Corso Propedeutico di Matematica

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1 POLINOMI RICHIAMI DI TEORIA Defiizioe: u poliomio ( o fuzioe poliomiale) ella variabile x di grado a coefficieti reali ha la forma A = a0 + a1x + + a 1 x, dove a 0, a 1,..., a soo umeri reali assegati e a 0. Ogi sigolo addedo a x si dice moomio di grado ed il umero a si dice coefficiete del termie di grado. Il grado di u poliomio è determiato dalla massima poteza di x il cui coefficiete è o ullo. Proposizioe (Pricipio di idetità dei poliomi): due poliomi soo uguali se hao lo stesso grado e hao ordiatamete uguali i coefficieti dei moomi di uguale grado. A Defiizioe: dati due poliomi A e Bm, la fuzioe f B fratta); essa è defiita i tutto R esclusi gli evetuali puti x i cui B = viee detta fuzioe razioale (o fuzioe razioale m = 0. Teorema: siao A e Bm due poliomi, rispettivamete di grado ed m, co m. Esistoo due poliomi ( ) R tali che : il grado di R è strettamete miore di m; vale la relazioe A = Bm Q + R. (1) Il poliomio Q( x ), di grado -m, è detto quoziete della divisioe e il poliomio R resto della divisioe. Q x e Pagia 1 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

2 Defiizioe: se ella relazioe (1) il poliomio R è il poliomio ullo allora si dice che A è divisibile per B Bm è divisore di A. Teorema: codizioe ecessaria e sufficiete affiché u poliomio A sia divisibile per x c è che A ( c) Defiizioe: u umero c tale che A ( c) = 0 è detto radice o zero del poliomio A. Le radici di A radici o soluzioi dell'equazioe A = 0. Defiizioe: u poliomio A di grado 1 si dice irriducibile se o esiste essu divisore di A co 0<m<. = 0.() m o che si dicoo ache che abbia grado m Teorema: ell'isieme dei poliomi a coefficieti reali vi soo due tipi di fattori irriducibili: i biomi di primo grado e i triomi di secodo grado a discrimiate egativo. Ogi poliomio ammette ua fattorizzazioe del tipo m1 m l1 ( ) = ( 1 ) ( ) ( ) ( + h + h ) A x a x c x c x p x q x p x q I umeri c 1 c c A x di molteplicità, rispettivamete, m 1, m,..., m, metre i triomi di secodo grado della () hao discrimiate egativo e vale la relazioe m + m + + m + l + l =.,,..., soo le radici reali distite di ( ) lh () 1 1 h Pagia di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

3 ESEMPI Ricordiamo che: a x + b x = a + b x somma di due moomi di uguale grado (moomi simili) ( ) a x b x = a b x differeza di due moomi di uguale grado ( ) p a x c x = a c x p p + p prodotto di due moomi ax c x p p = a c x p p (se p e c p 0) quoziete di due moomi Pagia di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

4 1. Eseguire le segueti operazioi tra poliomi ( x x 4) ( 5x x x ) = x x 4 10x x 4x 6 = 7x 4x + 4x. ( ) + + = ( 10) + ( ) ( 4 6) { [ + + ]} = 6x 6 4ax [ 4 x ax 5 ax 7x] 6 x 6 4 ax 4 x ax 5 ax 7 x = 6x 6 4ax 4 x ax 5 ax 7x = = ( 6 + ) x + ( 4a a + a + 7) x = ( ) 4 ( + 4 ) 4 x x x x = ( 4 ) ( ) ( x x ) ( x 1) x x x x x x x = x 6x + 1x + 9x + = x ( x 1) x ( x 1) ( x 1) ( x ) ( x ) ( x ) 6 5 x x x = 9x + 5a + 7 x 7 + = x x x + x + x = x 5x + 5x 1 5 = ( x x x + ) ( x 5) = ( x 5x ) ( x 5) 6x 5x + 4x = 6x 10x 5x + 5x + 9x 15 = 4x + x 5x x 5 = 4 x x 5 x 5x + = x + x x = x x x + x 5 Pagia 4 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

5 Prodotti otevoli ( x a) ( x a) + = x a differeza di quadrati ( x + a) = x + ax + a quadrato di u biomio ( x + a) = x + ax + a x + a cubo di u biomio ( x + a) ( x ax + a ) ( x a) ( x + ax + a ). Calcolare i segueti prodotti otevoli: ( x 4a) ( x + 4a) = ( x) ( 4a) [ ] = x + a somma di cubi = x a differeza di cubi = 9x 16a ( x 5) = x + ( 5) = ( x) ( x) ( 5) ( 5) [ ] + + = 4x 0x + 5 ( x ) = x + ( ) = ( x) ( x) ( ) ( x)( ) ( ) ( x )( x + x + 4) ( x a) ( 4x ax a ) = x = x = = 7x 54x + 6x 8 a + = 8x + a Pagia 5 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

6 . Eseguire le segueti divisioi applicado, se è possibile la regola di Ruffii. ( x 4 4x + 7x x + 1) ( x x + 1) No è possibile applicare l'algoritmo di Ruffii, i quato il poliomio divisore o è della forma x c; eseguiamo, quidi, la divisioe : ( ) 4 x 4x + 7x x + 1 x x + 1 x x + x 4 / / x + 4x x + 1 Q x = x x + x + x x / / x / / + 1 x x + / / + x, R = x. x x + 1. I poliomi A 4 (x) (dividedo) e B (x) (divisore) soo ordiati secodo poteze decresceti.. Calcoliamo il quoziete tra i moomi di grado massimo di A 4 (x) e B (x): x 4 /x =x.. Calcoliamo il prodotto x B (x) = x 4 -x +x. 4. Calcoliamo R (x) = A 4 (x)- x B (x)= -x +4x -x Ripetiamo il procedimeto dividedo il moomio di grado più elevato di R (x) co il moomio di grado massimo di B (x), otteedo il quoziete parziale Q 1 (x)= -x ed il resto parziale R (x) = x L'algoritmo termia quado il grado del resto otteuto è miore del Pagia 6 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

7 ( x 7x + 6) ( x + 1) ( ) Il poliomio divisore è di primo grado, ricoducibile alla forma ( x c) : ( x + ) = x ( ) divisioe utilizzado l'algoritmo di Ruffii : 1 1 ; possiamo, quidi, effettuare la coefficieti del dividedo termie oto c = coefficieti quoziete Q x = x x 6 ( ) resto R = 1 Pagia 7 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

8 4. Scrivere la seguete fuzioe razioale come somma di u poliomio e di ua fuzioe razioale il cui umeratore ha grado miore del deomiatore. f Cosideriamo la fuzioe razioale f Dalla la relazioe dividedo ambo i membri per B 5 x + 10x + x + = x A = e suppoiamo m. B ( ) = ( ) ( ) + ( ) A x B x Q x R x m ( ) f x dove il grado di R(x) è miore di m. m, otteiamo: ( ) A R x = = Q + B B 5 Nel ostro caso A = x + 10x + x + e B 5 Dividedo A 5 per B, otteiamo Q m = x + 10 e R m = x. = 7x + Quidi : f = x x + x Pagia 8 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

9 5. Dire se il poliomio ( ) ( x ) Applicado il teorema (), abbiamo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A x = 1x 11x + 5x 14x + 8 è divisibile per i segueti poliomi di primo grado: 4 = = = A 4 o è divisibile per ( x ) ( x + 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = = = 50 0 A 4 o è divisibile per ( x + 1 ) ( x 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = = = 0 A 4 è divisibile per ( x 1) Pagia 9 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

10 6. Scomporre i fattori i segueti poliomi ( x 4 + x + x ) = x ( x + x + 1) Abbiamo effettuato u raccoglimeto a fattore totale. Il triomio di secodo grado ( x x 1) discrimiate = egativo. + + è irriducibile avedo il ( x x 4x 1) + = x ( x ) 4 ( x ) = x ( x ) 4 ( x ) = ( x ) ( x 4) = ( x ) ( x ) ( x + ). Abbiamo effettuato u raccoglimeto a fattore parziale e, successivamete, abbiamo usato il prodotto otevole differeza di quadrati. x 6 64 Ricordiamo la seguete Proposizioe: il biomio x a è sempre divisibile per x a ; se è pari è divisibile ache per x + a. Pertato x 6 64 = x 6 6 risulta divisibile per x e per x +. Possiamo scomporre il biomio utilizzado, ad esempio, l'algoritmo di Ruffii oppure vededolo prima come differeza di quadrati e poi come somma e differeza di cubi: Pagia 10 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

11 ( x 6 64) = ( x 8) ( x + 8) = ( x ) ( x + x + 4) ( x + ) ( x x + 4) I triomi di secodo grado soo irriducibili avedo etrambi il discrimiate egativo. = ( x ) ( x + ) ( x + x + 4) ( x x + 4) x Ricordiamo la seguete: Proposizioe: il biomio x + a è divisibile per x + a ; se è dispari; se è pari o è divisibile é per x a é per x + a. Pertato x = x risulta divisibile per x +. Eseguiamo la divisioe co l'algoritmo di Ruffii: Quidi x 5 4 ( ) 4 + = ( x + ) ( x x + 9x 7x + 81) 4 Q x = x x + 9x 7x R = 0 Pagia 11 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00

12 A x = x + x 5x + 1 Ricordiamo le segueti regole : ( ) Regola 1: le evetuali radici itere di ( ) 1 A x = x + a x + + a 1 0, dove a a 1,..., 0 sottomultipli di a0, compresa l'uità, presi sia co il sego positivo, sia co il sego egativo. soo iteri, soo da cercare tra i Regola : le evetuali radici razioali di ( ) razioali della forma ± p l'uità. 1 A x = a x + a 1x + + a 0, dove a,..., a 0 soo iteri, soo da cercare tra i / q, dove p è u sottomultiplo di a 0, compresa l'uità, metre q è u sottomultiplo di a, compresa Applicado la regola 1: i sottomultipli del termie oto a 0 = 1 soo ±1, ±, ±7, ±1; Abbiamo A ( 1) = 0, A ( ) = 0, A ( 7) = 0, vale a dire 1,, 7 soo radici di A ; quidi A è divisibile per i poliomi di primo grado x-1, x-, x-7: x x 5x = ( x 1)( x )( x 7 ) Pagia 1 di 1 Data ultima revisioe 10/05/00