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1 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe Serie 3. La serie armoica La serie geometrica Criteri per serie a termii o egativi 7 3. Criteri del cofroto Criterio del rapporto Criterio della radice Criteri per serie a termii di sego o costate 5 Soluzioi degli esercizi 3 Successioi Ua successioe reale è ua fuzioe defiita i N isieme dei umeri aturali) a valori i R. Idicherò quasi sempre ua successioe scrivedo a, dove N e a appartiee ad R. Qualche volta userò la otazioe classica f). Può succedere che ua successioe o sia defiita su tutti i umeri aturali, besì i u sottoisieme di N, come ad esempio sui umeri aturali maggiori o uguali di u certo 0 N. Ad esempio la successioe l ) è defiita N, 3. Chiamerò allora i geerale successioe ua fuzioe defiita i N, ad eccezioe al più di u umero fiito di puti. Osservazioe Data ua fuzioe di variabile reale f : a,+ ) R, co a 0, si può otteere da questa ua successioe cosiderado la restrizioe di f all isieme N, o ad u suo sottoisieme. Così ad esempio la successioe precedete l ) si può vedere come la restrizioe ad N \ {,} della fuzioe f :,+ ) R defiita da fx) = lx ). Ua proprietà importate delle successioi può essere la mootoia. Ua successioe a è crescete se o decrescete se si ha a + a ). La successioe è ivece decrescete se o crescete se si ha a + a ). si ha a + > a equivale a dire che,m : < m = a < a m ) si ha a + < a equivale a dire che,m : < m = a > a m ) Osservazioe Ua successioe può o essere crescete, ma esserlo da u certo puto i poi. I questo caso diremo che la successioe è defiitivamete crescete modo di dire già usato tra l altro co gli itegrali geeralizzati). Lo stesso dicasi per gli altri casi di mootoia. Se la successioe è defiita i u sottoisieme di N, al scrittura va itesa el seso per ogi i cui è defiita la successioe. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

2 SUCCESSIONI. Limite di ua successioe Particolarmete importate è il cocetto di ite di ua successioe. L uico caso sigificativo di ite di ua successioe è il ite per +. La defiizioe è ovviamete simile a quella del ite di ua fuzioe reale per x che tede a +. Data ua successioe a, si scrive + a = l l R) se ε > 0 0 : per ogi 0 si ha a l < ε. e Ivece si scrive a = + se ε > 0 0 : per ogi 0 si ha a > ε + a = se ε > 0 0 : per ogi 0 si ha a < ε. + Ovviamete, come per le altre fuzioi, il + a può o esistere. Ache per le successioivale il risultato, giàvisto per le fuzioi di variabilereale, per cui sela fuzioe è mootoa allora il ite esiste. Vale ifatti il seguete Teorema di esisteza del ite per successioi mootoe) Se la successioe a è mootoa crescete o o decrescete), allora il a esiste ed è uguale al sup{a }. Tale ite risulta fiito se la successioe è itata + N superiormete, risulta + i caso cotrario. Aalogamete, se la successioe a è mootoa decrescete o o crescete), allora il a esiste ed è + uguale all if {a }. Il ite è fiito se la successioe è itata iferiormete, è i caso cotrario. N Si può dimostrare il seguete risultato, facilmete ituibile. Proposizioe Data ua fuzioe f : 0,+ ) R, se questa ha ite per x +, allora ache la successioe a = f) ha ite per + e i due iti coicidoo. Esempio Cosideriamo la successioe a = e il ite + Dato che possiamo cocludere che ache + + =. Esempio Possiamo dire che per +. + l + +. x x + x+ =, lx vale zero, dato che x + x = 0. Quidi possiamo scrivere l = o), Esempio Ricordado il ite fodametale, si può cocludere che la successioe defiita da a = + ) ha ite per + e + = e. + ) Osservazioe Si oti che o vale il viceversa dell ultima proposizioe: o è vero cioè che, se la successioe a = f) ha ite, allora ache la fuzioe di variabile reale defiita da x fx) ha ite. Si cosideri ad esempio la successioe. 3 Essa ovviamete vale 0 per ogi, quidi ha ite 0 per +. La fuzioe x x x o ha ivece ite per x +. 4 Quato detto ella proposizioe ha importaza el calcolo del ite di ua successioe. Può essere comodo cioè, el calcolo del ite di ua successioe, cosiderare il ite della fuzioe corrispodete. Questo perché ci soo Ricordo che ua successioe, come ua qualuque fuzioe, è itata superiormete se lo è la sua immagie. Nel ostro caso quidi la successioe a è itata superiormete se è è itato superiormete l isieme {a : N}. 3 Ricordo che il simbolo... sta ad idicare la parte itera di... 4 Lo abbiamo visto tra gli esempi di o esisteza del ite. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

3 SERIE 3 metodi molto poteti di calcolo del ite di ua fuzioe di variabile reale che o soo applicabili al calcolo del ite di ua successioe. 5 Defiizioe Se a è ua successioe, chiamiamo sottosuccessioe di questa ua qualuque sua restrizioe, co l uica richiesta che quest ultima sia defiita su ifiiti aturali. Data cioè ua successioe a defiita i N, se A è u sottoisieme ifiito di N, si chiama sottosuccessioe la successioe m a m defiita i A. Esempio Se cosideriamo la successioe ), possiamo costruire la sua sottosuccessioe defiita sui umeri aturali pari. Si tratta ovviamete di ua successioe che assume sempre il valore. La sottosuccessioe defiita ivece sui umeri aturali dispari assume sempre il valore. Abbiamo visto poco fa che, se ua fuzioe ha ite all ifiito, allora ha lo stesso ite la successioe ad essa associata. È facile allora ituire che ache ua sottosuccessioe ha lo stesso ite della successioe da cui proviee. Meglio: se ua successioe ha ite, allora ogi sua sottosuccessioe ha lo stesso ite. Può succedere, come el caso della sottosuccessioe di ) defiita sugli pari, che la sottosuccessioe abbia ite, metre la successioe o lo ha. 6 Attezioe. Per provare che ua successioe ha ite o basta quidi calcolare il ite di ua sottosuccessioe. Per provare ivece che ua successioe o ha ite si può cercare di dimostrare che ci soo due sue diverse sottosuccessioi che hao iti diversi. Così, el caso di ), essa o ha ite, dato che la sottosuccessioe sugli pari vale sempre, e quidi ha ite, metre la sottosuccessioe sugli dispari vale sempre, e quidi ha ite. Esercizio. a) c) Serie Si calcolio i iti idicati. +3l 4 +5l b) d) + + l + ) Il cocetto di serie cerca di rispodere alla domada: come ci comportiamo se dobbiamo sommare ifiiti termii? 7 Possiamo ragioare itato così: suppoiamo che gli ifiiti termii da sommare siao i valori di ua certa successioe. Defiizioe Data ua successioe a, si dice somma parziale -esima di a la uova successioe defiita da s = a +a +...+a, 8 Osservazioe I primi termii della successioe s soo quidi s = a, s = a +a, s 3 = a +a +a 3... Osservazioe Data ua successioe a, resta allora ad essa associata ua uova successioe, la successioe delle somme parziali di questa, cioè s. Defiizioe Si dice serie associata alla successioe a la successioe s delle sue somme parziali. La successioe a viee detta il termie geerale della serie. Defiizioe Si dice che la serie di termie geerale a ) coverge se la successioe s delle somme parziali di a ha ite fiito, si dice che la serie diverge se s ha ite ifiito e si dice ifie che la serie è idetermiata se o esiste il ite di s. Co la dicitura studiare il carattere di ua serie si itede stabilire se la serie coverge, diverge o è idetermiata. Osservazioe Se la serie coverge, il + s si dice la somma della serie aziché il ite della serie, come sarebbe più appropriato). Se la serie coverge possiamo dire, i modo poco rigoroso ma efficace, che la somma della serie è la somma degli ifiiti termii da cui siamo partiti. 5 A titolo di esempio, il teorema di De l Hôpital per il calcolo dei iti, che abbiamo visto i precedeza. Come lo studete ricorderà, per l applicazioe del teorema è ecessario che le fuzioi siao derivabili: le successioi o soo ivece fuzioi derivabili perché?). 6 Riuciado al formalismo di ua dimostrazioe rigorosa, si capisce però facilmete che la successioe ) o può avere ite, dato che passa pereemete dal valore al valore e viceversa. 7 Se state pesado che la somma di ifiiti termii debba ecessariamete essere ifiita tra breve vedremo che questo o è vero. 8 Chiaramete, se la successioe a è defiita per 0, ache s è defiita per 0. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

4 SERIE 4 La serie associata alla successioe a viee usualmete idicata co la scrittura a oppure co a +a +...+a Nel seguito, quado o c è il rischio di fare cofusioe, aziché quado possibile, aziché far partire da lo si fa partire da 0 e si scrive quidi da u 0 >. Esempi Cosideriamo la serie cioè la serie di termie geerale a =. La sua somma parziale -esima è, s = = +). Questa serie quidi diverge, dato che + s = + +) = +. Si chiama serie di Megoli la serie +) = , cioè la serie di termie geerale a = +). La sua somma parziale -esima è Pertato s = = ) ) + ) = + a scriverò più semplicemete a. Spesso, ) =0 ) + si oti che quasi tutti i termii si semplificao). s = ) =, e quidi la serie di Megoli coverge e la sua somma è. Cosideriamo la serie + =0 + ). Risulta s = + )+ 3 )+ 4 3) ) = + ache qui quasi tutti i termii si semplificao). La serie diverge i quato + s = + + = +. a. A volte può ache partire Osservazioe Nei tre esempi abbiamo potuto stabilire il carattere della serie e la sua somma quado essa è covergete) utilizzado soltato la defiizioe, che al mometo è l uico strumeto a ostra disposizioe. Faccio otare che questo è per certi versi aalogo al calcolo di u itegrale geeralizzato a + attraverso la defiizioe, cioè co il calcolo di ua primitiva: trovare ua primitiva è paragoabile a trovare l espressioe geerale della somma parziale s. Forse si ituisce che questo o è sempre così facile come egli esempi proposti. Tra breve impareremo a studiare il carattere di ua serie ache quado o si può otteere la geerica somma parziale e questo è paragoabile allo studio dell itegrale ache seza il calcolo della primitiva). A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

5 SERIE 5 Esercizio. Si scriva l espressioe del termie geerale delle segueti serie: a) b) c) d) Uo dei pochi risultati del tutto geerali sulle serie è il seguete importate Teorema codizioe ecessaria di covergeza) Sia a ua successioe. Se la serie a coverge, allora + a = 0. Osservazioe La dimostrazioe di questo risultato è immediata. Se s è la somma della serie, per ipotesi u umero reale, si ha a = + s s ) 9 + = s + = s s = 0. + s Osservazioi Questo risultato forisce ua codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie. Può essere utile quidi o tato per stabilire che ua serie coverge, quato per stabilire che ua serie o coverge. 0 Ad esempio, si cosideri la serie. Dato che il ite del termie geerale è, la serie o coverge. + Attezioe che la codizioe del teorema o è sufficiete, cioè o basta provare che il termie geerale tede a zero per provare che ua serie coverge. Esempio U esempio che prova che il tedere a zero del termie geerale o è sufficiete per la covergeza della ) serie è il seguete: si cosideri la serie + già icotrata poco fa). Per il termie geerale si ha =0 + = + ) ++ ) ++ = e questo tede a zero per + ma, come visto prima, la serie diverge. ++ Esempio U altro esempio di serie o covergete co termie geerale che tede a zero è la serie Possiamo scrivere Quidi la successioe delle somme parziali è s = l+l + ) ) 3 = l+l +l l + ) = l + = l+) l. +l 4 3 ) + 3 ) +...+l +...+l + ) + = l+l3 l+l4 l3+...+l+) l = l+). ) l + ). Pertato s = + zero. 9 Segue dal fatto che + l+) = +, e quidi la serie diverge. Il termie geerale della serie però tede a s = a +...+a } {{ } +a = s +a e quidi a = s s. s 0 La covergeza è ell ipotesi del teorema e quidi esso o mi può cosetire di provare che ua serie coverge. Ivece mi può servire per provare che o coverge, dato che, se o soo vere le ecessarie cosegueze della covergeza della serie, la serie o può covergere. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

6 SERIE 6. La serie armoica Ua serie molto importate è la serie = detta serie armoica. Si può dimostrare o sarebbe facile farlo co la sola defiizioe) che la serie armoica diverge. Si chiama ioltre serie armoica geeralizzata la serie, co α > 0. α La covergeza della serie armoica geeralizzata dipede, come è facile ituire, dal valore di α. Si può dimostrare che la serie armoica geeralizzata coverge se α > e diverge se 0 < α <. Si oti che gli altri casi cioè α 0) o soo sigificativi dato il termie geerale o tede a zero. E si oti ioltre l aalogia dei risultati sulla covergeza della serie armoica co quelli riguardati la covergeza dell itegrale geeralizzato +. La serie geometrica Altra serie estremamete importate è la serie =0 r, co r R. x α dx. Essa viee detta serie geometrica di ragioe r. Possiamo studiare i dettaglio la covergeza della serie geometrica. Azitutto due casi semplici: se r = 0 ovviamete la serie coverge e ha per somma 0; se r = la serie diverge i quato la somma parziale -esima è s = + e pertato + s = +. Possiamo poi otteere la somma parziale -esima i geerale co r 0 e r ), i quato si ha e, moltiplicado ambo i membri per r r 0), si ottiee Pertato s = +r +r +r r r s = r+r+r +...+r ) = r+r +r r +r + aggiugo e tolgo ) = +r+r +...+r } {{ +r } + s = s +r +. r)s = r + e quidi r ) s = r+. r Dispoedo ora dell espressioe della somma parziale, possiamo cocludere i tutti i casi o acora risolti. Se r <, abbiamo che r + 0 per +, e quidi + s = r. Se r >, + s = +. Se r, si può vedere co qualche coto che il ite di s o esiste e quidi che la serie è idetermiata. Riassumedo, per la serie geometrica =0 r si hao i segueti risultati: Si potrebbe obiettare rigorosamete) che, se r = 0, o può partire da 0 ma deve partire da. Il umeratore tede a e il deomiatore è u umero egativo dato che r >. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

7 3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 7 la serie coverge se r < e ha per somma r ; la serie diverge a + ) se r ; la serie è idetermiata se r. Esempio Determiiamo la somma della serie =0. Possiamo riscriverla come =0 + o ache come ). Si tratta quidi di ua serie geometrica di ragioe r =. Essa è covergete, dato che la ragioe è i valore assoluto miore di. Co quato trovato poco fa, possiamo cocludere che la somma della serie è =0 =. Osservazioe La serie geometrica iizia co = 0. Se ivece abbiamo ua serie geometrica covergete che, aziché iiziare co = 0 iizia co =, basta fare così aggiugo e tolgo il termie macate r 0 ): Quidi, ad esempio, la serie r = =0 ha per somma r r 0 = r = r r. Più i geerale la somma di ua serie geometrica covergete che iizia co = p è =p r = =0 p r =0 =. r = r rp r = rp r. Osservazioe Riflettedo sulla serie armoica geeralizzata e sulla serie geometrica, è chiaro a questo puto u fatto del tutto geerale: la covergeza di ua serie dipede da quato rapidamete il suo termie geerale tede a zero. I altre parole ua serie coverge se il suo termie geerale tede a zero abbastaza rapidamete. Nel caso ad esempio della serie armoica geeralizzata + =, abbastaza rapidamete vuol dire co α >. Vedremo più α avati che la serie armoica è i certo qual modo uo spartiacque tra le serie covergeti e quelle divergeti. Esercizio. Esercizio.3 Esercizio.4 Si dica se la serie Si dica se la serie Si dica se la serie =0 = 5 coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. / coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. ) 3 Criteri per serie a termii o egativi e coverge e, i caso affermativo, se e calcoli la somma. Le serie co termie geerale o egativo, cioè le serie del tipo + =0 a, co a 0 per ogi, o possoo essere idetermiate quidi o covergoo o divergoo). Ifatti i questo caso la successioe delle somme parziali è o decrescete e quidi ha ite, 3 che potrà essere fiito e o egativo) o ifiito. Se il termie geerale o tede a zero, sicuramete la serie diverge. 4 Vediamo qui alcui criteri di covergeza per serie a termii o egativi. 3 Per il teorema di esisteza del ite per successioi mootoe. 4 Ifatti, se il termie geerale o tede a zero, la serie o può covergere e, o potedo essere idetermiata, ecessariamete diverge. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

8 3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 8 3. Criteri del cofroto Proposizioe Criterio del cofroto) Siao a e b due successioi tali che 0 a b per ogi. Se b coverge, allora a coverge; se a diverge, allora b diverge. 5 Osservazioe Quado valgoo le ipotesi del criterio del cofroto si dice che la serie a è miorate della serie b o che la secoda è maggiorate della prima). Il criterio è applicabile ache se a è defiitivamete miorate di b, e cioè se a b vale da u certo 0 i poi. Esempi Cosideriamo la serie. Si tratta di u caso particolare di serie armoica geeralizzata. Sappiamo già, co quato detto i precedeza, che essa coverge. Ora lo dimostriamo di uovo, utilizzado il criterio del cofroto. Si ha 6,. ) La serie + = ) = + coverge ache la serie data. +) coverge è la serie di Megoli) e quidi, per il criterio del cofroto, Chiaramete a questo puto possiamo dire, sempre per il criterio del cofroto, che coverge ache ua qualuque serie del tipo α, co α > : ifatti, se α >, allora < α. Dal fatto che la serie armoica + diverge possiamo dedurre che divergoo tutte le serie del tipo α co 0 < α < : ifatti da α, vera per ogi, si ha che + è maggiorate della serie armoica e quidi, α per il criterio del cofroto, diverge. Osservazioe Come cosegueza del criterio del cofroto abbiamo il risultato che segue. Siao a e b due a successioi a termii positivi e sia = 0 quidi possiamo ache dire che a = ob ) per + ). 7 + b i) Se b coverge, allora ache a coverge; ii) Se a diverge, allora ache b diverge. Possiamo stabilire ora due utili criteri di cofroto co successioi ifiitesime campioe: se a è ua successioe positiva, allora se per + a = o α ) co α >, allora la serie a coverge; se per + = oa ), allora la serie a diverge. Esempio La serie Esempio La serie = = l coverge perché l = o ) per +. l diverge perché = o l) per +. Altra sostaziale cosegueza del criterio del cofroto è la seguete utilissima 5 Si oti acora la somigliaza di questo criterio co quelli di cofroto per gli itegrali geeralizzati. 6 Ifatti ) =, da cui, passado ai reciproci, si ricava la disuguagliaza scritta. 7 a Si oti che, se = 0, dalla defiizioe di ite segue che, fissato ε =, abbiamo che esiste u 0 tale che + b e quidi a è defiitivamete miore di b. 0 = a b <, cioè a < b, A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

9 3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 9 Proposizioe Criterio del cofroto asitotico) Siao a e b due successioi a termii positivi. Se a e b soo a equivaleti per +, cioè se =, allora le due serie + b a e b hao lo stesso carattere. Osservazioe I realtà per garatire la tesi è sufficiete che il ite di a /b sia fiito e diverso da zero, 8 dato che la covergeza o dipede da ua costate moltiplicativa. + + Esempio Cosideriamo la serie. Possiamo scrivere + + =, per +. Quidi la serie data è come la serie armoica e cioè diverge. Esempio Cosideriamo la serie è equivalete a 3 = covergete, e quidi coverge Ricordado che 3 = o ) e = o3 ), per +, allora ). 3 Quidi la serie data ha lo stesso carattere della serie geometrica di ragioe 3 <, che è Osservazioe I vari criteri di cofroto per le serie a termii o egativi soo i tutto e per tutto aaloghi a quelli visti per gli itegrali geeralizzati a +. Esercizio 3. Si studi carattere delle segueti serie, usado i criteri del cofroto: a) c) + + +) b) d) = + e 3. Criterio del rapporto Proposizioe Criterio del rapporto) Sia a ua successioe a termii positivi tale che a + l = + a esista, fiito o ifiito. Valgoo le affermazioi segueti: i) se l <, allora la serie a coverge; ii) se l >, allora la serie a diverge. Osservazioe Il criterio del rapporto o è applicabile, e quidi ulla si può dire, quado risulta Si pesi ad esempio alle due successioi coverge. Esempi Si cosideri la serie =0. Si ha9! e a + l = =. + a a + /+)! = = + a + /! +. Per etrambe l =, ma la serie diverge metre la! +)! = + + = 0. Quidi l = 0 e pertato la serie coverge per il criterio del rapporto. Si poteva ache utilizzare u cofroto co la serie di Megoli. 8 Si ricordi che ite del quoziete a /b fiito e diverso da zero si può scrivere co a b, per + stesso ordie di gradezza). 9 Ricordo che! =... per ogi N. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

10 3 CRITERI PER SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 0 Si cosideri la serie =0. Si ha a + +)/ + ) + = + a + / = = + =. Quidi l = e pertato la serie coverge per il criterio del rapporto. Sia x 0,+ ) e cosideriamo la serie =0 x. Si ha! a + x + /+)! x + = + a + x = /! + +)!! ) x e quidi la serie coverge, per il criterio del rapporto, qualuque sia x. Si può dimostrare che Osservazioe Dalla covergeza della serie =0 =0 x! x! = ex. per ogi x, e che quidi x = o!) per +, qualuque sia x. = + x 0 = 0, + segue che la successioe x! tede a zero per + Come caso particolare abbiamo quidi che e = o!), per +. Dato che gli studeti soo soliti ricordare la classica gerarchia degli ifiiti logaritmi < poteze < espoeziali, e da questa forse ricavare l impressioe che gli espoeziali siao ifiiti imbattibili, la relazioe trovata poco fa e = o!)) fa quidi, per così dire, crollare il mito, dato che idividua u ifiito più forte di u espoeziale. Chi vuole può provare a dimostrare che d altro cato! = oe ), per +. Esercizio 3. Si studi il carattere delle segueti serie, usado il criterio del rapporto: a) c) +)! +)! b) d) Criterio della radice Proposizioe Criterio della radice) Sia a ua successioe a termii positivi tale che Valgoo le affermazioi segueti: i) se l <, allora la serie a coverge; ii) se l >, allora la serie a diverge. l = a + esista, fiito o ifiito. Osservazioe Come il criterio del rapporto, ache il criterio della radice o è applicabile quado risulta l = + a =. 0 No si faccia cofusioe qui: la variabile del ite è, che tede all ifiito, metre x è costate. Si osservi che i primi termii della serie detta serie espoeziale) soo i termii del poliomio di Taylor di e x. I uo dei capitoli precedeti scrivevamo e x = +x+ x! + x3 3! +ox3 ). La serie espoeziale estede all ifiito la validità della formula di Taylor e dà la possibilità di scrivere e x come ua somma di ifiiti termii di tipo poliomiale. Si chiama lo sviluppo i serie di Taylor di e x. È peraltro facile capire che e x o sia l ifiito più forte, dato che basta u xe x per avere uo più forte. No esiste u ifiito più forte di tutti gli altri. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

11 4 CRITERI PER SERIE A TERMINI DI SEGNO NON COSTANTE Esempi Si cosideri la serie. Si ha + = + = 0, e quidi, per il criterio della radice, la serie covergesi poteva ache utilizzare il criterio del rapporto o il criterio del cofroto). Si cosideri la serie e l. Si ha e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si cosideri la serie e l = + + e l = + = 0, e l. Si ha e l = + + el = = 0 cofroto stadard) + e e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si cosideri la serie + + ). Si ha +/) = + +/) = + e quidi, per il criterio della radice, la serie coverge. Si oti che ivece la serie 3 = /e, +/) + ) diverge i quato il suo termie geerale o tede a zero tede a /e). Alla stessa serie o è appplicabile il criterio della radice, dato che + +/) = + +/) =. Esercizio 3.3 Si studi il carattere delle segueti serie: a) c) e) g) + + b) + d) f) + ) h) )! =0 =0 4 Criteri per serie a termii di sego o costate Defiizioe Si dice che ua serie + =0 a è assolutamete covergete o che coverge assolutamete) se coverge la serie + =0 a. 3 Si ricordi il ite fodametale + +/) = e. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

12 4 CRITERI PER SERIE A TERMINI DI SEGNO NON COSTANTE Osservazioe Per evitare a questo puto cofusioe, la covergeza vista fiora viee detta semplice si dice ache che la serie coverge semplicemete). Proposizioe Se ua serie coverge assolutamete allora coverge semplicemete e si ha ioltre a a. Esempio La serie ) ha termii di sego o costate alterativamete uo positivo e l altro egativo). Essa coverge i quato coverge assolutamete. Ifatti ) =, e, come oto, + coverge. Osservazioe La proposizioe appea vista può forire u utile criterio di covergeza semplice per serie a termii o tutti positivi. L assoluta covergeza è ua codizioe sufficiete per la covergeza semplice. Ovviamete ulla si può dire se o c è assoluta covergeza. Vedremo tra breve u esempio di serie covergete ma o assolutamete covergete. Tra le serie a termii di sego o costate ua classe importate è costituita dalle serie a termii di sego alterato. Ua serie è a termii di sego alterato se può essere scritta come =0 ) b, co b > 0 per ogi. Proposizioe Criterio di Leibitz le serie a termii di sego alterato) Sia b ua successioe decrescete e ifiitesima cioè che tede a zero) per +. Allora la serie + =0 ) b coverge. Esempio U caso iteressate è la cosiddetta serie armoica a segi alterati, cioè ) = Ovviamete essa o coverge assolutamete. Però coverge semplicemete: ifatti la successioe / è decrescete e ifiitesima per + e quidi per il criterio di Leibitz la serie coverge. Esempio Ache la serie decrescete e ifiitesima. = ) coverge, i base al criterio di Leibitz. Ifatti la successioe /l è l Esempio Si faccia attezioe a o credere che la preseza el termie geerale di ua serie di u termie come ) faccia automaticamete della serie ua serie a termii di sego alterato. Si cosideri ad esempio la serie + ) positivi e si ha. I termii dispari soo ulli, metre quelli pari valgoo. Quidi si tratta di ua serie a termii + ) = La serie coicide co la serie armoica e pertato diverge. + =. Osservazioe Può succedere che i ua serie a termii di sego alterato + =0 ) b la successioe b o sia i realtà decrescete, ma lo sia da u certo puto i poi cioè sia defiitivamete decrescete). Come già osservato i altre occasioi, il carattere di ua serie o dipede da quello che succede i u umero fiito di primi termii. Ache l applicazioe del criterio di Leibitz risete di questo aspetto. Il criterio si potrebbe euciare dicedo che se la successioe b è ifiitesima e defiitivamete decrescete, allora la serie coverge. Esercizio 4. Si studi il carattere delle segueti serie: a) ) b) = ) l c) =0 ) 3 A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

13 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 3 5 Soluzioi degli esercizi Esercizio. a) Il ite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Dividedo umeratore e deomiatore per il ite è uguale al + +/ 3+/ = 3. b) Il ite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Possiamo scrivere l = l. Se cosideriamo la 3/ corrispodete fuzioe di variabile reale fx) = l x, per x + si ha u oto cofroto tra u logaritmo x 3/ l ed ua poteza. Come visto i molte occasioi, si ha x l x + = 0 e pertato ache x 3/ + = 0. 3/ c) Il ite si preseta ella forma idetermiata + )/+ ). Pesado alla fuzioe di variabile reale fx) = x+3lx e ricordado i soliti cofroti logaritmi/poteze, per x + a umeratore e a deomiatore soo 4x +5l x x trascurabili i logaritmi e quidi il ite è uguale al x + 4x = x + x che vale zero. Pertato ache +3l il ite l = 0. d) Il ite si preseta ella forma idetermiata +. Possiamo scrivere razioalizzado) + ) + = ) ++ ) = = + ++ = 0. I qualche caso si può stabilire il ite di ua successioe a cosiderado la serie di termie geerale a. Se la serie coverge allora la successioe tede a zero la ota codizioe ecessaria di covergeza di ua serie). Si oti che el ostro caso questo espediete o si può utilizzare, dato che la serie + + ) =0 diverge è uo dei primi esempi della lezioe sulle serie). Esercizio. a) I deomiatori soo i umeri aturali dispari e quidi si può scrivere = + = b) I deomiatori soo i quadrati dei umeri aturali. Quidi possiamo scrivere =. c) Notado che = 4/4, a umeratore ci soo i umeri aturali a partire da 3 e a deomiatore ci soo le poteze di a partire da ). Quidi possiamo scrivere = +. d) Possiamo scrivere = +). 4 Come già osservato altre volte, la scrittura o è uica. Si può ache scrivere ad esempio = + o acora o i ifiiti altri modi. Si oti che ciò che fa passare da ua espressioe all altra o è che u cambio di variabile, aalogo a quelli che abbiamo visti co gli itegrali. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

14 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 4 Esercizio. Si tratta di ua serie geometrica di ragioe r = /5. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo, ) codizioe ecessaria e sufficiete di covergeza di ua serie geometrica). I geerale la somma di ua serie geometrica covergete) di ragioe r è / r), quidi el ostro caso la somma della serie è / /5) = 5/4 la serie parte da = 0 e quidi o occorre togliere essuo dei primi termii). Esercizio.3 Possiamo scrivere / = ), e quidi si tratta di ua serie geometrica di ragioe r =. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo,). Qui la serie iizia da = e quidi la somma è / r) r 0 = / r) = r/ r). Nel ostro caso quidi la somma della serie è / / =. Esercizio.4 Si ha + ) = e = + = e) e quidi si tratta di ua serie geometrica di ragioe r = /e. La serie coverge i quato la ragioe sta ell itervallo,). Qui occorre fare attezioe al fatto che la serie parte da = e quidi la somma è / r) r 0 r = r / r) = /e +/e = /e +e). Esercizio 3. a) b) c) +. Il termie geerale o tede a zero, quidi la serie, essedo a termii positivi, diverge. Qui il + cofroto diciamo che può avveire osservado che +)/+) /, per Serie a termii positivi. Possiamo scrivere /+ ) /, per +. La serie data è quidi come la serie armoica geeralizzata + /α co α =, e quidi coverge. +). Serie a termii positivi. Sul termie geerale possiamo dire che +) = +o ), per +. Quidi la serie è come la serie armoica, che diverge. d) = e. La serie è a termii positivi. Qui possiamo usare u cofroto co ua serie geometrica, dato che ) e = o e, per + lo studete verifichi questa scrittura). La serie geometrica + = e = + = e ) coverge perché la ragioe è tra e. Quidi ache la serie data coverge. Esercizio 3. a) +)!. Serie a termii positivi. Poedo a = /+ )!, il criterio del rapporto dice di calcolare il + a + /a ): se tale ite è miore di allora la serie coverge, se ivece è maggiore di, allora la serie diverge. Quidi el ostro caso si ha a + /+3)! = + a + /+)! = +)! + +3)! = 5 = )+) Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. 5 Si ha ifatti +3)! = +3) +) +)!. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

15 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 5 b) c) d). Serie a termii positivi. Calcoliamo il ite +) / + +) +) + / = + + = + = /. Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto.. Serie a termii positivi. Calcoliamo il ite +)! +)/+)! +)+)! + = = + /+)! + /+)! + +) = 0. Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. 3. Serie a termii positivi. Calcoliamo il ite /+)3 + ) + /3 = ) + Quidi la serie coverge i base al criterio del rapporto. 3 = +) ) = /3. Esercizio 3.3 a) b) c). Serie a termii positivi. Osserviamo che = /. Quidi il termie geerale o tede a zero. La serie diverge.. Serie a termii positivi. Si può usare il criterio del rapporto provare) oppure u cofroto. )! Osservado che )! = ) ) > ) se >, allora possiamo dire che la serie data è miorate della serie + / )). Quest ultima è come + /, che coverge. Quidi la serie data coverge per il criterio del cofroto. +. Serie a termii positivi. Semplicemete co u cofroto: la serie è come + /, che diverge. d) e) Serie a termii positivi. Trascurado le quatità trascurabili, la serie è come + 3/, che coverge., cioè +. Si può fare col criterio del rapporto provare), ma forse qui coviee il criterio della radice. Ricordo che, detto a il termie geerale della serie, il criterio della radice dice di calcolare il + a : se tale ite è miore di allora la serie coverge, se ivece è maggiore di, allora la serie diverge. Quidi el ostro caso calcoliamo il + + / = + / = ) / = + + ). Ora il fattore / tede a zero, metre il fattore = / tede a, per +. Quidi il ite vale 0 e, per il criterio della radice, la serie data coverge. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

16 5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 6 f) g) Occorre prima semplificare l espressioe del termie geerale trascurado le quatità trascurabili, =0 che soo a umeratore e 4 a deomiatore lo studete verifichi che i effetti è così). Quidi possiamo scrivere = 3 5 ), per +. Allora la ostra serie è asitotica alla serie geometrica + =0 3 5 ), che coverge perché la ragioe è tra e. Quidi ache la serie data coverge per il criterio del cofroto asitotico. + ). Vediamo itato se il termie geerale tede a zero. + = + ) + + = ) ) + = + e, ) ricordado il ite fodametale. Pertato il termie geerale della serie data o tede a zero e quidi la serie diverge. h) =0. Il termie geerale tede ovviamete a zero. Cerchiamo di applicare il criterio della radice co il = + + = 0. Quidi i base al criterio della radice la serie data coverge. Esercizio 4. a) b) c) ). Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. Cosideriamo la successioe /. Essa tede a zero per + ed è decrescete, dato che la fuzioe radice è crescete è ua poteza di espoete positivo). Quidi la serie data coverge semplicemete) i base al criterio di Leibitz. Si oti che la serie o coverge assolutamete, dato che + / = + //. = ) l. Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. Cosideriamo la successioe /l. Essa tede a zero per + ed è decrescete, dato che la fuzioe logaritmica è crescete. Quidi la serie data coverge semplicemete) i base al criterio di Leibitz. Si oti che la serie o coverge assolutamete, dato che + = /l diverge: ifatti, come visto i u esercizio molto simile i precedeza, abbiamo che l < e quidi /l > /. La serie è maggiorate della serie armoica e quidi diverge. =0 ) 3. Serie a termii di sego alterato. Vediamo col criterio di Leibitz. La successioe 3 tede a zero per + ed è decrescete dato che la fuzioe espoeziale a deomiatore è crescete. Quidi la serie data coverge i base al criterio di Leibitz. I effetti c è covergeza assoluta, dato che la serie + =0 3 = + =0 3 coverge essedo ua serie geometrica di ragioe 3. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Viceza

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