Formulazione di Problemi Decisionali come Problemi di Programmazione Lineare

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1 Formulazioe di Problemi Decisioali come Problemi di Programmazioe Lieare Cosideriamo i segueti problemi decisioali ed esamiiamo come possoo essere formulati come problemi di PL: Il problema del trasporto Il problema del product-mix Il problema della piaificazioe della produzioe (productio plaig) PL-58

2 Il Problema del Trasporto m foitori producoo s,..., s m quatità di u certo prodotto (ad esempio, gas o petrolio) destiatari richiedoo r,..., r quatità di prodotto il prodotto può essere trasportato da ogi foritore ad ogi destiatario (ad esempio attraverso u gasdotto o oleodotto) per ogi uità di prodotto trasportata dal foritore i al cliete j viee pagato u costo c ij Il problema: determiare quali quatità di prodotto trasportare tra ogi coppia (i,j) di foritori-destiatari i modo da miimizzare il costo complessivo del trasporto. s r M M s i M c ij M r j s m r PL-59

3 Ipotesi di ammissibilità Perché il problema possa ammettere ua soluzioe deve essere verificata la seguete codizioe sui dati m si rj j= che stabilisce che la quatità totale di prodotto dispoibile o può essere iferiore alla richiesta totale del prodotto stesso. Formulazioe del problema. Le variabili: la quatità di prodotto trasportata su ciascu arco j R i =,..., m; j =,..., soo variabili cotiue La fuzioe obiettivo: il costo del trasporto complessivo m c ij x ij j= PL-60

4 I vicoli: la quatità totale di prodotto forita da ciascu foritore o può superare la dispoibilità del foritore stesso j si i =,..., m ( ) j= la quatità totale di prodotto ricevuta da ciascu destiatario deve essere uguale a quella richiesta m j = rj j =,..., ( 2) le quatità di prodotto trasportate sugli archi soo sempre o egative j 0 i =,.., m; j =,..., ( 3 ) PL-6

5 Il problema del trasporto mi m j= ij ij x s i =,..., m ( ) j= m ij i x = r j =,..., ( 2) ij j x 0 i =,..., m; j =,..., ( 3) ij x R i =,..., m; j =,..., ij c x E u problema di PL co variabili cotiue. Può essere risolto co l algoritmo del simplesso. Possibili variazioi: itroduzioe della massima capacità per gli archi; o tutti i foritori soo coessi a tutti i destiatari; il trasporto o avviee direttamete tra foritore e destiatario ma attraverso dei cetri di raccolta e distribuzioe itermedi PL-62

6 Il Problema del Product-Mix si dispoe di m risorse produttive i quatità limitata, i particolare, la loro massima dispoibilità è b,..., b m (ad esempio, materie prime) possoo essere eseguite attività che ecessitao delle risorse precedeti (ad esempio, la produzioe di diversi prodotti) alle attività soo associati i segueti profitti uitari c,..., c (ad esempio, il profitto per uità di prodotto) soo oti i cosumi di risorse per uità di attività eseguita; i particolare, per eseguire ua uità della attività i-esima si utilizzao a ij uità della risorsa j-esima Il problema: determiare quali attività eseguire ed a quale livello (ad esempio, quali e quati prodotti produrre) i modo da massimizzare il profitto coseguete. (Nota: a questa classe di problemi appartiee il problema dell azieda che produce verici.) PL-63

7 Formulazioe del problema. Le variabili: i livelli a cui devoo essere eseguite le attività (variabili cotiue) R i =,..., La fuzioe obiettivo: il profitto risultate dall esecuzioe delle attività c i x i I vicoli: per ciascua risorsa, la quatità totale di risorsa utilizzata per eseguire le attività o può superare la dispoibilità massima della risorsa stessa aij b j j =,..., m ( ) i livelli delle attività soo sempre o egativi 0 i =,.., ( 2) PL-64

8 Il problema del product-mix max ci aij b j j =,..., m ( ) 0 i =,..., ( 2) R i =,..., PL-65

9 Il Problema della piaificazioe della produzioe (Productio Plaig) Caso cosiderato: piaificare la produzioe di u sigolo prodotto per i prossimi N mesi. per ciascuo degli N mesi è ota la capacità produttiva massima del prodotto, m,...,m N soo oti c,...,c N, i costi di produzioe per uità di prodotto ei diversi mesi soo oti r,...,r N, i costi di immagazziameto per uità di prodotto ei diversi mesi è ota la domada di prodotto per i diversi mesi, d,...,d N è ota la dispoibilità iiziale di prodotto i magazzio M 0 Il problema: determiare la quatità di prodotto da produrre ei diversi mesi miimizzado il costo complessivo di produzioe e di immagazziameto. PL-66

10 Formulazioe del problema. Le variabili: la quatità di prodotto piaificata per ciascu mese (variabili cotiue) R i =,..., N la quatità di prodotto che deve essere immagazziata per ciascu mese (variabili cotiue) si R i =,..., N La fuzioe obiettivo: il costo totale pagato per la produzioe più quello pagato per l immagazziameto durate l arco degli N mesi N ( c x + r s ) i i I vicoli: per ciascu mese, la quatità il prodotto dispoibile (prodotto el mese o presete perchè immagazziato il mese precedete) soddisfa la domada correte; l evetuale rimaeza viee immagazziata e resa dispoibile per il mese successivo (legge di coservazioe del prodotto) i i + si = di + si i =,..., N ( ) PL-67

11 la produzioe mesile o può superare la relativa capacità produttiva x m i =,..., N ( 2) i il livello iiziale del magazzio è quello dato i s0 = M0 ( 3) il livello di produzioe e la quatità di prodotto i magazzio ei vari mesi o può essere egativa x 0 s 0 i =,.., N ( 4) i i Il problema del productio plaig (sigolo prodotto) N mi ( ci + risi ) + si si = dii =,..., N () mii =,..., N (2) s0 = M0 (3) 0si 0i =,..., N (4) Rsi Ri =,..., N Ua possibile variate cosiste el cosiderare la produzioe di diversi prodotti. PL-68