Lezione 4 Corso di Statistica. Francesco Lagona

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1 Lezioe 4 Corso di Statistica Fracesco Lagoa Uiversità Roma Tre F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 1 / 17

2 Outlie 1 Media aritmetica 2 variaza 3 il caso delle variabili dicotomiche 4 trasformazioi lieari

3 Media aritmetica media aritmetica cosideriamo la distribuzioe uitaria di ua variabile quatitativa (discreta o cotiua) X co supporto X uità i... modalità x 1 x 2... x i... x la media di X è data da x = 1 x i ed ha le segueti proprietà 1 è u valore compreso tra il miimo e il massimo campioario 2 la somma dei residui dalla media è ulla 3 la media di ua trasformazioe lieare è la trasformazioe lieare della media 4 la media è associativa 5 è il valore che miimizza la somma dei residui al quadrato F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 3 / 17

4 Media aritmetica è compresa tra miimo e massimo siao x (1) = mi(x) e x () = max(x) il miimo ed il massimo campioario si ha ovvero ovvero x (1) x i x () x (1) x i x () x (1) x i x () x (1) x x () F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 4 / 17

5 Media aritmetica proprietà 2 e 3 (x i x) = x i x = x x = 0 (a + bx i ) = a + b x i =a + b x = (a + b x) 1 (a + bx i ) = a + b x F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 5 / 17

6 Media aritmetica associatività sia il campioe di dimesioe + m composto dai due campioi medie aritmetiche x = 1 allora si ha x i (x 1... x, y 1... y m ) (x 1... x ) e (y 1... y m ) ȳ = 1 ( y i z = 1 x i + + m ( z = 1 x i + + m = 1 ( x + mȳ) = + m x + mȳ + m ) m y i ) m y i F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 6 / 17

7 Media aritmetica miimizza la somma dei quadrati (x i a) 2 (x i x) 2 x i x a modalita F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 7 / 17

8 Media aritmetica miimizza la somma dei quadrati la somma dei quadrati come fuzioe di a f (a) = (x i a) 2 per trovare il suo miimo 1 calcoliamo la derivata rispetto ad a 2 risolviamo l equazioe f (a) = 0 f (a) = a f (a) = 2 (x i a) f (a) = 0 x a = 0 a = x 3 verifichiamo che sia u puto di miimo f (a) = a f (a) = 2 > 0 F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 8 / 17

9 Media aritmetica iterpretazioe geometrica f (a) = (x i a) 2 = deviaza (x i x) 2 + ( x a) 2 somma quadrati (x i x) 2 (x a) F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) x 9 / 17

10 variaza alcue misure di variabiità campo di variazioe (rage) rage = massimo campioario - miimo campioario rage iter-quartilico rage iter-quartilico = terzo quartile - primo quartile F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 10 / 17

11 variaza variaza deviaza: (x i x) 2 la variaza è ua media degli scarti al quadrato dalla media aritmetica: s 2 = 1 1 (x i x) 2 e misura il grado di dispersioe delle modalità itoro alla loro media s 2 = 0 implica che è stata rilevata ua sola modalità (asseza di eterogeeità) l effetto della variaza sulla distribuzioe: s 2 =0.5 s 2 =0.1 s 2 =0.05 desita desita desita F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 11 / 17

12 variaza variaza: formula alterativa facilita il calcolo della variaza: 1 (x i x) 2 = 1 ( xi 2 2x i x + x 2) = 1 = 1 s 2 = x 2 i 2 x 1 x i + x 2 x 2 i x 2 1 ( 1 x 2 i x 2 deviazioe stadard o scarto quadratico medio: s = s 2 F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 12 / 17 )

13 variaza perchè è importate la variaza u elevato valore della variaza idica ua media poco rappresetativa media = 2.39 media = F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 13 / 17

14 variaza perchè è importate la variaza ua differeza tra medie va iterpretata teedo coto delle variaze x=20 s 2 =50 x=35 s 2 =16 desita desita F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 14 / 17

15 variaza media e variaza per varie distribuzioi tipo distribuzioe uitarie freq. assolute freq. relative x = 1 x i 1 K k=1 x k k K k=1 x kf k s 2 1 = 1 (x i x) 2 1 K 1 k=1 (x k x) 2 k s 2 = ( 1 1 x i 2 x 2) 1 ( ) 1 K k=1 x k 2 k x 2 K 1 k=1 (x k x) 2 f k ( K ) 1 k=1 x k 2f k x 2 F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 15 / 17

16 il caso delle variabili dicotomiche variabili dicotomiche se ua variabile X assume i valori 0 e 1 la media è uguale alla frequeza relativa della modalità 1 la variaza è pari a x = s 2 = ( 1 1 = ( 1 f 1 f 2 1 x 2 i x 2 ) = 1 (f 1(1 f 1 )) = 1 f 1f 0 ) = f 1 F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 16 / 17

17 trasformazioi lieari variaza di ua trasformata lieare data ua variabile X, sia Y = a + bx ua sua trasformata lieare sappiamo che ȳ = a + b x l effetto della trasformazioe lieare sulla variaza e ivece diverso sy 2 = b 2 sx 2 ifatti: s 2 y = 1 1 = 1 1 = 1 1 (y i ȳ) 2 = 1 (a + bx i a b x) 2 1 (bx i b x) 2 b 2 (x i x) 2 = b (x i x) 2 = b 2 sx 2 F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 17 / 17