ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente"

Transcript

1 Corso di Laurea i Matematica LEZIONI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA..2 A.A ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE Dott.ssa Sadra Lucete Idice :. Prime geeralità sulle serie. 2. Serie a termii o egativi: Criteri di cofroto e criterio di codesazioe Criteri della radice, del rapporto, di Raabe. Criterio dell itegrale. 3. Serie a sego qualuque: serie assolutamete covergeti e serie a sego altero. 4. Complemeti Riordiameti Il prodotto di Cauchy di due serie Prodotti ifiiti Successioi e serie i campo complesso Somma si serie e sviluppi di Taylor Idice delle defiizioi, dei teoremi e degli esempi fodametali Idice degli esercizi svolti i aula Nota fiale e riferimeti bibliografici Versioe del 3 Marzo 2009

2 Prime geeralità sulle serie Prime geeralità sulle serie Defiizioe.. Assegata ua successioe {a } N di umeri reali, per ogi m N, si defiisce somma parziale m-esima di {a } N il umero reale S m := a = a 0 + a + + a m. La successioe {S m } m N viee deomiata serie di termie geerale -esimo a. Ua serie viee i geere idicata co il simbolo e talvolta ache co a 0 + a + + a a Il carattere della successioe {S m } m N viee idicato come carattere della serie. Si dice che ua serie è regolare, covergete, divergete positivamete oppure divergete egativamete se tale è la successioe delle sue somme parziali. Ua serie o regolare viee deomiata idetermiata. Nel caso i cui la serie sia regolare, il limite della successioe delle somme parziali viee deomiato somma della serie e deotato acora co il simbolo + a ; sarà chiaro dal cotesto se tale simbolo idica la serie o la sua somma. Esplicitamete, se S R, si ha a = S R ε > 0, ν N tale che ν : a = + M > 0, ν N tale che ν : a = M > 0, ν N tale che ν : S a k < ε. k=0 a k > M. k=0 a k < M. Notiamo ifie che potremmo cosiderare serie per geeriche successioi del tipo {a } 0 co 0 0. Quato detto el seguito cotiuerà a valere ache per queste successioi. Esempio.. Sia a = per ogi N. Risulta S m = = m + quidi la serie degli a è positivamete divergete. Esempio.2. Sia {a } N = {( ) } N. Risulta { m pari {S m } m N = 0 m dispari quidi la serie degli a è idetermiata. k=0

3 Prime geeralità sulle serie 2 { } Esempio.3. Serie di Megoli Sia {a } N = (+) N. Risulta S m = ( + ) Passado al limite risulta = m (m + ) ( = ) ( ) ( m ) m + quidi la serie degli a è covergete co somma. ( ( + ) = lim ) =. m + m + = m +. La serie di Megoli rietra i ua classe più ampia di serie per le quali possiamo facilmete stabilire il carattere. Defiizioe.2. Assegata ua successioe {b } N si cosidera la successioe delle differeze di termii successivi della b, ovvero a = b + b. La serie di termie geerale a si dice serie telescopica. Teorema.. Teorema sul carattere di ua serie telescopica. Sia {b } N R. Si cosideri la serie telescopica Risulta (b + b ). Tale serie è regolare se e solo se lo è la successioe b. Tale serie divergete positivamete (rispettivamete egativamete) se e solo se la successioe b diverge positivamete (rispettivamete egativamete). Tale serie è covergete se e solo se la successioe b è covergete. I quest ultimo caso lim b = L (b + b ) = L b 0. Dimostrazioe. La somma parziale della serie è data da (b + b ) = (b b 0 ) + (b 2 b ) + + (b m+ b m ) = b 0 + b m+. La tesi segue per passaggio al limite. Esempio.4. Si cosideri la successioe { lg + }. La serie corrispodete divergete positivamete poichè è ua serie telescopica, co S m = m (lg( + ) lg ) = lg(m + ).

4 Prime geeralità sulle serie 3 Osservazioe. Abbiamo visto che data ua successioe {a } N possiamo sempre associarvi ua serie telescopica di termie geerale b = a + a e somma parziale S m = a 0 + a m+. Possiamo ache otare che si può sempre costruire ua serie la cui successioe delle somme parziali sia {a } N si tratta della serie a 0 + (a + a ) Esempio.5. La serie geometrica U esempio importate per il seguito è dato dalla serie h co h R, la quale viee deomiata serie geometrica di ragioe h. Per ogi m N, deotata co s m la somma parziale m-esima, risulta S m = + h + + h m hs m = h + h h m+ e sottraedo si ha ( h)s m = h m+. Se h =, come visto ell Esempio., la serie diverge. Se h si ha Ricordado che lim m + hm = S m = hm+ h si ha che per h <, la serie è covergete e risulta + se h > se h = 0 se < h < o esiste se h h = h. Per h la serie geometrica diverge positivamete, metre se h, la serie è idetermiata. Alcue semplici operazioi algebriche sulle serie possoo essere dedotte dai teoremi sui limiti di successioi. Il successivo risultato ci dice che per le serie valgoo le operazioi ammissibili i ˆR. Teorema.2. Si cosiderio due serie di umeri reali + a e + b. ) Se le serie soo etrambe covergeti, ache la serie somma + (a + b ) è covergete e si ha (a + b ) = a + b ;

5 Prime geeralità sulle serie 4 2) Se ua delle due serie è divergete positivamete (risp. egativamete) e se l altra serie è covergete, allora la serie + (a + b ) risulta divergete positivamete (risp. egativamete). 3) Se la serie + a è covergete e se λ R, allora ache la serie + λa è covergete e si ha (λa ) = λ + a. 4) Se la serie + a è divergete positivamete (rispettivamete, egativamete) e se λ > 0, allora ache la serie + a (λa ) è divergete positivamete (rispettivamete, egativamete). Se ivece λ < 0, la serie + (λa ) è divergete egativamete (rispettivamete, positivamete). Dimostrazioe. Dimostriamo la proprietà ), le altre si deducoo i modo aalogo. Sia {S m } la successioe delle somme parziali relative alla serie di termie geerale a e {T m } la successioe delle somme parziali relative alla serie di termie geerale b. Essedo (a + b ) = S m + T m per i teoremi sulle operazioi sui limiti risulta ovvero la tesi. lim m + (a + b ) = lim S m + lim T m = m + m + a + b Osservazioe. Applichiamo quato visto per la serie geometrica alla rappresetazioe decimale dei umeri razioali. Sappiamo che la frazioe geeratrice di u umero periodico è data da a 0, a a 2...a k a k+...a = a 0 + a a 2...a k a k+... a a...a k } 9.{{..9} } 0.{{..0} k k ad esclusioe del periodo 0 e del periodo 9. Osserviamo, mediate esempi, che tale risultato è cosegueza della somma della serie geometrica. Prima di tutto osserviamo che la covezioe dell idetificazioe che si fa del periodo 9 co l uità successiva ha ora u seso preciso. Ifatti 0, = ( ) = 0 0 = 0 9 = 9, quidi, se ammettessimo il periodo 9, si avrebbe 0, 9 = 9 0, = 9 9 =. Mediate la serie geometrica si possoo cosiderare gli allieameti decimali i ogi base (va cosiderata ua diversa ragioe della serie) Si può così dimostrare che u umero periodico resta periodico se lo si riscrive i u altra base.

6 Prime geeralità sulle serie 5 Esempio.6. Verifichiamo che 3/99 = 0, 3. Risulta 0, = = 3 00 ( = 2 00 ( ) ) = = = Osserviamo che + 2 = 2, + 2 =, =2 2 = 2,... Abbiamo duque l impressioe che i primi termii cotribuiscoo i modo sigificativo alla somma della serie; viceversa o sembra possibile cambiare questi termii i modo che questa uova serie o coverga. I prossimi risultati (Lemma.3, Teoremi.4 e.5 ) formalizzao proprio questi feomei. Lemma.3. Il carattere di ua serie o cambia quado si alterao u umero fiito di termii. Dimostrazioe. Siao {a } N e {b } N due successioi tali che A = {k N a k b k } è fiito. Sia ν = max A. Per ogi ν risulta a = b cioè a b = 0. Per ogi m ν si ha Passado al limite su m N, si ha (a b ) = (a b ) = ν (a b ). ν (a b ). Essedo b = (b a ) + a possiamo usare il Teorema.2 (puto ) per cocludere che se + a coverge ache + b coverge. Mediate lo stesso teorema (puto 2) si vede che se + a diverge positivamete (risp. egativamete) ache + b diverge positivamete (risp. egativamete). Se + a è idetermiata, per m ν risulta b = ν (b a ) + a. Passado al limite su m, il limite del secodo membro, e quidi del primo, o esiste. Ovvero + è idetermiata. b

7 Prime geeralità sulle serie 6 Nel caso della serie geometrica e delle serie telescopiche, abbiamo visto che si riesce a semplificare il valore delle somme parziali S e a calcolare limite. Questo è purtroppo u caso piuttosto raro. Nella maggiorparte dei casi si ricorre a criteri idiretti. Il primo viee utilizzato per escludere che la serie coverga. Teorema.4. Sia {a } N ua successioe di umeri reali e si suppoga che la serie + a sia covergete. Allora lim + a = 0. Dimostrazioe. Si cosideri la successioe {S m } m N delle somme parziali della serie + a e sia S R la somma della stessa serie. Per il teorema delle successioi estratte lim S m = S = lim S m quidi m + m + lim a m = lim S m S m = lim S m lim S m = S S = 0. m + m + m + + Esempio.7. La codizioe precedete o è i geerale sufficiete ad assicurare la covergeza di ua serie. Si pesi all Esempio.4 per ua serie divergete co termie geerale ifiitesimo. Vedremo che ache la serie armoica (Esempio.8) è divergete pur essedo il suo termie geerale ifiitesimo. Ua codizioe ecessaria e sufficiete di covergeza per le serie è data mediate il comportameto di ua uova serie detta serie resto m-esimo. Defiizioe.3. Sia {a } N ua successioe di umeri reali e sia m N. Il resto m-esimo della serie + a è la serie di termie geerale b = esso viee idicato co il simbolo R m. Ovvero R m = { 0 m a m + b = =m+ I virtù del Lemma.3 la serie di parteza e la serie resto m esimo hao lo stesso carattere. Teorema.5. La serie coverge se e solo se la serie resto m-esimo è covergete per ogi m N e la successioe {R m } m N è ifiitesima. Dimostrazioe. Essedo R 0 = + a ua implicazioe è baale. Sia S = + a, risulta R m = lim K K b = lim K K =m+ Passado al limite su m si ha lim m R m = 0. a = lim K K a. a a = S a.

8 Prime geeralità sulle serie 7 Ua ulteriore codizioe ecessaria e sufficiete per la covergeza di ua serie si ricava dal criterio di covergeza di Cauchy per le successioi. Teorema.6. Criterio di Cauchy per serie Sia {a } N ua successioe di umeri reali. Le segueti proposizioi soo equivaleti (a) La serie + a è covergete (b) ε > 0 ν N tale che k, m ν : k a m a < ε. (c) ε > 0 ν N tale che k, m ν, k m : (d) ε > 0 ν N tale che k ν, p N : k+p =k+ =k+ a < ε. a < ε. Dimostrazioe. Le proprietà (a) e (b) soo equivaleti per il criterio di Cauchy delle successioi applicato alle successioi delle somme parziali. Le proprietà (b) e (c) soo equivaleti i quato m a = k a + m =k+ Ovviamete la proprietà (c) implica (d), scelto m = k + p. Viceversa fissati k, m N co k m esiste p N tale che m = k + p, quidi la proprietà (d) implica la proprietà (c). a. U altro fodametale esempio di serie o covergete co termie geerale ifiitesimo, è dato dalla serie armoica così chiamata perchè ogi termie è la media armoica del precedete e del successivo. 2 Esempio.8. La serie armoica Sia data la successioe a = per. La serie ad essa associata si chiama serie armoica. Mostriamo, mediate il criterio di Cauchy che la serie + o coverge. Si osserva che 2(k+) =k+ = k + + k k + 2 2k k k + 2 = k + 2(k + ) = 2. Preso duque ε < /2 viee violata la codizioe (d) del criterio di Cauchy i corrispodeza di ogi ν N, k ν e p = k + 2. Possiamo essere più precisi rispetto al carattere della serie armoica utilizzado u teorema di cofroto che geeralizza quello delle successioi. 2 Dati a, b due umeri reali o ulli, la loro media armoica è data dalla quatità [ ( + )]. 2 a b

9 Prime geeralità sulle serie 8 Teorema.7. Si cosiderio due serie + a e + b e si suppoga che a b N. () Allora (i) Se la serie + a è divergete positivamete, lo è ache la serie + b. (ii) Se la serie + b è divergete egativamete, lo è ache la serie + a. Dimostrazioe. Sommado termie a termie le disuguagliaze a b, fissato m N risulta a b. Per otteere (i) e (ii) basta applicare il teorema di cofroto per successioi. Esempio.9. La serie armoica diverge positivamete ovvero Sappiamo che la successioe b = = +. ( + ) è crescete e covergete al suo sup pari al umero di Nepero e. Quidi ( + ) e. Essedo la fuzioe y = lx crescete, dalla precedete disuguagliaza si deduce che ( = le l + ) ( = l + ) I coclusioe Cosiderado la somma parziale abbiamo l +. m l +. Operado come ell Esempio.4 possiamo cocludere che S m = l(m + ). Passado al limite per m +, essedo {l(m + )} ua successioe divergete, per i teoremi di cofroto delle successioi risulta S m divergete e quidi la serie armoica è divergete.

10 2 Serie a termii o egativi 9 Esempio.0. La serie armoica geeralizzata + α co espoete 0 < α < diverge. Se 0 < α < essedo, risulta α < quidi < α. Quidi la serie armoica è miorate per la serie armoica geeralizzata di espoete 0 < α < che duque diverge per cofroto. y = x y = x α 2 Serie a termii o egativi Defiizioe 2.. Ua serie + a tale che a > 0 per ogi N viee deomiata serie a termii positivi (oppure a termii strettamete positivi). Se a 0 per ogi N si dice che la serie è a termii o egativi. Se a 0 per ogi ν, co ν N assegato, allora la serie si dice defiitivamete a termii o egativi. Aalogamete si defiiscoo le serie a termii defiitivamete positivi. Teorema 2.. Teorema di regolarità delle serie a termii o egativi. Ua serie a termii o egativi coverge o diverge positivamete. I particolare essa coverge se e solo se la successioe delle somme parziali è limitata. Dimostrazioe. Per serie a termii o egativi la successioe delle somme parziali risulta crescete; ifatti quidi S m+ = S m + a m+ S m lims m = sup S m. m m Se le somme parziali soo limitate superiormete la successioe {S m } e quidi la serie coverge. Se sup S m = + la serie diverge positivamete. m Osservazioe. Grazie al Lemma.3 il teorema precedete si estede a serie a termii defiitivamete o egativi. Per serie a termii egativi, applicado il teorema precedete alla serie di termie geerale a e ricordado il Teorema.2 avremo covegeza oppure egativa divergeza. Osservazioe. Per idicare che ua serie + a a termii o egativi è covergete, ha seso scrivere + a < +. Tale otazioe o ha seso se la serie o è a termii o-egativi. Osservazioe. Ua serie a termii o egativi per cui o sia verificata la codizioe ecessaria diverge. Esempio 2.. La serie armoica o verifica il criterio di Cauchy, quidi o coverge. Essedo a a termii positivi essa diverge. Per tali serie è possibile stabilire diversi criteri di covergeza.

11 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe 0 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe I criteri di cofroto estedoo quato fatto ella dimostrazioe della divergeza della serie armoica. U primo criterio elemetare di cofroto si può ricavare direttamete dai teoremi di cofroto per i limiti. Teorema 2.2. Criterio di cofroto Si cosiderio due serie + a e + b e si suppoga che esista ν N tale che Allora 0 a b N, ν. (2) (i) Se la serie + a è divergete positivamete, lo è ache la serie + b. (ii) Se la serie + b è covergete, lo è ache la serie + a. (iii) Sia 0 a b per ogi N. Se la serie + b è covergete, lo è ache la serie + a e si ha la seguete disuguagliaza delle somme delle serie: Dimostrazioe. Si poe a b. b = { a ν b ν +. Le serie + b e + b differiscoo per u umero fiito di termii e quidi per il Lemma.3 hao lo stesso carattere. Sommado termie a termie le disuguagliaze a b, fissato m N risulta a b. Per otteere (i) basta applicare il teorema di cofroto per successioi e torare da b a b. Per il puto (ii) bisoga combiare il teorema di cofroto per successioi, il Lemma.3 co il precedete criterio di regolarità delle serie a termii o egativi. Ifie per (iii), abbiamo che m a m b 0 e sappiamo che esistoo A, B 0 tali che a = A, + b = B. Per il teorema di permaeza delle disuguagliaze A B. Osserviamo che la disuguagliaza tra le somme delle serie o vale se la la disuguagliaza a b è verificata solo defiitivamete. I geerale, quado si cambiao u umero fiito di termii, o cambia il carattere della serie, ma i caso di covergeza cambia la somma della serie stessa.

12 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe Teorema 2.3. Criterio del cofroto asitotico Si cosiderio due serie + a a termii o egativi e + b a termii strettamete positivi. Si suppoga che esista il limite lim a b = l.. Se l > 0, l R, le due serie hao lo stesso carattere. 2. Se l = 0 e se la serie + b è covergete, ache la serie + a è covergete. Se ivece la serie + a è divergete positivamete, ache la serie + b è divergete positivamete. 3. Se l = + se la serie + a è covergete, ache la serie + b coverge, metre se la serie b è divergete positivamete ache la serie + a è divergete positivamete. Dimostrazioe.. Dalla defiizioe di limite, i corrispodeza di ε = l/2 > 0, esiste ν N tale che l/2 < a /b < 3l/2 per ogi ν, da cui l 2 b < a < 3l 2 b. Applicado il precedete criterio di cofroto e il Teorema.2 (3), teedo coto di etrambe le diseguagliaze, si deduce che le due serie hao lo stesso carattere. 2. Dalla defiizioe di limite, co ǫ =, esiste ν N tale che a /b < per ogi ν, da cui a < b. Ache i questo caso si può cocludere applicado il criterio di cofroto. 3. Basta applicare il caso 2) ivertedo i ruoli delle due serie ifatti i questo caso lim b /a = 0. L ipotesi a a termii strettamete positivi è defiitivamete verificata essedo lim a b = +. Esempio 2.2. La serie armoica geeralizzata + α co espoete α 2 coverge. La serie + si cofrota asitoticamete alla serie di Megoli studiata ell Esempio.3: 2 lim / 2 /(( + )) =. Poichè la serie di Megoli coverge, per il precedete criterio, ache la serie armoica geeralizzata di espoete 2 coverge. Se α > 2 essedo, risulta α > 2 quidi α < 2. Quidi la serie armoica geeralizzata di espoete α > 2 coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete α = 2. y = x α α > 2 y = x 2

13 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe 2 Mediate i teoremi di cofroto o abbiamo alcua iformazioe sulla serie armoica el caso < α < 2. Questo caso sarà trattato i tre modi diversi. Teorema 2.4. Criterio di codesazioe di Cauchy. Sia {a } N ua successioe decrescete di umeri reali o egativi. La serie + a coverge se e solo se la serie + 2 a 2 coverge. Dimostrazioe. Trascuriamo per semplicità il primo termie di + a Sia {S m } m N la successioe delle somme parziali di + a e {T m } m N la successioe delle somme parziali di + 2 a 2. Essedo {a } N ua decrescete si ha Sommado queste disuguagliaze otteiamo a = 2 0 a 2 0 a 2 + a 3 a 2 + a 2 = 2a 2 = 2 a 2 a 4 + a 5 + a 6 + a 7 a 4 + a 4 + a 4 + a 4 = 4a 4 = 2 2 a 2 2 a 8 + a a 5 8a 8 = 2 3 a k+ S 2 k+ T k.... =2 k... a 2 k a k = 2 k a 2 k Utilizzado il teorema di cofroto per successioi, vogliamo provare che se {T k } k N coverge allora {S m } m N coverge. Ricordiamo che m N, ν N, tale che m < 2 ν+. Questa relazioe segue ad esempio dalla defiizioe di limite applicata a lim k 2 k+ = +. Essedo poi {S m } crescete, per ogi m N esiste ν N per cui S m < S 2 ν+ T ν Se {T k } k N coverge, essedo mootoa, è limitata. Duque {S m } m N è limitata e quidi la serie di parteza è covergete perchè a termii positivi.

14 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe 3 Viceversa si ota che a a 2 a 2 2a 2 2 = 2 20 a 2 0 = 2 2 a 2 a 3 + a 4 a 4 + a 4 = 2a 4 = 2 22 a 2 2 a 5 + a 6 + a 7 + a 8 a 8 + a 8 + a 8 + a 8 = 4a 8 = 2 23 a k =2 k a 2 k a k = 2 2k a 2 k Sommado otteiamo S 2 2 T Se {S m } m N coverge allora è limitata quidi {T k } k N è limitata e duque covergete perchè a termii positivi.... Esempio 2.3. La serie + α coverge se α > e diverge positivamete se α. Sia a = α, Essedo ua serie a termii positivi la sua covergeza sarà equivalete alla covergeza della serie 2 a 2 = ( ) α 2 2 = ( ) 2 α 0. Tale serie, è la serie geometrica di ragioe 2 α, quidi coverge se e solo se 2 α < ovvero α >. Ioltre ella dimostrazioe del criterio di codesazioe abbiamo provato che le somme parziali della serie di parteza soo maggiorate dalla somma della serie di termie geerale 2 a 2. Passado al limite, tale disuguagliaza si coserva, duque si ha + α ( ) 2 α = 2α = 2 α 2 α 2. (3) Co strumeti più sofisticati si provao alcue somme della serie armoica geeralizzata, ad esempio se α = 2 si prova che 2 = π2 6. Utilizzado la serie armoica geeralizzata el criterio del cofroto asitotico, si ha il seguete.

15 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 4 Corollario 2.5. Criterio degli ifiitesimi. Sia p R. Si cosideri + a a termii o egativi e si suppoga che esista il limite lim p a = l R.. Se l > 0, l R, la serie data ha lo stesso carattere della serie + 2. Se l = 0 e p > la serie data coverge. 3. Se l = + e p la serie data diverge positivamete. 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe Richiamo. Sia {x } N ua successioe di umeri reali limitata. Si dice che l è il miimo limite della successioe e si scrive lim if x = l se soo verificate le segueti due proprietà caratteristiche p. l.i) ε > 0 esiste ν N tale che per ogi N, ν risulta l ε < x. l.ii) ε > 0 e per ogi ν N esiste N, ν per cui x < l + ε. Aalogamete, si dice che L è il massimo limite della successioe e si scrive lim supx = L se soo verificate le segueti due proprietà caratteristiche L.I) ε > 0 esiste ν N tale che per ogi N, ν risulta x < L + ε. L.II) ε > 0 e per ogi ν N esiste N, ν per cui L ε < x. Se la successioe è illimitata iferiormete si poe lim if Se la successioe è illimitata superiormete si poe lim if x = x = + Nella pratica il calcolo del massimo e miimo limite di ua successioe corrispode all idividuare il più grade e il più piccolo valore di adereza della successioe, cioè il più grade e il più piccolo elemeto di R a cui tede ua estratta della successioe data.

16 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 5 Teorema 2.6. Criterio della radice. Sia L ˆR. Sia {a } il termie geerale di ua serie a termii o egativi, ovvero a 0 per ogi N. Sia lim sup + a = L. Allora, se L > la serie + a k diverge positivamete, se L < la serie + a k coverge. k= Dimostrazioe. Sia L R tale che L > scegliamo ε > 0 i modo che L ε > Per le proprietà caratteristiche del massimo limite, per ogi ν N esiste ν per cui risulta a > L ε ossia a > (L ε) per ifiiti idici. La serie o pu covergere perchè il suo termie geerale o tede a zero. Essedo a termii o-egativi, la serie diverge positivamete. Se L = + allora la successioe o è limitata quidi o può essere ifiitesima. Nuovamete il termie geerale della serie o tede a zero e quidi la serie essedo a termii o egativi diverge positivamete. Se L < scegliamo ε > 0 i modo che L + ε < Per le proprietà caratteristiche del massimo limite, esiste ν N tale che per ogi ν risulta a < L + ε ossia a < (L + ε). La serie data è defiitivamete maggiorata dalla serie geometrica di ragioe L + ε <. Per cofroto la serie data coverge. Ricordiamo che se ua successioe coverge se e solo se il massimo limite coicide co il miimo limite. Ioltre il limite della successioe è esattamete il massimo limite, ovvero il miimo limite. Corollario 2.7. Criterio della radice. Sia L ˆR. Sia a il termie geerale di ua serie a termii o egativi. Suppoiamo che esista il limite lim + a = L. Allora, se L > la serie + a diverge positivamete, se L < la serie + a coverge. Osserviamo che il criterio della radice è iefficace per l =, i particolare o dà iformazioi per la serie armoica geeralizzata. Richiamo. Per i Teoremi di tipo Cesaro il limite della radice -esima di ua successioe è legato al limite del tasso di crescita della successioe. Precisamete, se a > 0 per ogi 0 allora lim a + a = l lim a = l. Dal precedete corollario si deduce subito il seguete risultato. Teorema 2.8. Criterio del rapporto. Sia L ˆR. Sia a il termie geerale di ua serie a termii strettamete positivi. Suppoiamo che esista il limite a + lim = L. + a Allora, se L > la serie + a diverge positivamete, se L < la serie + a coverge. k=

17 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 6 Ache tale risultato può euciarsi facedo uso del massimo e miimo limite di a. Teorema 2.9. Criterio del rapporto. Siao l, L ˆR. Sia {a } il termie geerale di ua serie a termii positivi, ovvero a > 0 per ogi N. Siao a + a + lim if = l lim sup = L. + a + a Allora, se l > la serie + a k diverge positivamete, se L < la serie + a k coverge. k= Dimostrazioe. Se l > la successioe {a } N è defiitivamete crescete. Ifatti per la prima proprietà del miimo limite, preso ε = l h co < h < l, esiste ν N tale che Per ogi ν risulta a + a > h >, ovvero a + > a. Essedo a termii positivi, la serie otteuta da ua successioe strettamete crescete o può essere ifiitesima. Essedo violata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, ed essedo la serie a termii positivi essa deve essere divergete positivamete. Se L <,si può cosiderare q R tale che L < q <. Applichiamo la proprietà caratteristica del massimo limite co ε = q L > 0. Esiste ν N tale che, per ogi ν risulta a + /a < q, da cui a + < qa. Per ogi ν risulta a q ν a ν. ifatti, tale proprietà è ovviamete vera per = ν e, supposta vera per u certo ν, si ha a + < qa < qq ν a ν = q + ν a ν. I defiitiva, per ogi k N risulta a ν + a ν+ + + a ν+k a ν ( + q + + q k ). Per cofroto co la serie geometrica di ragioe q < abbiamo che k= a =ν coverge. Poichè il comportameto della serie o cambia alterado u umero fiito di termii, ache la serie a coverge. Osserviamo che il criterio del rapporto ella forma del Teorema 2.8 è iefficace per L =, i particolare o dà iformazioi per la serie armoica geeralizzata. Ci si potrebbe chiedere se elle applicazioi covega utilizzare il criterio della radice o quello del rapporto o se è idifferete. Mostriamo che il criterio della radice è più efficace el seso che tutte le volte che il criterio del rapporto dà la covergeza, lo stesso vale per il criterio della radice. Ogi volta che il criterio della radice o dà iformazioi, lo stesso vale per il criterio del rapporto. È solo per ua opportuità di calcolo che scegliamo di applicare i molte situazioi il criterio del rapporto.

18 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 7 Proposizioe 2.0. Sia {c } N ua successioe a termii strettamete positivi. Si hao le segueti relazioi. lim sup lim if c lim sup c lim if c + Dimostrazioe. Dimostriamo la (4), aalogamete si procede per (5). c (4) c + c (5) c Sia L 2 = lim sup + c. Se L 2 = + l asserto è baale. Sia L 2 R. Dalla prima proprietà del massimo limite, i corrispodeza di ǫ > 0 esiste ν N tale che per ogi ν si ha c + c L 2 + ε. Questo implica che c + (L 2 + ε)c e, come visto ella dimostrazioe del criterio del rapporto, per ogi ν risulta c (L 2 + ε) ν c ν. Ne deduciamo che c (L 2 + ε) cν (L 2 + ε) ν. Passado al limsup su e madado ε a zero si ha l asserto. Per chiarire acora meglio la relazioe tra i due criteri diamo u esempio di serie per cui il criterio del rapporto o dà iformazioi metre il criterio della radice risulta efficace. Esempio 2.4. Si cosideri la serie associata alla successioe { 2 pari a = 3 dispari Voledo utilizzare il criterio del rapporto abbiamo che ( a 2 ) 3 3 pari + = a ( 3 ) 2 2 dispari Quidi si ha lim if Il criterio del rapporto è quidi iapplicabile. Quidi Viceversa a + a + = 0, lim sup = +. (6) a a a = lim sup La serie coverge per il criterio della radice. 2 pari 3 dispari a = <. (7) 2

19 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 8 Osservazioe. Acceiamo, seza dimostrarlo, che il criterio degli ifiitesimi è più efficace del criterio della radice, el seso che tutte le volte che il criterio della radice forisce iformazioi, le avrebbe forite ache il criterio degli ifiitesimi. Vi soo serie per cui il criterio della radice è iefficace, metre quello degli ifiitesimi dà iformazioi. Nei casi i cui sia il criterio della radice che quello del rapporto soo iefficaci, viee utilizzato u criterio acora più geerale. Teorema 2.. Criterio di Raabe. Sia {a } N ua successioe di umeri reali strettamete positivi. Suppoiamo che esista ( ) a lim = L R a ˆR. + Se L R > la serie + a coverge. Se L R < la serie + a diverge positivamete. Dimostrazioe. Sia L R >. Applichiamo la defiizioe di limite co ε < L R. Ovvero L R ε >. Poiamo Esiste ν N tale che, per ogi ν risulta I particolare per ogi ν si ha h = L R ε > 0. (a /a + ) > (L R ε). (8) a a + > (L R ε)a + > a +. Da ciò segue a > ( + )a +. Ovvero, la successioe {a } è strettamete positiva e decrescete, quidi covergete. Per il Teorema., coverge ache la serie telescopica associata a questa successioe: Da (8) segue ache che per ogi ν, si ha ache a ( + )a + < + a ( + )a + > ha +. I defiitiva a + < h (a ( + )a + ). La serie data coverge allora per cofroto co la serie telescopica h (a ( + )a + ) < +. Sia L R <. Per il Teorema della permaeza delle disuguagliaze, esiste ν N tale che per ogi ν risulta (a /a + ).

20 2.3 Criterio dell itegrale 9 I particolare per ogi ν si ha a a + a +. Da ciò segue a ( + )a +. Ovvero, la successioe {a } è strettamete positiva e crescete. I particolare (ν + )a ν+ νa ν, (ν + 2)a ν+2 (ν + )a ν+ νa ν. Iterado questo procedimeto, si ottiee che per ogi ν a νa ν. La serie data diverge per cofroto co la serie armoica. Esempio 2.5. Osserviamo che, cotrariamete al criterio della radice e del rapporto, il criterio di Raabe si applica alla serie armoica geeralizzata. Ifatti se a =, allora α ( ) a lim a + = lim ( + ) α Quidi se α > la serie coverge, se α < la serie diverge. = α. (9) Nel caso α = il criterio o ci dice ulla (L R = ), come ci si aspetta avedo usato proprio la divergeza di tale serie ella dimostrazioe del criterio. 2.3 Criterio dell itegrale Diamo u ulteriore criterio che relazioa la covergeza di ua serie a termii o egativi co la covergeza di u itegrale improprio. Il criterio può essere usato ache per stabilire la covergeza di u itegrale improprio i u itoro di + partedo dalla covergeza di ua serie. Teorema 2.2. Sia f : [0 + ) [0, + ) ua fuzioe o egativa decrescete. La serie + f() risulta covergete se e solo se la fuzioe f è itegrabile i u itoro di +. Ioltre f() + 0 f(x)dx Dimostrazioe. Essedo f decrescete, per ogi N risulta f( + ) f(x) f() x [, + ]. f(). (0) Ioltre la fuzioe f è itegrabile su ciascuo di questi itervalli perchè mootoa. Itegrado la precedete relazioe ell itervallo [, + ], si ottiee + f( + ) f(x)dx f() Sommado sugli iteri tra zero ed m N risulta f( + ) m f(x)dx 0 f().

21 2.3 Criterio dell itegrale 20 Cambiado variabile ella prima sommatoria, si ha m+ f() m 0 f(x)dx f(). Idicado co {S m } m N la successioe delle somme parziali delle serie a termii o egativi di termie geerale f() abbiamo otteuto che S m+ f(0) m 0 f(x)dx S m. Se l itegrale geeralizzato + 0 f(x)dx coverge si ha che {S m+ } m N è limitata duque {S m } m N è limitata, quiid covergete e vale la prima disuguagliaza. Se la serie coverge, risulta {S m } m N limitata e quidi per ogi m N si ha m 0 f(x)dx S essedo S la somma della serie data. L itegrale improprio + 0 f(x)dx può covergere o divergere positivamete essedo f positiva. Se per assurdo divergesse positivamete, i corrispodeza di S esisterebbe δ > 0 tale che per ogi t δ t 0 f(x)dx > S. Tale codizioe è violata dagli iteri m > δ. Essedo la fuzioe itegrale cotiua, la secoda disuguagliaza segue da m 0 f(x)dx S per passaggio al limite. Osservazioe. Il teorema si estede facilmete a serie del tipo + [0, + ) ua fuzioe o egativa decrescete, si ha Quidi la serie + m+ = 0 f() m f(x)dx f(). 0 = 0 = 0 f(). Cosiderata f : [ 0, + ) = 0 f() risulta covergete se e solo f è itegrabile i u itoro di +. Ioltre = 0 + f() + 0 f(x)dx f(). = 0 Corollario 2.3. Stima del resto m-esimo di ua serie Sia m N. f : [m + + ) [0, + ) ua fuzioe o egativa decrescete. Il resto m-esimo della serie di termie geerale f() è stimato da + m+ f(x)dx =m+ f() + m f(x)dx. Esempio 2.6. Fissato α > 0 la fuzioe f(x) = x α è decrescete e positiva. Essa è itegrabile i u itoro di + se e solo se α >. Ne deduciamo che la serie armoica geeralizzata coverge se e solo se α >. Operado come el precedete corollario, si ha ua stima della somma della serie α = + + x αdx + α = + =2 α + Tale stima è molto meo accurata di quella otteuta i (3). + x αdx α α = + α.

22 3 Serie a sego qualuque 2 3 Serie a sego qualuque 3. Serie assolutamete covergeti Defiizioe 3.. Serie assolutamete covergeti. Sia {a } N ua successioe di umeri reali. Si può cosiderare la serie di termie geerale -esimo a ; tale serie è a termii positivi e quidi deve essere o covergete o divergete positivamete. Si dice che la serie + a è assolutamete covergete (risp. assolutamete divergete) se la serie + a è covergete (risp. divergete positivamete). Mostriamo che la codizioe di assoluta covergeza è più restrittiva di covergeza di ua serie. Teorema 3.. Ogi serie assolutamete covergete è covergete e risulta a a. () a Dimostrazioe. Sia {a } N tale che + a è assolutamete covergete. Usiamo la relazioe a = (a + a ) a. Data l ipotesi di assoluta covergeza, per il Teorema.2, puto (i) la tesi seguirà dimostrado che (a + a ) coverge. Questa serie è a termii positivi, essedo x + x 0 per ogi x R. Ioltre a + a 2 a, quidi la serie è maggiorata da u serie covergete e coverge per cofroto. Per dimostrare () basta applicare la disuguagliaza triagolare alla successioe delle somme parziali. Osservazioe. La disuguagliaza () estede ad ua quatità umerabile di termii la disuguagliaza triagolare. Combiado la disuguagliaza triagolare per u umero fiito di termii, co la codizioe di Cauchy per + a, si trova immediatamete la codizioe di Cauchy per + a. I questo modo si ha u altra dimostrazioe del precedete teorema. L assoluta covergeza è solo ua codizioe ecessaria per la covergeza, o è ua codizioe sufficiete. Ua serie covergete ma o assolutamete covergete sarà descritta ell Esempio 3. Riscriviamo i termii di assoluta covergeza i criteri della radice e del rapporto.

23 3. Serie assolutamete covergeti 22 Teorema 3.2. Sia + a k ua serie di umeri reali. k= (i) Sia lim sup + a = L ˆR. Se L < la serie data coverge assolutamete e quidi coverge. Se L > la serie data o coverge. (ii) Sia {a } N a termii o defiitivamete ulli. Siao a + lim if = l + 2 a ˆR, a + lim sup = L 2 + a ˆR. Se L 2 < la serie data coverge assolutamete e quidi coverge. Se l 2 > la serie data o coverge. Qualora esistao lim a (oppure lim a + a ), ei precedeti euciati possiamo sostituire il limite della radice (risp. del rapporto) al massimo e miimo limite della radice (risp. del rapporto). Dimostrazioe. Utilizzado i corrispodeti criteri per la serie a termii positivi, i casi L < ed L 2 < discedoo dal fatto che l assoluta covergeza implica la covergeza della serie. Per il caso L 2 >, l 2 > si ripercorroo le dimostrazioi dei Teoremi 2.6, 2.9 otteedo che (lim a = 0). Questo equivale a (lim a = 0). Viee duque violata la codizioe ecessaria alla covergeza. L estesioe del criterio degli ifiitesimo e del criterio di Raabe all assoluta covergeza, è immediata cosegueza di quei criterio e della covergeza dedotta dalla covergeza assoluta. Proposizioe 3.3. Sia + a k ua serie di umeri reali. k= (i) Sia {a } N a termii o defiitivamete ulli. Suppoiamo che esista ( ) a lim a + = L R ˆR. Se L R > la serie data coverge assolutamete e quidi coverge. Se L R < la serie data diverge assolutamete. (ii) Sia p R. Si suppoga che esista il limite (a) Sia l p > 0, l p R. Se p > la serie + lim p a = l p R. a coverge assolutamete e quidi coverge. Se p la serie + a diverge assolutamete. (b) Se l p = 0 e p > la serie data coverge assolutamete e quidi coverge;. (c) Se l p = + e p la serie data diverge assolutamete.

24 3.2 Serie a sego altero 23 Osservazioe. Nel Teorema 3.2, dalla divergeza assoluta prevista dai criteri della radice e del rapporto, abbiamo ricavato iformazioi sulla o covergeza della serie di parteza. Questo o accade ell estesioe del Criterio di Raabe e degli ifiitesimi. Ovvero ci soo serie per cui ( ) a lim a + <, quidi soo assolutamete divergeti, ma ache covergeti. U esempio i tal seso è la serie armoica geeralizzata a sego altero, studiata ell Esempio 3.2. Co lo stesso esempio si deduce che o è detto che ua serie a sego o costate tale che + a sia asitoticamete equivalete a p co p sia o covergete. 3.2 Serie a sego altero Defiizioe 3.2. Sia {a } N ua ua successioe di umeri reali a sego costate (a 0 per ogi N oppure a 0 per ogi N). La serie associata alla successioe ( ) a, ovvero + ( ) a si dice serie a segi alteri. Il criterio di Leibitz darà ua codizioe sufficiete per la covergeza delle serie a sego altero. Premettiamo il seguete lemma sulle successioi. Lemma 3.4. Ogi successioe {x } tale che la sottosuccessioe dei pari {x 2 } e quella dei dispari {x 2+ } hao lo stesso limite fiito, è ua successioe covergete. Dimostrazioe. Si fissi ε > 0. Per ipotesi ν P N tale che k N, k ν P risulta x 2k l ε. ν D N tale che k N, k ν D risulta x 2k+ l ε. e risulta che se max{2ν P, 2ν D + } si ha { x2k l = 2k, co k ν x l = P. x 2k+ l = 2k +, co k ν D Quidi x l < ε. Ovvero si ha la covergeza della successioe di parteza. Teorema 3.5. Criterio di Leibitz per le serie a sego altero. Sia {a } N ua successioe decrescete ed ifiitesima di umeri reali o egativi. Allora, la serie a sego altero + ( ) a è covergete. Ioltre, deotata co S la somma di + ( ) a e, per ogi m N, S m la relativa somma parziale m-esima, si ha S S m a m+. (2)

25 3.2 Serie a sego altero 24 Dimostrazioe. Teedo presete che la successioe {a } N è decrescete, valgoo le relazioi S 2(m+) = S 2m (a 2m+ a 2m+2 ) S 2m ; S 2m+ = S 2m + (a 2m a 2m+ ) S 2m. Ne segue che la sottosuccessioe {S 2m } m N è decrescete, metre la sottosuccessioe {S 2m+ } m N è crescete. Per il teorema di regolarità delle successioi mootoe, si ha lim m S 2m+ lim m S 2m Ioltre, essedo a a termii positivi si ha = sup S 2m+ := S D m = if S 2m := S P m S 2m+ = S 2m a 2m+ S 2m. I particolare, da questa relazioe e dalla mootoia di {S 2m+ } m N segue S S 2m+ S 2m. Ovvero {S 2m } m N è limitata dal basso e quidi S P R. Ifie, utilizzado l ipotesi che a sia ifiitesima e risulta S D = lim m S 2m+ = lim m (S 2m a 2m+ ) = lim m S 2m = S P R. Possiamo applicare il lemma precedete e cocludere che {S m } m N ovvero la serie alterate coverge. Resta da dimostrare la (2). Per quato visto, per ogi m N, si ha Quidi se m è pari, ovvero m = 2k, allora S 2m+ sup S 2m+ = S D = S = S p = if S 2m S 2m. m m 0 S 2k S S 2k S 2k+ = ( a 2k+ ) = a 2k+ = a m+. Se ivece m è dispari, ovvero m = 2k +, risulta Ciò completa la dimostrazioe. 0 S S 2k+ S 2k+2 S 2k+ = a 2k+2 = a m+. Esempio 3.. Serie armoica a sego altero Si cosidera ( ) +. Tale serie o è assolutamete covergete (i quato al serie dei suoi valori assoluti è la serie armoica). Ma la successioe a = risulta positiva, decrescete e ifiitesima, duque per il criterio di Leibitz tale serie coverge.

26 4 Complemeti sulle serie 25 Ache i questo caso o è semplice determiare S la somma della serie, (vedi Esercizi e 4.5) ma si può approssimarla co u errore fissato mediate la formula (2). Tale relazioe sigifica ifatti che l errore commesso approssimado la somma di ua serie a termii alteri co ua somma parziale è miore o uguale del valore assoluto del primo termie trascurato. Nel caso specifico, se vogliamo cooscere S co u errore di u millesimo basterà calcolare la somma parziale S 999. Esempio 3.2. Serie armoica geeralizzata a sego altero Si cosideri la serie ( ) + α α R. Per il criterio di Leibitz essa coverge per ogi α > 0. Ovviamete la serie o coverge per α 0 o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza. Cofrotiamo questo risultato co la Proposizioe 3.3. Sia a = ( ) +. Se si utilizza il α criterio di Raabe ( ) a lim a + = α. Quidi se α > la serie coverge assolutamete e quidi coverge, se α < la serie diverge assolutamete. Se α = si ha la serie armoica a sego altero che coverge per il criterio di Leibitz. Ma tale criterio si applica ache se 0 < α <, quidi la serie coverge pur essedo assolutamete divergete. Aalogamete se si applica il criterio degli ifiitesimi lim α a = abbiamo iformazioi sulla assoluta coivergeza, e quidi covergeza, el caso α > metre per α si ricorre al criterio di Leibitz. 4 Complemeti sulle serie 4. Riordiameti Abbiamo visto che l alterazioe di u umero fiito di termii di ua serie o ifluisce sul suo carattere. Esamiiamo (seza dimostrazioe) alcue proprietà delle serie che riguardao ivece l alterazioe di u umero ifiito di termii. La situazioe è molto più complicata, vegoo a macare per somme ifiite proprietà elemetari delle somme fiite, quali l associatività e la commutatività. Il seguete esempio mostra che la somma ifiita o è associativa. Se ifatti la somma ifiita fosse associativa, la serie + ( ), che o è determiata avrebbe due somme diverse ( ) = = (+ ) + ( ) + ( ) + ( ) + = 0!!! = + ( + ) + + ( + ) + =???

27 4. Riordiameti 26 Il successivo esempio mostra che la somma ifiita o è commutativa. Se ifatti la somma ifiita fosse commutativa, la somma della serie armoica geeralizzata a sego altero + ( ) = S, sarebbe ulla. Ivece, per la stima del resto data dal criterio di Leibitz, risulta S S 2 a 3 ovvero S + 2 /3 da cui 0 < 6 S 5 6. Usado il Teorema.2 S = S/2 = ( ) = ( ) 2 = Sommado le precedeti due espressioi si osserva che i termii positivi della prima serie restao ialterati, quelli egativi hao deomiatore pari e quidi si dividoo tra quelli multipli di 4 e quelli o multipli di 4. I termii egativi il cui deomiatore o è multiplo di quattro vegoo cacellati ella somma co i termii positivi della secoda serie, i termii egativi il cui deomiatore è multiplo di quattro vegoo sommati co i termii positivi della secoda serie. Questi hao deomiatore multiplo di 4 e quidi si ottegoo termii egativi co deomiatore multiplo di 2. Ovvero S = ( ) + ( ) 2 = Suppoedo che la somma ifiita commutativa, si avrebbe Da cui S = S = = = S Defiizioe 4.. Ua serie + a ha la proprietà associativa se per ogi { k } successioe crescee di umeri aturali, la serie di termie geerale b k = a k + + a k ha lo stesso carattere della serie a Teorema 4.. Ogi serie regolare ha la proprietà associativa Dimostrazioe. Sia + a regolare e sia { k } ua successioe crescete di umeri aturali. Si cosidera la somma parziale di {b k } k N = {a k + + a k } k N. Risulta T K = K b k = k=0 K k=0 a k = S K essedo {S K } estratta dalla somma parziale relativa alla serie di termie geerale a. Se {S N } ammette limite, ache la sua estratta e quidi {T K } ammettoo lo stesso limite.

28 4. Riordiameti 27 Defiizioe 4.2. Se + a è ua serie di umeri reali e se k : N N è ua bigezioe. Dicesi riordiameto di + a la serie a k() Ua serie si dice icodizioatamete covergete se ogi suo riordiameto è covergete. Esempio 4.. Abbiamo visto che la serie armoica a segi alteri o è icodizioatamete covergete. Teorema 4.2. Le serie a termii o egativi soo icodizioatamete covergeti Dimostrazioe. Basta dimostrare che se ua serie a termii positivi coverge ogi suo riordiameto coverge. Viceversa se la serie diverge si procede per assurdo. Sia + a a termii o-egativi e covergete. Sia k : N N è ua bigezioe e si cosidera la somma parziale relativa alla serie di termie geerale {a k() } N. Risulta T m = a k(0) + a k() + + a k(m) a a max{k(0),...,k(m)} = S max{k(0),...,k(m)}. Essedo + a covergete, per il teorema di regolarità risulta T m S max{k(0),...,k(m)} S essedo s la somam della serie. Ache il riordiameto è a termii positivi, avedo somma parziale limitata essa è covergete. Il successivo risultato (che o dimostriamo) stabilisce l icodizioata covergeza co ipotesi più deboli. Teorema 4.3. Se ua serie è assolutamete covergete, ogi suo riordiameto è assolutamete covergete e la somma della serie data e della serie otteuta riordiadoe i termii coicidoo. Duque l assoluta covergeza implica l icodizioata covergeza. Nel caso i cui l assoluta covergeza viee a macare, ma la serie data coverge si può procedere come ell esempio della serie armoica a sego altero ed otteere u riordiameto che abbia carattere, e i particolare somma, fissato a priori. Teorema 4.4. Sia + a ua serie covergete ma o assolutamete covergete allora Per ogi S R esiste u riordiameto della serie data covergete ad S; esiste u riordiameto della serie data divergete positivamete; esiste u riordiameto della serie data divergete egativamete; esiste u riordiameto della serie data idetermiato.

29 4.2 Il prodotto alla Cauchy di due serie Il prodotto alla Cauchy di due serie Siao + a e + b due serie umeriche di umeri reali. Si defiisce serie prodotto secodo Cauchy delle due serie, e si deota co la serie a c tale che c = b, a k b k. (3) Il termie -esimo della serie prodotto secodo Cauchy si ottiee sommado i prodotti dei termii delle due serie la cui somma degli idici è uguale ad. Nel diagramma seguete, i termii della serie prodotto si ottegoo sommado gli elemeti delle diagoali. Quidi la somma parziale -esima della serie prodotto secodo Cauchy si ottiee sommado tutti gli elemeti che si trovao al di sotto della k=0 diagoale -esima. Per compredere che ci si aspetta u risultato del geere moltiplicado due serie, si provi a moltiplicare due poliomi (a x + +a 0 )(b x + +b 0 ) e si calcoli il valore del prodotto i x =, si ottiee uo sviluppo aalogo a quello del prodotto alla Cauchy di due serie. Ci si chiede se il prodotto alla Cauchy di due serie covergeti è ua serie covergete e se la sua somma è il prodotto delle somme delle serie di parteza. Questo o è vero a meo di ipotesi aggiutive come illustrato ei successivi risultati. Teorema 4.5. Siao {a } N, {b } N e {c } N la successioe defiita da (3). b 0 a 5 a 5 a 4 a 3 a 2 a b a 4 b 2 a 3 b 3 a 2 b 4 a b 5 a 0 a 0 b 0 b b 2 b 3 b 4 b 5 i) Siao {a } N, {b } N a termii o egativi. Se + a, + b covergoo, allora + coverge e risulta a b = c c. (4) ii) Se + a, + b covergoo assolutamete, allora + c coverge assolutamete e sussiste (4) Dimostrazioe. (i) Si cosiderao le somme parziali delle tre serie coivolte A m = a B m = b C m = La dimostrazioe si basa sulla seguete disuguagliaza C m A m B m C 2m m N. (5) c

30 4.2 Il prodotto alla Cauchy di due serie 29 No foriamo ua dimostrazioe iduttiva della precedete disuguagliaza ma essa è facilmete visulizzabile el successivo diagramma dove il sego deota gli idici coivolti i C m, il a 2m sego gli idici coivolti i A m B m e il gli idici coivolti ella somma parziale C 2m. Per ipotesi {A m } m N e {B m } m N soo covergeti, quidi per il teorema di regolarità delle serie a termii positivi, risultao successioi limitate dalla somma delle rispettive serie. Siao A, B 0 tali che lim m A m = A e lim m B m = B. Per ogi m N si ha A m A e B m B. a m a 0 b 0 b m b 2m D altra parte C m A m B m quidi ogi m N risulta C m AB e quidi per il teorema di regolarità essedo C m limitata e somma parziale di ua serie a termii positivi, detta serie risulta covergete. Sia C = lim m C m, utilizzado il teorema di cofroto per successioi ella (5) si deduce C = AB. (ii) Poichè le serie soo assolutamete covergeti per la prima parte del teorema la serie prodotto delle serie + a e + b coverge alla somma serie di termie -esimo γ = a k b k. k=0 Essedo c γ, la serie prodotto alla Cauchy di + a e + b coverge assolutamete per cofroto. Resta da dimostrare la (4). È sufficiete dimostrare che A m B m C m 2 a k b k k=0 k=0 a k b k (6) suppoedo ifatti di avere tale disuguagliaza, per m + il secodo membro tede a zero e quidi AB = C. Cerchiamo mediate il diagramma precedete di capire la disuguagliaza (6). Come visto i precedeza i termii A m B m C m hao idici solo ei puti segati da ma o segati da. Possiamo maggiorare aggiugedo i termii i valore assoluto co idice ei puti che hao l esclusivo simbolo. Aggiugedo e sottraedo i termii i valore assoluto co idice ei puti cotrassegati sia da, sia da, sia da si ha la (4). Questo coclude la dimostrazioe Euciamo seza dimostrare, il seguete risultato. Teorema 4.6. Se + a coverge assolutamete e + b coverge, allora la serie prodotto alla Cauchy delle precedeti coverge assolutamete e vale l idetità (4) Se è oto a priori che + c coverge e se + a, + b covergoo, allora vale la (4).

31 4.3 Prodotti ifiiti 30 Esempio 4.2. Vi soo serie assolutamete covergeti che moltiplicate dao serie covergeti, e serie covergeti o a termii positivi che moltiplicate per dao serie o covergeti La serie armoica a segi alteri, moltiplicata per se stessa coverge, metre la serie + moltiplicata per se stessa o coverge. Ifatti se a = b = ( ) risulta ( ) c = k= ( ) k k ( ) k k ( = ( ) + 2( 2) + + ) che coverge per il criterio di Leibitz. Al cotrario se a = b = ( ) + risulta c = k=0 ( ) k + k +. Osservato che k + k + k + + = + si ha c k=0 + = + k=0 = + + = Essedo violata la codizioe ecessaria, la serie + c o coverge. 4.3 Prodotti ifiiti Assegata ua successioe {a } N di umeri reali, per ogi m N, si defiisce prodotto parziale m-esima di {a } N il umero reale P m := a 0 a a m. La successioe {P m } m N viee deomiata prodotto ifiito di termie geerale -esimo a. U prodotto ifiito viee idicata co il simbolo e talvolta ache co a 0 a a a Si osserva subito che se esiste ν N tale che a ν = 0 allora per ogi m ν risulta P m = 0 e quidi la trattazioe o è iteressate. Si assuma che per ogi N risulti a 0. Ha seso parlare di lim m P m. Si dice che u prodotto ifiito è covergete se tale limite esiste ed è fiito. Si dice che u prodotto ifiito è divergete positivamete (rsip. egativamete)se tale limite esiste ed è uguale a + (risp ).

32 4.4 Successioi e serie i campo complesso 3 U prodotto ifiito si dice regolare se è covergete oppure divergete positivamete oppure divergete egativamete. I tal caso si poe + a = lim P. U prodotto ifiito o regolare viee deomiato oscillate. Teorema 4.7. Codizioe ecessaria per la covergeza o ulla di u prodotto ifiito. Sia {a } N ua successioe di umeri reali tali che per ogi N risulti a 0. Se il prodotto ifiito + a coverge a P 0 allora lima =. Dimostrazioe. Utilizzado l ipotesi lim P = P 0 e la relazioe a = P P l asserto segue subito dai teoremi delle operazioi per i limiti di successioi. 4.4 Successioi e serie i campo complesso Si cosidera {a } N ua successioe di umeri complessi, ovvero ua fuzioe N a C. La successioe {a } N C si dirà covergete i C ad u valore l C se ε > 0, ν N tale che ν risulta a l < ε. Si oti che questa defiizioe è formalmete aaloga a quella della covergeza di ua successioe reale, ove il modulo sostituisce il valore assoluto, ovvero la covergeza ad l C della successioe {a } N C equivale alla covergeza a zero della successioe reale { a l } N. Viceversa o potremo parlare di positiva o egativa divergeza di successioi i C o essedo tale campo ordiato. Alla successioe {a } N vegoo associate le successioi reali {Re(a )} N, {Im(a )} N, { a } N. Defiizioe 4.3. Si dice che ua successioe di umeri complessi diverge i modulo se lim a = + ovvero M > 0, ν N tale che ν risulta a > M. Teorema 4.8. Siao {a } N C ed l C. Soo equivaleti le sequeti due proposizioi a) lim a = l b) lim Re (a ) = Re (l) lim Im(a ) = Im (l).

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi. Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

Serie numeriche: esercizi svolti

Serie numeriche: esercizi svolti Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua

Dettagli

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge: Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste

Dettagli

5. Le serie numeriche

5. Le serie numeriche 5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a

Dettagli

II-9 Successioni e serie

II-9 Successioni e serie SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo

Dettagli

Successioni. Grafico di una successione

Successioni. Grafico di una successione Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti

Dettagli

Anno 5 Successioni numeriche

Anno 5 Successioni numeriche Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

Corsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3.

Corsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3. Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Architettura Prova scritta di Aalisi Matematica del 6// ) Mostrare che + si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) = 3. Possibile soluzioe: Cosiderado dapprima il deomiatore otiamo

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

V Tutorato 6 Novembre 2014

V Tutorato 6 Novembre 2014 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe

Dettagli

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale.

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale. Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 Dott.ssa Sadra Lucete Fuzioi poteza ed espoeziale. Teorema. Teorema di esisteza della radice -esima. Sia N. Per ogi a R + esiste uo ed u solo

Dettagli

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02% RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x. ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE a cura di Michele Scaglia RICHIAMI TEORICI Richiamiamo brevemete i pricipali risultati riguardati le serie umeriche. Teorema (Codizioe Necessaria per la Covergeza) Sia a

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Argometo 3s Limiti di successioi Ua successioe {a : N} è ua fuzioe defiita sull isieme N deiumeriaturaliavalori reali: essa verrà el seguito idicata più brevemeteco{a } a èdettotermie geerale della successioe

Dettagli

1 Limiti di successioni

1 Limiti di successioni Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

Serie numeriche. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. A.A. 2007/08

Serie numeriche. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. A.A. 2007/08 Serie umeriche Lorezo Pisai Facoltà di Scieze Mm.Ff.N. A.A. 2007/08 Il problema di sommare i iti addedi è uo dei problemi classici dell aalisi matematica. Azi si tratta di u problema che ell atichità ha

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo

Dettagli

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema

Dettagli

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30) Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Dispense di Analisi Matematica II

Dispense di Analisi Matematica II Dispese di Aalisi Matematica II Domeico Cadeloro (Prima Parte) Itroduzioe Queste dispese trattao la prima parte del corso di Aalisi Matematica II. Nel primo capitolo si discutoo gli itegrali geeralizzati

Dettagli

Successioni ricorsive di numeri

Successioni ricorsive di numeri Successioi ricorsive di umeri Getile Alessadro Laboratorio di matematica discreta A.A. 6/7 I queste pagie si voglioo predere i esame alcue tra le più famose successioi ricorsive, presetadoe alcue caratteristiche..

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

Appunti sulle SERIE NUMERICHE

Appunti sulle SERIE NUMERICHE Apputi sulle SERIE NUMERICHE Michele Bricchi I queste ote iformali parleremo di serie umeriche, foredo i criteri stadard di covergeza che si è soliti itrodurre i ua trattazioe elemetare della materia.

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

Progressioni aritmetiche

Progressioni aritmetiche Progressioi aritmetiche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 7,, 5, 9, +4 +4 +4 +4 +4 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre +4. Si

Dettagli

Capitolo V : Successioni e serie numeriche

Capitolo V : Successioni e serie numeriche Liceo Lugao, 0-0 3N Luca Rovelli) Capitolo V : Successioi e serie umeriche La cosiddetta aalisi matematica, sviluppata iizialmete i maiera idipedete da Newto e Leibitz a partire dalla fie del XVII secolo,

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci. Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe......... uccessioe di Fiboacci....... 3. Formula di Biet per la successioe

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

DISTRIBUZIONI DOPPIE

DISTRIBUZIONI DOPPIE DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

Statistica 1 A.A. 2015/2016

Statistica 1 A.A. 2015/2016 Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5 Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio

Dettagli

Le successioni: intro

Le successioni: intro Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!

Dettagli

Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA

Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA Corso di Laurea i Ig Edile Politecico di Bari AA 2008-2009 Prof ssa Letizia Bruetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA 2 Idice Spazi vettoriali Cei sulle strutture algebriche 4 2 Defiizioe di spazio vettoriale

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare

Dettagli

( ) n > n. Ora osserviamo che 2 1. ( ) è vera. ( ) una proposizione riguardante il numero intero n. Se avviene che:

( ) n > n. Ora osserviamo che 2 1. ( ) è vera. ( ) una proposizione riguardante il numero intero n. Se avviene che: ARITMETICA 1 U importate ramo della matematica è l aritmetica, o teoria dei umeri, qui itesi come umeri iteri. Ci si poe il problema di stabilire se certe relazioi possao essere soddisfatte da umeri iteri,

Dettagli

Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.

Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie. SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a 2 + + a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c) SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log

Dettagli

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 AA Dott.ssa Sandra Lucente Successioni numeriche

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 AA Dott.ssa Sandra Lucente Successioni numeriche Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 AA. 0809.. Cooscere. Dott.ssa Sadra Lucete. Successioi umeriche Defiizioe di successioe, isieme degli elemeti della successioe, successioe defiita

Dettagli

2.5 Convergenza assoluta e non

2.5 Convergenza assoluta e non .5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello

Dettagli

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015 Corso di Elemeti di Impiati e mahie elettriche Ao Aademico 014-015 Esercizio.1 U trasformatore moofase ha i segueti dati di targa: Poteza omiale A =10 kva Tesioe omiale V 1 :V =480:10 V Frequeza omiale

Dettagli

cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64

cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64 By Luca Torchio Prima di defiire i modo rigoroso ua somma di ifiiti umeri, che tra l altro i matematici chiamao Serie, cerchiamo di covicerci che ha seso sommare ifiiti umeri! La cosa, i effetti, fa u

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;

1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ; . Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: + + + 0. Pertato, per il criterio del cofroto

Dettagli

Angelo Negro. Teoria della Misura. Istituzioni di Analisi Superiore

Angelo Negro. Teoria della Misura. Istituzioni di Analisi Superiore gelo Negro Teoria della Misura Istituzioi di alisi Superiore a.a. 2000-2001 Prefazioe Questa breve moografia si propoe di presetare i modo piao e sitetico, ma co dimostrazioi rigorose e complete, i pricipali

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni: N. Fusco ESERCIZI DI ANALISI I Prof. Nicola Fusco Determiare l isieme i cui soo defiite le segueti fuzioi: ) log/ arctg π ) 4 ) log π 6 arcse ) ) tg log π + ) 4) 4 se se se tg 5) se cos tg 6) [ 6 + 8 π

Dettagli

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al

Dettagli

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti 6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo

Dettagli

Sistemi e Tecnologie della Comunicazione

Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Sistemi e ecologie della Comuicazioe Lezioe 4: strato fisico: caratterizzazioe del segale i frequeza Lo strato fisico Le pricipali fuzioi dello strato fisico soo defiizioe delle iterfacce meccaiche (specifiche

Dettagli

2.6 Paradosso di Zenone e la somma di infiniti addendi

2.6 Paradosso di Zenone e la somma di infiniti addendi .6 Paradosso di Zeoe e la somma di ifiiti addedi Si potrebbe pesare che la matematica, la braca del sapere co la più solida tradizioe di precisioe e cosisteza, sia la più immue dai paradossi. La sua storia

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti

Dettagli

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014)

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014) Calcolo Combiatorio (vers. 1/10/2014 Daiela De Caditiis modulo CdP di teoria dei segali Igegeria dell Iformazioe - sede di Latia, CALCOLO COMBINATORIO Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio: Si realizzio

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016 Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 205-206 27. Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma

x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma 1 Serie di poteze È stato dimostrato che la serie geometrica x (1.1) coverge se e solo se la ragioe x soddisfa la disuguagliaza 1 < x < 1. I realtà c è covergeza assoluta i ] 1, 1[. Per x 1 la serie diverge

Dettagli

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n. SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....

Dettagli

2 Criteri di convergenza per serie a termini positivi

2 Criteri di convergenza per serie a termini positivi Uiversità Roma Tre L. Chierchia 65 (29//7) 2 Criteri di covergeza per serie a termii positivi I questo paragrafo cosideriamo serie a termii positivi ossia serie a co a > 0. Si ricordi che ua serie a termii

Dettagli

3.1 Il principio di inclusione-esclusione

3.1 Il principio di inclusione-esclusione Capitolo 3 Calcolo combiatorio 3.1 Il pricipio di iclusioe-esclusioe Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota il umero di elemeti. Questo può dar luogo ad iteressati

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli Uiversità degli Studi di Bologa Scuola di Ecoomia Maagemet e Statistica Corso di Laurea i Scieze Statistiche Apputi del corso di Aalisi Matematica Ao Accademico 03 04 f b y prof. Daiele Ritelli f a a b

Dettagli

1 Successioni numeriche

1 Successioni numeriche Aalisi Matematica 2 Successioi umeriche CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 5 SERIE NUMERICHE Chiamiamo successioe di umeri reali ua fuzioe a valori reali defiita su N oppure

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X.

Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X. Serie umeriche Paola Rubbioi Deizioe, serie otevoli e primi risultati Deizioe.. Data ua successioe di umeri reali (a ) 2N, si dice serie umerica la successioe delle somme parziali (S ) 2N, ove S = a +

Dettagli

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1 Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti Lorezo Freddi Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 206, 3300 Udie,

Dettagli

Le tante facce del numero e di Nepero

Le tante facce del numero e di Nepero Le tate facce del umero e di Nepero Paolo Tilli Dipartimeto di Matematica Politecico di Torio Premessa Questa breve ota raccoglie e i parte itegra il coteuto della cofereza da me teuta col medesimo titolo

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioi di Statistica Il modello di Regressioe Prof. Livia De Giovai statistica@dis.uiroma.it Esercizio Solitamete è accertato che aumetado il umero di uità prodotte, u idustria possa ridurre i costi

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

Metodi statistici per l analisi dei dati

Metodi statistici per l analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo

Dettagli