. b Note: - No vale la proprietà distributiva della addizioe rispetto alla moltiplicazioe; - No valgoo é la proprietà commutativa é la proprietà associativa é della sottrazioe é della divisioe; - La proprietà distributiva è alla base (i algebra) della regola pratica del raccoglimeto a fattor comue. Casi particolari: - a 0 0 a 0 ; - a a 0 ; - a : a 1 (a 0) ; - a 0 a ; - a : 1 a ; - 0 : a 0 (a 0) ; - a : 0 OPERAZIONE IMPOSSIBILE!!! (a 0) - 0 : 0 OPERAZIONE INDETERMINATA!!! Legge di aullameto del prodotto: u prodotto è ullo se e solo se almeo uo dei fattori è ullo. (Equivaletemete: u prodotto si aulla se e solo se almeo uo dei fattori si aulla; u prodotto è uguale a zero se e solo se almeo uo dei fattori è uguale a zero). Il prodotto può essere di u umero qualuque di fattori (2, 3,...).

5 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (5) Dato u umero aturale a, u divisore di a è u umero aturale b diverso da zero che divide a. - U umero aturale a diverso da zero ha u umero fiito di divisori; - 0 ha ifiiti divisori (ossia ogi umero aturale diverso da zero divide lo 0); - 0 NON è u divisore!!! - Il primo divisore teorico è 1. Dato u umero aturale a diverso da zero, u multiplo di a è u qualuque umero aturale b otteuto moltiplicado a per u certo umero aturale c (0 compreso). - U umero aturale a diverso da zero ha u umero ifiito di multipli (tati quati i umeri aturali); - 0 ha u uico multiplo, 0 stesso; - 0 è multiplo di ogi umero aturale; - Il primo multiplo teorico è 0. Pricipali criteri di divisibilità (di u umero itero): - per 2 : l ultima cifra (la cifra più a destra) del umero è 0, o 2, o 4, o 6, o 8 ; - per 3 : la somma delle cifre del umero è divisibile per 3 ; - per 5 : l ultima cifra (la cifra più a destra) del umero è 0 o 5 ; - per 9 : la somma delle cifre del umero è divisibile per 9 ; - per 11 : il valore assoluto della differeza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari (cosiderate da destra a siistra) è u multiplo di 11 (0 compreso!). Defiizioe di poteza tra due umeri aturali a, b (o cotemporaeamete ulli): c b a a a... a. bvolte Termiologia: - operazioe: elevameto a poteza ; - operadi: a base, b espoete ; - risultato: c poteza. Casi particolari: - a 0 1, a 0 ; - a 1 a, a ; - 1 1, (e quidi 1 0 1, 1 1 1) ; - 0 0, 0 (e quidi 0 1 0) ; ESPRESSIONE PRIVA DI SIGNIFICATO!!!

6 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (6) Proprietà delle poteze (a,b,c,m, umeri aturali; base ed espoete o cotemporaeamete ulli): 1) 2) 3) 4) m a a m a : a c c b m a ; m a c c c a : b c b 5) a c Casi pratici: 3-a) a b c 4-a) a : b c 2-b) 4-b) 4-c) a a a b m c c a b c a (a 0) ; a b ; a : b (b 0) ; b c a. c c a b ; c c a : b (b 0). m a (a 0) ; a b a b c c c (b 0) ; (b 0). Iterpretazioe delle proprietà delle poteze: 1) Il prodotto di due poteze co stessa base è ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete la somma degli espoeti. 2) Il quoziete di due poteze co stessa base è ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete la differeza degli espoeti. 3) Il prodotto di due poteze co stesso espoete è ua poteza che ha per base il prodotto delle basi e per espoete lo stesso espoete. 4) Il quoziete di due poteze co stesso espoete è ua poteza che ha per base il quoziete delle basi e per espoete lo stesso espoete. 5) La poteza di ua poteza è ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete il prodotto degli espoeti. Ulteriori iterpretazioi: 3-a) La poteza di u prodotto è il prodotto delle sigole poteze; 4-a) La poteza di u quoziete è il quoziete delle sigole poteze; 4-c) La poteza di ua frazioe è la frazioe delle sigole poteze.

7 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (7) U umero aturale p si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso (equivaletemete: se i suoi uici divisori soo 1 e p stesso). Dato il umero aturale, i due umeri 1 e soo detti divisori impropri di (perciò u umero è primo se i suoi uici divisori soo i due divisori impropri). U umero aturale > 1 ha sempre (almeo) due divisori (i divisori impropri); 0 NON è u divisore!!! U umero aturale o è primo se ha (almeo) u divisore diverso dai due divisori impropri (cioè ha almeo u divisore proprio). - 1 o è primo perché ha u uico divisore (i due divisori impropri coicidoo); - 0 o è primo perché è divisibile per qualsiasi umero diverso da zero (ossia ha ifiiti divisori); - Il primo umero primo è 2 (ed è ache l uico umero primo pari; tutti gli altri soo dispari); - I umeri primi soo ifiiti. Teorema fodametale dell aritmetica: ogi umero aturale (> 1) può essere scritto come prodotto di umeri primi; tale scrittura è uica, a meo dell ordie i cui compaioo i fattori. (I simboli, compattamete: m i 1 p i, m 1.) La scrittura precedete si chiama fattorizzazioe o scomposizioe del umero i prodotto di fattori primi. Nella fattorizzazioe del umero aturale, uo o più umeri primi possoo essere ripetuti più volte; è allora più coveiete scrivere il prodotto di tutti i umeri primi uguali come poteza del umero primo ripetuto. Si ha quidi, propriamete, ua scomposizioe del umero i prodotto di fattori-poteze di umeri primi (ossia la base di ogi sigola poteza deve essere u umero primo). (E quidi, i simboli, compattamete: m i 1 p i i, m 1, i N, i 1.) - Il massimo comu divisore (M.C.D.) tra due o più umeri aturali (diversi da zero) è il più grade tra i loro divisori comui (defiizioe). (Il M.C.D. è ovviamete diverso da zero!) - Il massimo comu divisore tra due o più umeri aturali (diversi da zero) è il prodotto dei soli fattori primi comui, ciascuo preso co l espoete più piccolo (regola pratica). - Il miimo comue multiplo (m.c.m.) tra due o più umeri aturali (diversi da zero) è il più piccolo tra i loro multipli comui, diversi da zero (defiizioe). (Il m.c.m. è quidi diverso da zero) - Il miimo comue multiplo tra due o più umeri aturali (diversi da zero) è il prodotto di tutti i fattori primi, comui e o comui, ciascuo preso co l espoete più grade (regola pratica).

8 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (8) Due umeri aturali (diversi da zero) si dicoo primi tra loro (o coprimi) se il loro M.C.D. è 1 (ossia, se o hao divisori i comue, trae il umero 1). Se due umeri aturali soo primi, allora soo ache primi tra loro; viceversa, se due umeri soo primi tra loro, o è detto che siao ecessariamete ache primi. Dividedo due umeri aturali per il loro M.C.D., si ottegoo due umeri primi tra loro. Dati due umeri aturali a, b diversi da zero, e detti M e m rispettivamete il loro M.C.D. e il loro m.c.m., si ha: a b M m. (Di cosegueza, se due umeri soo primi tra loro, il loro m.c.m. è dato direttamete dal loro prodotto). Due umeri aturali cosecutivi (ossia tali che differiscoo di ua uità) soo sempre primi tra loro. ALGEBRA \ ARITMETICA \ SISTEMI DI NUMERAZIONE Teorema: dato u umero aturale b > 1, ogi umero aturale si scrive i modo uico ella forma: r r 1 arb ar 1 b... a1b a0, co 0 a i b i 0, 1,..., r, e ioltre a 0. r (Più compattamete: r i 0 a r b i r i.) Tale forma si chiama forma poliomiale del umero. b è la base del sistema di umerazioe, avete quidi b simboli utilizzabili, da 0 a (b-1); tali simboli soo le cifre del sistema di umerazioe. Le cifre assumoo u valore diverso a secoda della posizioe i cui si trovao el umero (sistema di umerazioe posizioale ). U sistema di umerazioe posizioale può quidi avere come base u umero aturale (> 1) qualsiasi; si dice allora che i umeri soo rappresetati i base b. - Il sistema di umerazioe i base 10 si chiama decimale, e ha 10 cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ; ); - Il sistema di umerazioe i base 2 si chiama biario, e ha 2 cifre (0 e 1 ; 1 2-1). I base b hao u umero di cifre r esattamete i primi r b umeri aturali. Il passaggio dal sistema di umerazioe decimale a quello biario comporta u (otevole) aumeto del umero delle cifre occorreti.

9 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI INTERI (1) Da ogi umero aturale (diverso da zero) si possoo ricavare due umeri, per mezzo dei 2 segi + e -. I umeri co il sego + si chiamao positivi, i umeri co il sego si chiamao egativi; 0 è l uico umero seza sego. - Due umeri si dicoo cocordi se hao lo stesso sego; - Due umeri si dicoo discordi se hao sego diverso. Il valore assoluto o modulo di u umero è il umero cosiderato seza sego (ossia, privato del sego ); per idicarlo si usa il simbolo. Defiizioe di valore assoluto o modulo di u umero x: x + x, se x 0 ; - x, se x < 0. x 0, x R. x 0 x 0. Due umeri si dicoo opposti se hao lo stesso valore assoluto e soo discordi (Di cosegueza, si possoo dire l uo opposto dell altro). - Tra due umeri positivi, il maggiore è quello di valore assoluto maggiore; - Tra due umeri egativi, il maggiore è quello di valore assoluto miore; - Ogi umero positivo è sempre maggiore di ogi umero egativo; - 0 è maggiore di ogi umero egativo, ed è miore di ogi umero positivo. I umeri iteri hao u ordie; ogi umero itero ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero itero ha u precedete (otteuto sottraedo 1). Z è u isieme (totalmete) ordiato (ossia, dati due umeri iteri qualsiasi a, b, vale uo ed uo solo dei tre segueti casi: a < b, a b, a > b). I umeri iteri possoo essere rappresetati su ua retta orietata. Due umeri opposti soo equidistati dallo 0. Z è u isieme discreto (ossia, dati due umeri iteri, o sempre esiste u terzo umero itero compreso tra i due umeri dati; equivaletemete, tra due umeri iteri vi è sempre u umero fiito evetualmete ullo di umeri iteri).

10 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI INTERI (2) L addizioe e la moltiplicazioe fra due umeri iteri dao sempre come risultato u umero itero, ossia la somma e il prodotto di due umeri iteri soo sempre umeri iteri, ossia esistoo sempre i Z. [Espressioi equivaleti: l addizioe e la moltiplicazioe soo operazioi itere i Z ; Z è chiuso rispetto all addizioe e alla moltiplicazioe.] La sottrazioe tra due umeri iteri dà sempre come risultato u umero itero, ossia la differeza tra due umeri iteri è sempre u umero itero, ossia esiste sempre i Z. [Ossia, la sottrazioe è ua operazioe itera i Z ; Z è chiuso rispetto alla sottrazioe.] La divisioe tra due umeri iteri (col secodo diverso da zero) può NON dare come risultato u umero itero, ossia il quoziete tra due umeri iteri può NON essere u umero itero, ossia o sempre esiste i Z. [Ossia, la divisioe NON è ua operazioe itera i Z ; Z NON è chiuso rispetto alla divisioe.] - La somma di due umeri iteri cocordi è u umero che ha per modulo la somma dei moduli, e per sego lo stesso sego dei due umeri; - La somma di due umeri iteri discordi è u umero che ha per modulo la differeza tra il maggiore e il miore dei moduli, e per sego il sego del umero di modulo maggiore. I Z, ogi umero ha opposto (otteuto cambiado il sego del umero stesso); l opposto di 0 è 0. U umero ed il suo opposto hao segi diversi (a parte, aturalmete, lo 0). Defiizioe di sottrazioe di due umeri a, b : a b a + (-b). Il prodotto di due umeri iteri è u umero itero che ha: - per modulo, il prodotto dei moduli dei due umeri iteri; - per sego, il sego positivo se i 2 fattori soo cocordi, il sego egativo se i 2 fattori soo discordi. Se si moltiplicao più di due umeri iteri, per determiare il sego del prodotto basta cotare il umero di fattori egativi (ossia, i pratica, il umero di segi ): - se il umero è pari, il prodotto è positivo; - se il umero è dispari, il prodotto è egativo. Moltiplicare u umero per 1 equivale a cambiargli il sego, otteedo come risultato il suo opposto (e viceversa: cambiare il sego ad u umero equivale a moltiplicarlo per 1). Per la divisioe, vale la regola dei segi della moltiplicazioe. La poteza di u umero itero è u umero itero che ha: - per modulo, la poteza del modulo del umero itero; - per sego, il sego egativo solo se la base è egativa e l espoete è dispari, il sego positivo egli altri tre casi (base egativa ed espoete pari, oppure base positiva ed espoete pari o dispari).

11 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI RAZIONALI (1) Ua frazioe è ua coppia ordiata di umeri iteri, di cui il secodo diverso da zero. Il primo umero della coppia (umeratore) è al di sopra della liea di frazioe ; il secodo umero della coppia (deomiatore) è al di sotto della liea di frazioe. Ua frazioe rappreseta il quoziete tra due umeri iteri, ossia il loro rapporto; :m (m 0). m Dato che i ua divisioe il divisore o può mai essere uguale a zero (e quidi, dato che la divisioe per zero è ua operazioe impossibile), il deomiatore di ua frazioe o può mai essere uguale a zero (e quidi o esistoo frazioi co deomiatore zero). - Le frazioi col umeratore miore del deomiatore soo dette frazioi proprie; - Le frazioi col umeratore maggiore del deomiatore soo dette frazioi improprie; - Le frazioi col umeratore multiplo del deomiatore soo dette frazioi appareti (e corrispodoo i pratica a dei umeri iteri). Due frazioi b a e d c soo equivaleti se a d b c (cioè se soo uguali i due prodotti i croce ). Due frazioi equivaleti rappresetao i pratica lo stesso umero razioale. Proprietà ivariativa delle frazioi: moltiplicado umeratore e deomiatore di ua frazioe per lo stesso umero itero diverso da zero, o dividedo umeratore e deomiatore di ua frazioe per lo stesso umero itero diverso da zero (e loro divisore comue), si ottiee ua frazioe equivalete alla frazioe data. Semplificare ua frazioe sigifica i pratica applicare la proprietà ivariativa alla frazioe data, dividedo umeratore e deomiatore per uo stesso umero (diverso da zero). Ua frazioe si dice ridotta ai miimi termii se umeratore e deomiatore o hao più divisori i comue diversi da 1 (ossia, se umeratore e deomiatore soo primi tra loro, ossia il loro M.C.D. è 1). I pratica, ua frazioe è ridotta ai miimi termii se è semplificata il più possibile. Per ridurre ua frazioe ai miimi termii, basta dividere umeratore e deomiatore per il loro M.C.D. (diverso da zero per defiizioe). Ridurre a deomiatore comue due (o più) frazioi sigifica trovare altre due (o più) frazioi aveti tutte lo stesso deomiatore, ciascua equivalete alla corrispodete frazioe data. Applicado la proprietà ivariativa, si hao ifiite possibili soluzioi a questo problema. Per covezioe, tra tutti i possibili deomiatori comui si sceglie il più piccolo, e precisamete il m.c.m. tra i vari deomiatori; si ha quidi la riduzioe al miimo comue deomiatore (m.c.d.).

12 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI RAZIONALI (2) m m m. U umero razioale corrispode i pratica ad ua frazioe ridotta ai miimi termii (viceversa, ogi frazioe corrispode ad u umero razioale). Le frazioi co deomiatore 1 corrispodoo ai umeri iteri. I Q è sempre possibile la divisioe tra umeri aturali/iteri/razioali (purché, aturalmete, il divisore sia diverso da zero), ossia i Q il quoziete esiste sempre. [La divisioe è quidi u operazioe itera i Q ; Q è chiuso rispetto alla divisioe.] Q è u isieme (totalmete) ordiato. I umeri razioali possoo essere rappresetati su ua retta orietata. Q è u isieme deso (ossia, dati due umeri razioali, esiste sempre u terzo umero razioale compreso tra i due umeri dati; equivaletemete, tra due umeri razioali vi è sempre u umero ifiito di umeri razioali). Ricapitolado: - I Q (ed R) soo sempre possibili le prime quattro operazioi elemetari (addizioe, sottrazioe, moltiplicazioe, divisioe aturalmete, per u divisore diverso da zero), ossia i Q (ed R) esistoo sempre la somma, la differeza, il prodotto, ed il quoziete ( reale ); [Ossia, Q (ed R) soo chiusi rispetto ad addizioe, sottrazioe, moltiplicazioe, divisioe.] - N, Z, Q (ed R) soo isiemi ifiiti; - N, Z, Q (ed R) soo isiemi (totalmete) ordiati; - I umeri aturali, iteri, razioali (e reali) possoo essere rappresetati su ua retta orietata; - N e Z soo isiemi discreti, metre Q (ed R) soo isiemi desi.

13 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI RAZIONALI (3) a b a b c c c (c 0) ; a b ar c d mbs, co m m.c.d., r m:c, s m:d (c, d 0). a c a c b d b d (b, d 0). I Q, ogi umero (diverso da zero) ha iverso (o reciproco); l iverso del umero razioale espresso m dalla frazioe è il umero razioale espresso dalla frazioe, che si ottiee dalla frazioe data m scambiado tra loro umeratore e deomiatore. Poiché o possoo esistere frazioi co deomiatore 0, il umero 0 (uguale, ad es., a 1 0 ) o ha iverso. L iverso del umero itero a (a 0) è a 1. U umero e il suo iverso hao lo stesso sego; l iverso di +1 è +1, l iverso di -1 è -1. Defiizioe di divisioe tra due umeri a, b (b 0) : a:b a 1. b Di cosegueza, dati due umeri razioali b a e d c, a c a d a d : ( b d b c b c ) (b, c, d 0). a b a b 1 a a, co N (b 0). (a 0). a b b a, co N (a, b 0). Per 1, si ottiee l iverso (ache come simbolo) di u umero diverso da zero: 1 1 a. a

14 ALGEBRA \ ARITMETICA \ CALCOLO NUMERICO Le percetuali soo u modo diverso di rappresetare le frazioi co deomiatore 100. I simboli: % (co N). 100 Dato u umero reale r, si chiama otazioe espoeziale di r l espressioe: i c 10, co i Z, c R. Dato che l espoete i della poteza i base 10 (essedo u umero itero) può assumere ifiiti valori, ogi umero reale può quidi essere rappresetato i ifiiti modi secodo la otazioe espoeziale. Dato u umero reale r, si chiama NOTAZIONE SCIENTIFICA di r l espressioe: i c 10, co i Z, c R, 1 c < 10. Dato che la costate c (dovedo essere compresa tra 1 e 10) è sostazialmete uica, ogi umero reale può quidi essere rappresetato i modo uico secodo la otazioe scietifica. Metre le otazioi espoeziali di u umero soo ifiite, la otazioe scietifica di u umero (che è u caso particolarissimo di otazioe espoeziale) è uica (tra tutte le ifiite otazioi espoeziali). L ordie di gradezza di u umero reale è la poteza di 10 (ella otazioe scietifica!) più vicia al umero stesso (o, equivaletemete, l espoete della predetta poteza di 10). Dati umeri reali x,..., x aritmetica degli umeri, ossia: m L errore assoluto 1 (co N, > 0), il valor medio m degli umeri è dato dalla media x 1... x i 1 e ass di ua serie di misure rappresetate da umeri reali x,..., x semidiffereza tra il valore massimo e il valore miimo, ossia: x i. e ass xmax x mi 2. 1 è dato dalla L errore relativo e rel di ua serie di misure rappresetate da umeri reali x 1,..., x è dato dal rapporto tra l errore assoluto e il valore medio, ossia: e rel e ass. m L errore relativo può essere poi espresso ache i forma percetuale; si parla allora, apputo, di errore relativo percetuale. Metre il valor medio e l errore assoluto di ua serie di misure vao espresse ella stessa uità di misura delle misure stesse, l errore relativo, essedo il rapporto tra due gradezze omogeee, è u umero puro, e va quidi espresso seza alcua uità di misura.

15 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI REALI (1) Se ua frazioe è apparete, corrispode i pratica ad u umero itero, e può quidi essere rappresetata (i modo uico) mediate u umero itero. Se ua frazioe è decimale (cioè ha come deomiatore ua poteza di 10, co espoete aturale maggiore di 0), o è equivalete ad ua frazioe decimale, può essere rappresetata (i modo uico) mediate la rappresetazioe decimale, basata sulla scrittura posizioale e sull uso della virgola. Le cifre assumoo u valore diverso a secoda della posizioe i cui si trovao el umero (come el caso dei umeri aturali ed iteri); la virgola serve per separare la parte itera dalla parte decimale del umero. I questo modo, ad ogi umero razioale rappresetabile mediate ua frazioe decimale viee fatto corrispodere u umero decimale fiito, ossia u umero decimale avete u umero fiito di cifre decimali. No tutti i umeri razioali soo rappresetabili mediate frazioi decimali; lo soo, ifatti, solo quelli corrispodeti a frazioi che, ridotte ai miimi termii, hao il deomiatore coteete come fattori primi solo (poteze di) 2 e 5 (divisori propri di 10). Quado ua frazioe o può essere trasformata (applicado la proprietà ivariativa) i ua frazioe decimale, la frazioe corrispode allora ad u umero decimale periodico, ossia ad u umero decimale avete u umero ifiito di cifre decimali, tali che, da u certo puto i avati, si ripetoo sempre a gruppi sempre uguali; il gruppo di cifre ripetute si chiama periodo, il gruppo di cifre (se esiste) comprese tra la virgola e il periodo si chiama atiperiodo. [Si dimostra che il periodo o può mai essere 9.] I geerale, u umero razioale (o itero) può sempre essere rappresetato mediate u umero decimale fiito o periodico. Data ua frazioe (qualuque), il umero decimale corrispodete si può otteere dalla divisioe tra il umeratore e il deomiatore della frazioe. Esistoo procedimeti matematici (come, per esempio quello della estrazioe della radice ) che portao ivece a umeri decimali illimitati e o periodici; esistoo duque umeri decimali che NON corrispodoo a umeri razioali. U umero irrazioale è u umero decimale illimitato e o periodico. I umeri irrazioali soo di due tipi: algebrici (legati, i sostaza, all estrazioe di radici), e trascedeti (o legati all estrazioe di radici; ad es., 3,14159, e la costate di Nepero e 2, ). Per idicare il valore esatto di u umero decimale illimitato (periodico o o periodico), o potedo aturalmete scrivere tutte le (ifiite) cifre decimali, se e scrivoo solo le prime (i umero variabile a secoda dei casi), seguite da putii; qualora poi o serva proprio il valore esatto, si può usare allora u valore approssimato (per difetto o per eccesso), sempre co le sole prime cifre decimali volute (e sempre i umero variabile a secoda dei casi), ma utilizzado, aziché il simbolo, il simbolo. U umero reale è u umero razioale o irrazioale.

16 ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI REALI (2) Alcue proprietà fodametali dei umeri reali: - I R, ogi quadrato è maggiore o uguale a zero (vero ache per N, Z, Q); - Ogi umero reale o egativo è u quadrato (o vero per N, Z, Q); - R è u isieme ifiito, (totalmete) ordiato, deso; - I umeri reali possoo essere rappresetati su ua retta orietata; ed azi: - Ad ogi umero reale corrispode u puto su ua retta, e viceversa (o vero per N, Z, Q). N o è chiuso rispetto alla sottrazioe, metre Z è chiuso rispetto alla sottrazioe; i altri termii, partedo dai umeri aturali, la sottrazioe, operazioe iversa dell addizioe, è divetata operazioe itera itroducedo i umeri iteri (aggiugedo i umeri egativi). Aalogamete, Z o è chiuso rispetto alla divisioe, metre Q è chiuso rispetto alla divisioe; i altri termii, partedo dai umeri iteri, la divisioe, operazioe iversa della moltiplicazioe, è divetata operazioe itera itroducedo i umeri razioali (aggiugedo le frazioi aveti deomiatore diverso da 1). L operazioe iversa dell operazioe di elevameto a poteza (ad espoete aturale > 0) è l operazioe di estrazioe della radice (-esima) ; Q o è chiuso rispetto all operazioe di estrazioe della radice, ossia l operazioe di estrazioe di radice o è itera i Q. Nell isieme dei umeri reali o egativi, l operazioe di estrazioe di ua qualuque radice è itera (e quidi ogi umero o egativo può essere cosiderato, ad es., come u quadrato); l operazioe è divetata itera aggiugedo ai umeri razioali i umeri irrazioali (algebrici).