equazioni e disequazioni

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1 T Capitolo equazioi e disequazioi Disequazioi e pricìpi di equivaleza Le disuguagliaze soo euciati fra espressioi che cofrotiamo mediate le segueti relazioi d ordie: (miore), (maggiore), # (miore o uguale), $ (maggiore o uguale). Per : + 5, a + $ b. Liste to it A iequality is a relatio that compares two epressios, oe greater tha the other. If the epressios cotai ukow quatities, we solve the iequality by fidig the values for which the iequality holds. defiizioe Ua disequazioe è ua disuguagliaza i cui compaioo espressioi letterali per le quali cerchiamo i valori di ua o più lettere che redoo la disuguagliaza vera. Le lettere per le quali si cercao valori soo le icogite. I valori delle icogite che redoo vera la disuguagliaza soo le soluzioi della disequazioe. Ci occuperemo, per il mometo, di disequazioi a ua sola icogita e cercheremo di determiare l isieme delle soluzioi S ell isieme R dei umeri reali. La disequazioe 5-0 ha come isieme delle soluzioi S = $! R 5., che idichiamo, per brevità, co 5. Se ua disequazioe è scritta ella forma ormale P() 0, co P() poliomio ell icogita ridotto i forma ormale, il grado della disequazioe è il grado di P(). Aaloga defiizioe si ha per le disequazioi co, #, $. Ua disequazioe è umerica se ell equazioe o compaioo altre lettere oltre all icogita. È letterale se ivece cotiee altre lettere, che possoo ache essere chiamate parametri. Ua disequazioe è itera se l icogita compare soltato ei umeratori delle evetuali frazioi preseti ella disequazioe. Se ivece l icogita è coteuta el deomiatore di qualche frazioe, allora la disequazioe è fratta.

2 Paragrafo. Disequazioi e pric pi di equivaleza T La disequazioe ! 0 "! è fratta e ha seso solo quado perché o possoo esistere frazioi co deomiatore ullo. Diciamo ache che la sua codizioe di esisteza è! - 5. defiizioe Le codizioi di esisteza di ua disequazioe soo le codizioi che le variabili devoo soddisfare affiché tutte le espressioi scritte abbiao sigificato. Le idichiamo co C.E. Itervalli Esercizi a p. Spesso gli isiemi delle soluzioi delle disequazioi che studieremo soo particolari sottoisiemi di R chiamati itervalli. defiizioe Dati due umeri reali a e b, co a b, chiamiamo itervallo limitato l isieme dei umeri reali compresi fra a e b. Dato u umero reale a, chiamiamo itervallo illimitato l isieme dei umeri reali che precedoo a, oppure l isieme dei umeri reali che seguoo a. U itervallo è chiuso quado iclude i propri estremi, i caso cotrario è aperto. Distiguiamo i segueti casi, dove rappresetiamo gli itervalli i tre modi diversi: co le disuguagliaze, mediate paretesi quadre o co ua rappresetazioe grafica. Itervalli limitati Itervalli illimitati a a < < b a. Itervallo aperto a; b[. b > a a + a. Itervallo aperto illimitato superiormete a; + [. a a b b. Itervallo chiuso [a; b. b < a a b. Itervallo aperto illimitato iferiormete ; a[. a < b a b c. Itervallo aperto a destra [a; b[. a < b a b d. Itervallo aperto a siistra a; b. a a + c. Itervallo chiuso illimitato superiormete [a; + [. a a d. Itervallo chiuso illimitato iferiormete ; a.

3 T Capitolo. Equazioi e disequazioi. ; 7 7 ; E, ossia # #, è u itervallo limitato chiuso; è l estremo i- 5 5 feriore, 7 l estremo superiore. 5 7 Ñ ;56, ossia 5, è u itervallo aperto illimitato iferiormete. Ð 5 Disequazioi equivaleti Esercizi a p. 5 defiizioe Due disequazioi soo equivaleti se hao lo stesso isieme di soluzioi. - 0 e - soo disequazioi equivaleti perché hao per soluzioi i valori dell itervallo. I membri di ua disequazioe soo le due espressioi che si trovao a siistra (primo membro) e a destra (secodo membro) del sego di disuguagliaza. Per l equivaleza tra disequazioi valgoo i segueti pricìpi. a. La disequazioe - -7 è equivalete alla disequazioe 6 0? b. - 0 è equivalete a? Primo pricipio di equivaleza Data ua disequazioe, si ottiee ua disequazioe a essa equivalete aggiugedo a etrambi i membri uo stesso umero o espressioe. La disequazioe - è equivalete alla disequazioe - - 0, otteuta sommado - a etrambi i membri. Nell precedete, dopo l applicazioe del primo pricipio, il termie scompare dal secodo membro e compare al primo co il sego cambiato. Per questo, possiamo dire che u termie può essere trasportato da u membro all altro della disequazioe cambiadogli il sego. Secodo pricipio di equivaleza Data ua disequazioe, si ottiee ua disequazioe a essa equivalete: moltiplicado o dividedo etrambi i membri per uo stesso umero (o espressioe) positivo. moltiplicado o dividedo etrambi i membri per u umero (o espressioe) egativo e cambiado il verso della disuguagliaza. I particolare, se si cambia il sego di tutti i termii di ua disequazioe e si iverte il verso della disuguagliaza, si ottiee ua disequazioe equivalete. Questa operazioe equivale a moltiplicare per - i due membri della disequazioe e a ivertire il verso della disuguagliaza.

4 Paragrafo. Disequazioi di primo grado T 5. La disequazioe è equivalete alla disequazioe 5. La secoda si ottiee dalla prima moltiplicado etrambi i membri per è equivalete a 9. La secoda disequazioe si ottiee dalla prima moltiplicado etrambi i membri per - (ovvero cambiado il sego di tutti i termii) e ivertedo il verso della disuguagliaza. Disequazioi di primo grado Esercizi a p. 6 a. La disequazioe ^- h è equivalete alla disequazioe? - b è equivalete a 0? Le disequazioi itere di primo grado possoo sempre essere scritte i ua delle segueti forme, dopo aver opportuamete applicato i pricìpi di equivaleza: a b, a $ b, a b, a # b, co a, b! R. Risolvedo a b, otteiamo, a secoda dei valori di a: se a 0, a b ; se b 0, S = Q; se a = 0, 0 $ b se b = 0, S = Q; se b 0, S = R ; se a 0, b a. U ragioameto aalogo vale ache per le altre tre disequazioi. Risolviamo ua disequazioe umerica itera, applicado i pricìpi di equivaleza: + # + " - # - " - #- " $. U di disequazioe letterale è a - $ a. Per risolverla occorre discutere le sue soluzioi al variare di a. a + se a 0, $ a a - $ a " a $ a + se a = 0, 0 $ " impossibile a + se a 0, # a Discutere le soluzioi di ua disequazioe letterale permette di otteere le soluzioi di ifiite disequazioi umeriche, quelle che si hao sostituedo ella disequazioe data valori particolari alla lettera (o alle lettere). Studio del sego di u prodotto Cosideriamo la disequazioe costituita da u prodotto di biomi di primo grado messo a cofroto co il umero 0: ( - )( + )( + ) 0. Per risolverla studiamo il sego di ogi fattore e poi deduciamo quello del prodotto al variare di. Nell aimazioe, scompoedo i fattori e applicado lo stesso metodo, risolviamo ache: - # 0. 5

5 T Capitolo. Equazioi e disequazioi Risolvi la disequazioe ^- h^+ h # " + 0 " " - Rappresetiamo i risultati i uo schema grafico i cui idichiamo i + 0 segi dei fattori ei diversi itervalli e il sego del prodotto, otteuto co la regola dei segi. Evideziamo i giallo gli itervalli i cui la disequazioe è verificata, cioè quelli ( ) ( + ) ( + ) i cui il prodotto risulta essere positivo. L isieme delle soluzioi è: Disequazioi di secodo grado Sego di u triomio di secodo grado Esercizi a p. Per studiare il sego di u triomio di secodo grado a + b + c, co a! 0, possiamo cosiderare la fuzioe y = a + b + c e utilizzare il suo grafico, che è ua parabola. Studiamo il sego del triomio di secodo grado La fuzioe y = - 7+ ha per grafico ua parabola che ha la cocavità y rivolta verso l alto e iterseca l asse ei puti di ascissa e, perché: Ð y > 0 y < " 9 5 7! = D = - = 0, = " =, =. Per, i puti del grafico hao ordiata egativa; per o, hao ordiata positiva. Per lo studio del sego o servoo altre iformazioi relative alla parabola, quidi possiamo utilizzare lo schema semplificato della figura a lato e cocludere che è: egativo se ullo se ; = 0 = ; + + positivo se 0. Riassumiamo ella tabella le possibili posizioi di ua parabola di equazioe y = a + bc + c rispetto all asse. e soo le radici dell equazioe associata a + b + c = 0, cioè i valori per i quali il triomio è ullo. I segi + e - idicao dove la parabola è sopra o sotto l asse, e quidi ache dove il triomio è positivo o egativo. 6

6 Paragrafo. Disequazioi di secodo grado T D 0 D = 0 D 0 a = a 0 + Ð Ð Ð Ð = Chiamiamo itervallo delle radici l itervallo dei valori compresi fra e. Osserviamo i grafici ella prima coloa della tabella precedete, che si riferiscoo al caso D 0. Per valori di esteri all itervallo delle radici: se a 0, cioè ha sego +, ache il triomio ha sego +; se a 0, cioè ha sego -, ache il triomio ha sego -; quidi il triomio assume sempre sego cocorde co quello del primo coefficiete a per valori esteri all itervallo delle radici. Ragioado i modo aalogo, otteiamo che, co D 0, il triomio assume sego discorde da quello di a per valori di iteri all itervallo delle radici. Quidi, per formulare ua regola che valga sia per a 0 sia per a 0, basta cofrotare il sego del triomio co quello di a per i valori iteri o esteri all itervallo delle radici. Procededo ello stesso modo ache ei casi D = 0 e D 0, otteiamo il seguete schema, che possiamo utilizzare ache seza tracciare il grafico della parabola. cofroto dei segi di a + b + c e di a : Sego di u triomio di secodo grado Quado l equazioe associata al triomio a + b + c, co a! 0, ha: D 0, il triomio e il coefficiete a hao sego cocorde per valori di esteri all itervallo delle radici; segi discordi per valori di iteri all itervallo delle radici; D = 0, il triomio e il coefficiete a hao sego cocorde per tutti i valori di diversi dalla radice dell equazioe; D 0, il triomio e il coefficiete a hao sego cocorde per ogi valore reale di. Facciamo alcui esempi. > 0 = 0 < 0 sego cocorde sego discorde sego cocorde = sego cocorde a. Il triomio ha equazioe associata = 0, co D 0 e =-, =. Sego del triomio Ð + sego di a Ð 7

7 T Capitolo. Equazioi e disequazioi b. Il triomio ha equazioe associata 9-6+ = 0, co D = 0 e = =. Sego del triomio + + ÐÐ sego di a c. Il triomio ha equazioe associata = 0, co D 0 e essu- a radice reale. Sego del triomio Ð Ð Studio algebrico del sego sego di a La regola che abbiamo otteuto mediate iterpretazioe grafica, osservado le caratteristiche della parabola, può ache essere dimostrata co lo studio algebrico del sego, come propoiamo ell aimazioe. Liste to it To solve a quadratic iequality just sketch some basic features of the graph of the associated quadratic fuctio, as show i the figures. > Risoluzioe di ua disequazioe di secodo grado Esercizi a p. La regola dello studio del sego di u triomio di secodo grado è utile per risolvere ua disequazioe di secodo grado. Possiamo seguire questo procedimeto: portiamo la disequazioe ella forma ormale a b c 0 aaloghe co $,, #), dove per comodità scegliamo di avere a 0; + + (o i quelle risolviamo l equazioe associata, determiado il sego del discrimiate e le radici, quado esistoo; applichiamo la regola dello studio del sego, idividuado l itervallo o gli itervalli i cui il triomio è o positivo o egativo, a secoda della richiesta della disequazioe. Abbiamo scelto di portare sempre la disequazioe ella forma co a 0 perché, i questo modo, ella risoluzioe, per studiare il sego del triomio possiamo utilizzare solo parabole co la cocavità rivolta verso l alto. Esamiiamo alcui esempi. Nelle aimazioi puoi vedere il sego dei triomi i modo diamico.. D 0 Risolviamo la disequazioe L equazioe associata è - - = 0, co D = 5 0; le sue radici soo: = - ; =. Il triomio ha sego cocorde co il coefficiete di per valori esteri all itervallo :- ; D, ha sego discorde per valori iteri. La disequazioe chiede che il triomio sia egativo, quidi le soluzioi soo: -. 8

8 Paragrafo. Disequazioi di grado superiore al secodo T. D = 0 Risolviamo la disequazioe L equazioe associata - + = 0 ha D = 0, co due soluzioi coicideti: = =. Il triomio ha sego cocorde co il coefficiete di per qualuque valore diverso da. La disequazioe chiede che il triomio sia positivo, quidi le soluzioi soo:!.. D 0 Risolviamo la disequazioe L equazioe associata - + = 0 ha D 0. Il triomio ha sego cocorde co il coefficiete di per qualsiasi valore di. La disequazioe chiede che il triomio sia egativo, quidi o è mai verificata. Disequazioi di grado superiore al secodo Disequazioi risolvibili co scomposizioi i fattori Esercizi a p. 8 = < Risolvi le segueti disequazioi: a ; b $ 0; c Dato u poliomio P() di grado maggiore di, le disequazioi del tipo P() 0 o P() 0 soo di grado superiore al secodo e possoo essere risolte scompoedo i fattori di primo e secodo grado il poliomio P() e studiado il sego del prodotto di poliomi che si ottiee. Risolviamo la disequazioe Scompoiamo i fattori mediate la regola di Ruffii. Se sostituiamo el poliomio i divisori del termie oto 6, scopriamo che è uo zero del poliomio, che è quidi divisibile per ( - ). Applichiamo la regola di Ruffii: = ( - )( - - 6). La disequazioe iiziale è equivalete a: ( - )( - - 6) 0. Esamiiamo il sego dei poliomi fattori e del prodotto: - 0 " ; " - 0. Risolvi la disequazioe # Dal quadro della figura ricaviamo che la disequazioe è verificata per ( ) ( 6)

9 T Capitolo. Equazioi e disequazioi I particolari casi di disequazioi, possiamo utilizzare metodi specifici. Disequazioi biquadratiche Ua disequazioe biquadratica è ricoducibile alla forma a - b + c W 0, co a! 0. Risolvi Risolviamo $ 0. L equazioe associata = 0 è u equazioe biquadratica, perché è ella forma a + b + c = 0, co a! 0. Itroduciamo l icogita ausiliaria z, poiamo = z e risolviamo ell icogita z: z - z + 6 = 0 " z =, z = 9. La disequazioe iiziale è equivalete alla disequazioe i z: z - z + 6 $ 0 le cui soluzioi soo z # 0 z $ 9; da ciò, essedo = z: $ 0 per # 0 $ 9, ossia: - # # 0 ( # - 0 $ ). Disequazioi biomie Ua disequazioe biomia può essere ricodotta alla forma a + b W 0, co a! 0 e itero positivo. a. Risolvi # 0. b. Risolvi e + 8 0, e cofrota i risultati co il caso di espoete dispari di. Risolviamo - 8 # 0. L equazioe associata - 8 = 0 è u equazioe biomia, co espoete =, dispari, perché è ella forma a + b = 0, co a! 0 e itero positivo. La sua soluzioe è: = 8 " = 8 =. Ricordado che a - b = (a - b)(a + ab + b ), scriviamo - 8 = ( - )( + + ). Ioltre il triomio D + +, che ha = - 0, assume sempre sego positivo, allora il sego di - 8 dipede solo dal sego del fattore ( - ). La disequazioe è verificata per #. I geerale, le disequazioi del tipo a e a, co dispari, si possoo risolvere direttamete scrivedo a e a. Disequazioi triomie Ua disequazioe triomia può essere ricodotta alla forma a + b + c = 0, co a! 0 e itero positivo. Risolviamo L equazioe associata = 0 è u equazioe triomia, perché è ella 0

10 Paragrafo 5. Disequazioi fratte T forma a + b + c = 0, co a! 0 e itero positivo. Per risolverla, itroduciamo l icogita ausiliaria z e poiamo = z: z - z + = 0 per z =, z =. Procediamo come abbiamo fatto per la disequazioe biquadratica. La disequazioe di sesto grado, ell icogita, è equivalete alla disequazioe di secodo grado, ell icogita ausiliaria z. Ricaviamo: z - z + 0 per z 0 z, da cui: per 0, vale a dire: 0. Risolvi # 0. 5 Disequazioi fratte Esercizi a p. Ua disequazioe è fratta se cotiee l icogita al deomiatore. Può essere sempre trasformata i ua disequazioe del tipo A( ) B( ) 0 o i altre aaloghe co i diversi segi di disuguagliaza. Per risolvere ua disequazioe fratta dobbiamo studiare il sego della frazioe A ( ), esamiado i segi di A() e di B(). Dobbiamo imporre B()! 0 per la B ( ) codizioe di esisteza della frazioe. - Risolviamo la disequazioe $ Il deomiatore deve essere o ullo, perciò: C.E.: - 7 -! 0 "! - /!. matematica ed ecoomia Made i Negli ultimi ai i prodotti «made i Chia» hao ivaso il mercato modiale e spito gli altri Paesi a trovare uove strategie per restare competitivi. Studiamo il sego del umeratore: - 0 " - 0. Studiamo il sego del deomiatore. Le radici dell equazioe associata soo - e, quidi: " - 0. La frazioe è uguale a 0 quado lo è il suo umeratore, metre se il deomiatore è uguale a 0 la frazioe o esiste. I questo caso, ello schema, utilizziamo il simbolo b. Quado è più coveiete importare u bee dall estero aziché produrlo? La risposta

11 T Capitolo. Equazioi e disequazioi b + 0 b + Risolvi la disequazioe - # # 00 La disequazioe fratta è verificata per: # # 0. 6 Sistemi di disequazioi Esercizi a p. 8 Liste to it To solve a system of iequalities we have to fid the values that satisfy all the iequalities ivolved. defiizioe U sistema di disequazioi è u isieme di più disequazioi ella stessa icogita, per le quali cerchiamo le soluzioi comui. Le soluzioi del sistema soo quei umeri reali che soddisfao cotemporaeamete tutte le disequazioi e si ottegoo dall itersezioe degli isiemi delle soluzioi dalle sigole disequazioi. Risolviamo il sistema: - 0 * - # Nell aimazioe, trovi la risoluzioe delle tre disequazioi. Risolvi il sistema -- 0 (. - 6 $ # 0@ Risolvedo separatamete le disequazioi, otteiamo: - 0 " 0 0 ; - # 0 " # 7; - 0 " -. Rappresetiamo su ua retta orietata gli itervalli delle soluzioi. U pallio pieo idica che il relativo valore è ua soluzioe, u pallio vuoto che il valore o è ua soluzioe. Coloriamo la parte che rappreseta le soluzioi comui alle tre disequazioi. > 0 0 < 0 Le soluzioi del sistema soo

12 Paragrafo 7. Equazioi e disequazioi co valori assoluti T 7 Equazioi e disequazioi co valori assoluti Il valore assoluto di u umero è uguale al umero stesso se il umero è positivo o ullo, è l opposto del umero se questo è egativo. I geerale: se $ 0 = ' - se = 5; 0 = 0; - 5 = 5. Il valore assoluto di u umero è per defiizioe sempre positivo o ullo. Elechiamo alcue utili proprietà del valore assoluto:. = - 6! R;. $ y = $ y 6, y! R;. = y y 6, y! R, y! 0;. = y ) =! y 6, y! R; 5. # y ) # y 6, y! R; 6. = 6! R. Equazioi co valori assoluti Risolviamo ora equazioi elle quali compaioo valori assoluti dell icogita, o di espressioi che la cotegoo. Equazioi co u valore assoluto Esercizi a p. 5 Risolviamo l equazioe - 5 = -. Studiamo il sego dell espressioe all itero del valore assoluto: - 5 $ 0 " $ 5. Compiliamo uo schema grafico: il valore assoluto coicide co - 5 quado - 5 è positivo; è l opposto di - 5, ossia -( - 5), quado - 5 è egativo. 5 5 Ð Quidi - 5 se $ 5, - 5 = ) se 5. L equazioe data diveta - 5 = - per $ 5, = - per 5.

13 T Capitolo. Equazioi e disequazioi Risolvi l equazioe + + =. : =- 0 =- D Questo sigifica che l isieme delle soluzioi dell equazioe è l uioe degli isiemi delle soluzioi dei segueti sistemi. Primo sistema $ 5 ) - 5 = - $ 5 ) - = " =- Secodo sistema 5 ) = - 5 * - = - 6 " = = - o è accettabile perché o è maggiore o uguale a 5, metre = è accettabile perché miore di 5: l equazioe iiziale ha per soluzioe =. Equazioi del tipo A( ) = a, co a! R Risolvi + 5 =. 6 =- 0 =-@. Risolviamo l equazioe - =. Utilizziamo la proprietà del valore assoluto: - = " - = " - =!, da cui: - = 0 - = -, cioè: = 0 = 5.. L equazioe 7+ =- o ha soluzioi perché il valore assoluto di u espressioe o può essere u umero egativo. I geerale, A^h = a: se a $ 0, è equivalete ad A() = a 0 A() = - a; se a 0, l equazioe o ha soluzioi. Equazioi co più valori assoluti Esamiiamo u di equazioe co più valori assoluti che risolviamo utilizzado alcue delle proprietà del valore assoluto che abbiamo elecato. Risolviamo + = -. C.E.: + = 0 "! -. Utilizziamo la proprietà, letta da destra verso siistra: + = =. + + Scriviamo questa espressioe al primo membro dell equazioe e applichiamo la proprietà : + = - "! + = ^ - h.

14 Paragrafo 7. Equazioi e disequazioi co valori assoluti T Quidi dobbiamo risolvere due equazioi e cosiderare l uioe della soluzioi: " 0 " 0 + = = =- = ;! 7 " 0 " + = = = -. Tutti i valori otteuti soddisfao le C.E., quidi le soluzioi dell equazioe iiziale soo: 7 =-, =, = - - 7, = - +. Risolvi =. + 8 : =- 0 =-8 D Disequazioi co valori assoluti Esercizi a p. 55 Disequazioi co u valore assoluto Per le disequazioi co u valore assoluto si procede come per le equazioi. Risolviamo la disequazioe Studiamo il sego dell espressioe all itero del valore assoluto: - $ 0 " $. - se $ Quidi: - = ) - + se. La disequazioe ha per soluzioi l uioe delle soluzioi di due sistemi. Primo sistema $ * " 5 Secodo sistema ) " - 5 < > 5 > Soluzioi: $. Soluzioi: -. Le soluzioi della disequazioe soo quidi: - 0 $ " -. Risolvi + 6 $ #-0 Disequazioi del tipo A( ) k, co k 0 Risolviamo la disequazioe 0. Dobbiamo risolvere i segueti sistemi e poi uire le soluzioi trovate. 5

15 T Capitolo. Equazioi e disequazioi Primo sistema $ 0 ) 0 Secodo sistema 0 ) - 0 " < 0 < 0 > 0 Soluzioi: 0 # 0. Soluzioi: Uiamo le soluzioi dei due sistemi e otteiamo le soluzioi della disequazioe: # 0 " I geerale, co lo stesso procedimeto, se A() è ua qualsiasi espressioe coteete, si ricava che A ^ h k, co k 0, è equivalete a: -k A ^ h k ossia al sistema A ^ h -k *. A ^ h k Risolviamo la disequazioe Essa è equivalete a , ossia al sistema ( Risolviamolo: - 0 ( " ( > 0 Risolvi - - $ < 0 Le soluzioi della disequazioe soo: Disequazioi del tipo A( ) k, co k 0 Risolviamo la disequazioe 8. Cerchiamo le soluzioi dei segueti sistemi. 6

16 Paragrafo 8. Equazioi e disequazioi irrazioali T Primo sistema $ 0 ) 8 Secodo sistema 0 ) - 8 " < 0 > 8 < 8 Soluzioi: 8. Soluzioi: - 8. L uioe delle soluzioi dei due sistemi dà le soluzioi della disequazioe: I geerale, co lo stesso procedimeto, si ricava che: A^h k, co k 0, è equivalete ad A( ) - k 0 A( ) k. Risolviamo la disequazioe - 6. Per farlo, dobbiamo risolvere le segueti disequazioi. Prima disequazioe Nell equazioe associata = 0 è D = - 0; la disequazioe o è mai verificata. Secoda disequazioe Nell equazioe associata = 0 è D = 5; le radici so o - e. La disequazioe è verificata per: - 0. Le soluzioi della disequazioe iiziale soo date dall uioe delle soluzioi delle due disequazioi e, i questo caso, coicidoo co quelle della secoda disequazioe: Equazioi e disequazioi irrazioali U equazioe o disequazioe è irrazioale se i essa ci soo radicali coteeti l icogita. Equazioi irrazioali Cosideriamo l equazioe del tipo A ( ) = B(), co! N e $. Se è dispari, l equazioe si risolve elevado alla poteza -esima etrambi i membri, cioè: A ( ) Esercizi a p. 60 = B() è equivalete ad A() = [B () (se è dispari). Risolvi -. Liste to it A equatio or a iequality is irratioal if it ivolves oe or more radical epressios cotaiig a ukow variable. 7

17 T Capitolo. Equazioi e disequazioi Video Caccia all errore Fabio, Elea e Christia hao risolto tre equazioi irrazioali, ma tutti e tre o hao trovato il risultato corretto. Se è pari, è ecessario porre alcue codizioi. La codizioe di esisteza del radicale: A() $ 0. La codizioe di cocordaza di sego per B(): u radicale co idice pari è sempre uguale a u umero positivo o ullo, quidi ell uguagliaza deve essere positivo o ullo ache il secodo membro. Abbiamo allora: B() $ 0. Per risolvere l equazioe, eleviamo poi alla poteza -esima etrambi i membri. Dov è l errore? I sitesi, se è pari, l equazioe A ( ) = B() è equivalete al sistema: Z A^h $ 0 [ B^h $ 0. A^h= 6 B^h@ \ Nell aimazioe c è ache la verifica relativa alle soluzioi delle due disequazioi.. Risolviamo + - = -. Poiché = è dispari, l equazioe è equivalete a + - = - " + = 0 " = -. La soluzioe è = -.. Risolviamo + + = -. Poiché = è pari, l equazioe è equivalete al sistema: Z Z + + $ 0 6! R [ - $ 0 " [ $ " + + = ^ - h \ \ + + = - + $ $ * " * -5- = 0 =- 0 = Risolvi l equazioe - = -. : = 0 = D Il valore =- o soddisfa la disequazioe del sistema, per cui o è accettabile, metre = soddisfa la disequazioe, quidi è la soluzioe del sistema e dell equazioe irrazioale. Disequazioi irrazioali Esamiiamo disequazioi del tipo A ( )! N e $. Idice dispari B () oppure A ( ) Esercizi a p. 6 B (), co Se è dispari, sia la prima sia la secoda disequazioe si risolvoo elevado alla poteza -esima etrambi i membri, otteedo così ua disequazioe equivalete a quella data, cioè: 8

18 Paragrafo 8. Equazioi e disequazioi irrazioali T se è dispari, A ( ) B() è equivalete a A() [B() ; A ( ) B() è equivalete a A() [B(). Risolviamo # -. Eleviamo al cubo i due membri e svolgiamo i calcoli: # - "- + 7 # ^- h " - - $ 0. Scompoiamo i fattori: - - $ 0 " ^ - - h $ 0 " ^- h^ + h $ 0. Studiamo il sego dei tre fattori e del prodotto. 0-0 " + 0 " ( )( + ) La disequazioe è verificata per: - # # 00 $. Risolvi + 5 #. 6 - # # 00 $ 5@ Idice pari Se è pari, cosideriamo il caso = e teiamo coto della seguete proprietà. Se a e b soo due umeri reali positivi o ulli, la relazioe di disuguagliaza che c è fra i due umeri è la stessa che c è fra i loro quadrati: 6 a, b $ 0: a b ) a b. Per : 5 ) 5. La relazioe può o essere valida se i due umeri o soo etrambi positivi o ulli. Per : - 5 ma o è vero che 5 9. Disequazioi del tipo A( ) B( ) Data la disequazioe A ( ) B(), per risolverla, dobbiamo porre la codizioe di esisteza del radicale: A() $ 0. Ioltre, poiché il radicale quadratico è u umero positivo o ullo, perché sia vera la disuguagliaza deve essere: B() 0. 9

19 T Capitolo. Equazioi e disequazioi Poste queste due codizioi, i due membri della disequazioe soo etrambi positivi o ulli, quidi, per la proprietà esamiata i precedeza, possiamo elevarli al quadrato, otteedo la relazioe: A() [B(). I sitesi, la disequazioe A ( ) B () è equivalete al sistema: Z A^h $ 0 [ B^h 0. A^h 6 B^h@ \ Risolviamo la disequazioe Essa è equivalete al sistema: Z + -5 $ 0 [ - 0 " + -5 ^ - h \ Z #-5 0 $ Z #-5 0 $ [ \ 6 " [ \ > < ( ) Risolvi -9 # -. Le soluzioi del sistema, e quidi della disequazioe, soo #. Se la disequazioe ha il sego #, ossia è del tipo A ( )# B ( ), dobbiamo risolvere il sistema: Z A ( ) $ 0 [ B ( ) $ 0. A ( )# [ B ( ) \ Disequazioi del tipo A ( ) B ( ) Ache per ua disequazioe del tipo A ( ) B() poiamo la codizioe di esisteza del radicale: A() $ 0. Dobbiamo poi risolvere due sistemi, distiguedo il caso i cui B() è miore di 0 e quello i cui è maggiore o uguale a 0. 0

20 Paragrafo 8. Equazioi e disequazioi irrazioali T Se B() 0, la disequazioe iiziale è sez altro soddisfatta, perché il secodo membro che è egativo deve essere miore del primo, che è positivo o ullo. Quidi ua parte delle soluzioi della disequazioe irrazioale è data da u primo sistema: A ^ h $ 0 *. B ^ h 0 Se B() $ 0, etrambi i membri della disuguagliaza soo positivi o ulli, quidi, se li eleviamo al quadrato, otteiamo ua disuguagliaza co lo stesso verso: A() [B(). Osserviamo che se è verificata questa relazioe, A(), essedo maggiore di u quadrato, è certamete positivo: la codizioe di esisteza del radicale, A() $ 0, è superflua. Otteiamo pertato le restati soluzioi della disequazioe iiziale da u secodo sistema: * B ^ h $ 0 A ^ h 6 B ^ h@. I sitesi, l isieme delle soluzioi della disequazioe A ( ) B() è l uioe delle soluzioi dei due sistemi: * A ^ h $ 0 B ^ $ 0 0 B ^ h 0 * h A ^ h6 B ^ h@. Risolviamo la disequazioe - -. Otteiamo: - $ 0 - $ 0 ) 0 * ^-h $ $ ) 0 ) " < 0 0 > ( ) Risolvi + - $ -. primo sistema secodo sistema Il primo sistema ha come soluzioi #, il secodo # 5. L uioe dei due itervalli dà l isieme delle soluzioi della disequazioe: # 5. Risolvi + # +.