Lezione n Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Prof. Cerulli Dott. Carrabs

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1 Lezioi di Riera Operativa Corso di Laurea i Iformatia Uiversità di Salero Lezioe 9- - Problema del trasporto Prof. Cerulli Dott. Carrabs

2 Problema del Flusso a osto Miimo FORMULAZIONE mi ( i, ) A o violi : ki FS ( i) k BS ( i) b i i A i, b i quatità di flussosull'aro (i, ) osto di trasporto di u'uità di flussosull'aro (i, valore assoiato al odo i : seb seb seb i i i > : odo offerta < : odo domada : odo di passaggio )

3 Problema del Flusso a osto Miimo FORMULAZIONE I forma matriiale: mi A T b NOTA:. La matrie A(m,) è la matrie di iideza odo-aro, ogi oloa a è assoiata all aro (i,), ed i partiolare abbiamo he: a e i e. Il rago di questa matrie è: r(a)m- (e i vettore oloa o tutti eetto u i posizioe i-ma.)

4 U partiolare problema di flusso a osto miimo: Il Problema del Trasporto m foritori produoo o,,o m quatità di u erto prodotto lieti rihiedoo d,,d quatità di prodotto il prodotto può essere trasportato da ogi foritore ad ogi liete Il grafo sottostate è u grafo bipartito dove i odi origie (foritori) hao solo arhi useti ed i odi destiazioe (lieti) hao solo arhi etrati. Ad ogi aro (i,) è assoiato u osto positivo.

5 Il problema: determiare la quatità di mere da trasportare su ogi aro (i,) (foritore-liete) affihè ogi foritore i ivii la mere o i prodotta, ogi liete rieva ua quatità d di mere ed il osto omplessivo di trasporto sia miimizzato. o -d!! o -d!! o m -d

6 Formulazioe del problema. Le variabili: la quatità di prodotto trasportata su iasu aro i,, m;,, soo variabili otiue e o egative La fuzioe obiettivo: il osto del trasporto omplessivo m i

7 I violi: la quatità totale di prodotto forita da iasu foritore deve essere uguale alla dispoibilità del foritore stesso la quatità totale di prodotto rievuta da iasu liete deve essere uguale a quella rihiesta

8 Il problema del trasporto: FORMULAZIONE,, m;,, i R (),, m;,, i () ;,, d () m;,, i o mi m i i m i

9 Ipotesi di ammissibilità (odizioe di bilaiameto): Affihè il problema possa ammettere ua soluzioe deve essere verifiata la seguete odizioe sui dati m i oi d ossia, la quatità totale di prodotto dispoibile deve essere uguale alla rihiesta totale del prodotto stesso.

10 Sia o i d Δ Esisteza di ua soluzioe ammissibile i m, e Δ m o i i Vogliamo dimostrare he la preedete soluzioe è ammissibile per il problema del trasporto. Per farlo bisoga dimostrare he i violi () e () del sistema siao soddisfatti. d o i d o i Δ Δ d o i Δ Δ o i m m o i d d Δ Δ i i o i d Δ Δ d

11 Il problema del trasporto Sottoaso partiolare del flusso a osto miimo No esistoo odi di passaggio. E possibile adare da ogi odo offerta (isieme O) a ogi odo rihiesta (isieme D). Il grafo sottostate è u grafo bipartito

12 Il problema del trasporto Cosideriamo la matrie di iideza odo-aro A per il problema del trasporto A (,) (,5) (,) (,5) (,) (,5) I -I -I

13 Struttura della matrie dei violi + (m-)+ m m -I -I -I

14 Rago della matrie dei violi Elimiado l ultima riga della matrie e selezioado le segueti m+- oloe:,,,,m,,,,,- (ell ordie idiato) otteiamo la seguete sottomatrie quadrata (triagolare superiore): m m Th: Se A è ua matrie diagoale o triagolare superiore o triagolare iferiore allora il determiate di A è dato dal prodotto degli elemeti sulla diagoale priipale. Quidi la sottomatrie ostruita è ivertibile ed il rago di A è pari ad m+-

15 Problema del Trasporto: RISOLUZIONE Possiamo rappresetare il problema tramite due tabelle, ua relativa alle variabili l altra relativa ai osti: m m d m d d m O O O m m m m m Utilizziamo queste due tabelle per risolvere il problema

16 Problema del trasporto: RISOLUZIONE Per risolvere il problema dobbiamo:. Trovare ua soluzioe ammissibile iiziale: METODO DELL ANGOLO DI NORD-OVEST. Migliorare la soluzioe ammissibile trovata fio a soddisfare le odizioi di ottimalità: REGOLA DEL CICLO

17 Metodo dell agolo di Nord-Ovest Passo : Poi per ogi i e per ogi Passo : i, Passo : miimo { O i, d } Se il miimo è uguale a O i allora vai al passo Se il miimo è uguale a d allora vai al passo Passo : Poi ii+; d d -O i e vai al passo Passo : Poi +; O i O i -d e vai al passo

18 Metodo dell agolo di Nord-Ovest: ESEMPIO Cosideriamo la seguete tabella dei osti: NOTA: m, quidi il rago della matrie A è r(a)+-6. Quidi dobbiamo selezioare 6 variabili per otteere ua soluzioe di base Le iterazioi dell algoritmo dao luogo alle segueti tabelle di variabili:

19 Metodo dell agolo di Nord-Ovest: ESEMPIO

20 Metodo dell agolo di Nord-Ovest: ESEMPIO Le variabili di base della soluzioe ammissibile iiziale soo: ,,,,, Ora dobbiamo verifiare se questa soluzioe è ottima, se o è ottima erhiamo u altra soluzioe o la regola del ilo.

21 Codizioi di ottimalità Codizioi di ottimalità del simplesso: z N z B T A B a N Moltipliatori del simplesso Coeffiiete di osto della variabile Coloa della matrie orrispodete alla variabile

22 Duale del problema del trasporto (u i ) (v ) mi m i m i o i d i,, m;,, ; i,, m;,, R i,, m;,, () () () ma u i -v m o i i i u d v i,, m;,, ;

23 Codizioi di ottimalità Dobbiamo verifiare i valori z - per ogi o i base. Il alolo di queste differeze si ridue al alolo delle differeze dei valori delle variabili duali assoiate ai violi: z - u i -v - dove u i è la variabile duale assoiata all i-simo violo di origie e v è la variabile duale assoiata al -simo violo di destiazioe. Cosideriamo la matrie dei osti iiziali e la matrie delle variabili orrispodete alla soluzioe di base trovata:

24 Codizioi di ottimalità Le variabili duali soo 7 ( assoiate ai violi di destiazioe: v,v,v,v e assoiate ai violi di origie: u,u,u ). Possiamo determiare questi valori sapedo he z - per ogi variabile i base. Per ui otteiamo: u u u u u u v v v v v v Questo è u sistema di 6 equazioi i 7 iogite, per ui fissado a zero il valore di ua variabile otteiamo i valori delle altre

25 Fissiamo u ed otteiamo: Da ui otteiamo : z z z z z z Codizioi di ottimalità v - v - 5 v - v - u - u -6 u u u u u u v v v v v v La soluzioe o è ottima, quidi dobbiamo segliere ua variabile o i base da itrodurre i base. Faiamo etrare i base la variabile o oeffiiete di osto massimo ossia.

26 Selezioiamo la variabile usete o la regola del ilo. Suppoiamo di avere la seguete tabella i ui le rapresetao le variabili di base e la y la y + 5 uova variabile etrate. + La variabile etrate forma u ilo o le variabili,,. Tra queste dobbiamo selezioare ua da far usire dalla base. La selta viee effettuata el seguete modo:. Cosideriamo le variabili he formao u ilo o la variabile etrate. Iremetiamo la variabile etrate da ad u uovo valore Δ>. Le variabili di base oivolte el ilo verrao iremetate di Δ, se hao sego positivo, metre verrao deremetate di Δ, se hao sego egativo.. La variabile usete sara quella he si azzera per prima. Nella matrie iremetiamo y, deremetiamo, iremetiamo e deremetiamo. Quato vale Δ? Δ miimo{ : è oivolta el ilo o sego meo }

27 Ritoriamo al ostro esempio. Segliamo ome variabile etrate. Il ilo itrodotto da y è disegato i figura e Δ. 5 y Ese la variabile 5 5 5

28 Metodo del simplesso per il problema del trasporto Passo : Trova ua soluzioe di base ammissibile o la regola dell agolo di Nord-Ovest Passo :Calola z - per ogi variabile o i base (dove z - u i -v - ). Se z - per ogi variabile o i base: STOP Altrimeti selezioa la variabile etrate o massimo z - Passo : Determia la variabile usete appliado la regola del ilo Passo : Rialola la uova soluzioe di base ammissibile e vai al passo