Prova scritta del 9/1/2003

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1 Prova scritta del 9//00 Soluzioe degli esercizi N. Le quattro serie proposte soo a termii positivi. Per studiare la covergeza delle serie a termii positivi è possibile utilizzare uo dei segueti criteri che abbiamo esposto a lezioe: a) criterio del cofroto, b) criterio della radice, c) criterio del rapporto, d) criterio del ite. Svolgiamo ciascu esercizio co u criterio diverso. Fila. Dimostrare che la serie seguete è covergete: + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare il termie geerale della serie data co il termie geerale di ua serie covergete. Osserviamo che vale la maggiorazioe: + + N, > k co k N sufficietemete grade. Il termie geerale della serie data è quidi maggiorato (defiitivamete) dal termie geerale della serie :, Come fa a veire i mete questa maggiorazioe, direte voi. Basta osservare che il valore di ua frazioe aumeta se dimiuisce il valore del deomiatore (prima maggiorazioe), metre u espoeziale è defiitivamete maggiore di qualuque poteza (secoda maggiorazioe).

2 che è ua serie armoica co espoete α, quidi risulta covergete (le serie armoiche soo covergeti se α >.) α Il criterio del cofroto ci assicura quidi che ache la serie di parteza è covergete. Fila. Dimostrare che la serie seguete è covergete: + + Applichiamo il criterio della radice eesima : sia a L, se L < allora la serie a è covergete. Quidi dobbiamo calcolare il seguete ite: + + al umeratore della frazioe sotto radice mettiamo i evideza, metre al deomiatore mettiamo i evideza, cioè i etrambi i casi abbiamo messo i evideza gli ifiiti di ordie maggiore: Ifatti: ( ) ( ) + ( ) () + + () +, +, +, perchè: 0 e 0.

3 Cocludedo, la serie data è covergete i quato applicado al suo termie geerale il criterio della radice eesima otteiamo che il ite L risulta uguale a che è miore di uo. Fila. Dimostrare che la serie seguete è covergete: + + a Applichiamo il criterio del rapporto : sia + a L, se L < allora la serie a è covergete. Quidi dobbiamo calcolare il seguete ite: +(+) + +(+) Risolviamo il ite proposto mettedo i evideza gli ifiiti di ordie maggiore ella maiera seguete: Perchè: (+) (+) + + (+) + + (+) (+) + + (+) (+) + + (+) ( + ) 0 + ( + ) + 0

4 Ifatti: 0 0 ( ) 0 I quato ( ) 0, essedo a 0 se a <. Cocludedo, la serie data è covergete percè applicado al suo termie geerale il criterio del rapporto otteiamo che il ite L risulta uguale a che è miore di uo. Fila. Dimostrare che la serie seguete è covergete: Applichiamo il criterio del ite: sia a b L, se L R {0} allora le serie a e b hao lo stesso comportameto, cioè la prima è covergete se e solo se lo è la secoda. La difficoltà del percorrere questa strada sta ell idividuare ua serie giusta co la quale cofrotare la serie data. Osserviamo che al deomiatore del termie geerale della serie che dobbiamo studiare l ifiito di ordie maggiore è 6, metre al umeratore è ovviamete. Di cosegueza, possiamo applicare il criterio del ite, cosiderado come a il termie geerale della serie data e come Quidi: b 6 6. ovviamete deve essere a 0, b >

5 Perchè: (ifatti abbiamo già osservato i precedeza che l espoeziale tede a zero se la base è i valore( assoluto miore di uo: 6 ) 0) Il risultato del ite che abbiamo calcolato è L che è u umero reale o ullo, quidi la serie data si comporta come la serie 6 Questa risulta covergete, ad esempio, per il criterio della radice eesima: 6 6 <. Di cosegueza, i virtù del criterio del ite sopra citato, ache la serie data risulta covergete.