Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere"

Transcript

1 Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati teorici garatiscoo che f v sia coservativo; iii se possibile, si determii u poteiale di f v. f e / f v φ dove φ, e +cost. Soluioe. i Scriviamo v u,w. Se f è la fuioe richiesta, si deve avere da cui fu fw fu f w fw fu w f w lf f f u w w + perciò lf +c, e possiamo scegliere c. Duque f e / soddisfa la proprietà richiesta. ii Siccome il campo fu,fw, è defiito su R, che è u isieme semplicemete coesso, l esistea di u poteiale φ segue dalla teoria, perché rotfu,fw,. iii Sia φ u campo scalare per cui f v φ. Siccome φ fw, risulta * φ, φ,ηdη +F e w,ηdη +F e +F per ua qualche fuioe F da determiare. D altra parte, dato che φ fu, dobbiamo avere e +e +F φ fu e + da cui, eguagliado gli estremi, segue che F. Perciò, usado la * co F cost, ricaviamo che φ, e +cost. 1

2 Eserciio 8 puti. Sia data la fuioe f,. i Si determiio i suoi puti staioari e si dica di che tipo soo; ii si determiiio il suo massimo assoluto e il suo miimo assoluto ell isieme { } B, R :, 1.,,,,,1 di sella, e 4/,1/ di mi. loc. ma B f 4, mi B f 4/7 Soluioe. i Il gradiete f f,f +1, 4 si aulla ei puti,,,,,1, 4/,1/. Per vederlo bisoga risolvere il sistema { +1 4 La prima equaioe è soddisfatta se o. Nel primo caso, la secoda equaioe implica che oppure, e così si ottegoo i primi due puti critici. Nel secodo caso, sostituedo ella secoda equaioe si ricava 4. Duque oppure 4/. Sostituedo questi due valori i si determiao gli ultimi due puti critici. Nei puti critici di f idividuati, la matrice hessiaa 4 vale, rispettivamete, / /,,,. 8 / 4/ Osserviamo che le prime quattro matrici hao determiate strettamete egativo, sicché le corrispodeti forme quadratiche soo idefiite e i puti critici associati soo di sella. Solo el caso dell ultima matrice il determiate, ivece, è strettamete positivo. Siccome il primo miore diagoale è / >, la corrispodete forma quadratica è defiita positiva 1, e il puto critico 4/, 1/ è pertato di miimo locale. ii Dallo studio del sego di f su B,1 l +,1 l + 1 f 4, 1 f,, f si vede che 4 mi f f B, Per quato riguarda il massimo di f su B, esso sarà ecessariamete raggiuto sul triagolo superiore, e o all itero di quest ultimo, siccome f o ha alcu puto critico i questa regioe. Dato che emmeo la restriioe di f ai lati l + 1,l+ d d f, 8 >,,1[, d ha puti critici. Pertato f,1 <,,[, maf f,1 4. B 1 I alterativa, si può otare che il prodotto degli autovalori di questa matrice simmetrica cioè il determiate, 8 4/9 4/9 è positivo, e la loro somma cioè la traccia della matrice, /+4/ è ach essa positiva. Quidi la matrice ha due autovalori strettamete positivi e la corrispodete forma quadratica è defiita positiva.

3 Eserciio 8 puti. Dato il campo vettoriale v,, +, i si calcoli l itegrale della divergea di v i { },, R :, 1 ; ii si euci siteticamete il teorema della divergea; iii si verifichi la sua validità calcolado direttamete il flusso uscete di v attraverso il bordo di. div vdd v dσ 64 5 Soluioe. i Notiamo che è la porioe di spaio coteuta ella striscia 1 e compresa fra il piao e il grafico G f della fuioe f,. Per determiare l iterseioe fra G f ed il piao impoiamo f, il che dà la parabola di equaioe disegata i Figura 1. 1 Figure 1. La proieioe di su. Si ha {,,:,, } Dato che div v abbiamo duque che div vdd div vd d 1+ d. Calcoliamo questo itegrale doppio. Si ha 1+ d 1 1 [ 15 e questo coclude la prima parte dell eserciio. ii Il teorema afferma, i sitesi, che d 1 [ [ [ div vdd v dσ dove idica il versore ormale uscete sul bordo di. L itegrale superficiale viee detto flusso uscete di v attraverso il bordo di. iii Facciamo vedere che ache il flusso uscete di v attraverso Σ vale 64/5, come previsto dalla teoria. A tal fie, coviee completare il disego della Figura??. Si vede che la seioe di co il piao verticale è la parabola verticale il cui vertice si trova alla quota. Il bordo Σ di costa di tre pei, precisamete Σ Σ Σ 1 Σ dove Σ, Σ 1 {,1,: 1 }, Σ G f

4 4 1 Corrispodetemete, sui primi due pei si hao i versori ormali usceti,,, 1,1,, metre su Σ, che è il grafico G f di f, il versore ormale è a meo della scelta del sego pari a f,,1,,1, ± ±. 1+ f, 1+4 Il sego giusto è + dato che così si ottiee il versore ormale uscete. Per completare l eserciio, basta osservare che v v + v 1 + v Σ Σ Σ 1 Σ e calcolare questi tre itegrali, dei quali solo l ultimo è u vero e proprio itegrale superficiale dato che i primi due soo fatti su pei piatti. Il secodo addedo o dà alcu cotributo, cioè Σ 1 v 1. Questo discede dal fatto che v 1 su Σ 1, dove 1. Riguardo al primo addedo, esso risulta pari a 1 1 v + d d Σ Ifie, siccome la superficie Σ è il grafico della fuioe f,, per l elemeto d area si ha e su Σ si ha che Quidi v dσ 1+ f d 1+4 d f,,,f,+,,1 1+4 v dσ +,,,,1d Σ,,1 +,, d Nell ultimo itegrale doppio possiamo scartare gli addedi e, che come fuioi di soo dispari, perché il domiio di itegraioe è simmetrico rispetto all asse cfr. Figura 1. Resta duque da calcolare d Ricapitolado i accordo col puto i. Σ v dσ ,

5 5 Eserciio 4 7 puti. Si effettuao estraioi sea reimmissioe da u salvadaaio coteete moete da 1 euro e moete da euro. Si idichi co X j il guadago ricavato graie alla j esima estraioe. Determiare la probabilità che la tera moeta estratta sia da u euro, ovvero PX 1. Dire se tale probabilità coicide co PX 1. Calcolare il valor medio di X +X. sì, le probabilità coicidoo Soluioe. La probabilità degli eveti {X 1}, {X 1} è la stessa che si ottiee calcolado PX 1 1, quest ultima uguagliaa risulta ovvia, cioè la stessa che si avrebbe el caso co reimmissioe. Ifatti quado si suppoe X j 1 o si impoe ulla riguardo alle estraioi precedeti, purché j. Si può calcolare la probabilità dell eveto {X 1} ache el seguete modo. Tale eveto si verifica quado alla secoda estraioe si ottiee ua delle moete da u euro. Fissiamo ua di queste moete: la prima estraioe può dare ua qualuque delle altre 1. Siccome il coteggio o deve dipedere dalla scelta della particolare moeta da u euro, si moltiplica per. I questo mometo abbiamo cotato i casi favorevoli, cioè gli eveti elemetari di cui costa {X 1}. Risulta duque PX 1 dove, al deomiatore, si soo cotati tutti i casi possibili. Aalogamete, i particolare si ha PX 1 PX 1 /. PX 1. Per calcolare il valor medio di X +X coviee ricordare che la media della somma è sempre la somma delle medie. Siccome per ogi j {1,,}, si ha duque che E[X j 1 +. E[X +X E[X +E[X E[X. Esistevao ache altri modi di completare quest ultima parte dell eserciio. e.g., qualcuo si è avvalso della desità cogiuta del vettore aleatorio X,X. Nodimeo, questo procedimeto, beché corretto, complicava leggermete il calcolo altrimeti molto semplice

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

V Tutorato 6 Novembre 2014

V Tutorato 6 Novembre 2014 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

Successioni. Grafico di una successione

Successioni. Grafico di una successione Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x. ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità

Dettagli

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi. Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

Anno 5 Successioni numeriche

Anno 5 Successioni numeriche Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

Corsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3.

Corsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3. Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Architettura Prova scritta di Aalisi Matematica del 6// ) Mostrare che + si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) = 3. Possibile soluzioe: Cosiderado dapprima il deomiatore otiamo

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua

Dettagli

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02% RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

1 Limiti di successioni

1 Limiti di successioni Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite

Dettagli

5. Le serie numeriche

5. Le serie numeriche 5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a

Dettagli

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità

Dettagli

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Argometo 3s Limiti di successioi Ua successioe {a : N} è ua fuzioe defiita sull isieme N deiumeriaturaliavalori reali: essa verrà el seguito idicata più brevemeteco{a } a èdettotermie geerale della successioe

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse

Dettagli

DIDATTICA DI DISEGNO E DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA ING. LAURA SGARBOSSA MODULO DUE

DIDATTICA DI DISEGNO E DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA ING. LAURA SGARBOSSA MODULO DUE DIDTTIC DI DISEGNO E DI ROGETTZIONE DELLE COSTRUZIONI ROF. CRELO JORN ING. LUR SGRBOSS ODULO DUE IL ROBLE DELL TRVE DI DE SINT VENNT (RTE B) TERILE DIDTTICO D UTILIZZRE IN UL (SCUOL SUERIORE) Esempio di

Dettagli

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al

Dettagli

Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA

Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA Corso di Laurea i Ig Edile Politecico di Bari AA 2008-2009 Prof ssa Letizia Bruetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA 2 Idice Spazi vettoriali Cei sulle strutture algebriche 4 2 Defiizioe di spazio vettoriale

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA

STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.uige/pls_statistica Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE

Dettagli

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale.

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale. Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 Dott.ssa Sadra Lucete Fuzioi poteza ed espoeziale. Teorema. Teorema di esisteza della radice -esima. Sia N. Per ogi a R + esiste uo ed u solo

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema

Dettagli

Serie numeriche: esercizi svolti

Serie numeriche: esercizi svolti Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

II-9 Successioni e serie

II-9 Successioni e serie SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La

Dettagli

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge: Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S S0 X k, co X k k co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti e ideticamete

Dettagli

STIME E LORO AFFIDABILITA

STIME E LORO AFFIDABILITA TIME E LORO AFFIDABILITA L idea chiave su cui si basa l aalisi statistica è che si ossoo eseguire osservaioi su u camioe di soggetti e che da questo si ossoo comiere iferee sulla oolaioe raresetata da

Dettagli

DISTRIBUZIONI DOPPIE

DISTRIBUZIONI DOPPIE DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad

Dettagli

ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente

ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente Corso di Laurea i Matematica LEZIONI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA..2 A.A. 2007-2008 ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE Dott.ssa Sadra Lucete Idice :. Prime geeralità sulle serie. 2. Serie a termii o egativi:

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea in Ingegneria Edile e Tessile Indici di posizione e variabilità Esercitazione 2

Università degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea in Ingegneria Edile e Tessile Indici di posizione e variabilità Esercitazione 2 Uiversità degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea i Igegeria Edile e Tessile Idici di posizioe e variabilità Esercitazioe 2 1. Nella seguete tabella si riporta la distribuzioe di frequeza del cosumo i

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014)

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014) Calcolo Combiatorio (vers. 1/10/2014 Daiela De Caditiis modulo CdP di teoria dei segali Igegeria dell Iformazioe - sede di Latia, CALCOLO COMBINATORIO Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio: Si realizzio

Dettagli

Successioni ricorsive di numeri

Successioni ricorsive di numeri Successioi ricorsive di umeri Getile Alessadro Laboratorio di matematica discreta A.A. 6/7 I queste pagie si voglioo predere i esame alcue tra le più famose successioi ricorsive, presetadoe alcue caratteristiche..

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015 Corso di Elemeti di Impiati e mahie elettriche Ao Aademico 014-015 Esercizio.1 U trasformatore moofase ha i segueti dati di targa: Poteza omiale A =10 kva Tesioe omiale V 1 :V =480:10 V Frequeza omiale

Dettagli

Le onde elettromagnetiche. Origine e natura, spettro delle onde e.m., la polarizzazione

Le onde elettromagnetiche. Origine e natura, spettro delle onde e.m., la polarizzazione Le ode elettromagetiche Origie e atura, spettro delle ode e.m., la polarizzazioe Origie e atura delle ode elettromagetiche: Ua carica elettrica che oscilla geera u campo elettrico E che oscilla e a questo

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

Le tensioni interne nelle travi

Le tensioni interne nelle travi Uiversità degli Studi di Roma "La Sapiea" Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroi" CORSO DI LURE SPECILISTIC QUIQUELE I RCHITETTUR UE a.a. 2003/2004 1 semestre Le tesioi itere elle travi arch. Cesare

Dettagli

3.1 Il principio di inclusione-esclusione

3.1 Il principio di inclusione-esclusione Capitolo 3 Calcolo combiatorio 3.1 Il pricipio di iclusioe-esclusioe Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota il umero di elemeti. Questo può dar luogo ad iteressati

Dettagli

Lezione n 19-20. Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Prof. Cerulli Dott. Carrabs

Lezione n 19-20. Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Prof. Cerulli Dott. Carrabs Lezioi di Riera Operativa Corso di Laurea i Iformatia Uiversità di Salero Lezioe 9- - Problema del trasporto Prof. Cerulli Dott. Carrabs Problema del Flusso a osto Miimo FORMULAZIONE mi ( i, ) A o violi

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE a cura di Michele Scaglia RICHIAMI TEORICI Richiamiamo brevemete i pricipali risultati riguardati le serie umeriche. Teorema (Codizioe Necessaria per la Covergeza) Sia a

Dettagli

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016 Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 205-206 27. Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d

Dettagli

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E

Dettagli

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5 Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio

Dettagli

La stima per capitalizzazione dei redditi

La stima per capitalizzazione dei redditi La stima per capitalizzazioe dei redditi 24.X.2005 La stima per capitalizzazioe La capitalizzazioe dei redditi è l operazioe matematico-fiaziaria che determia l ammotare del capitale - il valore di mercato

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica Strumeti di idagie per la valutazioe psicologica 1.2 - Richiami di statistica descrittiva Davide Massidda davide.massidda@gmail.com Descrivere i dati Dovedo scegliere u esame opzioale, uo studete ha itezioe

Dettagli

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30) Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo

Dettagli

Distribuzioni di probabilità Unità 79

Distribuzioni di probabilità Unità 79 Prerequisiti: - Primi elemeti di probabilità e statistica. - Nozioi di calcolo combiatorio. - Rappresetazioe di puti e rette i u piao cartesiao. Questa uità iteressa tutte le scuole ad eccezioe del Liceo

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

STATISTICA 1 parte 2/2 STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA 1 parte 2/2 STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA parte / U test statistico è ua regola di decisioe Effettuare u test statistico sigifica verificare IPOTESI sui parametri. STATISTICA INFERENZIALE STIMA PUNTUALE STIMA PER INTERVALLI TEST PARAMETRICI

Dettagli

Interesse e formule relative.

Interesse e formule relative. Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti

Dettagli

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci. Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe......... uccessioe di Fiboacci....... 3. Formula di Biet per la successioe

Dettagli

Movimento nominale e perturbato

Movimento nominale e perturbato Fodameti di Automatica. Stabilità itera o alla Lyauov Fodameti di Automatica AYSb FTPb AYSct Igegeria delle Telecomuicazioi e Igegeria Fisica. Stabilità itera o alla Lyauov Stefao Mala Fodameti di Automatica

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

Progressioni aritmetiche

Progressioni aritmetiche Progressioi aritmetiche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 7,, 5, 9, +4 +4 +4 +4 +4 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre +4. Si

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1

ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1 ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO Agela Doatiello 1 Esercizio. E stato tabulato il peso di ua certa popolazioe

Dettagli

Disposizioni semplici. Disposizioni semplici esercizi

Disposizioni semplici. Disposizioni semplici esercizi Disposizioi semplici Ua disposizioe (semplice) di oggetti i k posti (duque 1 < k < ) è ogi raggruppameto di k oggetti, seza ripetizioi, scelti fra gli oggetti dati, cioè ciascuo dei raggruppameti ordiati

Dettagli

Analisi statistica dell Output

Analisi statistica dell Output Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

Dispense di Analisi Matematica II

Dispense di Analisi Matematica II Dispese di Aalisi Matematica II Domeico Cadeloro (Prima Parte) Itroduzioe Queste dispese trattao la prima parte del corso di Aalisi Matematica II. Nel primo capitolo si discutoo gli itegrali geeralizzati

Dettagli

( ) n > n. Ora osserviamo che 2 1. ( ) è vera. ( ) una proposizione riguardante il numero intero n. Se avviene che:

( ) n > n. Ora osserviamo che 2 1. ( ) è vera. ( ) una proposizione riguardante il numero intero n. Se avviene che: ARITMETICA 1 U importate ramo della matematica è l aritmetica, o teoria dei umeri, qui itesi come umeri iteri. Ci si poe il problema di stabilire se certe relazioi possao essere soddisfatte da umeri iteri,

Dettagli

CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA 1. INTRODUZIONE

CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA 1. INTRODUZIONE CAPITOLO SETTIMO GLI INDICI DI FORMA SOMMARIO: 1. Itroduzioe. - 2. Asimmetria. - 3. Grafico a scatola (box plot). - 4. Curtosi. - Questioario. 1. INTRODUZIONE Dopo aver aalizzato gli idici di posizioe

Dettagli

(DA COMPLETARE!!) Esercizi per il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Scienze dell Informazione

(DA COMPLETARE!!) Esercizi per il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Scienze dell Informazione (DA COMPLETARE!!) Esercizi per il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Scieze dell Iformazioe NOTA Quado i problemi soo formulati el liguaggio ordiario, teere presete che la soluzioe

Dettagli