Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

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1 Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio

2 à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo l operazioe iversa della poteza. 2.1 Radicali algebrici e aritmetici 2.2 Caratteristiche del radicale 2. Semplificazioe e riduzioe di radicali 2.4 Trasporto detro-fuori il sego di radice 2. Operazioi co radicali 2.6 Razioalizzazioe del radicale

3 Uità Radicali algebrici e aritmetici Prof Cosiderato u umero reale a e u umero aturale o ullo, si defiisce radice algebrica -esima di a, il umero reale b tale che b = a I simboli, la radice algebrica -esima di a si scrive come a = b dove a è il radicale, è l idice della radice, a è il radicado, è il sego di radice e b è la radice algebrica -esima di a (o semplicemete il valore del radicale). La radice algebrica quarta di 16 è ± 2; i simboli 4 16 = ± 2 Ifatti, se eleviamo alla quarta poteza i umeri + 2 o 2 otteiamo 16, cioè (± 2) 4 = 16 Ricordiamo che la poteza co espoete pari è sempre positiva. La radice di idice geerico di 0 è 0; i simboli 0 = 0 N, 0 Ifatti 0 = 0 La radice algebrica può o esistere per determiati valori del radicado. Occorre quidi determiare il campo di esisteza (C.E.) del radicale, cioè l isieme delle codizioi per cui il radicale esiste, teedo presete la seguete distizioe. Radicali co idice di radice pari: il campo di esisteza per il radicado a comprede solo i umeri reali o egativi (a R + 0 ). Radicali co idice di radice dispari: il campo di esisteza per il radicado a comprede tutti i umeri reali (a R). 6 Determiiamo il campo di esisteza di 4 a 2. L idice di radice è 4, duque pari. Di cosegueza, occorre imporre che il radicado sia maggiore o uguale a 0, cioè a 2 0 Il campo di esisteza della radice data comprede quidi i valori di a tali che a 2

4 Radicali Oltre ai radicali algebrici, esistoo ache i radicali aritmetici, i cui il radicado è u umero o egativo. Il radicale aritmetico, pertato, è u umero o egativo ed è uico, qualuque sia l idice della radice. Quidi: cosiderato u umero reale o egativo a e u umero aturale o ullo, si defiisce radice aritmetica -esima di a il umero reale o egativo b tale che b = a I simboli a = b La radice algebrica quadrata di 2 assume i valori + e. Ivece la radice aritmetica quadrata di 2 è solo uguale a. Esercizi 2.1 Determia il C.E. dei segueti radicali algebrici x 1 Traier Poiché l idice della radice è..., l esisteza del radicale algebrico si ottiee impoedo che il radicado sia..., quidi......, cioè x x. _ 10 2x 4 4. _ 6 1 2x. x + 2 Traier Poiché l idice della radice è..., l esisteza del radicale algebrico è garatita _ 2x 6 7. _ x 2 2x a 2 b 9. 4 _ x + 1 x _ 4x 2 y _ x

5 Uità Caratteristiche del radicale Prof Da questo paragrafo cosidereremo solo radicali aritmetici, chiamadoli semplicemete radicali. U radicale a può essere moltiplicato per u geerico umero o u geerico moomio k. I tale caso si afferma che il radicale ha come coefficiete il umero o moomio k e viee idicato come k a Due o più radicali soo defiiti simili se hao lo stesso idice di radice e lo stesso radicado. I radicali 7 e 2 7 hao coefficieti diversi ma, avedo uguale idice di radice e radicado, soo simili. Ache i radicali co coefficieti letterali a 2 e (a b) soo simili. I geerale, il radicado può essere ua poteza co espoete m, cioè _ a m Quidi la radice -esima di a a o è altro che _ a m co espoete del radicado uitario, cioè m = 1. È possibile sostituire la radice co u espoete frazioario: si toglie il sego di radice e si eleva il radicado a u espoete che ha come umeratore l espoete del radicado e come deomiatore l idice della radice, cioè _ a m = a m Il radicale 8 è uguale a Se esprimiamo 8 come 2, il radicale è 2, che risulta uguale a 2 2. Per i radicali è valida la seguete proprietà ivariativa: il valore di u radicale o cambia se si moltiplicao o si dividoo sia l idice di radice che l espoete del radicado per uo stesso umero aturale o ullo, cioè _ a m p _ = a mp o _ a m :p _ = a m:p 8

6 Radicali Ua cosegueza diretta della proprietà ivariativa è che a = : _ a : 1 = a 1 = a se cioè il radicado ha per espoete l idice del radicale, sparisce il sego di radice. Se = 1, come già detto, il simbolo di radice o si scrive. Se = 2, si omette l idice di radice e si ha la radice quadrata. Esempi Il radicale _ ab 2 c è uguale al radicale _ 6 a 2 b 4 c 6 ; ifatti abbiamo applicato la proprietà ivariativa moltiplicado per 2 l idice della radice e l espoete di ciascu fattore del radicado. Il radicale 6 a 10 b 12 c 4 è uguale al radicale _ a b 6 c 2 ; ifatti abbiamo diviso per 2 l idice della radice e l espoete di ciascu fattore del radicado. Esercizi 2.2 Trasforma i radicali le segueti poteze a espoete frazioario, cosiderado positive le lettere che compaioo Traier La poteza equivale a u radicale che ha per idice il... dell espoete e per radicado ua poteza che ha per base la stessa base e per espoete il... dell espoete. Quidi 2 =... _ = _ ( 2 ) (x) Traier Applicado la proprietà delle poteze, redi positivo l espoete 2 = 1... quidi trasforma la poteza i radicale 2 =

7 Uità 2 Scrivi come poteze a espoete frazioario i segueti radicali, cosiderado positive le lettere che compaioo Traier Il radicale equivale a ua poteza che ha per base la stessa base del... e come espoete ua frazioe avete deomiatore uguale... della radice e umeratore uguale... del radicado. Quidi 6 = a + b a b 2. x 2 (x + y 2 ) Semplificazioe e riduzioe di radicali Prof U radicale è i forma irriducibile quado l idice della radice e l espoete del radicado soo umeri primi fra loro. Esempi Il radicale 18 _ a 12 o è irriducibile perché l idice della radice 18 e l espoete del radicado 12 o soo umeri primi fra loro. Il radicale a 2 è irriducibile perché l idice della radice e l espoete del radicado 2 soo umeri primi fra loro. Ricordiamo che due o più umeri soo primi fra loro quado hao come divisore comue solo il umero 1. La semplificazioe di u radicale cosiste el ridurlo i forma irriducibile e si esegue co i segueti passaggi: si calcola il massimo comue divisore (M.C.D.) tra l idice della radice e l espoete del radicado; 2. applicado la proprietà ivariativa, si dividoo l idice della radice e l espoete del radicado per il M.C.D. trovato.

8 Radicali Il radicale 4 a 4 b 8 o è i forma irriducibile. Ifatti l idice della radice (4) e gli espoeti dei fattori del radicado (4, 8 e 6) o soo fra loro umeri primi. Procediamo alla semplificazioe, cioè portiamo il radicale i forma irriducibile. c 6 1. Il M.C.D tra l idice 4 e gli espoeti 4, 8 e 6 è Dividiamo idice ed espoeti per 2, portado il radicale i forma irriducibile a 2 b 4 Attezioe: se il radicado è u poliomio, il radicale o si può semplificare, a meo che il poliomio o si possa scomporre i fattori. c Esempi Il radicale 4 a 2 + 2a + 1 ha come radicado u poliomio che possiamo scomporre i fattori come quadrato del biomio a + 1. Quidi 4 (a + 1) 2 A questo puto procediamo co la semplificazioe. Il M.C.D. tra l idice della radice e l espoete del radicado è 2. Quidi dividiamo idice ed espoete per 2, portado il radicale i forma irriducibile a + 1 Il radicale a + a o può essere scomposto i fattori, quidi è irriducibile. Può essere utile trasformare due o più radicali, iizialmete co idice di radice diverso, i radicali co lo stesso idice di radice. Tale operazioe è defiita riduzioe e si esegue co i segueti passaggi: 1. si calcola il miimo comue multiplo (m.c.m.) tra tutti gli idici dei radicali e si poe come idice comue per tutti i radicali; 2. si divide il m.c.m. per ciascu idice e si moltiplica il quoziete per l espoete di ciascu fattore del rispettivo radicado. 41

9 Uità 2 Riduciamo al medesimo idice di radice i segueti radicali a 4 a 2 a 1. Il m.c.m. tra gli idici, 4 e 2 è Dividiamo 12 per i tre idici, e moltiplichiamo ogi quoziete per i rispettivi espoeti dei radicadi: otteiamo la riduzioe 12 a 4 12 a 6 12 a 6 Riduciamo al medesimo idice di radice i segueti radicali 8 x + y 4 x y _ x 2 + y 2 Il m.c.m. degli idici è 8; i rispettivi radicali co idice di radice comue divetao 8 x + y 8 (x y) 2 8 _ (x 2 + y 2 ) 4 Esercizi 2. Semplifica i segueti radicali aritmetici, cosiderado positive le lettere che compaioo Traier Scompoi i fattori primi il radicado 16 = Determia il M.C.D. tra l idice della radice e l espoete del radicado: M.C.D. =... Applica la proprietà ivariativa: dividi sia l idice del radicale che l espoete del radicado per il M.C.D. e ottiei 8 16 = _ x y _ 8a 9 b

10 Radicali. x x + 2 Traier Il radicado è ua somma algebrica. Dapprima trasforma la somma i ua poteza e quidi semplifica il radicale x x + 2 = _ (...) 2 = a + b + a 2 b + ab (x + 1) x (x ) 6 Riduci allo stesso idice i segueti radicali aritmetici ; 2 Traier Determia il m.c.m. tra gli idici della radice dei due radicali: m.c.m.(2, ) =... Dividi il m.c.m. trovato per il vecchio idice di radice: per la prima radice il quoziete è..., metre per la secoda è... Applica la proprietà ivariativa: moltiplica sia l idice del radicale che l espoete del radicado per i quozieti otteuti 2 =... _ 2... ; 2 =... _ ; ; _ ab 4 ; 4. x + 1 ; _ 9a ; a b 2 4 x + _ 8a 4 Traier Prima di procedere co la riduzioe allo stesso idice, scompoi i fattori primi i radicadi ; (x + 1) ; x 4

11 Uità Trasporto detro-fuori il sego di radice Prof È possibile trasportare detro il sego di radice il coefficiete positivo k di u radicale elevadolo all idice della radice, cioè k a = k a _ Se il coefficiete k ha espoete p, si ha, secodo le regole delle poteze, k p a = k p a Osserviamo che il termie trasportato detro il radicale diveta fattore del radicado. Esempi Dato il radicale trasportiamo detro il sego di radice il coefficiete 1 2. Dobbiamo semplicemete elevare 1 all idice di radice e portare la uova 2 poteza sotto il sego di radice come fattore del radicado, cioè = ( 1 2 ) 16 = 2 Dato il radicale a 2 b 4 2ac 2 trasportiamo detro il sego di radice il coefficiete a 2 b 4, dopo averlo elevato all idice di radice, cioè a 2 b 4 2ac 2 = a 10 b 20 2ac 2 = _ 2a 11 b 20 c 2 Se il radicado è composto da fattori, è possibile trasportare fuori dal sego di radice i fattori che hao espoeti maggiori o uguali all idice della radice. Si possoo presetare i segueti due casi. Espoete divisibile per l idice di radice: si divide l espoete per l idice di radice e il quoziete diveta l espoete del fattore fuori dalla radice. 44 Dato il radicale 9x 4 y valutiamo quali fattori possiamo trasportare fuori dal sego di radice. Se poiamo 9 come 2, il radicale diveta _ 2 x 4 y

12 Radicali A questo puto osserviamo che dei tre fattori che compogoo il radicado, solo 2 e x 4 hao espoete maggiore o uguale a 2. Possiamo quidi trasportali fuori dalla radice, dividedo i rispettivi espoeti per 2 e otteedo x 2 _ y Espoete o divisibile per l idice di radice: si scompoe il relativo fattore del radicado i u prodotto di fattori, i modo che u fattore abbia il massimo espoete divisibile per l idice di radice e si possa quidi trasportare fuori dal sego di radice. Dato il radicale _ 8a 7 b 2 valutiamo quali fattori possiamo trasportare fuori dal sego di radice. Se poiamo 8 come 2, il radicale diveta _ 2 a 7 b 2 Osserviamo che i fattori 2 e a 7 hao espoete uguale o maggiore di. Però 7 o è divisibile per. Scompoiamo quidi a 7 i fattori, i modo che uo dei fattori abbia espoete il massimo multiplo di, cioè a 7 = (a 6 ) (a). Il radicale diveta 2 (a 6 ) (a) b 2 Applicado le regole del trasporto fuori dalla radice, otteiamo 2a 2 a b 2 A volte i coefficieti di u radicale o il radicado o soo composti da fattori, ma da poliomi. I questi casi per il trasporto detro-fuori è ecessario che il poliomio-coefficiete o il poliomio-radicado siao scompoibili i fattori (Uità, Volume 1). Dato il radicale _ a b 2a 2 b 2 + ab valutiamo se è possibile il trasporto fuori dal radicale. Il radicado è u poliomio: occorre quidi scomporlo i fattori. Iazitutto raccogliamo il fattore ab, otteedo _ ab (a 2 2ab + b 2 ) Il fattore tra paretesi è il quadrato di u biomio, quidi ab (a b) 2 A questo puto abbiamo el radicado u fattore co espoete uguale all idice 2 della radice e quidi possiamo portarlo fuori, otteedo (a b) _ ab 4

13 Uità 2 Esercizi 2.4 Trasporta sotto radice i fattori esteri, cosideradoli positivi Traier Puoi trasportare il coefficiete 2 all itero della radice se lo elevi a ua poteza uguale della radice, cioè 2 4 = 4 (2... ) () 4 = ab 2 2b 1. (x + y) 4 x 2. (x + 1) _ x + 1 Trasporta fuori dalla radice, cosiderado i fattori positivi.. 12 Traier Scompoi il radicado i fattori primi: 12 = (2... ) (). Poiché l espoete del fattore 2 è uguale all idice della radice, 2 può essere portato fuori dividedo l espoete per... L espoete di è ivece miore dell idice della radice e quidi il fattore...: 12 = Traier Scompoi il radicado i fattori primi: 48 = (2 4 ) (). Poiché l espoete del fattore 2 è maggiore dell idice della radice, 2 può essere portato fuori. L espoete di 2 o è multiplo dell idice della radice, quidi scrivi = (2 ) (2 ) e porta fuori... L espoete di è ivece miore dell idice della radice e quidi il fattore...: 48 =

14 x y x 61. a 7 b 4 Radicali 62. _ a + 2a 2 + a Traier Scompoi dapprima il radicado, quidi esegui il trasporto fuori dalla radice. 6. _ 12a b 12a 2 b + ab 64. _ a b 4a + 4b 2. Operazioi co radicali Prof Aalizziamo le operazioi di addizioe algebrica, moltiplicazioe e divisioe, elevameto a poteza ed estrazioe di radice co i radicali. L addizioe algebrica è possibile solo tra radicali simili, cioè radicali co medesimo idice di radice e radicado. La somma otteuta è u radicale simile co coefficiete uguale alla somma algebrica dei coefficieti dei radicali. Svolgiamo l addizioe algebrica I termii dell addizioe soo radicali simili, e duque la somma è ( ) = 1 Svolgiamo l addizioe algebrica a x b x 2a x Possiamo calcolare la somma del primo radicale e del terzo, del secodo radicale e del quarto (a 2a) x (2b + 1) x = a x (2b + 1) x x Attezioe: o sempre i radicali da addizioare algebricamete appaioo simili; i tal caso occorre procedere al trasporto detro-fuori il sego di radice per evetualmete rederli tali e, duque, procedere co il calcolo della somma algebrica. 47

15 Uità 2 Svolgiamo l addizioe algebrica b _ a b + a b 4 22 a b 4 L addizioe o cotiee radicali simili, ma possiamo effettuare il trasporto fuori dal sego di radice per rederli tali. Ifatti, se scompoiamo i rispettivi radicadi el seguete modo b _ a b + a (b ) (b) 22 a (b ) (b) possiamo trasportare i fattori fuori dal sego di radice i modo da redere simili i radicali, e quidi procedere co il calcolo della somma algebrica ab b + ab b 22ab b = 20ab b La moltiplicazioe e la divisioe soo possibili solo tra radicali co il medesimo idice di radice. Il prodotto è u radicale che matiee il medesimo idice e co radicado il prodotto dei radicadi, cioè a m b p = a m b p Il quoziete è u radicale che matiee il medesimo idice e co radicado il quoziete dei radicadi, cioè _ a m b p = a m Attezioe: o sempre i radicali da moltiplicare o dividere hao il medesimo idice; i questi casi occorre procedere alla riduzioe al medesimo idice dei radicali coivolti ella moltiplicazioe e divisioe. b p Svolgiamo la moltiplicazioe 8x y 2 2x 10 y 1 x 48 Gli idici dei tre radicali o soo uguali: occorre quidi procedere alla riduzioe. Il m.c.m. dei tre idici è 10. Dividiamo 10 per ciascu idice e moltiplichiamo ogi quoziete per gli espoeti dei fattori del relativo radicado 10 8x y x 2 y x Ora possiamo moltiplicare i tre radicali sotto la comue radice decima 10 2x y 2 x y 2 Semplificado, otteiamo il risultato fiale 10 2 = 10 2 = 2

16 Radicali L elevameto a poteza di u radicale cosiste ell elevare a poteza il suo radicado, cioè ( _ a m p ) = _ a mp Svolgiamo l elevameto a poteza ( ) 4 Dobbiamo elevare il radicado a espoete 4, cioè 4 L estrazioe di radice di u radicale cosiste el porre il radicado sotto u uico sego di radice co idice uguale al prodotto dei due idici di radice p a m = p _ a m Svolgiamo l estrazioe di radice _ Dobbiamo porre il radicado sotto il sego di radice co idice uguale al prodotto degli idici dei due radicali ( e 2), cioè 6 Esercizi 2. Calcola le segueti somme algebriche di radicali, cosiderado positivi tutti i fattori Traier I tre addedi soo radicali simili, quidi la somma algebrica è u radicale... co coefficiete pari alla... dei... dei radicali = x 2 + 2x _ 2a 7 2a + 2 _ _ 2a 2a _ 49

17 Uità _ 27x 9 x x 7. _ x 6 y + _ y + _ 8x y x 2 _ 1 + x x _ 1 + x 2 7. _ 4a + 8a 2 + 4a b 2 + 8a 2 b 2 2 9a + 18a 2 Esegui le segueti moltiplicazioi e divisioi di radicali, cosiderado positivi tutti i fattori e trasporta, se possibile, esteramete i fattori Traier I due radicali hao lo stesso idice: il prodotto è u radicale avete... idice e per radicado... dei radicadi; quidi 2... = _ x _ 4x _ 7a _ ab Riduci dapprima i due radicali allo stesso idice: _... 2 Esegui la moltiplicazioe e ottiei il prodotto: 4 _... 2 Traier a 6 b _ 4a xy ab 4 _ 27a 2 b 8x 2 y _ 4a 2 6 2ab 2 _ 1 4ab 86. _ a 2 a _ a a : 6 : a 2 8 _ (a + 2) a 2a + 2a _ (2a ) 2 2a + 6 _ _ 2a : 9 _ 8a b 2

18 : : 2 9. x y 6 y 2 : y x 94. _ a a + b : _ ( a b + b a + 2 ) _ 1 ab Radicali Esegui l elevameto a poteza dei segueti radicali. 9. ( ) ( (x + 1) 2 ) ( 2 ) 97. ( 2 ) 100. (2 2 + ) ( (a 2 b _ ab ) ) ( a + b 2 ) Traier Calcola il quadrato del primo termie: (2 2 ) 2 = 2 2 ( 2 ) 2 =..., il quadrato del secodo termie: ( ) 2 =... e il doppio prodotto del primo termie per il secodo: 2 (2 2 ) ( ) = Il risultato è (2 2 + ) 2 =... Esegui l estrazioe di radice dei segueti radicali, cosiderado positivi tutti i fattori. 10. _ 4 Traier La radice di u radicale è u radicale che ha per idice il... degli idici, quidi Scompoi il radicado i fattori primi 4 =... e semplifica il radicale, otteedo il risultato _ a Traier Porta detro la radice quarta il fattore 2, quidi estrai la radice _ a a + 1 1

19 Uità Razioalizzazioe del radicale Prof La razioalizzazioe del radicale cosiste el trasformare frazioi co a deomiatore uo o più radicali i frazioi equivaleti seza radicali a deomiatore. I questo modo risulta più semplice elaborare le frazioi per calcolare, per esempio, u m.c.m. La razioalizzazioe sfrutta la proprietà ivariativa delle frazioi: moltiplicado il umeratore e il deomiatore per uo stesso termie diverso da zero, il valore della frazioe o cambia. A secoda di come si presetao i radicali al deomiatore della frazioe, si procede a ua diversa razioalizzazioe. Esamiiamo quattro casi. Primo caso: frazioe del tipo b a Si razioalizza moltiplicado umeratore e deomiatore per il termie a b a = b a a a b a = _ a = _ b a 2 a dove el secodo passaggio si è calcolato il prodotto tra due radicali co uguale idice di radice e ell ultimo si è semplificato il radicale a deomiatore. Razioalizziamo la frazioe _ 7 Moltiplichiamo umeratore e deomiatore per e procediamo co i calcoli e le semplificazioi _ 7 = _ 7 = _ 21 2 Secodo caso: frazioe del tipo _ b a m Si razioalizza moltiplicado umeratore e deomiatore per il termie a m _ b = _ b a m a m a m a m = b a m (a m ) (a m ) = b a m _ = _ b a m a a dove el secodo passaggio si è calcolato il prodotto tra due radicali co uguale idice di radice e ell ultimo si è semplificato il radicale.

20 Radicali Razioalizziamo la frazioe 8 Scriviamo il deomiatore come 2, quidi moltiplichiamo umeratore e deomiatore per 2 2 e procediamo co i calcoli e le semplificazioi Terzo caso: frazioe del tipo _ m a ± b = = = _ Si esegue la razioalizzazioe moltiplicado umeratore e deomiatore per il termie a b, i modo da avere a deomiatore il prodotto otevole somma per differeza (Uità 4, Volume 1). Eseguiamo il prodotto e otteiamo _ m a ± b = m ( a ± b ) ( a _ b ) ( a b ) m ( a _ b ) ( a ) 2 ( b ) 2 = m ( a _ b ) m a 2 ( a = _ b ) b 2 a b dove el primo passaggio abbiamo usato la defiizioe di poteza di u radicale e ell ultimo abbiamo semplificato i radicali. Razioalizziamo la frazioe Moltiplichiamo umeratore e deomiatore per e procediamo co i calcoli e le semplificazioi = _ 10 (2 2 ) (2 2 + _ ) (2 2 + ) = 10 (2 2 + ) = 2 (2 2 + ) 8 Quarto caso: frazioe del tipo _ m a ± b Si esegue la razioalizzazioe moltiplicado umeratore e deomiatore per il termie a 2 ab + b 2, i modo da avere a deomiatore il prodotto otevole che dà la somma o la differeza di due cubi (Uità 4, Volume 1). _ m a ± b = m ( a ± b ) ( a 2 ab + b 2 ) ( a 2 ab + b 2 )

21 Uità 2 Eseguiamo il prodotto e otteiamo m ( a 2 ab + b 2 ) ( a ) ± ( m ( a = 2 ab + b 2 ) b ) m ( a a ± = 2 ab + b 2 ) b a ± b dove el primo passaggio abbiamo usato la defiizioe di poteza di u radicale e ell ultimo abbiamo semplificato i radicali. Svolgiamo la razioalizzazioe della frazioe _ 2a 2a + Moltiplichiamo umeratore e deomiatore per _ (2a + ) 2 + _ (2a + ) + e procediamo co i calcoli e le semplificazioi 2a 2a + = 2a ( (2a + ) 2 _ + 6a ) ( _ 2a + )( _ (2a + ) 2 + _ 6a ) = _ 2a ( (2a + ) = 2 + 6a ) = 2a + _ _ _ (2a + ) 2 + 6a _ 9 2 Esercizi 2.6 Razioalizza i segueti radicali del primo caso Traier Moltiplica il umeratore e il deomiatore della frazioe per... e semplifica: = _ 4... = _ _ _ _ 2 x + y Razioalizza i segueti radicali del secodo caso Traier Moltiplica il umeratore e il deomiatore della frazioe per...: = _

22 Radicali _ _ a x y 2 Razioalizza i segueti radicali del terzo caso _ Traier Moltiplica il umeratore e il deomiatore della frazioe per......: _ _ A deomiatore applica il prodotto otevole somma per differeza e semplifica: (... _...) (...) 2 (...) 2 = (......) = = _ x + 1 x + 4 x _ x 127. _ 2 1 x + x 2 1 Razioalizza i segueti radicali del quarto caso _ Traier Moltiplica il umeratore e il deomiatore della frazioe per: _ _... + _ A deomiatore applica il prodotto otevole che dà la somma di cubi e semplifica: _... + _ _ ( )... + ( = 2 ) _ _ _ x x + x + 1

23 Uità 2 Esercizi di riepilogo Semplifica i segueti radicali (i fattori letterali soo positivi) [ 6 2 ] 17. 9a + 18a 2 [ a a + 2 ] 1. _ 200 [ 10 2 ] ( ) 2 [ [ 21 7 ] x 6 [ _ ] 4x 2 ] 18. _ x 21 y 14 [ x 4 y 2 _ xy 4 ] _ x y xy [ _ x + y xy ] 140. _ a 2 b + a 4 c 4a 2 c + 4b [ a 2 ] Calcola il risultato delle segueti espressioi. _ 141. _ 16 4 _ _ [ 7 _ 4 ] 142. (2 2 ) 2 [ ] 14. ( 2 + 1) 2 ( 2 1) 2 [ 4 2 ] 144. ( 6 2) 2 (2 ) (2 + ) [ ] a _ 9a a + _ a [ 2 _ a ] 146. _ x y x + 2 : x 2 y a 2 b x + 2 [ 6 _ x + 2 (x + y) (x y) ] a b [ (x + y) 2 (x y) ( _ 2 2 ) 2x 4 6 : 12. ( ) 8 [ 8 : 6 _ (x + y) x 6 (x y) [(x y) ab ] _ 24 ] 4 _ (x y) 2 [ ] 2 [ 2 ] 4 ] ( ) 4 [ 1 2 ] 6

24 Radicali Razioalizza le segueti frazioi [ 2 2 ] 14. _ 2 [ _ 2 6 ] _ 27 [ ] 16. _ a + b x 2 [ a + b a + b ] [ 2 x x ] 18. 2a + b [ (2a + b) 2 2a + b ] _ 19. _ [ 6 6 ] 160. _ [ _ ] 161. _ a 2 9 a 2 2 _ [ a ] 162. _ 6a _ 2a + a [ _ (2 a _ 2a ) ] 16. _ 2 2 [ 2 ( ) ] 164. _ [ ] 7

25 Uità 2 Test di autovalutazioe Prof Traier Per valutare il tuo livello di preparazioe sugli argometi dell Uità, risolvi i segueti esercizi e cofrota i risultati co quelli riportati a pagia 22. Se hai svolto correttamete almeo sei esercizi, la tua preparazioe è sufficiete. 1. Vero o falso? a. 2 = V F b. 27 = V F 8 c. 16 = 2 V F d. x = x V F e. a + b = a + b V F f. a b = _ ab V F g. 6 a + b = a + b V F h. 2 = 2 9 V F Trasporta, se possibile, i fattori fuori da radice _ a 11 b 17. _ 27x 6 27x 9 Calcola. 4. _ (4 + )(4 ) (2 + ) 2 (2 ) x 4 _ 4x _ 8x 10 2x a 2 b 2 7. Razioalizza. + x 8. _ 2 x 9. 16a 2 4 4a 2 b c _ 2 2 a 2 + 2ab + b 2 : a b 6 8

26 Cerca il testo completo i libreria oppure acquistalo su libreriarizzoli.it I coteuti di risolto! Idice: 2

27 Scopri tutte le ovità B.I.T. su RcsEducatio.it Edizioi del Quadrifoglio

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